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Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes for Singularly Perturbed Problems with Piece

Res.Lett.Inf.Math.Sci.,(2002)3,1–14

Available online at https://www.doczj.com/doc/c018893991.html,/～wwiims/research/letters/

Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes for Singularly Per-turbed Problems with Piecewise Smooth Coef?cients

Igor Boglaev

Institute of Fundamental Sciences,Massey University,Private Bag11-222,Palmerston North

i.boglaev@https://www.doczj.com/doc/c018893991.html,

Abstract

This paper deals with uniform convergent methods for solving singularly perturbed two-point boundary value problems with piecewise smooth coe?cients.Construction of the numerical meth-ods is based on locally exact schemes or on local Green’s functions.Uniform convergent properties of the proposed methods on arbitrary meshes are proven.Numerical experiments are presented.

1Introduction

We consider the following two linear singularly perturbed problems.The?rst is the selfadjoint problem

Lμu(x)=μ2u (x)?β(x)u(x)=f(x),x∈?=(0,1),(1)

u(0)=u(1)=0,β(x)≥β?,β?=const>0,

whereμis a small positive parameter.The second problem is the non-selfadjoint problem L u(x)= u (x)+α(x)u (x)?β(x)u(x)=f(x),x∈?=(0,1),(2) u(0)=u(1)=0,α(x)≥α?,α?=const>0,β(x)≥0,

where is a small positive parameter.Suppose that the coe?cients in(1)and(2)are piecewise smooth functions,i.e.

α(x),β(x),f(x)∈Q n p(ˉ?),n≥0.

We say that v(x)∈Q n p(ˉ?)if it is de?ned onˉ?and has derivatives up to order n,the function itself and its derivatives can only have discontinuity of the?rst kind at a?nite set of points p={p1,...,p J},0

The solutions to(1)and(2)are functions with a continuous?rst derivative,which satis?es the boundary conditions and the equation everywhere,with the exception of the points in p.Problems (1)and(2)have an unique solution(see for details in[1])

(ˉ?).

u(x)∈C1(ˉ?)∩Q n+2

In general,the solution to(1)has boundary layers at the end-points x=0,1and interior layers at the points of p(see,below,Lemma1),and the solution to(2)possesses a boundary layer only at x=0(Lemma2).

It is well-known that classical numerical methods for solving singularly perturbed problems are ine?cient,since in order to resolve layers they require a?ne mesh covering the whole domain. For constructing e?ective numerical algorithms to handle these problems,there are two general approaches:the?rst one is based on layer-adapted meshes and the second is based on exponential ?tting or on locally exact schemes.The basic property of the e?ective numerical methods is uniform convergence with respect to the perturbation parameter.The three books[2,3,4]develop these approaches and give comprehensive applications to wide classes of singularly perturbed problems.

2R.L.I.M.S.Vol.3,April,2002 We note here the survey[5]concerning with the recent progress made on the layer-adapted mesh approach.

In this paper we concentrate on the locally exact schemes applied to problems(1),(2)with the piecewise smooth coe?cients.The main theoretical results for convergent properties of numerical methods based on the locally exact scheme approach have been obtained on uniform computational meshes(see for details in[2,4]),and this fact may play a negative role in the practical use of this approach.But as it is mentioned in[2],the locally exact scheme approach can be applied successfully on nonuniform meshes too.

We highlight here the attractive feature of the uniform convergent numerical methods on arbi-trary meshes:only a locally?ne mesh is required for resolving local details.For example,problem (1)with the piecewise smooth coe?cients possesses in general the boundary layers near the end-points and the interior layers at the points of discontinuity of the coe?cients.If one needs to resolve accurately the exact solution only inside one layer,then in the case of the methods on layer-adapted meshes,the?ne mesh is required near all the layers to get uniform convergence.But in the case of the methods on arbitrary meshes,for maintaining uniform convergence,it is enough to introduce the?ne mesh only inside the layer of interest and the uniform mesh outside this layer (strictly speaking,the points of discontinuity have to be included in this uniform mesh).

The aim of this work is to construct uniform in the small parameter convergent methods on arbitrary meshes.We apply the locally exact scheme approach based on local Green’s functions. To illustrate this approach,consider a linear two-point boundary value problem

Lu(x)=f(x),x∈(a,b),u(a),u(b)given,

where L is the di?erential operator.

Introduce an arbitrary partition

ˉ?h={x

,i=0,1,...,N,x0=a,x N=b},ωi=(x i,x i+1),h i=x i+1?x i,h=max h i.

We single out the principal part?L of L such that this operator can be inverted explicitly on each intervalˉωi,i=0,...,N?1,and it satis?es the following estimate

|(L??L)u(x)|dx≤Ch k,k>0,

where C is a constant independent of h.

We now use local Green’s functions to construct an integral-di?erence scheme satis?ed by the exact solution.For i=0,...,N?1,consider the following linear two-point boundary value problems onˉωi

?Lφ

=0,x∈(x i,x i+1),m=1,2,

φ1i(x i)=φ2i(x i+1)=1,φ1i(x i+1)=φ2i(x i)=0.

Denoting by G i(x,s)the local Green’s function for the operator?L onˉωi,we represent the exact solution on each intervalˉωi in the form

u(x)=u iφ1i(x)+u i+1φ2i(x)+ x

i+1

x i

G i(x,s)ψ(s)ds,u i=u(x i),(3)

ψ(x)=(?L?L)u(x)+f(x).

Assume that?L onˉωi is the operator with su?ciently smooth coe?cients and thus?L is the piecewise smooth operator on the whole domain[a,b].From this,u(x)∈C1[a,b]and we must have

du(x i?0)

dx =

du(x i+0)

,i=1,...N?1.

I.Boglaev,Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes 3

Equating these derivatives calculated from (3),we obtain the required integral-di?erence scheme

a i u i ?1?c i u i +

b i u i +1=Ψi ,i =1,...,N ?1,u 0=u (a ),u N =u (b ),(4)

a i =φ

1,i ?1(x i ),b i =?φ

2i (x i ),c i =φ

1i (x i )?φ

2,i ?1(x i ),

Ψi =? x i x i ?1

[G i ?1(x,s )] x =x i ψ(s )ds + x i +1

x i

[G i (x,s )]

x =x i ψ(s )ds,

where the prime denotes di?erentiation.In general,the integrals cannot be evaluated exactly,but

we can overcome this di?culty by appropriate approximations to ψ.Some implementations of this approach can be found in [6,7,8].

In [2],the di?erence-integral scheme (4)is constructed by representing the exact solution in the form (3)on each interval [x i ?1,x i +1]and putting x =x i to get the three-point scheme.In [4],for constructing the locally exact scheme for (2),the same property as in the present work that u

(x )∈C 1(ˉ?)

is exploited,but instead of the local Green’s functions,the so-called L -splines (the adapted-spline functions)are used to express the exact solution on [x i ,x i +1].

Some preliminary results concerned with a priori estimates and continuous dependence of the solutions to problems (1)and (2)with piecewise smooth coe?cients are given in section 2.In section 3,the uniform di?erence schemes on arbitrary meshes are constructed and uniform convergent properties are proved.Results of numerical experiments are presented in section 4.

2Some preliminary results

In this section we formulate and prove some preliminary results necessary below.

2.1A priori estimates

The following lemmas contain estimates of the solutions to problems (1)and (2).

Lemma 1If the functions β(x ),f (x )∈Q n p (ˉ?),n ≥0,then an unique solution exists and u (x )∈

C 1(ˉ?)∩Q n +2p

(ˉ?).The solution u (x )to (1)satis?es the following estimates max 0≤x ≤1

|u (x )|≤β?1

? f ;

d n u (x )dx

≤K f [1+μ?n Π(x )],x ∈ˉ?,n =1,2,Π(x )=exp(?m s x/μ)+

J j =1

exp(?m s |x ?p j |/μ)+exp(?m s (1?x )/μ),

m s =β1/2?, f =sup {f (x ),x ∈ˉ?

},u

(p j )=(u

(p j ?0),x =p j ?0;u

(p j +0),x =p j +0),

here K denotes a generic positive constant independent of μand f (x ).

Proof.Note that [9]contains the proof of the lemma but it is an inconvenient source.The

result that problem (1)with the piecewise smooth coe?cients has an unique solution can be found in [1].

Prove that the maximum principle for (1)holds true:if a function w (x )∈C 1(ˉ?)∩Q n +2p

(ˉ?)and satis?es L μw (x )≤0,x ∈(0,1),w (0),w (1)≥0then w (x )≥0,x ∈[0,1].Suppose to the contrary that there is a point x ?where w (x ?)<0.If x ?/∈p ,where p is the set of the points

of discontinuity then from w (x ?)=0and w

(x ?)≥0,it follows that L μw (x ?)>0,so we get a

contradiction with our assumption.Now suppose that x ?∈p .Since w

(x )is a continuous function

then w (x ?)=0and w (x )≥0in some small vicinity [x ?,x ?+δ],δ>0.In general,w

(x )has a

4R.L.I.M.S.Vol.3,April,2002

jump point at x ?,but on the interval (x ?,x ?+δ],it is a continuous function.Now,if δis small

enough,then β(x ),f (x )are continuous functions and w

(x )does not change a sign in this interval.Representing w (x )in the form x x ?+0w

(s )ds ,we conclude that w (x )≥0,x ∈(x ?,x ?+δ].Hence,L μw (x )>0,x ∈(x ?,x ?+δ],that contradicts our assumption.The bound on u (x )is derived by applying the maximum principle to the functions ? f /β?±u (x ).

