弹性力学的平面问题解法 发表时间：2018-10-22T13:37:54.003Z 来源：《防护工程》2018年第14期作者：朱曼丽 [导读] 文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段 朱曼丽 哈尔滨铁道职业技术学院黑龙江哈尔滨 150000 摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。 关键词：弹性力学；平面问题；解法 前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。 1 问题解法 1.1解析法 解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下： 位移边界条件如下 从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式： 基本方程： 应力边界条件： 值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。对于位移边界条件，虽然在局部边界上可用圣维南定理转化为应力边界条件，但此时得到的解答已不是精确解，同时上述推导过程是基于平面应力问题的，对于平面应变问题应把弹性常数作相应调整。 1.2 数值解法 弹性力学平面问题的解法虽然针对某些问题来说可以得到精确解，但是其不适合实际工程中复杂问题的计算。相反的，数值分析方法虽然只是对实际问题的近似解答，但其求解时的过程清晰，步骤明确，便于编程，并且工程上常有安全系数的保证，因此近似解与不会对实际工程造成太大影响。从而使数值分析方法在工程问题中得到大量应用。数值分析方法有以下三种：差分法：用差分方程替代平衡微分方程，将求解微分方程变为求解代数方程，简化了计算。变分法：变分法其实是一种能量法，以外力所做的功及弹性体的应变势能来建立弹性力学的求解方程。其中基本未知量为弹性体的虚位移，运用的基本原理为虚位移原理和最小势能原理。有限单元法：在力学模型上进行近似将弹性体简化为有限个单元体，且各单元体之间仅在有限个结点处交铰结而成的结构物。然后进行单元分析，形成单元刚度矩
一、概念题（32分） 1、 如图所示三角形截面水坝，其右侧受重度为的水压力作用，左侧为 自由面。试列出下述问题的边界条件 解：1）右边界（x=0） 1 1 2）左边界（x=ytg ） 1 1 由： 2 2 2、何谓逆解法和半逆解法。 答：1. 所谓逆解法，就是先设定各种形式、满足相容方程的应力函 数，利用公式求出应力分量，然后根据应力边界条件考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知设定的应力函数可以解决什么问题。 4 2. 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状与受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后考察该应力函数是否满足相容方程，以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，就可得到正确解答；如果某一方面不能满足，就需要另作假设，重新考察。 4 3、已知一点的应力状态，试求主应力的大小及其作用的方向。 200,0,400x y xy MPa MPa σστ===- 解：根据公式2 12 2 2 2 x y x y xy σσσσστσ+-??=+ ?? ? 2 和公式11tan x xy σσ ατ-= ，求出主应力和主应力方向： 2 ()220002000512.321400312.3222MPa σσ+-=+-=-?? ??? 2 512200tan 0.7808,3757'11400 αα-==-=-o 2 4、最小势能原理等价于 以位移表示的平衡微分 （3） 方程和 应力 （3） 边界条件，选择位移函数仅需满足 位移 （2） 边界条件。 二、图示悬臂梁，长度为l , 高度为h ，l >>h ，在梁上边界受均布荷载。 试检验应力函数 523322ΦAy Bx y Cy Dx Ex y =++++ 能否成为此问题的解，如果可以，试求出应力分量。（20分） y y y n x 000y x x xy x σγτ=-===() () cos ,cos cos ,cos()2sin l n x m n y βπββ====+=-() () () () x y l m x xy s s l m xy y s s f f σττσ+=+=??? ??( ) ()()()cos sin 0cos sin 0x xy s s xy y s s σβτβτβσβ-=+=??? ??
