合 同 变 换
首都师范大学数学科学学院 周春荔
§1. 好 玩 的 平 移
将一个平面图形F ，按一定方向移动一个定距离，变成图形F '的几何变换，就是平行移动，简称平移。其中“按一定方向”（平移方向）移动的“定距离”（平移距离）可以用向量v 来刻画.因此，平移变换记为()T v .图形F 在()T v 下变
为图形F '，可以记为()T v F F '??
?→. 平移有下列基本性质：
1. 平移变化下，对应线段平行（或共线）且相等.
2. 平移变换下，对应角的两边分别平行且方向一致，因此，对应角相等。 可见，在平移变换下，可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到将相关几何元素相对集中，使各元素之间的关系明朗化的目的.因此，解题者常有“豁然开朗”之感.下面我们通过例题来体验平移的美妙好玩之处。 例1. 如图1，六边形ABCDEF 中，
//,//,//,AB ED AF CD BC FE 对角线.FD BD ⊥
已知FD = 24 cm ，BD = 18 cm.问六边形
ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
（第八届华杯赛团体决赛口试试题16） （图1）
分析：本题初看似乎无从下手，但仔细观察后发现，题中有三组平行且相等的线段，还有两条互相垂直且长度已知的对角线.于是就会产生平移图形，将其拼成一个长方形的想法。
解：如图2，将DEF ?平移到BAG ?的位置，
将BCD ?平移到GAF ?的位置，则原六边形分解组合
成长方形BDFG .此长方形的边恰是已知长度的BD 与
FD .易知长方形BDFG 的面积为 24×28 = 432 cm 2. 所以，六边形ABCDEF 的面积是432 cm 2. （图2）
例2. 两条长为1的线段AB 与CD 相交于点O ，且60.BOD ∠=
求证：1AC BD +≥.
分析：要证1AC BD +≥，易联想到，将AC 、BD 和长为1的线段集中到一个三角形中，利用三角形不等式即可证明.
要保持AC 长度不变，角60 大小不变，可将
AC 平移到BB 1（如图3），同时也就相当于将AB
平移到CB 1. 此时BB 1 = AC ，160DCB DOB ∠=∠= ，
CB 1 = AB = 1 = CD .所以1DCB 是等边三角形，
DB 1 = CD =1. （图3）
在1DBB 中，有11,BB BD DB +≥即1AC BD +≥.
证明略.
例3. P 为矩形ABCD 内任意一点.求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，且该四边形的两条对角线分别等于线段AB 和BC ，恰好也互相垂直。
分析：为将AP 、BP 、CP 、DP 组成一个四边形，就要将它们平移到新的位置，使其首尾相接.为此，将APD 沿AB 平移到BQC 的位置.则P A 、PB 、PC 、 PD 变为四边形PBQC 的四条边.
证明：如图4，过P 作AB 的并行线，截取
PQ = AB .连接BQ 、CQ ，则APQB 与PDCQ 都是
平行四边形。所以，BQ = AP ，QC = PD .可见四
边形BQCP 的四条边分别等于P A 、PD 、PC 、PB.
所以，PQ BC ⊥，也就是四边形BQCP 的两条对 （图4）
角线互相垂直.
例4. 在六边形ABCDEF 中，AB//ED ，BC//FE ，CD//AF ，且对边之差
0.BC FE DE BA FA DC -=-=->求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等。 分析：六边形内角和为720 .要证各内角均相等，即证每个内角都等于120 . 因此，问题就是要在对边平行且对边之差相等的条件下，推证六边形每个内角都
为120 .而图中没有直接给出120 的角，怎么办？我们只要有了60 角就会产生120 的角，而60 角来自等边三角形的内角，题设条件中三组对边之差相等，且三组对边分别平行，这就启示我们，可以通过平移将“三组对边之差”集中在一个三角形中。
证明：如图5，过A 作FE 的并行线，过C 作
BA 的并行线，过E 作DC 的并行线.这三条并行线两两
相交于点P 、Q 、R . 易知ABCQ 、CDER 、EF AP 均为平
行四边形.所以，
//,//,//,A Q B C C R D E E P F A //,//,//AP FE CQ BA ER FA
（图5）
故PQ =AQ – AP = BC – FE ，QR = CR – CQ = DE – BA ，RP = EP – ER = F A - DC.
