课标理数15.H1[2011·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；
④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 课标理数15.H1[2011·安徽卷] ①③⑤ 【解析】 ①正确，比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，
它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝1
3
不通过任何整点；⑤正确，比
如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1,0)．
课标理数20.H2，H9[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．
所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →
＝(x ，－2)．
再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →
＝0， 即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，
所以曲线C 的方程为y ＝1
4
x 2－2.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝1
4
x 2－2上一点，
因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为1
2
x 0.
因此直线l 的方程为y －y 0＝1
2
x 0(x －x 0)，
即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.
则O 点到l 的距离d ＝||
2y 0－x 20x 20＋4
，又y 0＝14x 20－2，
所以d ＝12x 2
0＋4x 20＋4＝12?
????
x 20＋4＋4x 2
0＋4≥2， 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 、
课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．
课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 【解答】 解法一：
图1－6
(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．
因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0
×1＝－1，
解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径
r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22， 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由?
????
y ＝－x －m ，x 2＝4y 得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．
①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切． 综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 解法二：
(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.
依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则?
???
?
4＋m 2＝r 2
，|2－0＋m |2＝r ，
解得???
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．
图1－4
、
图1－2
课标理数14.H3[2011·湖北卷] 如图1－2，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′轴与y 轴重合)所在的平面为β，∠xOx ′＝45°.
(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________； (2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是______________．
课标理数14.H3[2011·湖北卷] ()2，2 ()x －12＋y 2＝1 【解析】 (1)过点P ′作PP ′⊥α，垂足为P ，过P 作PM ⊥y 轴于M ，连接P ′M ，则∠P ′MP ＝45°.又MP ′＝22，所以MP ＝22cos45°＝2.所以点P ()2，2.
(2)设曲线C ′上任意一点为()x ′，y ′，则该点在平面α内的射影为()x ，y ，故有
?????
22x ′＝x ，y ′＝y ，
即???
x ′＝2x ，y ′＝y ， 代入()x ′－22＋2y ′2－2＝0中，得()x －12＋y 2－1＝0，
即()x －12＋y 2＝1.
课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．
解
法二：
(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.
依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则?
???
?
4＋m 2
＝r 2
，|2－0＋m |2＝r ，
解得???
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．
图1－4
课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 如图1－4，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2
＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 【解答】 (1)由?
????
y ＝x ＋b ，
x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)
因为直线l 与抛物线C 相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.
(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2,1)．
因为圆A 与抛物线C 的准线相切，
所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
课标文数8.H4[2011·广东卷] 设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．圆 课标文数8.H4[2011·广东卷] A 【解析】 设圆心C 的坐标C (x ，y )，由题意知y ＞0，则圆C 的半径为y ，由于圆C 与已知圆相外切，则由两圆心距等于半径之和，得x 2＋(y －3)2＝1＋y ，整理得：x 2＝8(y －1)，所以轨迹为抛物线．
课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．
课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 1或17
7
【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率
必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆
心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k 2
＝1－
????222＝22，解得k ＝1或17
7.
课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；
(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．
课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] (1)5 (2)1
6
【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d ＝||
－2532＋42
＝5;
图1－4
(2)当圆C 上的点到直线l 的距离是2时有两个点为点B 与点D ，设过这两点的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，同时可得到的圆心到直线4x ＋3y ＋c ＝0的距离为OC ＝3，
又圆的半径为r ＝23，可得∠BOD ＝60°，由图1－2可知点A 在弧BD 上移动，弧长l BD ＝16×c ＝c
6，圆周长c ，故P (A )＝l BD c ＝16
.
课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.
所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组[来源:学&科&网] ?
????
x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2
＝9. 消去y ，得到方程
2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而
x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋1
2
.①
由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②
由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.
大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 2x －y ＝0 【解析】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝1，
∴该圆半径为1，圆心M (1,2)．
∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，
∴该直线的方程的斜率k ＝2－0
1－0
＝2，
∴该直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.
课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.
(1)证明l 1与l 2相交；
(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识．考查推理论证能力和运算求解能力．
【解答】 (1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 2
1＋2＝0.
此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．
(2)(方法一)由方程组?
????
y ＝k 1x ＋1，
y ＝k 2x －1，
解得交点P 的坐标(x ，y )为????
