第1章
第1章 杆件在一般外力作用下的内力分析 1.1 外力与杆件横截面上的内力
1.2 杆件变形的基本形式 1.3 杆件的内力方程和内力图 1.4 直杆横截面上内力与载荷集度的微分关系 1.5 弯曲时内力图的绘制
第1.3节
1.3.1 杆件的内力方程和内力图 内力方程 内力是横截面位置的坐标的函数，该函数式称为内力方程。 求内力的方法—截面法
一般力系
x I A
z
xI B I FSz M
x
平面力系
I Mz
∑Fx = 0,
FN
FN ( x) = ? ∑Fx外 左 （ ） FS ( x) = ? ∑Fy外 左 （ ）
A
y
C T FN My FSy
C FS
∑Fy = 0,
外 MC = 0, M ( x) = ? ∑MC） （ ∑ 左
控制面—集中外力，集中力偶作用点处两侧靠近作用点的截面； 间断性分布载荷的起始作用点和终止作用点处截面。
1.3.1 杆件的内力方程和内力图
求内力的方法——截面法（基本方法）
基本方法步骤 1）要求某截面的内力时，就假想的用该截面将杆截成左、右 两部分，取其中一部分为研究对象，移去另一部分。（截开） 2）用内力表示移去部分对留下的作用（代替） 3）根据静力平衡条件建立平衡方程，用已知的外力确定未知 的内力。（平衡）外力 → 内力 注意：在采用截面法之前，绝对不容许使用力的可传性原理。
内力图—内力方程的函数图形称为内力图。
1.3.1 杆件的内力方程和内力图
注意 画内力图的规定： (1)标出特征点(控制面)内力的绝对值 (2)内力图与原杆件位置对应，可不画坐标轴 (3)图的内部打上竖直线，内力的符号用⊕ 填入 截面法的三步骤： （1）切开（2）代替（3）平衡 未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
1.3.1 杆件的内力方程和内力图
注意 列内力方程的步骤：
(1)正确分段（相距宏观尺寸的控制面之间，内力可用 (1)正确分段（相距宏观尺寸的控制面之间，内力可用 同一组函数表示）； 同一组函数表示）； (2)在各段内任选一个截面用截面法切开, 将该截面上 (2)在各段内任选一个截面用截面法切开, 的内力分量按规定的正向画出; 的内力分量按规定的正向画出; (3)利用平衡方程列出该截面内力分量表达式； (3)利用平衡方程列出该截面内力分量表达式；
对变形体外力不能沿作用线滑移——力的可传 性不成立 截面不能切在外力作用点处——要离开作用点
1.3.2 轴力的符号规定及轴力方程和轴力图
轴力方程和轴力图 轴力方程
轴力沿杆长度方向随坐标 x 的变化规律为轴力方程． 求轴力的方法——截面法（基本方法） 由截面法，通过对分离体列写静力平衡，计算轴力。 通常控制面为内力图的分段处 轴力的正负号规定 若求得FN >0，杆伸长，为拉力； 若求得FN <0，杆缩短，为压力。
FN FN
将轴力FN按截面的外法线方向表示：
拉为正，压为负，即在计算简图上将轴力按正方向标出，其
数值由方程求解，结果大于零，说明受拉，反之受压。
1.3.2 轴力的符号规定及轴力方程和轴力图
轴力方程和轴力图 轴力图
取坐标系：以沿杆长度方向坐标 x 表示截面的位置，以垂直 于杆轴的坐标FN表示相应截面上轴力的大小，把 正值的轴力画在x轴的上侧。 轴力图的优点： 1）可以显示各段杆的轴力的大小。 2）可以显示各段杆内的变形情况。
例题1.1
例1.1 直杆受力如图示，试写出该杆的轴力方程， 并绘制轴力图。
6 kN
2 cm
18 kN
3.4 cm
8 kN
3.2 cm
4 kN
例题1.1解法一：截面法
I II 解 1）建立图示坐标，分别用I6 kN 18 kN I,II-II,III-III将杆截为两部 2 cm 3.4 cm 分，取其中一部分为研究对象， II I III
8 kN
3.2 cm III
4 kN
受力如图(1),(2),(3)所示。 2）内力方程 图(1): ∑ Fx = 0, FN1 = 6 kN
6 kN ⊕ (FN) 6 kN 12 kN FN1 4 kN
x
FN ( x ) = 6 kN
图(2)
(0 < x < 2 cm)
∑F
x
= 0, FN2 + 18 ? 6 = 0 FN2 = ?12 kN
图(1) 图(2)
4 kN
FN ( x ) = ?12 kN (2 cm < x < 5.4 cm) 6 kN
18 kN
FN2 FN3
图(3)
∑F
x
= 0, - FN3 ? 4 = 0 , FN3 = ?4 kN
FN ( x ) = ?4 kN
(5.4 cm < x < 8.6 cm)
图(3)
1.3.2 轴力的符号规定及轴力方程和轴力图
求轴力的简易方法——直接求和法
简易法求轴力本质上仍然是截面法，是从分离体的平衡条 件直接派生出来的。
