第十一章：全等三角形
一、基础知识
1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义
能够完全重合的两个图形就是全等图形。 例如：图13-1和图13-2就是全等图形
图13-1
图13-2 （2）全等多边形的定义
两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图
13-3 图13-4
（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边
两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示
例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5
表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质
全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B D
C E B ’
A ’ C ’ D ’ E ’
（6）全等多边形的识别
多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别
（1）根据定义
若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS
如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS
如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别
（1）根据HL
如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。
4.证明三角形全等的方法
证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。
判定方法的选择：
具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错
角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。
为什么“AAA ”和“SSA ”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC 不全等于△ADE ；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, ∠B=∠B ，但△ABC 与△ABD 不全等。
图13-6 图13-7
5.证明两个三角形全等如何入手
证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。
（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。
（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。
证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。
二、经典例题
例1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm ，13cm ，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。
（2）在△ABC 中，已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求 ∠C 。 [考点透视] （1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理 [参考答案] 解：（1）设第三边为xcm ，则
132132-<<+x 即1115< ∴周长 L x x =++=+21315的范围是 1511151515+<+<+x 即2730< ∴=+=L x 1528 A B D E A D C B ∴=x 13 即第三边长为13cm （2） ∠+∠=∠A C B 2 ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠=A B C A C B B B B ()23180 ∴∠=B 60 ∴∠+∠=∠=A C B 2120 又∠-∠=C A 80 由∠+∠=∠-∠=????? A C C A 12080 得∠=∠=?????A C 20100 ∴∠=C 100 例2：已知，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠=B 66 ，∠=C 54 ，DE AC ⊥于E ，求：∠ADB 和∠ADE [考点透视] 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质 [参考答案] 解：由三角形内角和定理，得 ∠=-∠-∠BAC B C 180 =-+=180665460 () 又AD 平分∠BAC ∴∠= ∠=?=C A D BAC 121 26030 ∴∠=∠+∠=+=A D B C A D C 305484 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 在Rt ADE ?中 ∠=-∠=-=A D E C A D 90903060 （直角三角形的两个锐角互余） 例3：已知：在?ABC 和?A B C '''中 ∠=∠∠=∠⊥A A B B CD AB ''，，于D ，C D A B ''''⊥于D ’，且CD C D ='' 求证：??ABC A B C ?''' A A ’ D D’ B C B’ C’ [考点透视] 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。 [参考答案] 证明：在Rt ADC ?和Rt A D C ?'''中 ∠=∠∠=∠==???? ?A A ADC A D C CD C D ''''''90 ∴?Rt ADC Rt A D C AAS ??'''() ∴=AC A C ''（全等三角形对应边相等） 在?ABC 和?A B C '''中 ∠=∠∠=∠=??? ? ?A A B B AC A C '''' ∴???ABC A B C AAS '''() 三．适时训练 （一）精心选一选 1．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC ≌△DEF ，BC=EF ，点A 的对应顶点是D ，下列说法正确的是（ ） A. ∠C 与∠F 互余 B. ∠C 与∠D 互余 C. ∠B 与∠F 互余 D. ∠A 与∠E 互余 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，CE 、BD 分别是AB 、AC 边上的中线，AM ⊥CE 于M ，AN ⊥BD 于N ，则图中全等三角形共有（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 3．如图，△ACD 中，AB ⊥CD 且BD ＞CB ，△BCE 和△ABD 都是等腰Rt △，下列结论① △ABC ≌△DBE ；② △ACB ≌△ABD ；③ △CBE ≌△BED ；④ △ACE ≌△ADE ； 正确的是（） A. ①②③ B. ① C. ①③④ D. ②③④ 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠度数为（） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 5．下列命题正确的是（） A. 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等 6.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（） （A）高（B）角平分线（C）中线（D）垂直平分线已知 7.下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（） （A）∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF （B）AB=DE，BC=EF，∠A=∠D （C）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长 （二）细心填一填 1．如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点M，EN是∠MEC的角平分线，则∠FEN= 2．如图2-2，在△ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且△ABC≌△，则∠1:∠2= 3．