?
x ＝2k 2－k 1
，y ＝k 2
＋k
1k 2
－k 1
，
而2x 2＋y 2＝2????2k 2－k 12＋? ??
??k 2＋k 1k 2－k 12
＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2
2＋4k 21＋k 22＋4
＝1.
此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．
(方法二)交点P 的坐标(x ，y )满足????
?
y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2
x ，
故知x ≠0，从而???
k 1＝y －1x
，k 2
＝y ＋1
x .
代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1
x
＋2＝0.
整理后，得2x 2＋y 2
＝1，
所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．
课标理数7.H5，H6[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.12或32
B.23或2
C.12或2
D.23或32 课标理数7.H5，H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶
|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝4
3
c ，且|PF 1|>|PF 2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝1
2
；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝3
2
，故选A.
课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.12或32
B.23或2
C.12或2
D.23或32 课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得
|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝4
3
c ，且|PF 1|>|PF 2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝1
2
；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝3
2
，故选A.
课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的离心
率为3
2
，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .
①证明：MD ⊥ME ；
②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝17
32
？请说明理
由．
图1－10
课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由题意知，e ＝c a ＝3
2
，从而a ＝
2b .又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1.
故C 1，C 2的方程分别为x 24
＋y 2
＝1，y ＝x 2－1.
(2)①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx . 由?????
y ＝kx ，y ＝x 2
－1
得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1.
又点M 的坐标为(0，－1)，所以
k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)
x 1x 2
＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2
＝－k 2＋k 2＋1－1
＝－1.
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .
②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为
y ＝k 1x －1，由?????
y ＝k 1x －1，
y ＝x 2
－1解得 ????? x ＝0，y ＝－1或?????
x ＝k 1，
y ＝k 21－1.
则点A 的坐标为(k 1，k 21－1)．
又直线MB 的斜率为－1
k 1
，同理可得点B 的坐标为????－1k 1，1k 21－1. 于是S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 2
1·|k 1|·1＋1k 21·????－1k 1＝1＋k 2
12|k 1|
.
由?
????
y ＝k 1x －1，x 2＋4y 2
－4＝0得(1＋4k 21)x 2－8k 1x ＝0. 解得?
??
??
x ＝0，y ＝－1或?????
x ＝8k 1
1＋4k 2
1，
y ＝4k 21
－1
1＋4k 21.
则点D 的坐标为? ??
??8k 11＋4k 21，4k 2
1－11＋4k 21.
又直线ME 的斜率为－1k 1，同理可得点E 的坐标为? ??
??－8k 14＋k 21，4－k 214＋k 21. 于是S 2＝12|MD |·|ME |＝32(1＋k 21)·
|k 1|(1＋4k 21)(k 2
1＋4)
. 因此S 1S 2＝164????4k 21＋4k 21
＋17. 由题意知，164????4k 21＋4k 21＋17＝1732， 解得k 21＝4，或k 21＝14
. 又由点A ，B 的坐标可知，k ＝k 21－1k 2
1k 1＋
1k 1
＝k 1－1
k 1，
所以k ＝±3
2
.
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为y ＝32x 和y ＝－3
2
x .
课标理数14.H5[2011·江西卷] 若椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的焦点在x 轴上，过点????1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
课标理数14.H5[2011·江西卷] 【答案】 x 25＋y 2
4
＝1
【解析】 由题可知过点????1，12与圆x 2＋y 2＝1的圆心的直线方程为y ＝1
2
x ，由垂径定理可得k AB ＝－2.
显然过点???
?1，1
2的一条切线为直线x ＝1，此时切点记为A (1,0)，即为椭圆的右焦点，故c ＝1.
由点斜式可得，直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，
即AB ：2x ＋y －2＝0.
令x ＝0得上顶点为(0,2)，∴b ＝2，∴a 2
＝b 2
＋c 2
＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 2
4
＝1.
课标理数14.H5[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，
焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为
16，那么C 的方程为________________．
课标理数14.H5[2011·课标全国卷] x 216＋y 28＝1 【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a >b >0)．
因为离心率为22，所以22＝1－b 2
a
2，
解得b 2
a 2＝1
2
，即a 2＝2b 2.
图1－7
又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，
所以椭圆方程为x 216＋y
28
＝1.