轴力FN(x) =去掉部分所有外力在轴向投影的代数和 轴力FN(x) =去掉部分所有外力在轴向投影的代数和
每一项符号由对留下部分的作用(变形)而定。拉为正，压为 每一项符号由对留下部分的作用(变形)而定。拉为正，压为 负。 注意：基本法和简易法的区别。 符号规定：背离截面的所有外力均产生正值的轴力，指向 截面的外力均产生负值的轴力。
1 2
6kN
3
18kN
8kN
4kN
FN1=18-8-4=6kN FN2=-8-4=-12kN FN3=8-18+6=-4kN
A
1
B a 2a
2
C a
3
D
例题1.1解法二：直接求和法 解 1）AB段：去左，留右 I
6 kN 18 kN
FN1 = 6 kN
2）BC段：去左，留右
II
8 kN
III
4 kN
FN2 = ?12 kN
3）CD段：去右，留左
A 2 cm B 3.4 cm C3.2 cm D II I III
6 kN ⊕ (FN) 12 kN 4 kN
FN2 = ?4 kN
去掉受力简单的部分
例题1.2 例1.2 直杆受力如图示，已知q=15 kN/m，F1=10 kN，F2=40 kN，试写出该杆的轴力方程，并绘制轴力图。
1m 1m 4m F1
F2
q
例题1.2解答
1m 1m
解 1）CD段：去上，留下。建 立坐标如图示 FN1 = 0
FN ( x ) = 0 kN ( ?2 m ≤ x < ?1 m)
(FN) 10 kN ⊕
4m
F1
D
30 kN
F2 C
B
q
3）点B+处：去上，留下 FN3 = F2 ? F1 = 30 kN 4）BA段：去上，留下 FN4 = F2 ? F1 ? qx = 30 ? 15 x kN
FN ( x ) = 30 ? 15 x kN
(0 < x < 4 m)
A
30 kN
x
2）CB段：去上，留下 FN2 = ?10kN FN ( x ) = ?10 kN ( ?1 m < x < 0 )
例题1.3
例1.3 变截面杆受力如图示，试绘制轴力图。
F
4F
(FN) 3F 4F ⊕
1.3.3 扭矩的符号规定及扭矩方程和扭矩图
外力偶矩、扭矩方程和扭矩图 外力偶矩的计算 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和 转速，而不直接给出外力偶矩的数值 设外力偶矩为Mt，传动轴的功率为P (kW) ，传动 轴的转速 n (r/min) ，则有
{ P}kW { M t }N?m = 9549 n { }r/min
2π n P × 10 = M t × ω = M t ? 60
3
主动轮：Mt与轴的转向一致 从动轮：Mt与轴的转向相反
（理论力学）
1.3.3 扭矩的符号规定及扭矩方程和扭矩图
外力偶矩、扭矩方程和扭矩图 扭矩的正负号规定
按右手螺旋法则，扭矩矢量方向与横截面外法线方向一致 为正，反之为负。
M
T
M
T
正扭矩
负扭矩
1.3.3 扭矩的符号规定及扭矩方程和扭矩图
外力偶矩、扭矩方程和扭矩图
扭矩的计算 ——截面法 通过对分离体列写静力平衡来求得。 x I A
z 去掉部分
B I
留下部分
∑Mx = 0,
T (x) = ? ∑Mx外 左 = ? ∑Mx外 )留 （ ） （
内力方程 — 扭矩方程
FSz Mz x T FN
外 外 T ( x) = (∑M x )右 = (∑Mx )去 = (∑Mi外 )去
A
y
C
My FSy
直 扭矩T(x) =去掉部分所有外力 接 对轴之矩的代数和 求 和 每一项符号由去掉部分对留下 法 部分的作用而定。
例题1.4
例1.4 传动轴如图所示，主动轮A输入功率P1=221 kW, 从动轮B,C输出功率P2=148 kW, P3=73 kW，轴的转动 方向入图示，转速为n= 300 r/min，试写出扭矩方程， 并绘制扭矩图。
B
A
C
实变部分 一、填空题 1. 设1 1,2,1,2,3,n A n n n ??=-=???? 则lim n A n →∞= 2. 设n E R ?，若E E '=(E '表示E 的导集)，则称E 为 3. 设P 为康托集，则P =，mP= 4. 设()f x 是R 上的实函数，若{}1()0,()n A x R f x A x R f x n ?? =∈>=∈>????， 则A 可用n A 表示为 5. 设E 为n R 中的点集，若对任意点集T 都有，则称E 为勒贝格可测集 6. 若()n mE f x →()0f x ??=??，则称{}()n f x 在E 上 7. 设{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限 的可测函数，若对0σ?>有，则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 8. 