因为 0.BC FE DE BA FA DC -=-=->
则 PQ = QR = RP . 所以PQR 为等边三角形。故12360.∠=∠=∠= 因此，32120BCD DCR RCB ∠=∠+∠=∠+∠=
1803120CDE ERC ∠=∠=-∠= .
同理可证，120ABC DEF EFA FAB ∠=∠=∠=∠= .
例5. 已知D 、E 是ABC 边BC 上的两点，且BD = CE.
求证：.AB AC AD AE +>+
分析：要证AB AC AD AE +>+，可设法使这四条线段相对集中.为此，将 ACE 平移到PDB 的位置（如图6），各种关系就自然显露出来了.
证明：过点D 作CA 的并行线与过点A 所作CB 的并行线相交于P . 则ACDP 是平行四边形. 故PD = AC. 连接PD 交AB 于O ，连
接PB ，则APBE 是平行四边形. 故 PB = AE.
由三角形不等式易知 ,.AO OD AD OB OP PB +>+>
相加得,AB PD AD PB +>+即.AB AC AD AE +>+ （图6）
例6. 如图7，ABC 是正三角形，111A B C 的边A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1交ABC 各边分别于C 2、C 3、A 2、A 3、B 2、B 3. 已知A 2C 3= C 2B 3 = B 2A 3，若1111.A B AC ⊥
求证：()()()222
232323C C B B A A +=.
分析：要证()()()222232323C C B B A A +=，酷似
勾股定理的结论。只须设法平移线段，将C 2C 3、
A 2A 3、
B 2B 3集中到一个直角三角形中即可，由
1111,A B AC ⊥为产生直角创造了条件。
（图7） 证明：如图8，过A 2作C 2C 3的并行线交过C 2所作C 3A 2的并行线于点O . 则A 2OC 2C 3是平行四边形. 故 A 2O = C 2C 3，OC 2 = A 2C 3 = B 3C 2. 又因为
2360,OC B C ∠=∠= 所以32OB C 是正三角形.
从而，3260OB C B ∠==∠ 332//OB A B ?
且32332OB C B A B ==.因此，OB 3B 2A 3是平行四边形.
故OA 3//B 3B 2，且OA 3 = B 3B 2.
因为1111A B AC ⊥，又OA 3 //A 1C 1，OA 2 //A 1B 1， （图8）
所以323290.A O A O A OA ⊥?∠= 在32Rt A OA 中，由勾股定理得()()()222
2323,OA OA A A +=
又A 2O = C 2C 3，且OA 3 = B 3B 2. 所以()()()222232323C C B B A A +=.
例7. 考虑如图9所示的ABC 和正PQR .在ABC 中，
120ADB BDC CDA ∠=∠=∠= .求证：.x u v w =++
（图9） （图10）
分析：题意是，若ABC 中，BC = a ，CA=b ，AB = c ，D 是形内一点，恰满足120ADB BDC CDA ∠=∠=∠= ，且AD = u ，BD = v ，CD = w .求证：存在边长为x 的等边PQR ，其中内部存在一点O ，恰使得OP = a ，OQ = b ，OR = c ，则有.x u v w =++
我们利用平移，在ABC 的基础上，将AD 、BD 、CD 设法构成一个正三角形，其边恰为.x u v w =++
证明：如图10，以ABC 为基础，平移 AD 到EC ，平移BD 到F A ，平移CD 到GB .则ADCE 、BDAF 、CDBG 都是平行四边形，且满足
CE = u ，EA = w ，120;AEC ∠=
AF = v ，BF = u ，120;BFA ∠=
BG = w ，CG = v ，120.CGB ∠=
将线段CE 、AF 、BG 向两方延长，相交成PQR .易知,,PCG QAE RBF 都是等边三角形，即
PC = PG =CG = v ，QA = QE = AE = w ，RB = RF = BF = u.