矩形板薄板受均布剪力q ，圆孔半径为r ，给出应力解答并计算孔边的最大正应力和剪应力。 解：以小孔的中心为圆心，以a 为半径（a>>r ）截取空心圆盘，远场应力为 0x y σσ== xy q τ= 坐标变换后，可得圆盘的外边界应力：()sin 2a q ρρσθ== ()c o s 2a q ρθρτθ== 假设应力函数 ()s i n 2f ρθΦ= 应力函数必须满足相容方程 40?Φ= 4324322 3()2()9()9()sin 20d f d f d f df d d d d ρρρρθρ ρρρρρρ?? +-+=???? 所得方程是欧拉常微分方程，求解可得： 422 ()D f A B C ρρρρ =+++ 则应力函数 422sin 2D A B C θρρρ?? Φ=+++ ???? 应力分量表达式 2 4 24 224 46(2)sin 26(122)sin 226(62)cos 2C D B D A B C D A B ρθρθσθρρσρθρτρθ ρρ=-+ + =++ =-++ - 带入边界条件和()()0r r ρρρθρστ====得方程： 24 2242422446226624620 26620 C D B q a a C D Aa B q a a C D B r r C D Ar B r r + +=-++-=-++=++-= 2 4 022 A q B C q r qr D ==-==- 应力分量为：
2 4 24 4 4 2 4 2 4 43(1)sin 23(1)sin 223(1)cos 2r r q r q r r q ρθρθσθ ρρσθρτθ ρρ=- + =-+=+ - 当4 π θ= 时，4q θσ=-；当4 π θ=- ，4q θσ=
弹性力学各章复习思考题及应掌握内容 第一章绪言 1．何谓体力和面力? 它们的因次和方向如何? 2，标出物体内某点P的应力状态，即正六面体上正应力和剪应力．何谓正面和负面? 正负面上应力如何确定正负号? 3．写出六个应力分量和应变分量的符号，何谓剪应变?正负号如何确定? 4．弹性力学中的基本假定是什么?其含义是什么? 第二章平面问题的基本理论 1．平面应力问题和平面应变问题的条件和特点是什么?试举例说明之． 2．标出作用在微元体上的应力分量，写出平面问题中的平衡微分方程，其实质是什么? 3．平面问题的几何方程有几个?如何表示?其实质是什么? 4。写出平面应力问题的物理方程，如何求出平面应变问题的物理方程? 5．弹性力学问题分为几类边界条件? 应力边界条件和位移边界条件是如何表示的?当边界垂直于某一坐标轴时其应力边界条件如何简化? 6．何谓圣维南原理?试用矩形板中心受拉的受力情况加以说明之．7．试说明解答弹性力学问题按基本未知量划分的三种基本方法，其中哪种方法最常用?按应力求解平面问题的基本思路是什么? 8．形变协调方程(应变相容方程)如何表示?如不满足时会出观什么现象? 9．在平面应力问题中，用应力表示的相容方程如何表示？在常体力情况下应力相容方程如何简化? 10．在平面应力问题中，用应力求解，，是利用 (1)平衡微分方程 (二个)(2)应力相容方程(一个)（3）边界条件及位移单植条件 求出． 11．应力函数(x，y)表示的相容方程是什么?其成立的条件是什么? 12．如何由应力函数求得应力分量? 13．按应力求解平面问题时的步骤如何？ 第三章平面问题的直角坐标解答
1．何谓逆解法，何谓半逆解法?试举例说明． 2．逆解法，半送解法求解平面应力问题时的计算步骤。 3．用逆解法求平面问题时常用多项式，其中最常用的有—次式，二次式和三次多项式． 4．一次多项式有什么特点? 5。二次多项式，三次多项式能解决哪些重要的实际问题? 6．如何应用逆解法求出矩形纯弯曲时的应力分量和位移分量? 7。如何应用半逆解法求出简支梁受均布荷栽时的应力分曼?其结果与材抖力学所得结果有何异同． 8．如何应用因次分析法求解锲形体受重力和液压力时的应力分量? 第四章平面问题的极坐标解答 1．极坐标中的平衡微分方程，物理方程和几何方程． 2．极坐标中的应力函数与相客方程如何导出． 3．轴对称问题的特点是什么?轴对称应力和轴对称位移公式如何计算? 4．如何求出圆环或圆筒受均布压力作用下的应力分量? 5．何为位移的单值条件?如何用于圆环受均布压力的问题? 6．在解圆孔的孔边应力集中时作了哪些假定?如何求解带孔矩形板在四边受拉荷栽作用下的应力分量? 7．如何求解锲形体在锲顶受集中力时的应力分量? 8．如何求解半平面体在边界上受法向集中力时的应力和位移? 第六章用有限单元法解平面问题 1．有限元法解平面问题时分为哪三个主要过程?如何将连续弹性体变换为离散结构单元分析和整体分析的主要任务是什么? 2．何谓结点力{ } 和结点荷载{F} ，两者有何关系? 3．三角形的位移模式是怎样确定的? 它必须满足那三个条件? 4．何谓形函数Ni(i，j，m)，它有何特性? 5．何谓形函数矩阵[N]，它表示什么关系? 6．名词解释：单元刚度矩阵[k]；整体刚度矩阵[K]；应力转换矩阵[S]；弹性矩阵[D];几何矩阵[B]；虚功方程． 7．如何由虚功方程导出单元的刚度矩阵?