设{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则存在{}()n f x 的子列{} ()k n f x 使得 9. Fatou 引理叙述为：设p E R ?为可测集，{}()n f x 为E 上一列非负可测函 数列，则 10.设A 和B 分别是p R 和q R 中的可测集，则A B ?是p q R +的可测集，且 ()m A B ?= 二、判断题 1、()f x 可表成一列简单函数的极限函数是()f x 可测的充分非必要条件 2、若mE=0，则E 为可数集 3、任意多个开集之交仍未开集 4、设()f x 勒贝格可积于可测集E ，若()f x >0，x E ∈,则()0E f x dx >? 5、几乎处处收敛的函数列必定依测度收敛 三、计算题 1、设E 为[]0,1上的全部有理点，求E 在R '内的,E E ' 和E
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3
T2：设A?B，则A?B，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I） 4、开（闭）集类、完备集类。 开集类：R?，Φ，开区间，邻域、?、Pо 闭集类：R?，Φ，闭区间，有限集，E?、E、P 完备集类：R?，Φ，闭区间、P 二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。 第三章测度论基本要求： 1、理解外测度的概念及其有关性质。 2、掌握要测集的概念及其有关性质。 3、掌握零测度集的概念及性质。 4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。
学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题 数学系06级3班高能 060203037 摘要 通过介绍实变函数与泛函分析的重要地位及它的数学之美，表明了为什么学习实变函数；近一学期的学习，对集合论、测度论有了浅薄的认识，它很抽象却逻辑严密，到现在为止，我依然处于启蒙阶段，对学习方法、知识机构联系还是不清楚。最后提出有待解决的问题及部分解决方法。 关键词：实变函数数学美集合学习方法 “实变函数与泛函分析”是现代数学分析的基础，是数学专业的主干课程之一，被称为“新三高”之首，其重要性非常清楚，但其内容抽象程度较高，是一些在抽象思维和逻辑推理方面接受训练较少的学生公认的一门难学的课程。国内著名的数学教育学专家、华东师范大学张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的向导，以便掌握其精神实质，只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。”我们应该在学习过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识与能力。 我们学习的实变函数是以Lebesgue积分为中心，以集合论为基础。Lebesgue（勒贝格）积分被誉为“20世纪数学的一大贡献”。勒贝格积分的创立对于积分学来说，是一个巨大的突破，是一个革命。如果说，微积分（数学分析）是经典分析数学的基础的话，那么实变函数则是现代分析数学的基础。实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。 我们学习研究数学，就应该追求数学美。不可否认，美的感觉与人的主观因素有关，但是数学美却是完善的数学对象的一种客观表现。对于数学美的追求，也常常启动数学家的心扉，促使他们通过类比、联想等方法，构造出新的数学理论，发现新的数学定理，寻找新的数学方法来，追求数学美，甚至可从纯粹美学的研究角度去解决数学的研究方向或对数学理论的意义做出判断。大学初步学习实变函数就应该了解它的统一性、奇异性、抽象性和单调性。 我已经自学了比较长的一段时间的实变函数论。有了一定的感觉在里面。作为数学中比较难学的一门，实变函数论所散发出来的魅力是难以阻挡的。可以说实变函数是逻辑学，概念抽象，而且十分的基础，富有逻辑。实变函数的许多的概念对我们初学者来说都是很陌生的。比如基数和测度。而测度更是作为四大现代数学结构之一，理解起来颇有难度。数学，与所有的理论一样，那就是有良好的理论体系的基本框架。关于集合所谓无穷并和交、极限点、集合和函数列的上下极限和极限函数都是极限的知识运用范畴。几乎处处、“基本上”这样的概念其实也是极限的扩充。我们有的时候都几乎被这诸多的无穷搞混了头。我学习实变函数总结一句就是概念抽象难懂！正是这样我也在不知不觉中对抽象思维有了更进一步的加深，比如说对无限概念的理解。无限旅馆住宿问题就把这个概念抽象化为具体，更接近实际更容易理解。我认为无论多抽象的数学问题都在实际生活中有它具体的体现，这就要我们善于发现琢磨。 要说学习实变函数的遇到的问题，那是比牛毛还多！到现在我依然没有入门，听课