则PQR 也是等边三角形，且PQ = QR = RP =.u v w ++
因为PBDC 、QCDA 、RADB 都是等腰梯形，所以，DP= a ，DQ = b ，DR = c. 换言之，点D 就是题设边长为x 的正三角形内的点O.至此问题得证.
图形变化，其趣无穷，出神入化.好玩的平移！
研 究 练 习 题
1. 如图所示，小半圆的直径CD 在大半圆的直径
AB 上，平行于AB 的弦EF 与小圆相切.若EF = 5，求
图中阴影部分的面积. 2. 四边形ABCD 中，AD//BC ，80,50.ABC BCD ∠=∠= （第1题图）
求证：BC=AD+AB .
3. 以ABC 的三边为边向形外分别作正方形ABDE ，CAFG ，BCHK .连接EF ，GH ，KD.求证：以EF ，GH ，KD 为边可以构成一个三角形，且所构成的三角形的面积等于ABC 的面积的3倍.
§2. 有 趣 的 轴 对 称
如果已知平面上直线l 和一点A ，自A 作l 的垂线，垂足
设为H .在直线AH 上l 的另一侧取点A '，使得.A H AH '=如图
1所示，我们称A '是A 关于直线l 的对称点。或者说A 与 A '关于直线l 为轴对称，其中直线l 称为对称轴. （图1）
图形F 的每一点关于直线l 的对称点组成的图形F '，称为F 关于直线l 的轴对称图形.把一个图形变为关于直线l 的轴对称图形的变换，叫做轴对称变换（或反射变换），其中直线l 称为对称轴（反射轴）.
容易想到，一条线段AA '关于它的垂直平分线l 为轴对称图形，一个角AOA '∠关于它的角平分线OB 为轴对称图形.在几何证题或解题时，如果图形是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.如果图形不是轴对称图形，往往可选择某直线为对称轴，补为轴对称图形.或将轴一侧的图形反射到该轴的另一侧，以实现条件的相对集中。
例1. 四边形ABCD 中，AB = 30，AD =48，BC = 14，CD = 40.又已知90,ABD BDC ∠+∠= 求四边形ABCD 的面积.
解：直接计算四边形ABCD 的面积有困难.我 们以BD 的垂直平分线l 为对称轴，作ABD 的关 于l 的轴对称图形1A DB ，如图2. 则
1,ABD A DB S S = 1130,48,A D AB A B AD ==== 1.A DB ABD ∠=∠
（图2）
所以11A DC A DB BDC ∠=∠+∠=90,ABD BDC ∠+∠=
因此，1A DC 是直角三角形.由勾股定理求得150.A C == 在1A BC 中，A 1C = 50，A 1B = 48，BC =14，
而 222221114481962304250050BC A B AC +=+=+===， 依勾股定理逆定理知 190A BC ∠= .
所以111ABCD A BCD A BC A DC S S S S ==+ =111122
A B BC A D CD ??+?? =1148143040336600936.22
??+??=+= 利用轴对称我们巧妙地将四边形ABCD 的面积计算出来了.
例2.ABC 中，AB =AC ，80.BAC ∠= O 为形内一点，10
,30.
OBC OCB ∠
=∠= 求BAO ∠的度数. 分析与解：在图3中，根据条件AB =AC ，
80.BAC ∠= 推知50.ABC ACB ∠=∠= 又10,30.OBC OCB ∠=∠= 可知40ABO ∠= ，20ACO ∠= ， （图3）
140.BOC ∠= 再往下简直无从下手了.
这时，我们想到等腰三角形是轴对称图形，
其对称轴是底边上的高线.为此，作AH BC ⊥
于H. AH 也是BAC ∠的平分线.立即得出
40.BAH CAH ∠=∠= 为了充分展开轴对称图形 的作用，延长CO 交AH 于P （图4），这时 （图4） 40.BOP BAP ∠==∠ 连结BP ，由对称性知 30PBC PCB ∠=∠= ，所以
301020.PBO ∠=-= 因此，402020.ABP ∠=-=
在ABP 与OBP 中，40,,20BAP BOP BP BP ABP OBP ∠=∠==∠=∠= 所以 ABP ?OBP （角、边、角）
因此 AB = OB （全等三角形的对应边相等）
由于40,ABO ∠= 所以 180180407022ABO BAO -∠-∠=== .