课标文数4.H5[2011·课标全国卷] 椭圆x 216＋y 2
8
＝1的离心率为( )
A.13
B.12
C.33
D.22 课标文数4.H5[2011·课标全国卷] D 【解析】 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以
离心率为e ＝c a ＝224＝2
2
.
课标理数17.H5，H8[2011·陕西卷]
图1－8
如图1－8，设P 是圆x 2
＋y 2
＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一
点，且|MD |＝4
5
|PD |.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度．
课标理数17.H5，H8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，
由已知得?????
x P
＝x ，y P ＝5
4
y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋????54y 2
＝25，
即C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 2
25＋(x －3)225
＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412
.
∴线段AB 的长度为
|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝????1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415
.
课标文数17.H5[2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标．
课标文数17.H5[2011·陕西卷] 【解答】 (1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16
b
2＝1，∴b ＝4.
又e ＝c a ＝35得a 2－b 2
a 2＝925，即1－16a 2＝9
25
，∴a ＝5，
∴C 的方程为x 225＋y
216
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 2
25＋(x －3)225
＝1， 即x 2－3x －8＝0.
解得x 1＝3－412，x 2＝3＋41
2
，
∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝3
2
，
y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65.
即中点为????32
，－65.
课标理数17.H5[2011·浙江卷] 设F 1，F 2分别为椭圆x 23
＋y 2
＝1的左，右焦点，点A ，B
在椭圆上．若F 1A →＝5F 2B →
，则点A 的坐标是________．[来源:Z_xx_https://www.doczj.com/doc/c418733088.html,]
课标理数17.H5[2011·浙江卷] (0，±1)
【解析】 设直线F 1A 的反向延长线与椭圆交于点B ′，又∵F 1A →＝5F 2B →
，由椭圆的对称性可得F 1A →＝5B ′F 1→
，设A ()x 1，y 1，B ′()x 2，y 2，
又∵|F 1A |＝63????x 1＋322，|F 1B ′|＝63???
?
x 2＋322，
∴?????
63????x 1＋322＝5×63????x 2＋322，x 1＋2＝5()－2－x 2， 解之得x 1＝0，
∴点A 的坐标为()0，±1.
课标文数3.H6[2011·安徽卷] 双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2
课标文数3.H6[2011·安徽卷] C 【解析】 双曲线方程可化为x 24－y 2
8
＝1，所以a 2＝4，
得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.
课标理数 2.H6[2011·安徽卷] 双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )[来源:学.科.网Z.X.X.K]
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．4 2
课标理数2.H6[2011·安徽卷] C 【解析】 双曲线方程可化为x 24－y 2
8
＝1，所以a 2＝4，
得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.
课标文数10.H6[2011·北京卷] 已知双曲线x 2
－y 2b
2＝1(b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝
2x ，则b ＝________.[来源:学。科。网]
课标文数10.H6[2011·北京卷] 2 【解析】 易知y ＝bx ＝2x ，故b ＝2.
大纲理数15.H6[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 2
27
＝1的左、右焦点，
点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.
大纲理数15.H6[2011·全国卷] 6 【解析】 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝1
2
.又||
AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.
大纲文数16.H6[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 2
27
＝1的左、右焦点，
点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.
大纲文数16.H6[2011·全国卷] 6 【解析】 根据角平分线的性质，|AF 2||AF 1|＝|MF 2||MF 1|＝1
2
.又|AF 1|
－|AF 2|＝6，故|AF 2|＝6.
课标理数7.H5，H6[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.12或32
B.23或2
C.12或2
D.23或32 课标理数7.H5，H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶
|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝4
3
c ，且|PF 1|>|PF 2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝1
2
；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝3
2
，故选A.
课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.12或32
B.23
或2
C.12或2
D.23或32 课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得
|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝4
3
c ，且|PF 1|>|PF 2|，
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝1
2
；
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝3
2
，故选A.
课标理数5.H6[2011·湖南卷] 设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a
的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
课标理数5.H6[2011·湖南卷] C 【解析】 根据双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近的方程得：y ＝±
3
a
x ，即ay ±3x ＝0.因为已知双曲线的渐近线的方程为3x ±2y ＝0且a >0，所以有a ＝2，故选C.