Now prove the estimate on u (x )and u

(x ).For simplicity,suppose that the set p contains only one point p 1.Denoting by u r (x )the solution of the reduced problem with μ=0,on [0,p 1]introduce the function z (x )=u (x )?u r (x )which satis?es the problem

L μz (x )=?μ2u

r (x ),x ∈(0,p 1),z (0)=z 0,z (p 1)=z 1.

On [0,p 1],consider the function w (x ):

w (x )=?μ2(

sup

x ∈[0,p 1?0]

r (x )|/β?)?|z 0|exp(?m s x/μ)?|z 1|exp[?m s (p 1?x )/μ].

Since L μ(w ±z )≥0,x ∈(0,p 1),w ±z ≤0,at ,x =0,p 1,from the maximum principle it follows that |z (x )|≤?w (x )and

|u (x )|≤K [1+Π(x )],x ∈[0,p 1].From (1)and the de?nition of z ,we have u

(x )=μ?2β(x )z (x ),and,hence the estimate for u

holds true.

To estimate u

(x ),we integrate with respect to t the equality

u (x )?u (t )= x

u (s )ds,

over the interval [t 1,t 2]and obtain

(x )=(t 2?t 1)

u (t 2)?u (t 1)+

t 2

t 1

(x ?t )u

[t +θ(t )(x ?t )]dt

,0<θ<1.

From here,we conclude that

(x )|≤(t 2?t 1)?1|u (t 2)?u (t 1)|+|x ?(t 1+t 2)/2|max t ∈[t 1,t 2]

(t )|.

Choosing t 1=x,t 2=x +μif x ∈[0,p 1/2]or t 1=x ?μ,t 2=x if x ∈[p 1/2,p 1],we get the

estimate for u

(x ).In the case x ∈[p 1,1],the estimates can be proved analogously.

From this lemma it follows that the exact solution of (1)has the boundary layers near the end-points and the interior layers near the points of discontinuity of the set p .

Lemma 2If the functions α(x ),β(x ),f (x )∈Q n p (ˉ?),n ≥0,then unique solution to (2)exists and

u (x )∈C 1(ˉ?)∩Q n +2p

(ˉ?).The following estimates of the solution hold max 0≤x ≤1

|u (x )|≤K f ;

(x )|≤K f [1+ ?1exp(?α?x/ )],x ∈ˉ?

,where a generic positive constant K is independent of and f (x ).

Proof.It is known (see [1]for details)that if the coe?cients of the equation from (2)satisfy

the conditions inf α(x )≥α?>0,inf β(x )≥0,then unique solution to (2)exists.

Firstly,we estimate the solution to (2).The transformation u (x )=exp(?σx )v (x ),for a positive constant σ,yields the equation and the boundary conditions

L σ v = v

+ασv

?βσv =f σ,v (0)=v (1)=0,

I.Boglaev,Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes

ασ=α?2 σ,βσ=β+ασ? σ2,f σ=exp(σx )f.

If we choose σ=α?/4,then in the equation for v ,both the coe?cients of v

(x )and that of ?v (x )

are positive,i.e.ασ≥α?/2,βσ≥β?=3α2

/16,(where we suppose that ≤1).The maximum principle for the di?erential operator L σ with the piecewise smooth coe?cients

holds true:if a function w (x )∈C 1(ˉ?)∩Q n +2p (ˉ?)and satis?es L σ w (x )≤0,x ∈(0,1),w (0),w (1)≥

0then w (x )≥0,x ∈[0,1].This result is proved as in Lemma 1.

The bound on v (x ), v ≤β?1

? f σ is an immediate consequence of the maximum principle and is derived by applying the maximum principle to the functions ? f σ /β?±v (x ).Thus,the estimate for u (x )follows.

Now,we prove the estimate for u

(x ).Integrating (2),we get

(x )=A exp(?q (x ))+ ?1

[β(s )u (s )+f (s )]exp(q (s )?q (x ))ds,

A =u

(0),

q (x )=

α(s )ds.

From here and using the estimate for u (x ),it follows that

(x )|≤|A |exp(?q (x ))+K 1 f ?1

exp(α?(s ?x )/ )ds.

We only need to check that

(0)|≤K 2 f / .

Writing the equation from (2)in the form

(x )exp(q (x )))

=[β(x )u (x )+f (x )]exp(q (x )),

and integrating it,we obtain

(x )=exp(?q (x )) ?1

x 0(βu (s )+f )exp(q (s ))ds ?R (1)

exp(?q (s ))ds

R (x )=

(βu (τ)+f )exp(q (τ)?q (x ))dτds.

From here,the estimate for u

(0)follows.

Remark 1We note that using a more complicated approach,it is possible to prove the estimate

for u (x )with K =α?1

2.2Continuous dependence of the solutions

Similarly to (1),introduce the following selfadjoint problem

μ2ˉu

(x )?ˉβ(x )ˉu (x )=ˉf

(x ),x ∈?=(0,1),(5)

ˉu (0)=ˉu (1)=0,

ˉβ

(x )≥β?,β?=const >0,Lemma 3If the coe?cients in (1),(5)β(x ),ˉβ(x ),f (x ),ˉf (x )∈Q n p

(ˉ?),n ≥0,then for z (x )=u (x )?ˉu (x ),where u (x ),ˉu (x )are the solutions to (1)and (5),respectively,the following estimate holds

max x ∈ˉ?

|z (x )|≤C ( β?ˉβ

+ f ?ˉf ),where a constant C is independent of μ.

R.L.I.M.S.Vol.3,April,2002

Proof.Subtracting (5)from (1),we obtain

L μz (x )=(β?ˉβ)ˉu (x )+(f ?ˉf

),x ∈?,z (0)=z (1)=0.Applying Lemma 1,it follows that

max 0≤x ≤

|z (x )|≤β?1?((max x ∈ˉ?

|ˉu (x )|) β?ˉβ

+ f ?ˉf ).Estimating ˉu (x )by Lemma 1,we prove the required estimate with C =max( ˉf /β2?,β?1?

).Consider the non-selfadjoint problem

ˉu (x )+ˉα(x )ˉu

(x )?ˉβ(x )ˉu (x )=ˉf

(x ),x ∈?=(0,1),(6)

ˉu (0)=ˉu (1)=0,

ˉα(x )≥α?,α?=const >0,ˉβ

(x )≥0,Lemma 4If the coe?cients in (2),(6)α(x ),ˉα(x ),β(x ),ˉβ(x ),f (x ),ˉf (x )∈Q n p

(ˉ?),n ≥0,then for z (x )=u (x )?ˉu (x ),where u (x ),ˉu (x )are the solutions to (2)and (6),respectively,the following estimate holds

max x ∈ˉ?

|z (x )|≤C ( α?ˉα + β?ˉβ

+ f ?ˉf ),where a constant C is independent of .

Proof.Introduce Green’s function G (x,s )for the di?erential operator L α = d 2/dx 2

?αd/dx :

G (x,s )=

1 W (s ) φ2(x )φ1(s ),0≤x ≤s ≤1,

φ2(s )φ1(x ),0≤s ≤x ≤1,

φ1(x )=(Q (1)?Q (x ))/Q (1),φ2(x )=Q (x )/Q (1),Q (x )= x

Φ(s )ds,

Φ(s )=exp

α(τ)dτ

,W (s )=?Φ(s )/Q (1).

The functions φ1(x ),φ2(x )are the solutions of the following problems

L α φ1,2=0,x ∈?,φ1(0)=φ2(1)=1,φ1(1)=φ2(0)=0.

Now we prove the estimate uniform in the small parameter

max x ∈ˉ?

|G (x,s )|ds ≤K.

(7)

Using the explicit formula for G (x,s ),we get

10G (x,s )ds =? ?1

x 0(Q (x )?Q (1))Q (s )Q (1)Φ(s )ds ? ?1 1

x Q (x )(Q (s )?Q (1))

Q (1)Φ(s )ds.From here,it follows that

10|G (x,s )|ds ≤2 10Q (1)?Q (s )Φ(s )ds =

0P (s )ds,P (s )= exp ?1 s 0

α(τ)dτ 1s

exp ? ?1

η0

α(τ)dτ dη.

The function P (s )is the solution of the initial value problem

(s )=(α(s )/ )P (s )?1,P (1)=0.