如图2-3，若△ABC≌△ADE，∠E=∠C，∠1=20°，则∠2= 4．如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF，在图中可通过（填“平移”，“翻折”，或“旋转”）使△ABE变到△ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是 5．如图2-5，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△BDE的周长是 6. 已知，如图2-6，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有对全等三角形． 7. 如图2-7，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= °． 8. 在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件，或． 9. 把两根钢条AA?、BB?的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图2-9，若测得AB=5厘米，则槽宽为米。 10. 工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用，用菱形做活动铁门是利用四边形的。 图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 图2-5 图2-6 图2-7 图2-9 图2-10 三、认真答一答 1．如图，AB=AD ，AC=AE ，且∠DAB=∠CAE ，BE 与CD 交于点P ，AP 的延长线交BC 于F ，试判断∠BPF 与∠CPF 的关系，并加以证明。 2．如图，AM 为△ABC 的中线，AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，且AE=AB ，AF=AC ，MA 的延长线交EF 于点P ，求证：AP ⊥EF 。 3. 已知：如图，C 为 BE 上一点，点A 分别在BE 两侧.AB ∥ED,AB=CE,BC=ED. 求证:AC=CD. 4．已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA =OC ，OB =OD . A C E D B 求证：AB =CD 5．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对 边相等的四边形叫做等对边四边形。 （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若 60A ∠=?，1 2 DCB EBC A ∠=∠=∠，请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图 中哪个四边形是等对边四边形； （3）在ABC ?中，如果A ∠是不等于60o的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且 1 2 DCB EBC A ∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证 明你的结论. 6. 已知：如图，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，O 为BD 的中点，EF ⊥BD 于点O ，与AD 、BC 分别交于点E 、F 。 求证：DE=DF 。 7．如图，在⊙O 中，D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点，且AD ＝BE ． 点C 为弧AB 上一点，连接CD 、CE 、CO ，∠AOC ＝∠BOC ． 求证：CD ＝CE ． 8．如图，已知在△ABC 中AB=AC ，D 为BC 边的点D 作DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E 、F 。 （1）求证：△BED ≌△CFD; （2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE 是正方形。 9．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：△ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数． 10. 八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A 、B 的距离，设计了如下方案： （Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A 、B 的点C ，连接AC 、BC ，并分别延长AC 至D ，BC 至E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 的长； （Ⅱ）如图2，先过B 点作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C 、D 两点使BC=CD ，接着过D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于E ，则测出DE 的长即为AB 的距离. 图1 图2 阅读后回答下列问题： （1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。 F C （2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。 （3）方案（Ⅱ）中作BF ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE ≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？ . 11. 已知，如图AB//CD ，BE 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+ 12. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如 图所示形式，使点B ，F ，C ，D 在同一条直线上． （1）求证：AB ⊥ED ． （2）若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明． 13．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明. E F M B C P N D A B E D C F () 03D ， 14. 如图，直线l 切⊙O 于点A ，点P 为直线l 上一点，直线PO 交⊙O 于点C 、B ，点D 在线段AP 上，连结DB ，且AD=DB ． （1）求证：DB 为⊙O 的切线． （2）若AD=1，PB=BO ，求弦AC 的长． . 15. 已知：如图，直径为OA 的M ⊙与x 轴交于点O A 、，点B C 、把OA 分为三等份， 连接MC 并延长交y 轴于点(03)D ，． （1）求证：OMD BAO △≌△； （2）若直线l ：y kx b =+把M ⊙ 0b +=． A B C D O 16. 如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方， 点Q 在矩形内． 求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ ． 17. 如图，O ⊙是Rt ABC △的外接圆，点O 在AB 上，BD AB ，点B 是垂足， OD AC ∥，连接CD ． 求证：CD 是O ⊙的切线． D B A O C A C B D P Q 18. ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合）， ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ． （1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：A E B A D C △≌△； ②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由； （2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ （3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由． 19. 如图，C F 、在BE 上，A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，． 