课标文数6.H6[2011·湖南卷] 设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a
的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
课标文数6.H6[2011·湖南卷] C 【解析】 根据双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1的渐近线的方程得：y
＝±3
a x ，即ay ±3x ＝0.又已知双曲线的渐近线的方程为3x ±2＝0且a >0，故有a ＝2，故选C.
课标文数12.H6[2011·江西卷] 若双曲线y 216－x 2
m
＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.
课标理数7.H6[2011·课标全国卷] B 【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
直线过右焦点F ，且垂直于x 轴交双曲线于A ，B 两点，则||AB ＝2b 2
a
＝4a ，所以b 2＝2a 2，
所以双曲线的离心率e ＝1＋b
2a
2＝ 3.
课标理数13.H6[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的
焦距为4，则它的离心率为________．
课标理数13.H6[2011·辽宁卷] 2 【解析】 法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1上，
则4a 2－9b 2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组?????
4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4
得a ＝1或a ＝4.由于
a a ＝2. 法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到 两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝c a ＝2. 大纲文数14.H6[2011·四川卷] 双曲线x 264－y 236 ＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4， 那么点P 到左准线的距离是________． 大纲文数14.H6[2011·四川卷] 16 【解析】 本题主要考查双曲线第二定义的应用以及 双曲线所体现的几何特性，根据双曲线的定义可知e ＝108＝4d ?d ＝16 5 (d 为P 到右准线的距 离)，所以P 到左准线的距离为2a 2c ＋d ＝12810＋16 5 ＝16. 大纲理数13.B7[2011·四川卷] 计算????lg 14－lg25÷100－12 ＝________. 大纲理数13.B7[2011·四川卷] －20 【解析】 原式＝lg 1100÷1 10 ＝－20. 大纲理数14.H6[2011·四川卷] 双曲线x 264－y 2 36 ＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4， 那么点P 到左准线的距离是________． 大纲理数14.H6[2011·四川卷] 16 【解析】 根据双曲线的定义可知e ＝108＝4d ?d ＝16 5 (d 为P 到右准线的距离)，所以P 到左准线的距离为2a 2c ＋d ＝12810＋16 5 ＝16. 大纲文数9.H6[2011·重庆卷] 设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2) B ．(1，2) C.??? ?2 2，1 D ．(2，＋∞) 大纲文数9.H6[2011·重庆卷] B 【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞ 0)， 则其渐近线方程为y ＝±b a x ， 准线方程为x ＝－a 2 c ，代入渐近线方程得y ＝±b a · ????－a 2c ＝±ab c ， 所以圆的半径r ＝ab c . 易知左焦点到圆心(准线与x 轴的交点)的距离d ＝c －a 2 c . 由条件知d ＜r ，即c －a 2c ＜ab c ， 所以c 2－a 2＜ab ，即b 2＜ab ，故b a ＜1， 于是离心率e ＝c a ＝1＋????b a 2＜2，即e ∈(1，2)．故选B. 课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R . (1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由． 课标理数17.H7，H3，H4[2011·福建卷] 【解答】 解法一： 图1－6 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0 ×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径 r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22， 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由? ???? y ＝－x －m ，x 2＝4y 得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )． ①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切． 综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 解法二： (1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则???? ? 4＋m 2＝r 2 ， |2－0＋m |2＝r ， 解得??? m ＝2， r ＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一． 图1－4 课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 如图1－4，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2 ＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值； (2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 【解答】 (1)由???? ? y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2,1)． 因为圆A 与抛物线C 的准线相切， 所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 课标理数4.H7[2011·湖北卷] 将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( ) A ．n ＝0 B ．n ＝1 C ．n ＝2 D ．