I.Boglaev,Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes7

From the maximum principle for the initial value problem,we obtain the estimate

max

s∈ˉ?

|P(s)|≤ /α?.

From here,we conclude(7)with K=2/α?.

From(2),(6),it follows that z(x)=u(x)?ˉu(x)is the solution of the following problem

L z(x)=?f(x),x∈?,z(0)=z(1)=0,

?f(x)=?(α?ˉα)u (x)+(β?ˉβ)u(x)+(f?ˉf).

Denote by Z(x)the solution of the problem

L Z(x)=?|?f(x)|,x∈?,Z(0)=Z(1)=0.

From the maximum principle,the following inequality holds

|z(x)|≤Z(x),x∈ˉ?.

Now using Green’s function G(x,s)of the di?erential operator Lα ,we write down Z(x)in the form

Z(x)=

0G(x,s)β(s)Z(s)ds+

G(x,s)(?|?f(s)|)ds.

Since G(x,s)≤0,Z(x)≥0,β(x)≥0,it follows that

Z(x)≤

|G(x,s)?f(s)|ds.

From here,(7),and Lemma2,we prove Lemma4.

3Uniform di?erence schemes

Applying the integral-di?erence method(3),(4),we construct uniform convergent methods on arbitrary meshes for solving(1)and(2).Onˉ?,introduce an arbitrary meshˉ?h:

x i,i=0,...,N,x0=0,x N=1,max

(x i+1?x i)=h.

We suppose that the points of discontinuity of the functionsα(x),β(x),f(x)in(1),(2)belong to the mesh?h,i.e.p??h.

3.1Di?erence scheme for the selfadjoint problem(1)

Onˉ?,introduce the piecewise-constant functions

ˉβ(x)=β(x

+0),ˉf(x)=f(x i+0),x i+0≤x≤x i+1?0,

x i∈ˉ?h,i=0,...,N?1,(f(x i±0)=lim

x→x i±0

f(x)).

Applying the integral-di?erence method to the problem

ˉL

ˉu(x)=μ2ˉu (x)?ˉβ(x)ˉu(x)=ˉf(x),x∈?,ˉu(0)=ˉu(1)=0,

we write down(4)in the explicit form

a iˉu i?1?c iˉu i+

b iˉu i+1=F i,i=1,...,N?1,(8)

8R.L.I.M.S.Vol.3,April,2002

ˉu0=ˉu N=0,a i=(μ2κi?1)/sinh(κi?1h i?1),b i=a i+1,κi=β1/2

/μ,

c i=μ2[κi?1coth(κi?1h i?1)+κi coth(κi h i)],

F i=f i?1κ?1

i?1tanh(κi?1h i?1/2)+f iκ?1

tanh(κi h i/2)],

ˉφ

(x)=sinh(κi(x i+1?x))[sinh(κi h i)]?1,ˉφ2i(x)=sinh(κi(x?x i))[sinh(κi h i)]?1,

whereβi=β(x i+0),f i=f(x i+0).Since the di?erence scheme(8)is the exact scheme for the solutionˉu(x),then we can determineˉu(x)by the explicit formula

ˉu(x)=ˉu iˉφ1i(x)+ˉu i+1ˉφ2i(x)+ˉφ3i(x),x∈[x i,x i+1],i=0,...,N?1,(9)

ˉφ

(x)=?(f i/βi)[1?ˉφ1i(x)?ˉφ2i(x)].

Theorem1Letβ(x),f(x)∈Q1p(ˉ?)andˉ?h(p∈?h)be an arbitrary mesh.

i)The di?erence scheme(8)converges to the exact solution u(x)of(1)uniformly with the?rst order in h

max

0≤i≤N

|u(x i)?ˉu i|≤Ch.

ii)On the whole intervalˉ?,the formula(9)represents the continuous approximate solution with the?rst order of accuracy.

iii)The?uxμˉu (x)approximatesμu (x)uniformly with the?rst order in h,i.e.

max

x∈ˉ?

|μu (x)?μˉu (x)|≤Ch.

Proof.Since β?ˉβ , f?ˉf ≤Ch,then properties i)and ii)are immediate consequences of Lemma3.To prove iii),we note that z(x)=u(x)?ˉu(x)can be represented in the form

z(x)=z(x i)ˉφ1i(x)+z(x i+1)ˉφ2i(x)+ x

i+1

x i

ˉG

(x,s)[(f(s)?ˉf(s))+(β(s)?ˉβ(s))u(s)]ds,

whereˉG i(x,s)is the Green’s function of the di?erential operatorˉLμon[x i,x i+1].Now di?erenti-ating this formula and using i)and Lemma1,we prove iii).

Remark2The di?erence scheme(8)has the following nonuniform estimate

max

0≤i≤N

|u(x i)?ˉu i|≤C min(h,h2/μ).

See for details in[10].

Remark3If we apply the integral-di?erence method(3),(4)to the di?erential operatorμ2d2/dx2, we obtain the classical di?erence scheme on the uniform mesh

a i+1(ˉu i+1?ˉu i)?a i(ˉu i?ˉu i?1)?βiˉh iˉu i=f iˉh i,i=1,...,N?1,

ˉu0=ˉu N=0,a i=μ2/h i?1,ˉh i=(h i?1+h i)/2,

ˉφ

(x)=(x i+1?x)/h i,ˉφ2i(x)=(x?x i)/h i.

I.Boglaev,Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes9

3.2Di?erence scheme for the non-selfadjoint problem(2)

As before,introduce the piecewise-constant functions

ˉα(x)=α(x i+0),ˉβ(x)=β(x i+0),ˉf(x)=f(x i+0),x i+0≤x≤x i+1?0.

For simplicity,we consider two cases of problem(2).The?rst one is(2)withβ(x)≥β?,β?= const>0,and the secondβ(x)=0,x∈ˉ?.

Ifβ(x)is strictly positive,then applying the integral-di?erence method(3),(4)to the problem ˉL

ˉu(x)= ˉu (x)+ˉα(x)ˉu (x)?ˉβ(x)ˉu(x)=ˉf(x),x∈?,ˉu(0)=ˉu(1)=0,

we obtain the following di?erence scheme

a iˉu i?1?c iˉu i+

b iˉu i+1=F i,i=1,...,N?1,ˉu0=ˉu N=0,(10a)

a i=κi?1exp(?λi?1h i?1)[sinh(κi?1h i?1)]?1,

b i=κi exp(λi h i)[sinh(κi h i)]?1,

c i=c(1)

i +c(2)

,c(1)

=?λi?1+κi?1coth(κi?1h i?1),c(2)

=λi+κi coth(κi h i),

F i=(f i?1/βi?1)(c(1)

?a i)+(f i/βi)(c(2)i?b i),λi=αi/(2 ),κi=(λ2i+βi/ )1/2,

ˉφ

(x)=[exp(?ν1i(x i+1?x))?exp(?ν2i(x i+1?x))][exp(?ν1i h i)?exp(?ν2i h i)]?1,

ˉφ

(x)=[exp(ν1i(x?x i))?exp(ν2i(x?x i))][exp(ν1i h i)?exp(ν2i h i)]?1,

ν1i=?λi?κi,ν2i=?λi+κi,

whereαi=α(x i+0),βi=β(x i+0),f i=f(x i+0).

Ifβ(x)=0,x∈ˉ?,the di?erence scheme has the form

αi r i(ˉu i+1?ˉu i)?αi?1r i?1(ˉu i?ˉu i?1)+αi(ˉu i+1?ˉu i)=F i,i=1,...,N?1,(10b)ˉu0=ˉu N=0,r i=exp(?αi h i/ )[1?exp(?αi h i/ )]?1,

F i=f i h i+f i(d i?1?d i),d i= /αi?r i h i,

ˉφ

(x)=r i[exp(αi(x i+1?x))?1],ˉφ2i(x)=1?ˉφ1i(x),

As before for the selfadjoint problem,the di?erence schemes(10a,b)are the exact scheme for the solutionˉu(x).Hence,we can determineˉu(x)explicitly.For the di?erence scheme(10a),ˉu(x)is determined by(9)with the functionsˉφ1i(x),ˉφ2i(x)from(10a).In the case of(10b),we have ˉu(x)=ˉu iˉφ1i(x)+ˉu i+1ˉφ2i(x)+ˉφ3i(x),x∈[x i,x i+1],i=0,...,N?1,(11)

ˉφ

(x)=(f i/αi)[(x?x i)ˉφ1i(x)?(x i+1?x)ˉφ2i(x)].

Theorem2Letα(x),β(x),f(x)∈Q1p(ˉ?)andˉ?h(p∈?h)be an arbitrary mesh.

i)The di?erence schemes(10a,b)converge to the exact solution u(x)of(2)uniformly with the ?rst order in h

max

0≤i≤N

|u(x i)?ˉu i|≤Ch.

ii)On the whole intervalˉ?,the formulas(9)and(11)represent the continuous approximate solution with the?rst order of accuracy.

iii)The?ux ˉu (x)approximates u (x)uniformly with the?rst order in h,i.e.

max

x∈ˉ?

| u (x)? ˉu (x)|≤Ch.