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
泛函知识点期末总结 一、关于有界线性算子，算子范数等 1、设 [,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子 T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。 求证：T 有界，并求||||T 。 2、设 0[,],[,]X C a b t a b =∈。定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。求证：f 有界，并求||||f 。 3、设 12123[,],,,,[,],,, ,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上 的线性泛函f : 若1 ,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。 二、关于共轭空间的定义及其求解 三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间 四、变分引理 极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1 五、投影定理，投影算子及其性质， 六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子 七、完全规范正交基及其判定定理 八、Banach 空间的基本定理及其应用 九、Banach 共轭算子的定义及其求法 十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明 十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系 十二、完备度量空间的定义及其应用 十三、压缩映射原理及其应用 十四、h ?lder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式 十五、稠密，可分，完备，柯西序列 十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性 空间
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
1. A ∪( B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈(A ∪(B ∪C)). x ∈A, x ∈A ∪B, x ∈A ∪C, x ∈(A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈B ∩ C,x ∈ A ∪B x ∈A ∪C, x ∈(A ∪B) ∩ (A ∪C), A ∪( B ∩ C) ? (A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈(A ∪B) ∩ (A ∪C). x ∈A, x ∈A ∪(B ∩ C). x ∈A, x ∈A ∪B x ∈A ∪C, x ∈B x ∈C, x ∈B ∩ C, x ∈A ∪(B ∩ C), (A ∪B) ∩ (A ∪C) ? A ∪(B ∩ C). A ∪(B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C). 2. (1)A ? B = A ? (A ∩ B) = (A ∪B) ? B; (2)A ∩ (B ? C) = (A ∩ B) ? (A ∩ C); (3)(A ? B) ? C = A ? (B ∪C); (4)A ? (B ? C) = (A ? B) ∪(A ∩ C); (5)(A ? B) ∩ (C ? D) = (A ∩ C) ? (B ∪D); (6)A ?