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力 的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）???=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试 求薄板面积的改变量S ?。 题二（3）图
第七章 平面问题的极坐标解 知识点 极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分 量 极坐标系的 Laplace 算符 轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式 曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设 带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数 楔形体应力 楔形体受集中力偶作用 、内容介绍 在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质 上讲并不影响问题的求解， 但是坐标的选取直接影响 边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程 度。 对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统 要方便的多。 本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程， 且求解一些典型问题。极坐标平衡微分方程 几何方程的极坐标表达 应 力函数 轴对称位移 厚 壁圆筒作用均匀压力 曲 梁弯曲应力 曲梁作用径 向集中力 孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力
二、重点 1、基本未知量和基本方程的极坐标形式； 2、双调和方程的极坐标形式； 3、 轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题 §7.1平面问题极坐标解的基本方程 学习思路： 选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。 本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式； 并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。 应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解 的基本概念仍然适用于极坐标。 学习要点: 1、极坐标下的应力分量； 2、极坐标平衡微分方程； 3、极坐标下的应变分量； 4、几何方程的极坐标表达； 5、本构方程的极坐标
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。
文章编号:1671-9662(2007)03-0073-02 弹性力学极坐标公式的记忆规律 张长平,余东明 (平顶山工学院,河南平顶山467001) 摘 要: 利用直角坐标系与极坐标系相关量的对应关系及微元体在两个坐标系中的不同特点,提出弹 性力学极坐标公式的记忆规律。 关键词: 弹性力学;极坐标公式 中图分类号: O343.1 文献标识码:A 0 概述 弹性力学平面问题直角坐标公式有一定规律性,容易记忆。在掌握直角坐标系中的下标记号法后,也非常方便地推广到空间问题的直角坐标公式中。但极坐标公式比直角坐标公式复杂,学生学习起来不易掌握。笔者通过教学实践,采用两坐标系之间相关量的对比和找出极坐标条件下微元体产生附加项的原因,去寻求极坐标公式的记忆规律,使学生较方便地掌握了极坐标公式。1 两种坐标系下物理量对应关系 为了说明极坐标公式的记忆规律,首先建立直角坐标和极坐标之间变量和微分算符的对应关系。直角坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的x 向分量和极坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的径向分量分别对应;直角坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的y 向分量和极坐标系中的位移、应变、应力、体力各量的环向分量分别对应。对应关系见表1。 表1 两种坐标系下物理量对应关系 坐标系位移应变体力 应力 直角坐标系 u v εx εy γxy F x F y σx σy τxy 极坐标系 u p u φ ερ εφ γρφ F ρ F φ σρ σφ τρφ 2 两种坐标系下一阶微分算符的对应关系图1 直角坐标系微元体 一阶微分算符的对应关系见表2 表2 两种坐标系下一阶微分算符的对应关系 坐标系一阶微分算符直角坐标系 x y 极坐标系 ρ ρ φ 对于第二个微分算符的对应关系可解释为,由于角度φ的量纲是1,为了保证前后量纲的一致性,对角度的一阶微分必须除以ρ。3 两种坐标系条件下所取微元体的不同特点 直角坐标下的微元体是一矩形,见图1,相对的两边平行且等长。微元体的这一特征,使得平衡微分方程、几何方程,公式简洁,意义鲜明,便于记忆。 极坐标下的微元体是圆环的一部分,两条环向线PB 与A D 平行但不等长,两条径向线PA 与BD 等长但不平行,见图2。微元体的这一特征,使得在推导平衡微分方程、几何方程过程中比直角坐标系的对应公式增加部分附加项。3.1 平衡微分方程对比见表3收稿日期:2007-04-20 第一作者简介:张长平(1954-),男,湖南澧县人,平顶山工学院高级讲师,主要从事力学教学研究。 第16卷第3期2007年5月 平顶山工学院学报Journal of Pingdingshan Institute of Technology Vol .16No .3 May .2007
