第2课时 椭圆方程及性质的应用
双基达标
(限时20分钟)
1．椭圆x 212＋y 2
3＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么
点M 的纵坐标是 ( )． A ．±
34 B ．±32 C ．±22 D ．±34
解析 由条件可得F 1(－3，0)，PF 1的中点在y 轴上， ∴P 坐标(3，y 0)，又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±3
2，
∴M 的坐标(0，±3
4)，故选A.
答案 A
2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )．
A.15
B.25
C.55
D.255 解析 由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2， ∴a ＝22＋12＝5， ∴e ＝c a ＝25＝255.
答案 D
3．已知椭圆x 23＋y 2
4
＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，
B 和
C ，
D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．8
解析 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接 AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭 圆的下焦点)为平行四边形， ∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ，
∴AF ＋B F ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8. 答案 D
4．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2
3＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．
解析 由?????y ＝x ＋2，x 2m ＋y 2
3＝1消去y ，
整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，
则?????3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2
－4m （3＋m ）>0，解得?
????m ≠－3，
m <0或m >1. 由x 2m ＋y 2
3＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)． 答案 (1，3)∪(3，＋∞)
5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝1
2x ＋1截得的弦长为________．
解析 由????
?x 2
＋4y 2
＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.
设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.
∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－1
2x 2）2
＝5
4
[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝
5
4（4＋24）＝35. 答案 35
6．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝42
3.求直线l 的方程．
解 设直线l 与椭圆的交点 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
由?????y ＝kx ＋1，x 2
2＋y 2
＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2
＝0.
由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝32
9，
∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝
32
9
， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329
. 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2
)2＝32
9.
化简，得k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1. ∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.
综合提高（限时25分钟）
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是6
3，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于
A ，
B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为 ( )．
A.12 B ．－12 C.13 D ．－13 解析 设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，
则y 2
＝b 2
－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 1
2
a
2，
所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2
－1＝－13， 即k 1·k 2的值为－13.
答案 D
8．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A
→
＝3FB →，则|AF →
|＝ ( )． A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2
＝1知a 2＝2，b 2＝1，
∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)． ∴由F A →＝3FB →
得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13
n .
将x 0，y 0代入x 22＋y 2
＝1，得
12×(43)2＋(13
n )2
＝1. 解得n 2＝1，∴|AF →
|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A. 答案 A
9．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2
9＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |
＝12，则|AB |＝________.
解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，
可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8. 答案 8
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，
F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．
解析 直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，二者联立，得T (2ac
a －c ，
b （a ＋
c ）
a －c
)，
则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上，
∴c 2
（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2
＝1， c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5. 答案 27－5
11．已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y 2
4＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，
求弦BC 中点M 的轨迹方程．
解 设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 弦BC 中点M (x ，y )， 则x 128＋y 12
4＝1，① x 228＋y 22
4
＝1.② ②－①，得(x 228－x 128)＋(y 224－y 12
4)＝0.
∴(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.③
当x 1≠x 2时，x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1
x ＋1，
又∵③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1
x 2－x 1＝0.
∴2x ＋2·2y ·y －1
x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.
当x 1＝x 2时，由点M (x ，y )是线段BC 中点， ∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式．
总之，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.
12．(创新拓展)如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 2
20＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的
右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
解 (1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，
则AP →＝(x ＋6，y )，FP →
＝(x －4，y )． 由已知得?????x 2
36 ＋y 2
20＝1，
（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.
则2x 2＋9x －18＝0, 即得x ＝3
2
或x ＝－6.
由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝5
2
3.
∴点P 的坐标是(32，5
23)．
(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m ，0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|
2，
于是|m ＋6|2＝|m －6|，
又－6≤m ≤6，解得m ＝2，
设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－5
9x 2
＝49(x －9
2)2＋15， 由于－6≤x ≤6.
∴当x ＝9
2时，d 取最小值15.