(A ? B) = A ∩ B. (1)A ? (A ∩ B) = A ∩ ?s(A ∩ B) = A ∩ (?s A ∪?s B) = (A ∩ ?s A) ∪(A ∩ ?s B) = A ? B; (A ∪B) ? B = (A ∪B) ∩ ?s B = (A ∩ ?s B) ∪(B ∩ ?s B) = A ? B; (2)(A ∩ B) ? (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ ?s(A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (?s A ∪?s C) = (A ∩ B ∩ ?s A) ∪(A ∩ B ∩ ?s C) = A ∩ (B ∩ ?s C) = A ∩ (B ? C); (3)(A ? B) ? C = (A ∩ ?s B) ∩ ?s C = A ∩ ?s(B ∪C) = A ? (B ∪C); (4)A ? (B ? C) = A ? (B ∩ ?s C) = A ∩ ?s(B ∩ ?s C) = A ∩ (?s B ∪C) = (A ∩ ?s B) ∪(A ∩ C) = (A ? B) ∪(A ∩ C); (5)(A ? B) ∩ (C ? D) = (A ∩ ?s B) ∩ (C ∩ ?s D) = (A ∩ C) ∩ ?s(B ∪D) = (A ∩ C) ? (B ∪D); (6)A ? (A ? B) = A ∩ ?s(A ∩ ?s B) = A ∩ (?s A ∪B) = A ∩ B. 3. (A ∪B) ? C = (A ? C) ∪(B ? C); A ? (B ∪C) = (A ? B) ∩ (A ? C). (A ∪B) ? C = (A ∪B) ∩ ?s C = (A ∩ ?s C) ∪(B ∩ ?s C) = (A ? C) ∪(B ? C); (A ? B) ∩ (A ? C) = (A ∩ ?s B) ∩ (A ∩ ?s C) = A ∩ ?s B ∩ ?s C = A ∩ ?s(B ∪C) = A ? (B ∪C). ∞ ∞ 4. ?s( A i) = ?s A i. i=1 ∞ i=1 ∞ x ∈?s(i=1 A i), x ∈S, x ∈ i=1 A i, i,x ∈A i, x ∈?s A i, 1
实变函数的学习心得 应数1202班李琼花 12404206 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点： 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。 所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 1
给想学实变函数和泛函分析的一点建议 首先，本人学过到目前为止除了最优化理论其它还没用过，但是最大的收获是数学的一些研究方法，下面是正文不知在哪看过，希望对学弟学妹们有用。有点长~ 实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。首先，实变函数是研究L积分理论的，这种 L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。也使很多概率理论变得更加严格。比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。没有测度论就无法分析连续鞅等等。另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。 再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。所以一般都是先学实变，再学泛函。当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。所以，纯粹学习泛函，而不讲究实用，可以直接学泛函，大不了在学习时补充一点范数的具体形式就可以了。 泛函分析有什么用呢？无非是泛函可以让我们在更广义的层次上分析最优化问题。泛函分析不仅给出的是最优路径，而不是微积分中的最优点。当然，你也可以说最优路径就是函数空间中的最优点。一般在运筹学中用处很多。那在博弈论中有什么应用呢？我们说，理性经纪人的行为就是给定约束和目标下的最优路径。所以分析经济行为当然离不开泛函分析了。但是想把泛函分析理论用来解决经济学中的优化问题并不容易。即因为首先你要把研究的问题数学模型化，然后在定义一个恰当的函数空间，一般是线性空间，然后在这个空间中定义出恰当的范数。然后把你的优化问题转化为这个空间中的最小范数问题，或者最佳逼近问题，再借助泛函分析中有关函数空间的范数理论和逼近理论来求解。这个过程实在不容易，因为要很巧妙的定义空间和范数来把你的问题装进去，是多年经验和敏锐直觉的结合，既是科学又是艺术。就算你是数学系专门研究泛函理论的人，也不一定能做到这一点。所以泛函在实际问题中的应用还是很少的，只有少数极其成熟的问题才能直接用泛函理论来解决，这些问题主要是变分问题。套用欧拉－拉个朗日方程来解决问题，比如金融上的跨代且考虑消费的最佳投资问题，宏观经济里的最优增长问题等等。这些问题都是变分问题，都可以直接套用现成的欧拉－拉个朗日方程，所以已经被人解决了。其他的非变分泛函问题就鲜有人能解决。一般经济学者总是想，我从中找到一个理论套到我研究的问题上得出解，就可以出成果了。