求证：AB DE =． A G C D B F E 图（a ） A C B F E G 图（b ） A B C F E 20. 如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 21. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，取AC 的中点E ，连结DE 、OE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果⊙O 的半径是1.5cm ，ED=2cm ，求AB 的长． 22. 如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+． 23. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． E B A D O C A D E F C （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分） （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由。 24. 如图9，P 是∠BAC 内的一点，PE AB PF AC ⊥⊥，，垂足分别为点E F ，，AF AE =． 求证：（1）PF PE =； （2）点P 在∠BAC 的角平分线上． 25. ．已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC=BD ，BC ，AD 相交于点E ． (1) 求证：AE=BE ； (2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE 的长． E D C B A 参考答案 （一）精心选一选 1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6.B 7.A （二）细心填一填 1. 90° 2. 1:4 3. 20° 4. 旋转；垂直 5. 4cm 6.3 7.AD ，∠C ，80 8. ∠CAB=∠DAB ，∠CBA=∠DBA ，AC=AD ，BC=BD 9. 5厘米 10. 三角形的稳定性，不稳定性 （三）认真答一答 1. 相等，过A 作AM ⊥DC ，AN ⊥BE ，证明△DAC ≌△BAE ，所以利用全等三角形的对应高相等得到AM=AN ，所以∠BPF=∠CPF 2. 延长AM 至N ，使MN=AM ，证明△AMC ≌△NMB ，所以AC=NB ，再证明△EAF ≌△ABN ，得到∠E=∠BAN ，因为∠BAN+∠EAP=90°，所以∠E+∠EAP=90°，所以AP ⊥EF 3．证明： AB ED ∥，B E ∴∠=∠． 在ABC △和CED △中， AB CE B E BC ED =?? ∠=∠??=? ，，， ABC CED ∴△≌△． AC CD ∴=． 4、 证明：∵ OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线， ∴ ,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴ A O B C O D ∠=∠ 在A O B ?和C O D ?中， ,,,O A O C A O B C O D O B O D =?? ∠=∠??=? ∴ A O B C O D ??? ∴ A B C D = 5、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可 （2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ） 四边形DBCE 是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE. 证明1：如图，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点. ∵∠DCB=∠EBC= 1 2 ∠A ，BC 为公共边 ∴△BGC ≌△CFB ∴BF=CG ∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF ≌△CEG ∴BD=CE 故四边形DBCE 是等对边四边形. 证明2：如图，在BE 上取一点F ，使得BF=CD ，连接CF. 易证△BCD ≌△CBF ，故BD=CF ，∠FCB=∠DBC. ∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE 故四边形DBCE 是等对边四边形. 6．证法一：在平行四边形ABCD 中，AD//BC ∴∠OBF=∠ODE ∵O 为BD 的中点 ∴OB=OD 在△BOF 和△DOE 中 ∠∠∠∠OBF ODE OB OD BOF DOE ===??? ?? ∴△BOF ≌△DOE ∴OF=OE ∵EF ⊥BD 于点O ∴DE=DF 证法二：∵O 为BD 的中点 ∴BO=DO ∵EF ⊥BD 于点O ∴BF=DF ∴∠BFO=∠DFO ∵在平行四边形ABCD 中，AD//BC ∴∠BFO=∠DEO ∴∠DEO=∠DFO ∴DE=DF 7．证明：∵OA=OB AD=BE ∴OA-AD=OB-BE 即OD=OE 在△ODC 和△OEC 中 ?? ? ??=∠=∠=OC OC EOC DOC OE OD ∴△ODC ≌△OEC ∴CD=CE 8． （1）∵DE ⊥AB,DF ⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵D 是BC 的中点, ∴BD=CD ∴△BED ≌△CFD. （2）∵DE ⊥AB,DF ⊥AC ∴∠AED=∠AFD=90° ∵∠A=90° ∴四边形DFAE 为矩形 ∵△BED ≌△CFD ∴DE=DF ∴四边形DFAE 为正方形 9。（1）证明：∵△ABC 为等边三角形 ∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 在△ABE 和△CAD 中 AB=CA, ∠BAE=∠C, AE=CD ∴△ABE ≌△CAD （2）解 ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD 又∵△ABE ≌△CAD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° 10．（1）可以；（2）可以；（3）构造三角形全等，可以 11. AB//CD ∴∠+∠=ABC BCD 180 又BE 、CE 平分∠∠ABC ACD ， ∴∠= ∠∠=∠EBC ABC ECB BCD 121 2， ∴∠+∠=∠+∠=?=EBC ECB ABC BCD 121 218090() ∴∠=BEC 90 （三角形内角和定理） 在BC 上取BF ＝BA ，连结EF 在?ABE 和?FBE 中 AB FB ABE FBE BE BE =∠=∠=??? ? ? ∴???ABE FBE SAS () ∴∠=∠12（全等三角形对应角相等） ∠+∠+∠=13180BEC ∴∠+∠=-∠=-=131801809090 BEC 又，∠+∠=∠=∠249012 ∴∠=∠34（等量代换） 在?C F E 和?C D E 中 ∠=∠=∠=∠??? ??F C E DCE CE CE () 角平分线定义43 ∴???C F E C D E A S A () ∴=CD CF （全等三角形对应边相等） ∴=+=+BC BF CF AB CD 12. （1）由于△ABC 与△DEF 是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，所以△ABC ≌△DEF ，所以∠A ＝∠D ，在△ANP 和△DNC 中，因为∠ANP ＝∠DNC ，所以∠APN ＝∠DCN ，又∠DCN ＝90°，所以∠APN ＝90°，故AB ⊥ED ． （2）答案不唯一，如△ABC ≌△DBP ；△PEM ≌△FBM ；△ANP ≌△DNC 等等．以△ABC ≌△DBP 为例证明如下：在△ABC 与△DBP 中，因为∠A ＝∠D ，∠B ＝∠B ，PB ＝BC ，所以△ABC ≌△DBP ． 13. 例：△AOB ≌△COD. 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴OA=OC ，OB=OD ， 又∵∠AOB=∠COD ， ∴△AOB ≌△COD. 14．（1）证明: 连结OD ∵ PA 为⊙O 切线 ∴ ∠OAD = 90° 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A 第 1 页 共 11 页 北京中考/一模之全等三角形试题精编 北京中考 16．已知：如图，点E A C ，，在同一条直线上，AB CD ∥，AB CE AC CD ==，． 求证：BC ED =. 16、△BAC ≌△BCD （SAS ） 所以，BC ＝ED 海淀一模 15. 