10R.L.I.M.S.Vol.3,April,2002

Proof.Since α?ˉα , β?ˉβ

, f ?ˉf ≤Ch ,then properties i)and ii)are immediate consequences of Lemma 4.To prove iii),we note that z (x )=u (x )?ˉu (x )on [x i ,x i +1]can be represented in the form

z (x )=z (x i )ˉφ1i (x )+z (x i +1)ˉφ2i (x )+ x i +1

x i

ˉG

i (x,s )?f (s )ds,?f (s )=[f (s )?ˉf (s )]?(α?ˉα)u

(s )+(β?ˉβ

)u (s ),where ˉG

i (x,s )is Green’s function of the di?erential operator ˉL on [x i ,x i +1].Now di?erentiating this formula and using i)and Lemma 2,we prove iii).Remark 4In [11],for the semilinear problem

(x )+α(x )u (x )=g (x,u ),x ∈?,u (0)=u (1)=0,

α(x )≥α?,?g/?u ≥0,

with su?ciently smooth functions α(x ),g (x,u ),the nonlinear scheme (10b)with f i =g (x i ,ˉu i )was introduced.The construction of this scheme is based on the integral-di?erence method (3),(4)

applied to the di?erential operator ˉL α

=d 2/dx 2+ˉα(x )d/dx .Using the method of the discrete Green function,it was proved that on an arbitrary mesh,the di?erence scheme (10b)converges to the exact solution of the semilinear problem uniformly with the ?rst order in h .

If g (x,u )is a linear function g (x,u )=f (x )+β(x )u (x ),then we get the problem (2).It means that for su?ciently smooth functions α(x ),β(x ),f (x ),the di?erence scheme (10b)with the right-hand side

F i =(f i +βi ˉu i )(h i +d i ?1?d i )possesses uniform convergence of the ?rst order in h .

Note here that the left-hand side in (10b)consists of the selfadjoint part and the so-called upwind part,thus the integral-di?erence method ”automatically”gives us the upwind discretization of the convection term.

4Numerical results

We consider problems (1),(2)with smooth coe?cients and introduce two layer-adapted meshes.The ?rst type of meshes is a modi?cation of Bakhvalov’s mesh (B -mesh)from [6]with logarith-mic mesh generating functions inside the boundary layers and uniform mesh generating functions outside the boundary layers.For problem (1),we choose the two transition points σ,1?σ,such that x N μ=σ,x 2N μ=1?σ,σ=?μln(μ)/

β?.Inside the boundary layers [0,σ],[1?σ,1],we logarithmically grade the mesh

x i =ρ(i,N μ),x 3N μ?i =1?ρ(i,N μ),i =0,...,N μ,3N μ=N,

ρ(i,N μ)=?(μ/ β?)ln[1?(1?μ)N ?1

μi ],

and outside the layers,the mesh is uniform

x i =σ+(1?2σ)N ?1μi,i =N μ+1,...,2N μ?1.

For problem (2),we choose the transition point σsuch that

x N =σ,σ=?( /α?)ln( ),x i =?( /α?)ln[1?(1? )N ?1

i ],i =0,...,N ,

I.Boglaev,Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes11

x i=σ+(1?σ)N?1

i,i=N +1,...,2N ,2N =N.

The second type of meshes is the piecewise equidistant meshes(S-mesh)from[3],where the uniform meshes are constructed inside the layers and outside them as well.For problem(1)the two transition pointsσ,1?σare de?ned by

x N

μ=σ,x2N

=1?σ,σ=μln(N)/β?,N=3Nμ.

Inside the layers[0,σ],[1?σ,1],we choose the uniform mesh with the step spacingσ/Nμand outside the transition points,the uniform mesh with the step spacing(1?2σ)/Nμ.Similarly,for problem(2)the transition pointσ= ln(N)/α?,and in[0,σ],[σ,1]the step spacing is de?ned by σ/N and(1?σ)/N ,respectively,where N=2N .

For problem(1),introduce the classical di?erence scheme on the nonuniform mesh

μ2ˉh i U

i+1?U i

h i

?U i

?U i?1

h i?1

?βi U i=f i,i=1,...,N?1,U0=U N=0,

and for problem(2),the simple upwind scheme on the nonuniform mesh

i U

i+1?U i

?U i

?U i?1

i?1

+αi

i+1?U i

?βi U i=f i, i=1,...,N?1,U0=U N=0.

4.1Numerical results for problem(1)

As a test problem,consider(1)withβ(x)=1+x,β?=1and the exact solution

u(x)=exp(?x/μ)+exp(?(1?x)/μ)?(1+exp(?1/μ)),u(0)=u(1)=0.

In this case we have

f(x)=?x[exp(?x/μ)+exp(?(1?x)/μ)]+(1+x)[1+exp(?1/μ)].

NμδB;δsp

16 1.15-2;1.39-2 3.30-2;1.50-2 4.29-2;1.50-2 4.79-2;1.50-2

64 1.30-3;3.62-37.02-3;3.81-3 1.02-2;3.81-2 1.17-2;3.81-2

2568.58-5;9.14-4 1.45-3;9.68-4 2.41-3;9.69-4 2.80-3;9.69-4

1024 5.40-6;2.26-4 2.26-4;2.43-4 5.38-4;2.43-4 6.81-4;2.43-4

μ10?210?410?610?8

Table1:Errors on B-mesh

In Tables1and2,for various values ofμand Nμ,we give the maximum errors of the approxi-mate solutions obtained by the classical di?erence scheme and by the special di?erence scheme(8) on B-mesh and S-mesh,respectively,where

δ=max

0≤i≤N |u(x i)?U i|,δsp=max

0≤i≤N

|u(x i)?ˉu i|.

The numerical results are clear illustrations of the convergent estimate from Theorem1.

In Tables3and4,we represent the numerical results on modi?ed B?-mesh and S?-mesh, respectively.The modi?ed meshes are constructed in such a way that the?ne mesh is introduced only inside the boundary layer at x=0,and the uniform mesh is chosen outside this layer including

12R.L.I.M.S.Vol.3,April,2002

NμδS;δsp

16 1.01-2;1.41-2 2.03-2;1.41-2 2.04-2;1.41-2 2.04-2;1.41-2

64 4.92-4;5.03-3 5.01-3;5.12-3 5.24-3;5.12-3 5.24-3;5.12-3

256 1.02-5;1.60-3 1.22-3;1.64-3 1.33-3;1.64-3 1.33-3;1.64-3

10249.36-7;4.93-4 2.16-4;4.96-4 3.24-4;4.96-4 3.25-4;4.96-4

μ10?210?410?610?8

Table2:Errors on S-mesh

NμδB

?;δsp

16 2.32-2;2.27-2 3.30-2;8.59-6 4.29-2;8.66-8 4.79-2;8.66-10

64 5.50-3;3.67-27.01-3;3.17-6 1.02-2;3.25-8 1.17-2;3.25-10

256 3.64-4;1.10-2 1.43-3;1.01-6 2.40-3;1.08-8 2.81-3;1.08-10

1024 2.30-5;2.91-3 1.62-4;4.71-3 5.38-4;3.37-9 6.81-4;3.38-11

μ10?210?410?610?8

Table3:Errors on B?-mesh

the boundary layer near x=1.These numerical results for the special scheme(8)show a signi?cant improvement in the accuracy for su?ciently small values of the perturbation parameterμ.This fact can be explained if we indicate that for su?ciently small values ofμ,the maximum errors

δsp B,S in Tables1,2occur at mesh points inside the boundary layer at x=1.Now for the modi?ed

meshes,where in the region outside the boundary layer at x=0the coarse uniform mesh is in use,the reduced problem forμ=0is actually calculated.In the case of the classical scheme,the maximum errorsδB,S occur at mesh points inside the boundary layer at x=0.It explains the fact that for su?ciently smallμ,the accuracy of the classical scheme on the modi?ed B?,S?-meshes is approximately the same as in Tables1,2.

4.2Numerical results for problem(2)

Consider(2)withα(x)=1+x,α?=1,β(x)=0and the exact solution

u(x)=[1?exp(?x/ )][exp(?1/ )?1]?1+x,u(0)=u(1)=0.

The right hand side in(2)is de?ned by

f(x)=(x/ )exp(?x/ )[exp(?1/ )?1]?1+x+1.