例3. ABC 中，AC =BC ，90.ACB ∠= P ，Q 为
AB 上两点，且45PCQ ∠= （图5）.
求证：222.AP BQ PQ +=
分析：由AC =BC ，90ACB ∠= 知ABC 是个等腰 （图5）
直角三角形，AB 为斜边.要证222AP BQ PQ +=，只需设法将AP ，BQ ，PQ 这三条线段集中在一个直角三角形中，使得PQ 为斜边，AP ，BQ 为两个直角边即可。我们利用轴对称来实现这一构想。
证明：作,MCQ BCQ ∠=∠截取CM = CB ，连结MQ .
易知MCQ BCQ ? .所以MQ = QB ，45CMQ B ∠=∠=
由于904545,ACP BCQ ∠+∠=-= 又,MCQ BCQ ∠=∠
所以.ACP MCP ∠=∠且CM = CA .连结PM ，如图6 . （图6） 易知ACP MCP ? .所以 PM = AP ，45PMC A ∠=∠= .
在PMQ 中，454590PMQ PMC CMQ ∠=∠+∠=+= .所以PMQ 为直角三角形，PQ 为斜边.
所以222MP MQ PQ +=.也就是222AP BQ PQ +=（等量代换）.
在本题的证明中，实际上是将BC 关于CQ 轴对称，CA 关于CP 轴对称，两个对称图形都是线段CM.这样，巧妙地将线段AP ，BQ ，PQ 集中在一个直角三角形PMQ 中，使问题获证的。
例4. 如图7所示，求出图中“？”的角度.
（1995年第四届日本算术奥林匹克决赛题6）
（图7） （图8）
解：要求“？”的角度，即ACD ∠的度数.乍一看，简直无从下手.但仔细观察，发现已知角的度数都是12的倍数，会使我们萌发造60 角，从而作正三角形的想法.
为此作ACD 关于AD 所在直线的轴对称图形APD .这时APD ACD ?
，
有,12,60,.APD ACD PAD CAD PAB AP AB ∠=∠∠=∠=∠==
连结PB ，则PAB 为正三角形.由于60,12.ABP PBD ∠=∴∠=
注意到123648,DAB DBA AD BD ∠=+==∠∴= .因此PAD PBD ? .
.APD BPD ∠=∠但60,30.APD BPD APD ∠+∠=∴∠=
因此30.ACD APD ∠=∠=
说明：解题完毕，仔细看图，发现图形的结构，就是作ACD 关于AD 所在直线的轴对称图形APD ，再作APD 关于PD 所在直线的轴对称图形BPD . 整个证明过程，都是围绕实现这两次轴对称进行的.
例5. 点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点.120AMD ∠= . 证明：1.2
AB BC CD AD ++≥ 分析：显然，要证题设的不等式，应当把AB ，12
BC ，CD 三条线段首尾连接成一条折线，再与线段AD 比较即可.要实现这
一构想，折线之首端应与A 点重合，尾端应与D
点重合.这可由轴对称来实现。
证明：以AM 为对称轴，作点B 关于AM 的
对称点B 1，连结AB 1，MB 1，则AB 1 =AB ，MB 1 = MB .
（图9） 即1,AB M ABM ? 由此1.B MA BMA ∠=∠
再以DM 为对称轴，作C 关于DM 的对称点C 1，连结DC 1，MC 1，则DC 1=DC ，MC 1 = MC . 即1,DC M DCM ? 由此得1.C MD CMD ∠=∠
由于120AMD ∠= ，所以180********BMA CMD AMD ∠+∠=-∠=-= . 但1160B MA C MD BMA CMD ∠+∠=∠+∠= .
因此 1111120()1206060.B MC B MA C MD ∠=-∠+∠=-= 又111,2MB MC BC ==所以11B MC 是等边三角形，111.2
B C BC = 由于两点间以直线段为最短，所以1111.AB B C C D AD ++≥
即1.2
AB BC CD AD ++≥ 例6. 矩形ABCD 中，AB = 20cm ，BC =10cm.若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使得BM+MN 的值最小，求这个最小值.
