4、平抛运动、圆周运动热点问题分析
[基础训练]
1．(2018·四川乐山调考)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动．有一质量为m 的小球A 紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R 和H ，小球A 所在的高度为筒高的一半，已知重力加速度为g ，则( )
A ．小球A 做匀速圆周运动的角速度ω＝
2gH
R
B ．小球A 受到重力、支持力和向心力三个力作用
C ．小球A 受到的合力大小为
mgR H
D ．小球A 受到的合力方向垂直筒壁斜向上
答案：A 解析：对小球进行受力分析可知，小球受重力、支持力两个力的作用，两个力的合力提供向心力，由向心力关系可得mg cot θ＝mω2
r ，其中cot θ＝H R ，r ＝R
2
，解得
ω＝
2gH
R
，选项A 正确，B 错误；小球所受合力方向应指向圆周运动的圆心，提供向心力，
所以合力大小为mg cot θ＝
mgH
R
，选项C 、D 错误． 2．(2018·福建毕业班质检)如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为
g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉
力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为( )
A.3mg
B.
4
3
3mg C ．3mg
D ．23mg
答案：A 解析：当小球以速度v 通过最高点时，mg ＝m v 2
R
；当小球以2v 通过最高点时，
设每根绳拉力大小为F ，则3F ＋mg ＝m
2v
2
R
，解得F ＝3mg ，选项A 正确．
3．(2018·湖南株洲二中月考)用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2
变化的图象是下图中的( )
答案：B 解析：设绳长为L ，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg 、支持力N 和绳的拉力T 而平衡，T ＝mg cos θ≠0，A 错误；ω增大时，T 增大，N 减小，当N ＝0时，角速度为ω0，当ω<ω0时，由牛顿第二定律得T sin θ－N cos θ＝mω2
L sin
θ，T cos θ＋N sin θ＝mg ，解得T ＝mω2L sin 2 θ＋mg cos θ，当ω>ω0时，小球离开锥
面，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得T sin β＝mω2
L sin β，所以T
＝mLω2
，可知T -ω2
图线的斜率变大，所以B 正确，C 、D 错误．
4．(2018·河北三市七校联考)如图所示，用长为L 的轻绳把一个小铁球悬挂在离水平地面高为2L 的O 点，小铁球以O 为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B 处．不计空气阻力，重力加速度为g .若运动到最高点轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为( )
A.3gL
B.6gL
C.7gL
D ．3gL
答案：C 解析：小铁球恰能到达最高点，即在最高点只有重力提供向心力，设小铁球
在最高点的速度为v 0，由向心力公式和牛顿第二定律可得mg ＝mv 2
L
；从B 点到落地，设小铁
球落地的速度大小为v ，由动能定理可得3mgL ＝12mv 2－12mv 2
0，联立可得v ＝7gL ，故选项C
正确，A 、B 、D 错误．
5．(2018·甘肃模拟)(多选)如图所示，质量为3m 的竖直光滑圆环A 的半径为R ，固定在质量为2m 的木板B 上，木板B 的左右两侧各有一竖直挡板固定在地面上，使B 不能左右运动．在环的最低点静止放有一质量为m 的小球C ，现给小球一水平向右的瞬时速度v 0，小球会在圆环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，则速度v 0必须满足( )
A ．最小值为2gR
B ．最大值为3gR
C ．最小值为5gR
D ．最大值为10gR