NμδS

?;δsp

16 2.32-2;2.23-2 2.01-2;3.94-6 2.04-2;3.94-8 2.04-2;3.94-10 64 5.40-3;3.65-2 4.93-3;1.36-6 5.20-3;1.36-8 5.20-3;1.36-10 256 3.51-4;1.08-2 1.36-3;4.32-7 1.31-3;4.32-9 1.31-3;4.32-11 1024 2.14-5;2.80-3 1.62-2;4.70-3 3.23-4;1.31-9 3.25-4;1.31-11μ10?210?410?610?8

Table4:Errors on S?-mesh

I.Boglaev,Uniform Convergent Methods on Arbitrary Meshes13

N δB;δsp

16 5.93-2;3.03-2 6.47-2;4.21-2 6.55-2;4.24-2 6.59-2;4.24-2

64 1.52-2;5.81-3 1.61-2;1.07-2 1.61-2;1.08-2 1.62-2;1.08-2

256 3.82-3;1.25-3 3.84-3;2.62-3 4.07-3;2.71-3 4.08-3;2.71-3

10249.52-4;2.79-49.79-4;6.24-49.81-4;6.76-49.81-4;6.77-4

10?210?410?610?8

Table5:Errors on B-mesh

N δS;δsp

16 6.85-2;2.94-2 6.97-2;4.25-2 6.97-2;4.26-2 6.97-2;4.26-2

64 2.62-2;5.01-3 2.64-2;1.07-2 2.64-2;1.08-2 2.64-2;1.08-2

2568.82-3;9.09-48.84-3;2.66-38.84-3;2.73-38.84-3;2.73-3

1024 2.73-3;1.89-4 2.75-3;6.23-4 2.78-3;6.76-4 2.78-3;6.76-4

10?210?410?610?8

Table6:Errors on S-mesh

In Tables5and6,for various values of and N ,we represent the maximum errors for the simple upwind scheme and the special di?erence scheme(10b)on B-mesh and S-mesh,respectively. The numerical experiments con?rm our theoretical results from Theorem2concerning the uniform convergence of(10).They also indicate that the theoretical results are fairly sharp.

References

[1]N.I.Vasil’ev,Yu.A.Klokov,Fundamentals of boundary value problems for ordinary di?erential

equations,Zinatne,Riga,(1978)(in Russian).

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USSR Comput.Maths Math.Physics30,55-63,(1990).

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14R.L.I.M.S.Vol.3,April,2002 [9]V.V.Sirotkin,I.P.Boglaev,On numerical algorithms for solving singularly perturbed prob-

lems arising in modelling of semiconductor devices,Preprint,Institute of Microelectronics Technology,Russian Academy of Sciences,(1989)(in Russian).

[10]I.P.Boglaev,A variational di?erence scheme for a boundary value problem with a small

parameter in the highest derivative,USSR Comput.Maths Math.Physics21,71-81,(1981).

[11]I.P.Boglaev,V.V.Sirotkin,Numerical solution of some singularly perturbed heat-conduction

equations on nonuniform grids,USSR Comput.Maths Math.Physics30,28-40,(1990).

中国姓氏英文翻译大全S-Z

A: 艾--Ai 安--Ann/An 敖--Ao B: 巴--Pa 白--Pai 包/鲍--Paul/Pao 班--Pan 贝--Pei 毕--Pih 卞--Bein 卜/薄--Po/Pu 步--Poo 百里--Pai-li C: 蔡/柴--Tsia/Choi/Tsai 曹/晁/巢--Chao/Chiao/Tsao 岑--Cheng 崔--Tsui 查--Cha 常--Chiong 车--Che 陈--Chen/Chan/Tan 成/程--Cheng 池--Chi 褚/楚--Chu 淳于--Chwen-yu D: 戴/代--Day/Tai 邓--Teng/Tang/Tung 狄--Ti 刁--Tiao 丁--Ting/T 董/东--Tung/Tong 窦--Tou 杜--To/Du/Too 段--Tuan 端木--Duan-mu 东郭--Tung-kuo 东方--Tung-fang E: F:

范/樊--Fan/Van 房/方--Fang 费--Fei 冯/凤/封--Fung/Fong 符/傅--Fu/Foo G: 盖--Kai 甘--Kan 高/郜--Gao/Kao 葛--Keh 耿--Keng 弓/宫/龚/恭--Kung 勾--Kou 古/谷/顾--Ku/Koo 桂--Kwei 管/关--Kuan/Kwan 郭/国--Kwok/Kuo 公孙--Kung-sun 公羊--Kung-yang 公冶--Kung-yeh 谷梁--Ku-liang H: 海--Hay 韩--Hon/Han 杭--Hang 郝--Hoa/Howe 何/贺--Ho 桓--Won 侯--Hou 洪--Hung 胡/扈--Hu/Hoo 花/华--Hua 宦--Huan 黄--Wong/Hwang 霍--Huo 皇甫--Hwang-fu 呼延--Hu-yen I: J: 纪/翼/季/吉/嵇/汲/籍/姬--Chi 居--Chu 贾--Chia 翦/简--Jen/Jane/Chieh 蒋/姜/江/--Chiang/Kwong 焦--Chiao 金/靳--Jin/King 景/荆--King/Ching

中国姓氏英语翻译大全

常--Chiong 车--Che 陈--Chen/Chan/Tan 成/程--Cheng 池--Chi 褚/楚--Chu 淳于--Chwen-yu D: 戴/代--Day/Tai 邓--Teng/Tang/Tung 狄--Ti 刁--Tiao 丁--Ting/T 董/东--Tung/Tong 窦--Tou 杜--To/Du/Too 段--Tuan 端木--Duan-mu 东郭--Tung-kuo 东方--Tung-fang E: F:

表观遗传学

表观遗传学大家晚上好！很高兴有机会和大家交流，我最近看了一些这方面的材料，借这个机会和大家交流一下，讲的不一定对，就是自己的理解，有问题的地方大家可以讨论。我想从以下几个方面进行介绍： 1、表观遗传学概念 2、表观遗传学的研究内容一、表观遗传学概念经典遗传学认为遗传的分子基础是核酸, 生命的遗传信息储存在核酸的碱基序列上，碱基序列的改变会引起生物体表现型的改变，而这种改变可以从上一代传递到下一代。然而，随着遗传学的发展，人们发现,，DNA、组蛋白、染色质水平的修饰也会造成基因表达模式的变化，并且这种改变是可以遗传的。这种基因结构没有变化，只是其表达发生改变的遗传变化叫表观遗传改变。表观遗传学是一门研究生命有机体发育与分化过程中，导致基因发生表观遗传改变的新兴学科。 1939年，生物学家Waddington CH 首先在《现代遗传学导论》中提出了epihenetics这一术语，并于1942年定义表观遗传学为他把表观遗传学描述为一个控制从基因型到表现型的机制。 1975年，Hollidy R 对表观遗传学进行了较为准确的描述。他认为表观遗传学不仅在发育过程，而且应在成体阶段研究可遗传的基因表达改变，这些信息能经过有丝分裂和减数分裂在细胞和个体世代间传递，而不借助于DNA序列的改变，也就是说表观遗传是非DNA序列差异的核遗传。 Allis等的一本书中可以找到两种定义，一种定义是表观遗传是与DNA突变无关的可遗传的表型变化；另一种定义是染色质调节的基因转录水平的变化，这种变化不涉及DNA序列的改变。二、表观遗传学研究内容从现在的研究情况来看，表观遗传学变化主要集中在三大方面：DNA甲基化修饰、组蛋白修饰、非编码RNA的调控作用。这三个方面各自影响特有的表观遗传学现象，而且它们还相互作用，共同决定复杂的生物学过程。因此，表观遗传学也可理解为环境和遗传相互作用的一门学科。 DNA甲基化组蛋白共价修饰染色质重塑基因组中非编码RNA 微小RNA（miRNA）反义RNA 内含子、核糖开关等基因印记 1、DNA甲基化(DNA methylation)是研究得最清楚、也是最重要的表观遗传修饰形式，主要是基因组DNA上的胞嘧啶第5位碳原子和甲基间的共价结合，胞嘧啶由此被修饰为5甲基胞嘧啶(5-methylcytosine，5mC)。

双语：中国姓氏英文翻译对照大合集

[ ]

步Poo 百里Pai-li C: 蔡/柴Tsia/Choi/Tsai 曹/晁/巢Chao/Chiao/Tsao 岑Cheng 崔Tsui 查Cha 常Chiong 车Che 陈Chen/Chan/Tan 成/程Cheng 池Chi 褚/楚Chu 淳于Chwen-yu

D: 戴/代Day/Tai 邓Teng/Tang/Tung 狄Ti 刁Tiao 丁Ting/T 董/东Tung/Tong 窦Tou 杜To/Du/Too 段Tuan 端木Duan-mu 东郭Tung-kuo 东方Tung-fang F: 范/樊Fan/Van

房/方Fang 费Fei 冯/凤/封Fung/Fong 符/傅Fu/Foo G: 盖Kai 甘Kan 高/郜Gao/Kao 葛Keh 耿Keng 弓/宫/龚/恭Kung 勾Kou 古/谷/顾Ku/Koo 桂Kwei 管/关Kuan/Kwan

郭/国Kwok/Kuo 公孙Kung-sun 公羊Kung-yang 公冶Kung-yeh 谷梁Ku-liang H: 海Hay 韩Hon/Han 杭Hang 郝Hoa/Howe 何/贺Ho 桓Won 侯Hou 洪Hung 胡/扈Hu/Hoo