解：作B 关于AC 的对称点B '，连结AB '.则N 点关于AC 的对称点为AB '上的N '点.
这时，B 到M 到N 的最小值等于B M N '→→的最小值，等于B 到AB '的距离BH '.即BM+MN 的最小值为BH '.
现在求BH '的长. 设AB '与DC 交于P 点，
连结BP ，则ABP 的面积等于120101002
??=. 注意到P A =PC （想一想为什么？）
设 AP = x ，则PC = x ，DP = 20 - x .
根据勾股定理得 222PA DP DA =+， （图10）
即 22222(20)1040040100x x x x x =-+?=-++，解得x = 12.5.
所以 BH '=10021612.5?=（cm ）. 即BM+MN 的最小值是16厘米. 例7：在ABC 中，A ∠是最小角. 点B 和C 分这个三角形的外接圆为两个弧.设U 是以B 和C 为端点（不包含A ∠）的这段弧的内点. 线段AB 和AC 的中垂线分别交AU 于点V 和W. 直线BV 和CW 交于点T.
求证：AU=TB+TC .
分析：初看此题，弦多、交点多，难于
找到头绪. 但想到圆的轴对称性，每条直径
都是对称轴，AC 、AB 中垂线的交点是圆心
O. 垂径定理正是体现圆的轴对称性的定理，
为我们证题打开了思路.
证明：不难证明，当A ∠是ABC 中的 （图11）
最小角时，则点T 在ABC 的内部.
设直线BV 和CW 交ABC 的外接圆分别于B 1和C 1，根据圆对AB 中垂线的对称性，有AU =BB 1. 根据圆对AC 中垂线的对称性，可得AU =CC 1. 所以 BB 1 = CC 1. 因此两条劣弧 1111
,BB CC B C BC =?=所以BC 1 // CB 1
且
B1C1 = BC.这意味着BCB1C1是等腰梯形，该等腰梯形是轴对称图形，其对称轴是O
的一条直径，这条直径过梯形BCB1C1对角线的交点T.
于是TB = TC1.
因此TB + TC = TC1 + TC = CC1 = AU.这就是要证明的.
例8. 在矩形台球桌ABCD上，放有两个球P和Q.恰有PAB
∠和QAD
∠相等.如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞
到球Q，其路线记为P M Q
→→；如果打击球
Q使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线
记为.
Q N P
→→
证明：P M Q
→→与Q N P
→→的路线长相等.（图12）
分析与证明：台球P撞AB于M反弹打到Q满
足PMB QMB
∠=∠，即对P的路线是作P
关于BA的对称点P1，连结P1Q交BA于点M，
则P M Q
→→为球P的路线.
再作Q关于AD的对称点Q1，连结PQ1（图13）交AD于点N，则Q N P
→→为球Q的路线.
由对称性知，
11
,.312 4.
PA PA Q A QA
==∠=∠=∠=∠
1111
,.
PM MQ PM MQ PQ QN NP Q N NP Q P
+=+=+=+=
因此，要证P M Q
→→与Q N P
→→的路线长相等，即证明PM + MQ = QN + NP，也就是证明P1Q = Q1P.
在
1
P AQ
与
1
PAQ
中
11
,,
PA PA QA Q A
==
1
3290
P A Q B A Q B A Q
∠=∠+∠=∠+∠= ，
而
1
4190
PAQ PAD PAD
∠=∠+∠=∠+∠=
11
.
PAQ PAQ
∴∠=∠
11
(,,)
PAQ PAQ S A S
∴?
，有P1Q = Q1P.
所以，P M Q →→与Q N P →→的路线长相等.
说明：光线折射、打台球弹子折射都有入射角等于反射角的性质，因此都与轴对称有着联系。
例9. 如图14，30.POQ ∠= A 为OQ 上一点，
B 为OP 上一点，且OA =5，OB =12，在OB 上取点A 1，
在AQ 上取点A 2.设l = AA 1 + A 1A 2 + A 2B . 求l 的最小值.