如图，AC //FE , 点F 、C 在BD 上，AC=DF , BC=EF . 求证：AB=DE . 15．证明：∵ AC //EF ， ∴ ACB DFE ∠=∠． ………………………………………1分 在△ABC 和△DEF 中， ?? ? ??=∠=∠=,,, EF BC DFE ACB DF AC ∴ △ABC ≌△DEF ． ………………………………4分 ∴ AB=DE ． ……………………5分 东城一模 16. 如图，点B C F E 、、、在同一直线上，12∠=∠，BF EC =，要使ABC ?≌DEF ?， 还需添加的一个条件是 （只需写出一个即可），并加以证明． A B C D E F A B C D E F 第 2 页 共 11 页 16．（本小题满分5分） 解：可添加的条件为：AC DF B E A D =∠=∠∠=∠或或（写出其中一个即可）. …1分 证明：∵ BF EC =， ∴ BF CF EC CF -=-. 即 BC EF = . -------2分 在△ABC 和△DEF 中， , 12,,AC DF BC EF =?? ∠=∠??=? ∴ △ABC ≌△DEF . --------5分 西城一模 15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90o，D 为AB 延长线 上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC . (1) 求证：△ABE ≌△CBD ； (2) 若∠CAE=30o，求∠BCD 的度数. 15.（1）证明：如图1. ∵ ∠ABC=90o，D 为AB 延长线上一点， ∴ ∠A BE=∠CBD=90o . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中, ?? ? ??=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB ∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90o， ∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30o， ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分 ∵ △ABE ≌△CBD ， ∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分 图1 全等三角形（1） 一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???===DF AC EF BC DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SSS ） 三．练习： 1．下列说法正确的是（ ） A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B ．全等三角形的周长和面积分别相等 C ．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D ．所有等边三角形都全等. 2．如图，在ABC ?中，AC AB =，D 为BC 的中点，则下列结论中：①ABD ?≌ACD ?；②C B ∠=∠；③AD 平分BAC ∠；④BC AD ⊥，其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图，若AC AB =，DC DB =，根据 可得ABD ?≌ACD ?. 5．如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =. 求证：D EGC ∠=∠ 6．在ABC ?中，?=∠90C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点， 且BD AD =，BC AE =，DC DE =. 求证：AB DE ⊥ 7．如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC = 求证：DE AB // 四．强化练习： 1．如图，AD AB =，CD CB =，?=∠30B ，?=∠46BAD ，则ACD ∠的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．127° D ．104° 2．如图，线段AD 与BC 交于点O ，且BD AC =，BC AD =，则下面的结论中不正确的是（ ） A ．ABC ?≌BAD ? B ．DBA CAB ∠=∠ C ．OC OB = D ．D C ∠=∠ 3．在ABC ?和111C B A ?中，已知11B A AB =，11C B BC =，则补充条件____________，可得到ABC ?≌111C B A ?． 4．如图，CD AB =，DE BF =，E 、F 是AC 上两点，且CF AE =．欲证D B ∠=∠，可先运用等式的性质证明AF =________，再用“SSS ”证明________≌_________?得到结论． 5．如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =. 求证：①CD AB //；②BC AD //． 6．如图，已知CD AB =，BD AC =，求证：D A ∠=∠． 7．如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点， 且CF AE =， BF DE =． 求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE // 8.如图，已知DC AB =，DB AC =．求证：12∠=∠． 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E 全等三角形典型例题： 例1：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求 证：AF ⊥BE ． 练习1：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。 例2： △DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD ； (2)CM=CN ； (3) △CMN 为等边三角形；（4）MN ∥BC 。 例3：（10分）已知，△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，过A 任作一直线l ，作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，观察三条线段BD ，CE ，DE 之间的数量关系． ⑴如图1，当l 经过BC 中点时，DE = （1分），此时BD CE （1分）． ⑵如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ．（1分） 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D 练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF B A F E 练习2： 如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？ 全等三角形证明经典试题50道 1.（已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B. 求证：AE=CF. 【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF 2. 已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、C A分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC 证明：在△ABC与△DCB中 (ABC DCB ACB DBC BC BC ∠=∠?? ∠=∠??=? 已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ） ∴△ABC ≌△DCB ∴AB =DC 3. 如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上． (1) 已知，BD =CE ，CD=BE ，求证：AB=AC ； (2) 分别将“BD=CE ”记为①，“CD=BE ” 记为②，“AB=AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）． 