主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集.但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论.我们通过外测度和卡拉 皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义3.2.3），为此，首先讨论了外测度的性质（定理3.1.1）.注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测 度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由 来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质.其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零， 非负，可列可加这三条性质.由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加， 单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类.这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类.我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性.限于本书的篇幅而把它略去.读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断 题 1、对任意 2、对任意E R n，m*E都存在。（√）E R n，mE都存在。（×） 3、设E R n，则m*E可能小于零。（×） 4、设 5、设A B，则m* A m*B。（√）A B，则m* A m*B。（×） 6、m*(S n) m*S n。（×） n1 n1 7、m*(S n) m*S n。（√） n1 n1
浙江省2009年10月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设f （x ）在E 上有定义，D 与D ′是E 的两个可测分划，D ′是D 的加细，s （D ′，f ）与s （D ,f ）分别表示f （x ）在E 上的两个Darboux 小和，则有（ ） A.s （D ,f ）≤s （D ′,f ） B.s （D ,f ）=s （D ′,f ） C.s （D ,f ）≥s （D ′,f ） D.不能确定 2.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的闭包Q 是（ ） A.Q B.φ C.R D.R ＼Q 3.设{F n }是一列闭集，F = ∞=1 n F n ,则F 一定是（ ） A.开集 B.闭集 C.开集，也是闭集 D.不能确定 二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.可数个可数集的并集是不可数集.（ ） 2.若点集E 的任一个聚点属于E ，则E 一定是闭集.（ ） 3.设P 是Cantor 三分集，x ∈P ,则x 一定不是内点.（ ） 4.设A ,B 是R n 中的两个可测集,则A ∩B 不一定可测.（ ） 5.Dirichlet 函数是不可测函数.（ ） 6.设f （x ）是［a ,b ］上的单调函数,则f ′（x ）a.e 存在.（ ） 三、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设{}∞ =1n n A =1是一列单调递增的集列,则∞ →n lim A n =______. 2.设E ?R n 是开集,则CE 是R n 中______（开,闭）集. 3.Lebesgue 可测集可以表示为______集与零测度集的和集. 4.设f +（x ）与f -（x ）分别是f （x ）的正部与负部,则|f （x ）|用f +（x ）与f -（x ）表示为|f （x ）|=______. 5.设f （x ）在E 上Lebesgue 可积,则对任意可测子集A ?E ,?→A mA x f dx )(lim 0=______. 6.设F 1?R p ,F 2?R q 为闭集,则F 1×F 2是R p +q 中的______（开,闭）集. 7.设F n =［n 1,1-n 1］,n=3,4,…,则 ∞ =3n n F =______.