分析：要求l = AA 1 + A 1A 2 + A 2B 的最小值，设法 （图14） 将AA 1 ，A 1A 2 ，A 2B 变位后与一条固定的线段相比较，利用“两点之间直线段
最短”的原理来求解。再由30 角为90 的13，可 以设想沿OP ，OQ 分别使POQ ∠向角的外侧对 折，造成一个90 的特殊角，为问题的解答创设条 件。 （图15） 解：以OP 所在直线为对称轴，作POQ ∠的轴对称图形0;POQ ∠以OQ 所在直线为对称轴，作QOP ∠的轴对称图形0.QOP ∠这时，A 点关于OP 的对称点为OQ 0上的A 0点，B 点关于OQ 的对称点为OP 0上的B 0
点.OA 0=5，OB 0=12，0090.A OB ∠= 由对称性知 011022,.A A AA B A BA ==
所以 l = AA 1 + A 1A 2 + A 2B = A 0A 1 + A 1A 2 + A 2B 000.A B ≥
因此 l 的最小值为00A B 的长.
问题归结为：“在00A OB 中，OA 0=5，OB 0=12，0090A OB ∠= ，求00A B .”
依据勾股定理得 222220*********A B O A O B =+=+=，
因此0013A B ==. 所以，l 的最小值为00A B 的长为13.
例10. A 、B 、C 三个村庄在一条东西向的公路沿线上，如图16所示.AB = 2
千米，BC =3千米.在B 村的正北方有一个D 村，测得45.ADC ∠= 今将ACD 区
域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建设或绿化用地. 试求这个开发区的建设或绿化用地的面积是多少平方千米？
（图16） （图17）
分析与解：本题的基本模型是：“在ADC 中，45.
ADC ∠= DB AC ⊥，垂足是AC 边上的点B. 若AB =2，CB =3. 求ADC 的面积.”
要求ADC 的面积，只须求出DB 即可. 直接求有困难，但看到45ADC ∠= ，若分别将,ADB CDB ∠∠关于AD ，CD 作轴对称，可形成一个90 角，不妨试一试.
如图17，作Rt ADB 关于DA 所在直线的轴对称图形1Rt ADB ，易知1Rt ADB Rt ADB ? . 作Rt CDB 关于DC 所在直线的轴对称图形2Rt CDB ，易知2Rt CDB Rt CDB ? .
延长12,B A B C 相交于E ，则B 1DB 2E 是正方形.
设BD = x ，则B 1D = DB 2 = B 2E = EB 1 = x. AB 1 = AB = 2，CB 2 = CB = 3，AC =5. 所以 2, 3.AE x CE x =-=-
在Rt AEC 中，根据勾股定理，得 222AE CE AC +=，
即222(2)(3)(23)x x -+-=+，整理得2560,x x --=
分解因式 (6)(1)0
x x -+=. 0,x > 则有10x +>，60 6.x x ∴-=?= 即 DB = 6（千米）.
所以156152
ACD S =??= （平方千米）. 由于已知开发区中有4平方千米的水塘，所以这个开发区的建筑及绿化用地的面积是15 – 4 = 11（平方千米）.
例11. 单位正方形周界上任意两点之间连一曲线，如果它把这个正方形分成面积相等的两部分，试证，这个曲线段的长度不小于1.
分析：（1）“周界任两点”在正方形的一组对边上时，如图18（1）结论显然成立。
（2）“周界任两点”在正方形的一组邻边上时，可连一条对角线，如图18
（2），经过以所连对角线为对称轴，作轴对称变换，化归为（1）的情形。
（1） （2） （3） （图18）
（3）“周界任两点”在正方形的同一边上时，可连一组对边中点连线，如图18（3），以所连的一组对边中点连线为对称轴，作轴对称变换，化归为（1）的情形。
在上述（1）、（2）、（3）中，（1）是最基本的情况。通过轴对称（反射）的手段，实现了（2）、（3）化归为（1），从而得到问题的解答。
在轴对称图形中，经常要想到设法利用图形的轴对称性质来添加辅助线，会使我们的思路开阔起来。
图形对称，魅力无穷.有趣的轴对称！
研究练习题
1. ABC 中，由A 点向BC 边引高线，垂足D 落在边BC 上.如果2,C B ∠=∠求证AC+CD=BD.
2. ABC 中，.AB AC >P 为A ∠的平分线上任一点.求证.PB PC AB AC -<-
3. ABC 中，AM 是BC 边上的中线，作,AMB ANC ∠∠的平分线分别交AB 于D ，AC 于E.求证：.DE BD CE <+
4. 如图所示，ADC 是AC 边与AD 边
相等的直角三角形.求BDA ∠的度数.