答案：CD 解析：在最高点，小球速度最小时有：mg ＝m v 21
R
，解得v 1＝gR ，从最低点
到最高点的过程中机械能守恒，则有：2mgR ＋12mv 21＝12mv 2
0小，解得v 0小＝5gR ；要使环不会在
竖直方向上跳起，在最高点环对球的最大压力F m ＝2mg ＋3mg ＝5mg ，在最高点，速度最大时
有：mg ＋5mg ＝m v 22
R
，解得v 2＝6gR ，从最低点到最高点的过程中机械能守恒，则有：2mgR
＋12mv 22＝12mv 2
0大，解得v 0大＝10gR ，所以小球在最低点的速度范围为：5gR ≤v 0≤10gR ，选项C 、D 正确．
6．(2018·河北衡水中学摸底)(多选)如图所示，BC 是半径为R ＝1 m 的竖直面内的圆弧轨道，轨道末端C 在圆心O 的正下方，∠BOC ＝60°，将质量为m ＝1 kg 的小球，从与O 等高的A 点水平抛出，小球恰好从B 点沿圆弧切线方向进入轨道，由于小球与圆弧之间有摩擦，能够使小球从B 到C 做匀速圆周运动，重力加速度大小取g ＝10 m/s 2
，则下列说法正确的是( )
A ．从
B 到
C ，小球与轨道之间的动摩擦因数可能保持不变 B ．从B 到C ，小球克服摩擦力做功为5 J C ．A 、B 两点间的距离为
7
12
m D ．小球从B 到C 的全过程中，小球对轨道的压力不变
答案：BC 解析：小球从B 到C 做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，即由轨道的支持力和重力径向分力的合力提供向心力，向心力大小不变，而重力的径向分力逐渐变大，所以轨道对小球的支持力逐渐变大，则小球对轨道的压力逐渐变大，而重力的切向分力逐渐变小，所以小球受到的摩擦力逐渐变小，小球与轨道之间的动摩擦因数逐渐变小，选项A 、D 错误．小球从B 到C 做匀速圆周运动，则由能量守恒定律可知：小球克服摩擦力做的功等于重力做的功W G ＝mg (R －R cos 60°)＝12mgR ＝1
2
×1×10×1 J＝5 J ，选项B 正确．小球从A
到B 做平抛运动，在B 点，小球速度方向偏向角θ＝60°，则tan 60°＝v y
v A
，v y ＝gt ，竖直方向的位移y ＝R cos 60°＝12gt 2；水平方向的位移x ＝v A t ，解得x ＝3
3 m ，则A 、B 两点的
距离x AB ＝x 2
＋y 2
＝
7
12
m ，选项C 正确．综上本题选B 、C.
7.(2018·山东东营一中质检)如图所示，一水平光滑、距地面高为h 、边长为a 的正方形MNPQ 桌面上，用长为L 的不可伸长的轻绳连接质量分别为m A 、m B 的A 、B 两小球，两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O 以相同的角速度做匀速圆周运动，圆心O 与桌面中心重合，已知m A ＝0.5 kg ，L ＝1.2 m ，L AO ＝0.8 m ，a ＝2.1 m ，h ＝1.25 m ，A 球的速度大小
v A ＝0.4 m/s ，重力加速度取g ＝10 m/s 2，求：
(1)绳子上的拉力F 以及B 球的质量m B ；
(2)若当绳子与MN 平行时突然断开，则经过1.5 s 两球的水平距离； (3)在(2)的情况下，两小球落至地面时，落点间的水平距离． 答案：(1)0.1 N 1 kg (2)1.5 m (3)2.68 m
解析：(1)F ＝m A v 2A
L AO ＝0.5×0.42
0.8
N ＝0.1 N ，
由F ＝m A ω2L OA ＝m B ω2
L OB ， 得m B ＝m A
L OA
L OB
＝1 kg. (2)绳子断裂后，两球在水平方向上一直做匀速直线运动，v B ＝v A
2＝0.2 m/s ，沿运动方
向位移之和x ＝(v A ＋v B )t 1＝0.6×1.5 m＝0.9 m ，则水平距离为s ＝x 2
＋L 2
＝0.92
＋1.22
m ＝1.5 m.
(3)两球离开桌面后做平抛运动，运动时间
t 2＝
2h
g
＝
2×1.25
10
s ＝0.5 s ， 沿运动方向水平位移之和x ′＝(v A ＋v B )t 2＋a ＝0.6×0.5 m＋2.1 m ＝2.4 m. 则落地点间水平距离为s ′＝x ′2＋L 2＝ 2.42＋1.22
m ＝655
m ＝2.68 m.