《实变函数与泛函分析》教学大纲 统计学（非师范类）专业用 一、说明部分 （一）课程性质、目的和教学任务 本课程为统计学专业的专业限选课。 实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
（二）课程的教学原则和方法 本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。 教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。 （三）课程的主要内容学时分配 《实变函数与泛函分析》安排授课共90学时。 第一章集合与测度 12学时 第二章可测函数 12学时 第三章Lebesgue积分 16学时 第四章线性赋范空间 24学时 第五章内积空间 16学时 第六章有界线性算子与有界线性泛函 10学时 二、正文部分 第一章集合与测度 （一）教学的目的和要求 1.了解集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合；
1.勒贝格积分与黎曼积分的关系的问题？ 我觉得从这个例子来分析最好理解，狄利克雷函数 Q I x D 中的有理数集中的无理数集]1,0[,1]1,0[,0{)(=。对于这个函数在积分区间]1,0[上你试用黎曼积分的定义来积分，步骤如下：将积分区间分割为小区间，然后分别取小区间上函数的上下确界进行求和，然后让小区间无限小，这就存在的问题还是0011)()(10=??=??=?=∑∑?∑i i i i i i i X X X D dx x D ξ?故不能黎曼积分。而勒贝格积分则将积分区间]1,0[分为无理数集和有理数集两部分，)1,0(011010)()()()()(==?+?=?+?=+=+=∑∑???mQ mI mQ mI mQ D mI D dx x D dx x D dx x D i i i i i i Q E I ξξ 这里就存在为什么0,1==mQ mI 的问题，而实变函数中的集合论和测度论就解决这个问题,其实黎曼积分中的mX X =?，因此黎曼积分?勒贝格积分，两者的相同点与不同点就体现在子区间划分和子区间的长度定义，由上面例子可以看出黎曼积分的子区间是一个连着一个构成积分区间整体，而勒贝格积分的子区间不一定一个连着一个，只要可测就行。 2.勒贝格积分能不能计算的问题？ 由黎曼积分?勒贝格积分，你其实一直再求勒贝格积分，对于黎曼可积的函数它的黎曼积分值与勒贝格积分值相同。你之所以觉得没见过求勒贝格积分是因为对于不能够黎曼积分的函数的勒贝格积分没有像数学分析中的牛顿-莱布尼兹 公式?-=b a a F b F dx x f )()()(来直接求该函数的勒贝格积分，而这个不可黎曼积分 函数的勒贝格积分值很多情况下是用一系列可积函数的积分值的极限来求.)(lim )(),(lim )(dx x f dx x f x f x f E n E n n n ??==或者用定义来算。 3.实变的用途问题？ 我个人觉得对于工程问题来说，一般只涉及到黎曼积分，不太可能会涉及勒贝格积分，但对搞理论数学的人来说，它是一个新的概念，新的思想。 4.泛函分析中为什么要定义空间的问题？ 首先阐述三个基本概念(1)函数是数集到数集的映射；(2)泛函是函数集到数集的映射；(3)算子是函数集到函数集的映射。对于为什么要使用空间？我个人觉得定义空间就是为了给数学问题一个分类。比方说给定了一个空间],[b a C ，就在无穷多的函数中挑出了一部分，这些函数就在这个空间上。在偏微分方程中定义空间是为了讨论偏微分方程解的存在性和唯一性，假设你不定义空间，解的存在性和唯一性无法讨论，例如：二阶椭圆方程f u =?它的古典解必须满足二阶偏导数连续，它的解就在空间)(2ΩC 上，而换一个空间)(3ΩC 讨论解的存在性，
3.2 设(X,ρ)为距离空间，试证ρ(x,y )是关于x,y 的连续函数。 解：要证ρ(x,y )是关于x,y 的连续函数，即证当x →x 0,y →y 0时，ρ(x,y)→ρ(x 0,y 0). 显然，当x →x 0,对?ε有ρ(x,x 0,)<ε2,同时，当y →y 0, ?ε有ρ(y,y 0)<ε2. ρ(x,y )?ρ(x 0,y 0)≤ρ(x,x 0,)+ρ(x 0,,y) ≤ρ(x,x 0,)+ρ(x 0,y 0)+ρ(x 0,,y )?ρ(x 0,y 0) =ρ(x,x 0,)+ρ(y,y 0)≤ε2+ ε2=ε. 即ρ(x,y )?ρ(x 0,y 0)≤ε，即ρ(x,y)→ρ(x 0,y 0). 3.4设(X,ρ)为距离空间，定义ρ1(x,y)=ρ(x,y )1+ρ(x,y ) ， 证明ρ1也是X 上的一个距离空间。 证明：因为ρ是X 上的一个距离，ρ(x,y )≥0，ρ(x,x )=0。