花/华Hua 宦Huan 黄Wong/Hwang 霍Huo 皇甫Hwang-fu 呼延Hu-yen J: 纪/翼/季/吉/嵇/汲/籍/姬Chi 居Chu 贾Chia 翦/简Jen/Jane/Chieh 蒋/姜/江/ Chiang/Kwong 焦Chiao 金/靳Jin/King 景/荆King/Ching

表观遗传学

表观遗传学：营养之间的新桥梁与健康摘要：营养成分能逆转或改变表观遗传现象，如DNA甲基化和组蛋白修饰，从而改变表达与生理和病理过程，包括胚胎发育，衰老，和致癌作用有关的关键基因。它出现营养成分和生物活性食物成分能影响表观遗传现象，无论是催化DNA直接抑制酶甲基化或组蛋白修饰，或通过改变所必需的那些酶反应底物的可用性。在这方面，营养表观遗传学一直被看作是一个有吸引力的工具，以预防儿科发育疾病和癌症以及延迟衰老相关的过程。在最近几年，表观遗传学已成为广泛的疾病，例如2型糖尿病的新出现的问题糖尿病，肥胖，炎症，和神经认知障碍等。虽然开发治疗或预防发现的可能性这些疾病的措施是令人兴奋的，在营养表观遗传学当前的知识是有限的，还需要进一步的研究来扩大可利用的资源，更好地了解使用营养素或生物活性食品成分对保持我们的健康和预防疾病经过修改的表观遗传机制。介绍：表观遗传学可以被定义为基因的体细胞遗传状态，从不改变染色质结构产生的表达改变的DNA序列中，包括DNA甲基化，组蛋白修饰和染色质重塑。在过去的几十年里，表观遗传学的研究主要都集中在胚胎发育，衰老和癌症。目前，表观遗传学在许多其它领域，如炎症，肥胖，胰岛素突出抵抗，2型糖尿病，心血管疾病，神经变性疾病和免疫疾病。由于后生修饰可以通过外部或内部环境的改变因素和必须改变基因表达的能力，表观遗传学是现在被认为是在不明病因的重要机制的许多疾病。这种诱导表观遗传变化可以继承在细胞分裂，造成永久的保养所获得的表型。因此，表观遗传学可以提供一个新的框架为寻求病因在环境相关疾病，以及胚胎发育和衰老，这也是已知受许多环境因素的影响。在营养领域，表观遗传学是格外重要的，因为营养物质和生物活性食物成分可以修改后生现象和改变的基因的表达在转录水平。叶酸，维生素B-12，甲硫氨酸，胆碱，和甜菜碱可以影响通过改变DNA甲基化和组蛋白甲基化1 - 碳代谢。两个代谢物的1-碳代谢可以影响DNA 和组蛋白的甲基化：S-腺苷甲硫氨酸（的AdoMet）5，这是一个甲基供体为甲基化反应，并S-腺苷高半胱氨酸（的AdoHcy），这是一种产物抑制剂的甲基化。因此，理论上，任何营养素，生物活性组件或条件可影响的AdoMet或的AdoHcy水平在组织中可以改变DNA和组蛋白的甲基化。其他水溶性维生素B像生物素，烟酸和泛酸也发挥组蛋白修饰重要的作用。生物素是组蛋白生物素化的底物。烟酸参与组蛋白ADPribosylation如聚（ADP-核糖）的基板聚合酶作为以及组蛋白乙酰为底物Sirt1的，其功能作为组蛋白乙酰化酶（HDAC）（1）。泛酸是的一部分辅酶A以形成乙酰CoA，这是乙酰基的中组蛋白乙酰化的源。生物活性食物成分直接影响酶参与表观遗传机制。例如，染料木黄酮和茶儿茶素会影响DNA甲基（转移酶）。白藜芦醇，丁酸盐，萝卜硫素，和二烯丙基硫化物抑制HDAC和姜黄素抑制组蛋白乙酰转移酶（HAT）。改变酶activit这些化合物可能我们的有生之年通过改变基因表达过程中影响到生理和病理过程。在这次审查中，我们更新了关于最新知识营养表观遗传学，这将是一个有助于理解如何营养素有助于我们的健康。知识的现状 DNA甲基化 DNA甲基化，它修改在CpG二残基与甲基的胞嘧啶碱基，通过转移酶催化和通过改变染色质结构调节基因表达模式。目前，5个不同的转移酶被称为：DNMT1，DNMT2转移酶3A，DNMT3B和DnmtL。DNMT1是一个维护转移酶和转移酶图3a，3b和L分别从头转移酶。DNMT2的功能尚不明确。通过在我们的一生，营养成分影响这些转移酶和生物活性食物成分可以改变全球DNA甲基化，这是与染色体完整性以及genespecific启动子DNA甲基化，

中国姓氏英语翻译大全

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表观遗传学

表观遗传学比较通俗的讲表观遗传学是研究在没有细胞核DNA序列改变的情况时，基因功能的可逆的、可遗传的改变。也指生物发育过程中包含的程序的研究。在这两种情况下，研究的对象都包括在DNA序列中未包含的基因调控信息如何传递到（细胞或生物体的）下一代这个问题。表观遗传学是与遗传学(genetic)相对应的概念。遗传学是指基于基因序列改变所致基因表达水平变化，如基因突变、基因杂合丢失和微卫星不稳定等；而表观遗传学则是指基于非基因序列改变所致基因表达水平变化，如DNA甲基化和染色质构象变化等；表观基因组学(epigenomics)则是在基因组水平上对表观遗传学改变的研究。所谓DNA甲基化是指在DNA 甲基化转移酶的作用下，在基因组CpG二核苷酸的胞嘧啶5'碳位共价键结合一个甲基基团。正常情况下，人类基因组“垃圾”序列的CpG二核苷酸相对稀少，并且总是处于甲基化状态，与之相反，人类基因组中大小为100—1000 bp左右且富含CpG二核苷酸的CpG岛则总是处于未甲基化状态，并且与56%的人类基因组编码基因相关。人类基因组序列草图分析结果表明，人类基因组CpG岛约为28890个，大部分染色体每1 Mb就有5—15个CpG岛，平均值为每Mb含10．5个CpG岛，CpG岛的数目与基因密度有良好的对应关系[9]。由于DNA甲基化与人类发育和肿瘤疾病的密切关系，特别是CpG岛甲基化所致抑癌基因转录失活问题，DNA甲基化已经成为表观遗传学和表观基因组学的重要研究内容。几十年来，ＤＮＡ一直被认为是决定生命遗传信息的核心物质，但是近些年新的研究表明，生命遗传信息从来就不是基因所能完全决定的，比如科学家们发现，可以在不影响ＤＮＡ序列的情况下改变基因组的修饰，这种改变不仅可以影响个体的发育，而且还可以遗传下去。这种在基因组的水平上研究表观遗传修饰的领域被称为“表观基因组学(epigenomics）”。表观基因组学使人们对基因组的认识又增加了一个新视点：对基因组而言，不仅仅是序列包含遗传信息，而且其修饰也可以记载遗传信息。摘要表观遗传学是研究没有DNA 序列变化的可遗传的基因表达的改变。遗传学和表观遗传学系统既相区别、彼此影响，又相辅相成，共同确保细胞的正常功能。表观遗传学信息的改变，可导致基因转录抑制、基因组印记、细胞凋亡、染色体灭活以及肿瘤发生等。关键词表观遗传学；甲基化；组蛋白修饰；染色质重塑；非编码RNA 调控；副突变表观遗传学( epigenetics) 是研究没有DNA序列变化的可遗传的基因表达的改变。它最早是在1939 年由Waddington在《现代遗传学导论》一书中提出，当时认为表观遗传学是研究基因型产生表型的过程。1996 年，国内学术界开始介绍epigenetics 研究，其中译名有表遗传学、表观遗传学、表型遗传修饰等10 余种，其中，表观遗传学、表遗传学在科技文献中出现的频率较高。 1 表观遗传学调控的分子机制基因表达正确与否，既受控于DNA 序列，又受制于表观遗传学信息。表观遗传学主要通过DNA 的甲基化、组蛋白修饰、染色质重塑和非编码RNA 调控等方式控制基因表达。近年发现，副突变也包含有表观遗传性质的变化。 1.1 DNA 甲基化DNA 甲基化是由酶介导的一种化学修饰，即将甲基选择性地添加到蛋白质、DNA 或RNA上，虽未改变核苷酸顺序及组成，但基因表达却受影响。其修饰有多种方式，即被修饰位点的碱基可以是腺嘌呤N!6 位、胞嘧啶的N!4 位、鸟嘌呤的N!7 位和胞嘧啶的C!5 位，分别由不同的DNA 甲基化酶催化。在真核生物DNA 中，5- 甲基胞嘧啶是唯一存在的化学性修饰碱基，CG 二核苷酸是最主要的甲基化位点。DNA 甲基化时，胞嘧啶从DNA 双螺旋突出，进入能与酶结合的裂隙中，在胞嘧啶甲基转移酶催化下，有活性的甲基从S- 腺苷甲硫氨酸转移至胞嘧啶5' 位上，形成5- 甲基胞嘧啶( 5mC)。DNA 甲基化不仅可影响细胞基因的表达，