1、 简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。 在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。 2、简述弹性力学的研究方法。 答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。 3、弹性力学中应力如何表示正负如何规定 答：弹性力学中正应力用σ表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用τ表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x σ，y σ，xy τ。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v 5、简述圣维南原理。 ！ 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。 答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
弹性力学的半逆解法研究 指导老师：刘平 姓名：曹天阁 班级：研13 学号：M13746
弹性力学的半逆解法研究 姓名：曹天阁学号：M13746 摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。这种方法简化了计算过程。本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。 关键词:弹性力学;解析法;应力函数 THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。 Key words:elasticity;analysis method;stress function 半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。 实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。为此，我们可以在假设某一应力分量，利用平衡方程求出其余的应力分量后再代入相容方程求解。这样，由于未经过消元运算，所以方程的阶数较低，可以大大简化运算。如果所设函数不是问题的解，还可以通过放松边界条件，进而求出一组近似解[2]。由平衡方程可以看出，通过假设剪应力函数而用平衡方程求出其余应力分量较方便。 图1 受均布载荷的简支梁
《弹性力学》课程教学大纲 课程代码：2010136 课程名称：弹性力学／Elastic Mechanics 课程类型：专业选修课（任选） 学时学分：32/2 适用专业：土木工程、勘查技术与工程、地球物理专业等 开课部门：防灾工程系 一、课程的地位、目的和任务 本课程是土木工程本科专业的一门专业选修课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学、材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解弹性体简单的计算方法和有关解答，提高分析问题和计算问题的能力。为学习有关专业课奠定初步的弹性力学基础。 二、课程与相关课程的联系与分工 本课程的先修课为高等数学、理论力学和材料力学等，后续课为土木工程、勘查技术与工程、地球物理等本科相关专业的专业课。理论力学研究质点或刚体在外力作用下的平衡和机械运动的一般力学规律，不涉及物体的形变与内力；材料力学研究杆件在外力作用下的位移、形变和应力分布，校核它们是否具有所需的强度和刚度；而弹性力学研究弹性体（如板壳、实体结构等）在外力作用下位移、形变和应力分布，可以解决材料力学无法解决的很多问题，并对杆状结果进行精确分析，以及验算材料力学结果的适用范围和精度。与材料力学相比，弹性力学的研究对象更为普遍，研究方法更为严密，计算结果更为精确，应用范围更为广泛。 三、教学内容与基本要求 第一章绪论 1.教学内容 弹性力学的研究对象、研究方法和基本假定。体力、面力、应力、应变和位移的基本概念及其记号和正负规定。 第一节弹性力学的内容
第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 2.重点难点 重点：体力、面力、应力、应变和位移的正负规定 难点：应力正方向的确定。 3.基本要求 了解弹性力学的基本假定，理解体力、面力、应力、应变和位移的基本概念，掌握各种力的记号和正负号规定。 第二章平面问题的基本理论 1.教学内容 平面应力问题和平面应变问题的基本特点。平面问题的基本方程。应力边界条件和位移边界条件，圣维南原理及其应用。按应力求解平面问题，相容方程和位移单值条件。应力函数的引用。 第一节平面应力问题与平面应变问题 第二节平衡微分方程 第三节平面问题中一点的应力状态 第四节几何方程刚体位移 第五节物理方程 第六节边界条件 第七节圣维南原理及其应用 第八节按位移求解平面问题 第九节按应力求解平面问题相容方程 第十节常体力情况下的简化应力函数 2.重点难点 重点：平面模型，如何求解平面问题。 难点：如何抽象平面模型。边界条件。 3.基本要求 了解弹性力学解题思路。理解平面应力问题和平面应变问题的基本特点。掌握平面问题的基本方程、应力边界条件和位移边界条件的建立、圣维南原理及其应用、按应力求解平面问题、相容方程和位移单值条件。