[能力提升]
8．如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点均粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知OA ＝AB ，P 是地面上的一点．A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点． (不计空气的阻力)则O 、P 之间的距离是( )
A.76R B ．7R C.5
2
R D ．5R 答案：A 解析：设O 、P 之间的距离为h ，则A 下落的高度为h －1
2R ，A 随圆轮运动的
线速度为12ωR ，设A 下落的时间为t 1，水平位移为s ，则在竖直方向上有h －12R ＝12gt 2
1，在
水平方向上有s ＝1
2ωR ·t 1，B 下落的高度为h －R ，B 随圆轮运动的线速度为ωR ，设B 下落
的时间为t 2，水平位移也为s ，则在竖直方向上有h －R ＝12gt 2
2，在水平方向上有s ＝ωRt 2，
联立解得h ＝7
6
R ，选项A 正确，B 、C 、D 错误．
9．(多选)如图所示，ab 为竖直平面内的半圆环acb 的水平直径，c 为环的最低点，环的半径为R .将一个小球从a 点以初速度v 0沿ab 方向抛出，设重力加速度为g ，不计空气阻力，则( )
A ．当小球的初速度v 0＝2gR
2
时，与环相撞时的竖直分速度最大 B ．当小球的初速度v 0<
2gR
2
时，将与环上的圆弧ac 段相撞 C ．当v 0取适当值，小球可以垂直撞击圆环 D ．无论v 0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
答案：ABD 解析：由平抛运动规律可知，下落高度越大，竖直分速度越大，所以竖直分速度最大时平抛落点为c 点，由运动规律可得，此时小球的初速度为v 0＝
2gR
2
，若小球的初速度小于该速度，小球将与环上的ac 段相撞，选项A 、B 正确；由平抛运动规律可知，速度的反向延长线一定过水平位移的中点，若小球垂直撞击圆环，则速度的反向延长线就会过O 点，所以是不可能的，因此选项C 错误，D 正确．
10．如图所示，手握轻绳下端，拉住在光滑的水平平台做圆周运动的小球．某时刻，小球做圆周运动的半径为a 、角速度为ω，然后松手一段时间，当手中的绳子向上滑过h 时立即拉紧，到达稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动．设小球质量为m ，平台面积足够大．
(1)松手之前，轻绳对小球的拉力大小； (2)绳子在手中自由滑动的时间为多少？ (3)小球最后做匀速圆周运动的角速度． 答案：(1)mω2
a (2)
2ah ＋h
2
ωa
(3)
a 2ω
a ＋h
2
解析：(1)松手前，轻绳的拉力大小为T ＝mω2
a .
(2)松手后，由于惯性，小球沿切线方向飞出做匀速直线运动的速度为v ＝ωa 匀速运动的位移s ＝
a ＋h
2
－a 2＝2ah ＋h 2
则时间t ＝s v ＝2ah ＋h
2
ωa
.
(3)v 可分解为切向速度v 1和法向速度v 2
绳被拉紧后v 2＝0，小球以速度v 1做匀速圆周运动 半径r ＝a ＋h 由v 1＝
a a ＋h v ＝a 2
a ＋h
ω 得ω′＝v 1r ＝
a 2ω
a ＋h
2
.
11．(2018·湖南六校联考)如图所示为水上乐园的设施，由弯曲滑道、竖直平面内的圆形滑道、水平滑道及水池组成，圆形滑道外侧半径R ＝2 m ，圆形滑道的最低点的水平入口B 和水平出口B ′相互错开，为保证安全，在圆形滑道内运动时，要求紧贴内侧滑行．水面离水平滑道高度h ＝5 m ．现游客从滑道A 点由静止滑下，游客可视为质点，不计一切阻力，重力加速度取g ＝10 m/s 2
，求：
(1)起滑点A 至少离水平滑道多高？
(2)为了保证游客安全，在水池中放有长度L ＝5 m 的安全气垫MN ，其厚度不计，满足(1)的游客恰落在M 端，要使游客能安全落在气垫上，安全滑下点A 距水平滑道的高度取值范围为多少？
答案：(1)5 m (2)5 m≤H ≤11.25 m
解析：(1)游客在圆形滑道内侧恰好滑过最高点时，有
mg ＝m v 2
R
从A 到圆形滑道最高点，由机械能守恒，有
mgH 1＝12
mv 2＋mg ×2R
解得H 1＝5
2
R ＝5 m.
(2)落在M 点时抛出速度最小，从A 到C 由机械能守恒
mgH 1＝1
2
mv 21 v 1＝2gH 1＝10 m/s
水平抛出，由平抛运动规律可知
h ＝12
gt 2
得t ＝1 s 则s 1＝v 1t ＝10 m
落在N 点时s 2＝s 1＋L ＝15 m 则对应的抛出速度v 2＝s 2t
＝15 m/s 由mgH 2＝12
mv 2
2
得H 2＝v 22
2g
＝11.25 m
安全滑下点A 距水平滑道高度范围为5 m≤H ≤11.25 m.