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表观遗传学(总结)资料

1.表观遗传学概念表观遗传是与DNA 突变无关的可遗传的表型变化，且是染色质调节的基因转录水平的变化，这种变化不涉及DNA 序列的改变。表观遗传学是研究基因的核苷酸序列不发生改变的情况下，基因表达了可遗传的变化的一门遗传学分支学科。表观遗传学内容包括DNA 甲基化、组蛋白修饰、染色质重塑、遗传印记、随机染色体失活及非编码RNA 等调节。研究表明，这些表观遗传学因素是对环境各种刺激因素变化的反映，且均为维持机体内环境稳定所必需。它们通过相互作用以调节基因表达，调控细胞分化和表型，有助于机体正常生理功能的发挥，然而表观遗传学异常也是诸多疾病发生的诱因。因此，进一步了解表观遗传学机制及其生理病理意义，是目前生物医学研究的关键切入点。别名：实验胚胎学、拟遗传学、、外遗传学以及后遗传学表观遗传学是与遗传学(genetic)相对应的概念。遗传学是指基于基因序列改变所致基因表达水平变化，如基因突变、基因杂合丢失和微卫星不稳定等；而表观遗传学则是指基于非基因序列改变所致基因表达水平变化，如和染色质构象变化等；表观基因组学(epigenomics)则是在基因组水平上对表观遗传学改变的研究。 2.表观遗传学现象（1）DNA甲基化是指在DNA甲基化转移酶的作用下，在基因组CpG二核苷酸的胞嘧啶5'碳位共价键结合一个甲基基团。正常情况下，人类基因组“垃圾”序列的CpG二核苷酸相对稀少，并且总是处于甲基化状态，与之相反，人类基因组中大小为100—1000 bp左右且富含CpG二核苷酸的CpG岛则总是处于未甲基化状态，并且与56%的人类基因组编码基因相关。人类基因组序列草图分析结果表明，人类基因组CpG岛约为28890个，大部分每1 Mb就有5—15个CpG岛，平均值为每Mb含10．5个CpG岛，CpG岛的数目与基因密度有良好的对应关系[9]。由于DNA甲基化与人类发育和肿瘤疾病的密切关系，特别是CpG岛甲基化所致抑癌基因转录失活问题，DNA甲基化已经成为表观遗传学和表观基因组学的重要研究内容。（2）基因组印记基因组印记是指来自父方和母方的等位基因在通过精子和传递给子代时发生了修饰，使带有亲代印记的等位基因具有不同的表达特性，这种修饰常为DNA甲基化修饰，也包括组蛋白乙酰化、甲基化等修饰。在形成早期，来自父方和母方的印记将全部被消除，父方等位基因在精母细胞形成精子时产生新的甲基化模式，但在受精时这种甲基化模式还将发生改变；母方等位基因甲基化模式在卵子发生时形成，因此在受精前来自父方和母方的等位基因具有不同的甲基化模式。目前发现的大约80%成簇，这些成簇的基因被位于同一条链上的所调控，该位点被称做印记中心(imprinting center, IC)。印记基因的存在反映了性别的竞争，从目前发现的印记基因来看，父方对的贡献是加速其发育，而母方则是限制胚胎发育速度，亲代通过印记基因来影响其下一代，使它们具有性别行为特异性以保证本方基因在中的优势。印记基因的异常表达引发伴有复杂突变和表型缺陷的多种人类疾病。研究发现许多印记基因对胚胎和胎

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表观遗传学

表观遗传学摘要：表观遗传学是研究基因的核苷酸序列不发生改变的情况下，基因表达了可遗传的变化的一门遗传学分支学科。表观遗传的现象很多，已知的有DNA甲基化（DNA methylation），基因组印记（genomic impriting），母体效应（maternal effects），基因沉默（gene silencing），核仁显性，休眠转座子激活和RNA编辑（RNA editing）等。表观遗传学是研究基因的核苷酸序列不发生改变的情况下，基因表达了可遗传的变化的一门遗传学分支学科。表观遗传的现象很多，已知的有DNA甲基化（DNA methylation），基因组印记（genomic impriting），母体效应（maternal effects），基因沉默（gene silencing），核仁显性，休眠转座子激活和RNA编辑（RNA editing）等。目录 [隐藏] 1 简介 2 染色质重塑 3 基因组印记 4 染色体失活 5 非编码RNA 表观遗传学简介表观遗传学表观遗传学是与遗传学(genetic) 相对应的概念。遗传学是指基于基因序列改变所致基因表达水平变化，如基因突变、基因杂合丢失和微卫星不稳定等；而表观遗传学则是指基于非基因序列改变所致基因表达水平变化，如DNA甲基化和染色质构象变化等；表观基因组学(epigenomics)则是在基因组水平上对表观遗传学改变的研究。所谓DNA甲基化是指在DNA甲基化转移酶的作用下，在基因组CpG二核苷酸的胞嘧啶5'碳位共价键结合一个甲基基团。正常情况下，人类基因组“垃圾”序列的CpG二核苷酸相对稀少，并且总是处于甲基化状态，与之相反，人类基因组中大小为100—1000 bp左右且富含CpG二核苷酸的CpG岛则总是处于未甲基化状态，并且与56％的人类基因组编码基因相关。人类基因组序列草图分析结果表明，人类基因组CpG岛约为28890个，大部分染色体每1 Mb就有5—15个CpG 岛，平均值为每Mb含10．5个CpG岛，CpG岛的数目与基因密度有良好的对应关系[9]。由于DNA甲基化与人类发育和肿瘤疾病的密切关系，特别是CpG岛甲

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中文姓氏的英文翻译对照表

在互联网上混的都时兴起个英文名字，一是方便注册用户名，二是有个好英文名容易显得自己比较Cool。但是起英文名时，中文姓氏还是要保留的，并且姓氏一般都有专门的英文翻译，比如“刘德华”的英文名是Andy，刘姓对应的英文翻译是Lau，所以全称便是“Andy Lau”。当然了，我们一般人直接用汉语拼音作为姓氏的英文翻译也可以，但在比较正式的场合下，最好还是用相应的英文翻译。姓氏的英文翻译跟汉语拼音是有一些细微差别的，这主要由中西方人发音的不同特点来决定的。比如，从声母上来看，D开头的姓，英文翻译对应的是T，G对应的是K，X对应的是HS，Z、J一般对应的是C，韵母也会有一些细微差别。详细的，请参考如下中文姓氏的英文翻译对照表，正在起英文名的朋友可以看看。 A: 艾--Ai 安--Ann/An 敖--Ao B: 巴--Pa 白--Pai 包/鲍--Paul/Pao 班--Pan 贝--Pei 毕--Pih 卞--Bein 卜/薄--Po/Pu 步--Poo 百里--Pai-li C: 蔡/柴--Tsia/Choi/Tsai 曹/晁/巢--Chao/Chiao/Tsao 岑--Cheng 崔--Tsui 查--Cha 常--Chiong 车--Che 陈--Chen/Chan/Tan 成/程--Cheng 池--Chi 褚/楚--Chu 淳于--Chwen-yu

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中国姓氏英文翻译(含普通话、香港、台湾拼音)