（1995年第四届日本算术奥林匹克预赛题8）
§3. 神 奇 的 旋 转
将平面图形F 绕这平面内的一个定点O 按一定方向旋转一个定角θ，得到平面图形F '.这样的变换称为旋转变换.O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角.
旋转角为180 的旋转变换是中心对称变换.
旋转变换前后的图形具有如下性质：
（1） 对应线段相等，对应角相等；
（2） 对应点位置的排列次序相同；
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等 （图1）
于旋转角θ.
（4）旋转中心O 是旋转变换下的不动点.
通过图1，我们看到，点A 逆时针旋转θ角到A 1，点B 逆时针旋转θ角到B 1，则直线AB 在逆时针旋转θ角的变换下变为直线A 1B 1.设直线AB 与直线A 1B 1的交点为P ，则易证11OAB OA B ? ，推得线段AB = A 1B 1，1BPB θ∠=.即从直线AB 到直线A 1B 1的角等于旋转角θ.
旋转变换在平面几何中有着广泛的应用.特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形，正方形的问题时，更是经常用到的思维途径.
例1. 在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上取点P ，边BC 上取点Q ，边CD 上取点M ，边AD 上取点N . 如果AP + AN + CQ + CM = 2.
求证：.PM QN ⊥
证明：直接证明PM QN ⊥遇到困难，我们可以
设想，若将QN 旋转90 成一新的直线Q 1N 1，只须证
明PM // Q 1N 1即可.
为此，将正方形ABCD 绕A 点顺时针旋转90 ，
则正方形ABCD 变到正方形ADC 1D 1的位置.其中
,A A →1111,,,,.B D C C Q Q N N D D →→→→→ （图2）
直线11QN Q N →，因此11QN Q N ⊥. 显然AN = AN 1，CQ = C 1Q 1，
则PN 1 = AP + AN 1 = AP + AN = 2 -（CM + CQ ）= CC 1 -（CM + C 1Q 1）= MQ 1. 又 PN 1// MQ 1，所以PMQ 1N 1是平行四边形. 所以PM // N 1Q 1.
因为11QN Q N ⊥（已证），所以.PM QN ⊥
例2. P 为正ABC 内一点，113,123.APB APC ∠=∠=
求证：以AP ，BP ，CP 为边可以构成一个三角
形.并确定所构成的三角形的各内角的度数.
解：要判断AP ，BP ，CP 三条线段可以构成
一个三角形的三边，常采用判定其中任两条线段之
和大于第三条线段的办法.然而如何求所构成的三角
形各内角的度数，又会使你束手无策.怎么办？如果
以C 为中心，将APC 逆时针旋转60 ，A 点变到B （图3） 点，线段CA 变到CB ，P 点变到P 1点.奇迹发生了！
此时，CP = CP 1并且1160,PCP APC BPC ∠=? （理由：AC =BC ，
ACP ∠ 160BCP PCB =∠=-∠ ，CP = CP 1）.当然有AP = BP 1，1
123.BPC APC ∠=∠= 容易由CP = CP 1，160,PCP ∠= 知1PCP
为等边三角形，所以 PP 1 = CP ， 1160CPP CPP ∠=∠= .这时，1BPP 就是以BP ，AP （=BP 1），CP （=PP 1）为三边构成的三角形.
易知111601236063.BPP BPC CPP APC ∠=∠-∠=∠-=-=
又360113123124BPC ∠=--=
所以11
1246064.BPP BPC CPP ∠=∠-∠=-= 因此1180636453.PBP ∠=--=
说明：本题我们通过绕定点C 将APC 逆时针旋转60 形成的构图，将AP ，BP ，CP 三条线段相对集中，直观地证明了以这三条线段为边的三角形（1BPP ）是存在的。并且很容易地计算出其三个内角的度数分别是63,64 和53
.