n ≥3 课标理数4.H7[2011·湖北卷] C 【解析】 不妨设三个顶点分别为A ，B ，F (其中F 为 抛物线的焦点)，由抛物线的定义，有A ，B 两点关于x 轴对称，点F 的坐标为???? p 2，0.设 A ()m ，2pm ()m >0，则由抛物线的定义得||AF ＝m ＋p 2 .又||AB ＝22pm ，||AF ＝||AB ，所以m ＋p 2＝22pm ，整理得m 2－7pm ＋p 2 4＝0，所以Δ＝()－7p 2 －4×p 24＝48p 2>0，所以方程m 2－7pm ＋p 2 4 ＝0有两个不同的实根，记为m 1，m 2，则????? m 1＋m 2＝7p >0，m 1m 2＝p 2 4>0， 所以m 1>0，m 2>0.所以n ＝2. 课标文数4.H7[2011·湖北卷] 将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( ) A ．n ＝0 B ．n ＝1 C ．n ＝2 D ．n ≥3 课标文数4.H7[2011·湖北卷] C 【解析】 不妨设三个顶点分别为A ，B ，F (其中F 为 抛物线的焦点)，由抛物线的定义，有A ，B 两点关于x 轴对称，点F 的坐标为???? p 2，0.设 A ()m ，2pm ()m >0，则由抛物线的定义得||AF ＝m ＋p 2 .又||AB ＝22pm ，||AF ＝||AB ，所以m ＋p 2＝22pm ，整理得m 2－7pm ＋p 2 4＝0，所以Δ＝()－7p 2 －4×p 24＝48p 2>0，所以方程m 2－7pm ＋p 24 ＝0有两个不同的实根，记为m 1，m 2，则????? m 1＋m 2＝7p >0，m 1m 2＝p 24>0， 所以m 1>0，m 2>0.所 以n ＝2. 课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离心 率为3 2 ，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长． (1)求C 1，C 2的方程； (2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . ①证明：MD ⊥ME ； ②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝17 32 ？请说明理 由． 图1－10 课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由题意知，e ＝c a ＝3 2 ，从而a ＝ 2b .又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1. 故C 1，C 2的方程分别为x 24 ＋y 2 ＝1，y ＝x 2－1. (2)①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx . 由????? y ＝kx ，y ＝x 2 －1 得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以 k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) x 1x 2 ＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2 ＝－k 2＋k 2＋1－1 ＝－1. 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME . ②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为 y ＝k 1x －1，由? ??? ? y ＝k 1x －1，y ＝x 2 －1解得 ????? x ＝0，y ＝－1或????? x ＝k 1， y ＝k 21 －1. 则点A 的坐标为(k 1，k 21－1)． 又直线MB 的斜率为－1 k 1 ，同理可得点B 的坐标为????－1k 1，1k 21－1. 于是S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 2 1·|k 1|·1＋1k 21·????－1k 1＝1＋k 2 12|k 1| . 由? ???? y ＝k 1x －1，x 2＋4y 2 －4＝0得(1＋4k 21)x 2－8k 1x ＝0. 解得? ?? ?? x ＝0，y ＝－1或????? x ＝8k 1 1＋4k 2 1， y ＝4k 21 －1 1＋4k 21. 则点D 的坐标为? ?? ??8k 11＋4k 21，4k 2 1－11＋4k 21. 又直线ME 的斜率为－1k 1，同理可得点E 的坐标为? ?? ??－8k 14＋k 21，4－k 214＋k 21. 于是S 2＝12|MD |·|ME |＝32(1＋k 21)· |k 1|(1＋4k 21)(k 2 1＋4) . 因此S 1S 2＝164? ???4k 21＋4k 21＋17. 由题意知，164? ???4k 21＋4k 21＋17＝1732， 解得k 21＝4，或k 21＝14 . 又由点A ，B 的坐标可知，k ＝k 21－1k 2 1k 1＋ 1k 1 ＝k 1－1 k 1， 所以k ＝±3 2 . 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为y ＝32x 和y ＝－3 2 x . 课标文数21.H7，H8[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB → 的最小值． 课标文数21.H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由????? y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得 k 2x 2 －(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4 k 2，x 1x 2＝ 1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1 k . 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋??? ?2＋4 k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4????k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1 k 2＝16. 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D高考数学试题分类汇编集合理
高三数学解析几何专题
历年高考数学试题分类汇编
高考数学试题分类大全
2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品
2020高考数学专题复习-解析几何专题
2018-2020三年高考数学分类汇编
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
2019-2020高考数学试题分类汇编
最新高考数学分类理科汇编
高考数学试题分类汇编集合
人教版高考数学专题复习：解析几何专题
2020年高考数学试题分类汇编之立体几何
2015-2019全国卷高考数学分类汇编——集合
2020年高考数学试题分类汇编 平面向量
相关主题
文本预览