第七章平面问题的极坐标解知识点 极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分量 极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数楔形体应力 楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数 轴对称位移 厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力 曲梁作用径向集中力孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力 一、内容介绍 在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。 对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点 1、基本未知量和基本方程的极坐标形式； 2、双调和方程的极坐 标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形 体和圆孔等典型问题 §7.1 平面问题极坐标解的基本方程 学习思路: 选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。 本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。 由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。 应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。 学习要点： 1、极坐标下的应力分量； 2、极坐标平衡微分方程； 3、极坐标下 的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标
第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标 (r,θ) 来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。 第1节 平面极坐标下的基本公式 采用极坐标系则平面内任一点的物理量为 r,θ 函数。 体力：f r =K r , f θ=K θ 面力：θθF K F K r r ==, 应力：r , θ ,r θ= θ r 应变： r , θ ,γr θ=γθ r 位移：u r , u θ 直角坐标与极坐标之间关系: x=rcos θ, y=rsin θ θ θθθ??-??=????+????=??r r x x r r x sin cos θ θθθθ?? -??=????+????=??r r y y r r y cos sin 1.1 平衡微分方程 0)(11=+-+??+??r r r r f r r r θθσσθτσ 021=++??+??θθ θθτθστf r r r r r x y o P r θ
1.6按位移法求解 基本未知函数为位移u r , uθ，应变、应力均由位移导出。
在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题） ???? ? ??? ? +??+??+-=+?=++??+??=+-+??+??) 1)(1()(021012r f f r r f f r r r f r r r r r r r r r r r r θνσστθστσσθτσθθ θθθθθθ 其中 22 2 222 11θ??+??+???r r r r ＝ 力的边界条件如前所列。 1.8 应力函数解法 当体力为零 f r =f θ=0时, 应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数 φ( r, θ) 表示,而应力函数 φ( r, θ) 所满足方程为 4φ( r, θ) =0 或 0)11(2 2222=??+??+??φθr r r r 而极坐标系下的应力分量 r , θ, r θ 由 φ( r, θ)的微分求得,即： r r r r ??+??=φ θ φσ112 22， 2 2r ??=φ σθ， θ φ θφθφττθθ???- ??=????-==r r r r r r r 2211)1( 第2节 轴对称问题 2.1 轴对称问题的特点 1. 截面的几何形状为圆环、圆盘。 2. 受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量 f θ=0 ； 在边
第四章 平面问题的极坐标解答 典型例题讲解 例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。 例4-1图 【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角α0 max min 2x y σσσσ+?=??其中0,,x y x q σστ===得 max min ,q q σσ==-。 最大正应力σmax 所在截面的方位角为α0 max 0max 0tan 10 4 y q q τασσπ α=- =- =-→--=- q q x