ρ(x,z )+ρ(y,z )≥ρ(x,y ). 所以，ρ1(x,y )=ρ(x,y ) 1+ρ(x,y )≥0，ρ1(x,x )=ρ(x,x ) 1+ρ(x,x )=0. 最后只需证(X,ρ1)满足三角不等式。 ρ1(x,z )+ρ1(z,y )=ρ(x,z )1+ρ(x,z )+ρ(z,y )1+ρ(z,y )>ρ(x,z )1+ρ(x,z )+ρ(z,y )+ρ(z,y )1+ρ(z,y )+ρ(x,z ) =ρ(x,z )+ρ(z,y ) 1+ρ(z,y )+ρ(x,z )≥ρ1(x,y ). 所以(X,ρ1)是一个距离空间。 3.6 设X 为距离空间，G ?X,则G 在X 中稠密?G =X . 证明：?：G 在X 中稠密，则X ?G X 和X 为距离空间，则G ?X ，即G =X 。 ?: =X ,则X ?，显然G 在X 中稠密。 即命题成立。 3.9 设X 为完备的距离空间，X 1为X 的稠密子集，若离X 1≠X ，且按照X 上的距离，把X 1看做独立的距离空间，则X 1不完备，并由此证明闭区间[a,b]上的Rieman 可积函数全体按照距离 ρ(x,y )=∫|x (t )?y (t )|dt b a 是一个不完备的距离空间。 证明：取x ∈X ?X 1,由3.6的结论有X 1=X ，故?{X n }?X 1,X n →X ，{X n }收敛为基本列，但{X n }在X 1中没有极限，故X 1不完备。 L ′[a,b]是完备的，R-可积函数的全体按照距离 ρ(x,y )=∫|x (t )?y (t )|dt b a 可作为L ′[a,b]的一个子距离空间在L ′[a,b]中稠，故其不是一个完备的子距离空间。
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3
T2：设A?B，则A?B，· Ａ?· Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I） 4、开（闭）集类、完备集类。 开集类：R?，Φ，开区间，邻域、?、Pо 闭集类：R?，Φ，闭区间，有限集，E?、E、P 完备集类：R?，Φ，闭区间、P 二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。 第三章测度论基本要求： 1、理解外测度的概念及其有关性质。 2、掌握要测集的概念及其有关性质。 3、掌握零测度集的概念及性质。 4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。
2008年4月高等教育自学考试福建省统一命题考试 实变与泛函分析初步试卷 (课程代码 2012) 本试卷满分100分，考试时间150分钟。 一、填空题(本大题共15空,每空2分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．{正奇数全体}与{正偶数全体}对等，事实上只要令φ(x)=___________即可(x为正奇数). 2．设A2n={(x,y)|x≥0，0≤y≤l+}，n=l，2，…， A2n+1={(x，y)|0≤x≤1-,y≥0}，n=1，2，…，则___________ 3．设E={(x，0)|x∈[O，1]∩ Q|，则=___________． 4．设P为康托尔集，则=___________． 5．设E={(x，0)|x∈(-∞，+∞)R2，则mE=___________． 6．闭区间[a,b]可以写成[a，b]= ___________故[a，b]是Gδ型集． 7．填写鲁津定理：设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则________________________ ___________________. 8．E[f>n]=E=[___________]． 9．定义在[]的函数列：{f n(x)=cos n-1x| n=1，2，…}，则 { f n(x) }=___________. 10．设f(x)=，g(z)= ，h(x)= 则它们中在(0，+∞)上L-可积的函数有：___________. 11．设E=([0，1]∩Q) R1，则=___________． 12．设f n(z)在[a，b]上定义，n=l，2，3，4，且f1(x)绝对连续f2(x)一致连续f3(x)单调减少正(x)满足李普西茨条件，则可以断言___________是有界变差函数． 13．设X、Y为实线性空间，Q是X的线性子空间，T为Q到Y映照，x，y∈Q及数α,成立： T(x+y)= ___________，T(αx)= ___________称T为Q到Y中的线性算子． 14．l2，设x=(ξ1,ξ2，…)，y=(η1,η2,…)，定义内积