【答案】 (1) 连结BC ，∵ BD=CE ，CD=BE ，BC=CB ． ∴ △DBC ≌△ECB （SSS ） ∴ ∠DBC =∠ECB ∴ AB=AC (2) 逆， 假； 4. 如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ，CH=CD ，连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。求证：△AEF ≌△CHG. 【答案】证明：∵□ABCD ∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD ∴∠EAF=∠HCG ∠E=∠H ∵ AE=AB，CH=CD ∴ AE=CH ∴△AEF≌△CHG. 5. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求 证：BC∥EF． 【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ， AB＝DE，∴△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF． 6. 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF 的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等为什么 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ， AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ， CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, C D B D C B A F E A B A C D F 2 1 E 第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷（选择题 共30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） 3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A ．BC= B / C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C / D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ， 使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明 △EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不 正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC ≌△CE D D ．∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定 这两个三角形全等，还需要条件（ ） 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D 全等三角形证明经典试题50道 1. （已知：如图，E,F 在AC 上，AD ∥CB 且AD =CB ，∠D ＝∠B . 求证：AE =C F . 【答案】∵AD ∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB ，∠D=∠B ∴△ADF ≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF 2. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC 证明：在△ABC 与△DCB 中 (ABC DCB ACB DBC BC BC ∠=∠?? ∠=∠??=? 已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ） ∴△ABC ≌△DCB ∴AB =DC 3. 如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上． (1) 已知，BD =CE ，CD=BE ，求证：AB=AC ； (2) 分别将“BD=CE ”记为①，“CD=BE ” 记为②，“AB=AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）． 【答案】 (1) 连结BC，∵BD=CE，CD=BE，BC=CB． ∴△DBC≌△ECB （SSS） ∴∠DBC =∠ECB ∴AB=AC (2) 逆，假； 4. 如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG. 【答案】证明：∵□ABCD ∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD ∴∠EAF=∠HCG ∠E=∠H ∵ AE=AB，CH=CD ∴ AE=CH ∴△AEF≌△CHG. 5. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求 证：BC∥EF． 全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图，等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 上的动点，AD ＝CE ，试求∠DFB 的度数． 2、如下图所示，等边△ABC 中，D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点，AD ＝BE ＝CF ，试判 断△DEF 的形状． 3、如下图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、D 在同一直线上，AC 、BE 相交于点G ，AE 、CD 相交于点F ，试说明△AGF 是等边三角形． Ex 、如图，四边形ABCD 与BEFG 都是正方形，AG 、CE 相交于点O ，AG 、BC 相交于点M ，BG 、CE 相交于点N ，请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由． 4、△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，D 是底边BC 的中点，DE ⊥DF ，试说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A B A A m 二．证明全等常用方法（截长法或补短法） 5、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．请你试说明AB ＋BD ＝AC ． Ex1，∠C ＋∠D ＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD ＋BC ＝AB ． Ex2、五边形ABCDE 中,AB ＝AE,∠BAC ＋∠DAE ＝∠CAD,∠ABC ＋∠AED ＝180°,连结AC ，AD ．请你用补短法说明BC ＋DE ＝CD ．（也可用截长法，自己考虑） 6、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上的点，F 是BC 上的点，且∠EDF ＝45°．请你试用 补短法说明AE ＋CF ＝EF ． Ex1.、如图所示，在△ABC 中，边BC 在直线m 上，△ABC 外的四边形ACDE 和四边形ABFG 均为正方形，DN ⊥m 于N ，FM ⊥m 于M ．请你说明BC ＝FM ＋DN 的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE ，你能说明S △ABC ＝S △AGE 吗？） B B C F C A B 全等三角形经典题型题带答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E 1：已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点， AD 是整数，求AD 长。 