若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成π 4 方向截取矩形ABCD ，则在其边界 上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。 （2）取极坐标系如图。由 2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ? =--? ? ?? =-+? ?? =--+? ?? 得矩形薄板ABCD 内的应力分量为 ()()() 22 224 422 22cos 2(1)(13) cos 2(13) sin 2(1)(13) ρφρφ a a σq φa ρρa σq φ b ρa a τq φ c ρρ =--=-+=--+ 其中α为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在ρ=α处得到 4 4cos 2(13)4cos 2,φa σq φa ?=-+=- 当φ=0，π时，孔边最小正应力为(σφ) min =?4q ， 当φ=±π 2时，孔边最大正应力为(σφ)max =4q 。 分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。 习题全解 4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
弹性力学2005 期末考试复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明
弹性力学 姓名：朱成伟 学号：1115012057 班级：土木123
学完弹性力学，我们大致了解了弹性力学的学习内容、研究对象、研究方法、以及基本物理量等基本内容。 弹性力学是研究弹性体由于受外力，边界约束或者温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。 从研究对象上来看，弹性力学研究的是各种弹性体，包括杆件、平面体、空间体、板和壳体等。弹性力学的研究对象比材料力学广，可以使用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。 在弹性力学中，为了简化问题，做出了五点基本假定： 连续性：假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙完全弹性：指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变 均匀性：整个物体时统一材料组成 各向同性：物体的弹性在所有各个方向都相同 小变形假定：假定物体的位移和应变都是微小的 弹性力学问题的研究方法可以表述如下： 已知条件是： 1、物体的几何形状，及边界面方程 2、物体的材料参数 3、所受的外力情况 4、所受的约束情况 求解未知的函数是： 应力、应变和位移。 求解方法： 在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程。 在弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件。 然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。 弹性力学中几个基本物理量：体力、面力、应力、形变、位移。 弹性力学的第三章我们学习了平面问题的直角坐标解答，直角坐标解答运用逆解法，取应力函数为多项式，给出了一系列工程问题抽象而来的模型在不同受力条件下的解答。 在第四章我们学习了平面问题的极坐标解答。极坐标解答方便我们去求解各种实际问题，例如：圆环或圆筒受均布压力，压力隧洞问题、圆孔的空口应力集中、半平面在边界上受集中力以及半平面在边界上受分布力等。其中，弹性力学平面问题直角坐标公式有一定规律性, 容易记忆，但极坐标公式比直角坐标公式复杂,记忆比较难，可以采用两坐标系之间相关量的对比和找出极坐标条件下微元体产生附加项的原因, 去寻求极坐标公式的记忆规律,方便极坐标公式的记忆。 弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别：平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。外力约束，平行于板面且不沿厚度变化。平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。
第四章 用极坐标解平面问题 4.1.极坐标中的平衡微分方程 工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。 首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。用夹角为?d 的两条极径和两条半径相差为ρd 的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。圆弧截面称为ρ面。面的法向沿径向而且指向ρ增加方向，这一圆弧面称为正ρ面，反之称为负ρ面。极径截面称为?面。面的法向沿环向而且指向?增加方向，这一极径截面称为正?面。反之称为负?面。 ρ面上的正应力用ρσ表示，剪应力用ρ?τ表示。?面 上的正应力用?σ表示，剪应力用?ρτ表示。用ρf 表示体积力在径向的分量,用?f 表示体积力在环向的分量。应力的符 号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标 减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。 直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。 负ρ面上的正应力为ρσ，剪应力为ρ?τ；正ρ面的坐标比负ρ面增加了ρd ，所以 正ρ面的应力和负ρ面相比，应力产生了一个增量，分别为ρρ σ σρρd ??+和ρρ ττρ?ρ? d ??+ 。 负?面上的正应力为?σ，剪应力为?ρτ ；正?面的坐标比负?面增加了?d ，所以正?面的应力和负?面相比，应力产生了一个增量，分别为?? σσ??d ??+ 和?? ττ?ρ?ρd ??+ 。 y 图4.1极坐标下的应力符号 y ? σ??? ?ρ? 图4.2单元体上的应力