很多朋友发现，外界（特别是和）对于中国的拼写不是汉语拼音，而是一种我们看来新鲜陌生的拼写形式。比如“”姓在外界很多时候拼写为“Lee”。而“”姓有的拼写为“Cheung”，而有的拼写为“Chang”，这到底是怎么回事呢？有人说这是中国姓氏的标准英文拼写，也有人说是“韦妥玛拼音”或“韦氏拼音”，或者认为是“罗马拼音”...其实这些说法都不完善的。在此本小站来为大家详细解说。首先应该明确一下，中文是不存在标准的英文拼写的，更不存在国际翻译。汉字进入英文后就转变为根据读音进行的字母拼写。而之所以外界的拼写和我们不同，其实主要是受到了汉字在各地区的方言口音的影响。由此可以得知，外界的拼写其实并没有涉及“汉语普通话”概念，而是以所有人的方言读音来拼写。而中国大陆已经确立“汉语普通话”概念，所以大陆围无论什么方言，统统以普通话读音为规读音，于是拼音体系也自然以普通话为标准。而地区的官方语言是粤语，于是地区的拼音体系也自然是粤语音的描述。而及海外的拼音体系也与我们大陆不同，所以拼写形式也不一样。例如：姓氏“”，在粤语中读作：“残”，由此再结合的字母拼音规则，便拼写为“Chan”。而“”姓在粤语中的读音接近于“Zieong”，于是结合拼音规则便拼写为“Cheung”，由此大家明白了吧！另外，目前许多汉字根源地区都有一套自定的拼音体系，确保本地区公民翻译成英文后依然有法律认证功能，我们中国大陆自然以汉语拼音为准绳。而、、乃至朝鲜国也都有一套自定的拼音体系，只是他们都是以各自区语音为拼读发音基础，加之各地拼写规则也不同。所以同一个汉字在不同区域拼写也不同。而彼此之间不能相互取代。 .ename.any2000./web/articlelm.asp?userid=1140241&lanmuid=8732041 全：发音A的中国姓氏阿---汉语拼音A--------普通话接近拼写Ah----------------拼音Ah----------拼音A 艾---汉语拼音Ai-------普通话接近拼写Ai-----------------拼音Ngai--------拼音Ai 蔼---汉语拼音Ai-------普通话接近拼写Ai-----------------拼音Oi-----------拼音Ai 霭---汉语拼音Ai-------普通话接近拼写Ai-----------------拼音Oi-----------拼音Ai 安---汉语拼音An------普通话接近拼写An或Ann-------拼音On----------拼音An 敖---汉语拼音Ao------普通话接近拼写Ao或Aoh-------拼音Ngo---------拼音Ao 发音B的中国姓氏白---汉语拼音Bai-----普通话接近拼写Bai--------------拼音Pak-----------拼音Pai 柏---汉语拼音Bai-----普通话接近拼写Bai--------------拼音Pak-----------拼音Pai 包---汉语拼音Bai-----普通话接近拼写Bao--------------拼音Pau-----------拼音Pao 鲍---汉语拼音Bao----普通话接近拼写Bao--------------拼音Pau-----------拼音Pao 贝---汉语拼音Bei-----普通话接近拼写Bey或Bay-----拼音Pui或Pooi---拼音Pei 毕---汉语拼音Bi-------普通话接近拼写Bee--------------拼音Pat-----------拼音Pi

中国姓氏英文对应大全

中国姓氏英文对应大全Ａ:?艾——Ａi 安-－Ann/An 敖—-Ａｏ B: 巴——Pａ白－—Pai?包／鲍－—Ｐａｕl／Pａo?班－—Paｎ?贝--Pｅi?毕—-Pih?卞－—Bｅiｎ卜／薄——Ｐｏ/Pu?步——Poo 百里-－Pai—ｌi C:?蔡/柴--Tsiａ/Cｈoi/Tｓai 曹/晁／巢—－Ｃｈao／Chiao/Tsao?岑--Cheng?崔—-Ｔsuｉ?查—－Cha 常—-Ｃhiong?车－－Che 陈——Cｈen/Chａn/Tａn 成/程—－Ｃｈeng?池—-Chi?褚/楚－－Ｃhｕ?淳于－—Ｃhwen—ｙu D:?戴/代--Day/Tai 邓——Teng／Taｎg/Ｔung 狄－－Ti?刁—－Tｉａo 丁—－Ting/T 董/东—-Tunｇ／Tｏnｇ窦—-Ｔou?杜－-Ｔo/Dｕ/Toｏ段-—Ｔuan?端木—－Dｕan-mｕ?东郭——Tunｇ－ｋuo?东方——Tung－fａng F:?范/樊--Fan/Van?房/方－-Ｆaｎg 费--Ｆei?冯/凤/封—－Ｆung/Fonｇ符/傅—-Fu/Fｏo G: 盖－-Ｋai?甘—－Kａn?高/郜--Gａo/Kao 葛－－Ｋｅh?耿-－Ｋeｎｇ弓／宫／龚/恭—－Kunｇ?勾--Kou 古/谷／顾—-Kｕ/Koo 桂—-Kwｅi?管／关—-Kuaｎ/Kwaｎ?郭／国—－Kwoｋ／Kｕo 公孙——Kunｇ-sun 公羊——Kung-ｙaｎｇ?公冶－－Kuｎｇ—yｅh?谷梁—-Ｋu-ｌianｇ

Ｈ: 海——Ｈay 韩--Hoｎ/Ｈａn 杭——Hang?郝-—Hoa／Howｅ何／贺-－Ｈo?桓—－Won 侯——Hou 洪－-Ｈuｎg 胡/扈—-Ｈｕ/Hoo 花／华—-Hua 宦-—Huan 黄—-Ｗｏng/Ｈwang?霍－-Hｕo?皇甫－-Ｈwang-fu?呼延—－Hｕ-yen J: 纪/翼/季/吉/嵇/汲／籍/姬—－Cｈi 居-－Chu?贾-—Cｈia 翦/简-－Ｊｅn/Ｊａｎe/Cｈieh 蒋／姜／江／-－Ｃhiａnｇ/Kｗong?焦－—Chiao 金/靳－—Ｊｉn/Kiｎｇ景/荆——Kiｎｇ/Chiｎg 讦—－Gａn K: 阚—－Kan 康—－Kang?柯—－Kor／Ko?孔——Koｎg/Kuｎg 寇－-Ｋer 蒯-—Kuaｉ?匡——Kｕang L:?赖-—Ｌai?蓝-—Ｌan 郎-—Ｌong?劳-—Ｌao?乐--Lｏｈ雷--Rae/Ray/Ｌei?冷—-Ｌeng 黎/郦/利/李－-Lｅｅ／Lｉ/Lai/Li 连—－Lｉen?廖－—Ｌiu/Lｉao?梁-—Leunｇ／Lｉanｇ林/蔺－-Lim/Lｉｎ凌-－Lｉn 柳/刘—－Liu/Lａu?龙--Loｎg 楼／娄-—Lｏu 卢/路/陆鲁—－Lu/Lｏo?伦-—Lｕn?罗／骆-－Ｌoh／Ｌo/Ｌaw/Lam/Rowe 吕－-Lui/Ｌu

表观遗传学涉及的几种机制

表观遗传学涉及的几种机制摘要表观遗传学是指以研究没有DNA序列变化,但是可以遗传的生命现象为主要内容的学科。它通过DNA的甲基化、组蛋白修饰、染色质重塑和非编码RNA调控4种方式来控制表观遗传的沉默。从表观遗传学所涉及的这四种机制进行描述。关键词表观遗传学;DNA的甲基化;组蛋白修饰;染色质重塑;非编码RNA调控随着生命科学的发展,几十年来,人们一直认为基因决定着生命过程中所需要的各种蛋白质,决定着生命体的表型。但随着研究的深入,越来越多无法解释的生命现象一一出现:具有完全相同的基因组的同卵双生,即使在同样的环境中长大,他们的性格、健康等方面也会有较大的差异;有些特征只是由一个亲本的基因来决定,而源自另一亲本的基因却保持“沉默”;马、驴正反交的后代差别较大等。人们无法用经典的遗传学理论解释这些现象。现在,遗传学中的一个前沿领域:表观遗传学(Epigenetics),为人们提供了解答这类问题的新思路。表观遗传学(Epigenetics)是1957年由Waddington CH提出的,是研究表观遗传变异的遗传学分支学科。表观遗传变异(Epigenetic variation)是指在基因的DNA序列没有发生改变的情况下,基因功能发生了可遗传的变化,并最终导致了表型的变化。它是不符合孟德尔遗传规律的核内遗传,由此可以认为,基因组含有2类遗传信息,一类是传统意义上的遗传信息,即DNA序列所提供的遗传信息,另一类是表观遗传学信息,它提供了何时、何地、以何种方式去应用遗传信息的指令。本文就表观遗传改变涉及DNA的甲基化、组蛋白修饰、染色质重塑、非编码RNA调控等机制进行论述。 1DNA甲基化 DNA甲基化是基因组DNA表观遗传修饰的一种主要形式,是调节基因组功能的重要手段。它是由DNA甲基转移酶催化S-腺苷甲硫氨酸作为甲基供体,将胞嘧啶转变为5-甲基胞嘧啶(mC)的反应。在真核生物DNA中,5-甲基胞嘧啶是唯一存在的化学性修饰碱基。在哺乳动物细胞的基因组DNA中,3%～5%的胞嘧啶是以5-甲基胞嘧啶形式存在的。同时70%的5-甲基胞嘧啶参与了CpG序列的形成。而非甲基化的CpG序列则与管家基因以及组织特异性表达基因有关,这提示CpG 的甲基化与否在基因的表达中起重要作用。体内甲基化状态有3种:持续的低甲基化状态,如持家基因;诱导的去甲基化状态,如发育阶段中的一些基因;高度甲基化状态,如女性的一条缢缩的X染色体。DNA甲基化影响到基因的表达,与肿瘤的发生密切相关。把癌基因组学与表观遗传学的研究结合起来,是癌症研究的发展趋势。人类的一些癌症常出现整个基因组DNA的低甲基化,但人们并不清楚这种表观遗传变化是肿瘤产生的诱因还是结果。研究者构建了携带低表达水平Dnmtl基因的小鼠,对它的研究结果显示,DNA低甲基化可能通过提高染色体的不稳定性来促进肿瘤的形成。