2：已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB :3：已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 :4：已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E 5：已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE : 6：.:如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7：P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 9：已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10：如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 11：如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA : F A E D C B 12：如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置 时，其余条件不变，上述结论能否成 立？若成立请给予证明；若不成立请说 明理由． 13：已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 14：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 O E D C B A F E D C B A 全等三角形经典题型50题带答案 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B A B A C D F 2 1 E 全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC． 7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 全等三角形知识梳理一、知识网络 性质对应角相等对应边相等 边边边SSS 全等形全等三角形边角边SAS 应用 判定角边角ASA 角角边AAS 斜边、直角边HL 角平分线 作图 性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因 此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 1 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 全等三角形的判定训练 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE= C F 吗？说明理由。 A F B C D E 2．已知AC= B D，AE =CF，BE=DF ，问AE∥CF 吗？ E F A C B D 3．已知AB= C D，BE =DF，AE =CF ，问AB∥CD 吗？ A B E F C D 4.已知AC=AB，AE= A D，∠1=∠2，问∠3=∠4 吗？ A 1 2 E D 3 4 B C 5. 如图, 已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC请, 说明∠A=∠C. 2 一，证明边或角相等 方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等； 如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2） 同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角 形全等，而且一般是在双垂直的图形中） 1.已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 3．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于H 。 求证：HB=HC 。 2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ． A E D C B 654 32 1E D C B A F G E D C B A F B C A M N E 1234 E D C B A 二.证明线段和差问题 （形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD) 证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。 证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。 1.如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 2、如图,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证：BD ＝DE ＋CE ； 3、如图，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求证：AB=AD - CD P E D C B A 图4 C A D B E 图2 A B D C E F 图1 图 3 45321第十一章 全等三角形综合复习测试题 一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共30分） 1．已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为【 】. （A ）50 （B ）80 （C ）50或80 （D ）40或65 2. 如图1所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S △＝4平方厘米，则BEF S △的值为 【 】. （A ）2平方厘米 （B ）1平方厘米 （C ） 12平方厘米 （D ）1 4 平方厘米 3. 已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为【 】. （A ）5厘米 （B ）7厘米 （C ）9厘米 （D ）11厘米 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图2所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是 【 】. （A ）HL （B ）SSS （C ）SAS （D ）ASA 5. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（ ） A.绝对准确 B.误差很大，不可信 C.可能有误差，但误差不大，结果可信 D.如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离 6. 在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于 【 】. （A ）145° （B ）180° （C ）225° （D ）270° 7. 根据下列条件，能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是 【 】. （A ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，∠A =∠A ′ （B ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AC =B ′C ′ （C ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′ （D ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，△ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 8. 如图4所示，△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ．△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6．则BC 的长为 【 】. （A ）3 （B ）4 （ C ）5 （ D ）6 9. 将一副直角三角尺如图5所示放置，已知AE BC ∥，则AFD ∠的度数是 【 】. （A ）45 （B ）50 （C ）60 （D ）75全等三角形证明经典题(含答案)
Sw.全等三角形——经典试题汇编 含答案
全等三角形的典型例题
全等三角形经典题型50题带答案
八年级上数学_全等三角形典型例题(一)
全等三角形证明经典试题50道
全等三角形经典题型50题含答案
全等三角形练习题(很经典)
全等三角形证明经典试题50道
人教版八年级上全等三角形经典例题整理
全等三角形经典题型题带标准答案
全等三角形证明100题(经典)
全等三角形经典题型50题带答案知识讲解
全等三角形经典例题(含答案)
《全等三角形》典型例题课件.doc
最新全等三角形题型归纳(经典完整)
全等三角形综合测试题含答案经典试卷(供参考)
相关主题
文本预览