例3.一个斜边长为29的红色直角三角形纸片，
一个斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色
的正方形纸片，如图拼成一个直角三角形.问：红、
蓝两张三角形纸片面积之和是多少？试说明理由。 （图4） （第7届华杯赛团体决赛口试试题3） 分析与解：直接分别计算红、蓝两块直角三角形面积，会遇到困难.因此整体综合考虑.将Rt BDE 绕D 点逆时针旋转90 ，由
于DE = DF ，显然，E 点与F 点重合，由
90DEB DFC ∠==∠ ，则EB 沿FC 落下，B 点落在
FC 上的G 点处，此时，Rt BDE 变到Rt DFG 的位 置. DB 变到DG 的位置，有DG=DB =29. （图5）
1801809090ADG ADF FDG ADF BDE EDF ∠=∠+∠=∠+∠=-∠=-= 此时，Rt ADG 的面积就等于红、蓝两块直角三角形面积之和. 因为1114214929710.5222
ADG S AD DG =??=??== .也就是图中的红、蓝两块直角三角形面积之和为710.5.
例4.如图6，以ABC ?的AB ，AC 边为边向
形外作正方形ABDE 与CAFG .连接EF ，过A 作BC
的垂线，交EF 于M ，
求证：EM = FM.
证明：如图7，将ABC 绕A 点顺时针旋转
90 ，到1AEC 的位置. 易知C 1、A 、F 三点共 线，AC 1 = AF . A 是1FEC 中边C 1F 的中点. （图6）
从图中易见，EAM ∠与BAH ∠互余，又
ABH ∠也与BAH ∠互余，所以EAM ∠=ABH ∠.
但1AEC ∠是ABH ∠绕A 点顺时针旋转90 所到的
位置，因此1AEC ∠=ABH ∠.所以1AEC ∠=EAM ∠，
因此AM//EC 1. （图7）
根据三角形中位线定理，得ME = MF .（过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边）.
例5. 如图8，在四边形ABCD 中，30,60,.ABC ADC AD DC ∠=∠== 证明：222.BD AB BC =+
分析：要证222BD AB BC =+，想到用勾股定理.
由于BD ，AB ，BC 没有在一个三角形中，所以，应设
法通过图形变化，使这三条线段集中在一个三角形中，
（图8） 而且，这个三角形应是直角三角形即可。可以适用旋转变换。
证明：如图9，连接AC.
因为AD =DC ，60ADC ∠= ，
所以ADC 是正三角形。DC = CA = AD. 将DCB 绕C 点顺时针旋转60 到ACE 的位
（图9） 置，连接EB .这时， DB = AE ，CB = CE ，
60BCE ACE ACB BCD ACB ACD ∠=∠-∠=∠-∠=∠=
所以CBE 为正三角形，有BE=BC ，60CBE ∠= .
因此，306090ABE ABC CBE ∠=∠+∠=+= .
在Rt ABE 中，由勾股定理可得 222.AE AB BC =+
所以 222.B D A B B C =+
例6. 如图10所示的 六边形ABCDEF 中，
F E D C B A ∠=∠=∠=∠=∠=∠，AB = BC = CD ，
AF = DE. CEF ?的面积等于六边形ABCDEF 面积 的一半。求ECF ∠的度数。
分析与解：由于六边形内角和为720 ，而六个 （图10）
内角都相等，所以120A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠= .由于CEF ?的面积等于六边形ABCDEF 面积的一半，我们可以将六边形中除去CEF ?剩下的部分设法
拼补在一起，当然，首要的任务是将CEF ?移动位置，与四边形BCF A 集中到一起，为此，以C 为旋转中心，将CDE 绕C 点逆时针旋转120 ，到1C B E 的位置.
事实上，1CBE ?CDE （ CB = CD ，1BCE DCE ∠=∠，CE 1= CE ） 当然，BE 1=DE ，1120E BC CDE ABC ∠=∠==∠
所以11120,120.E BA E CE BCD ∠=∠=∠=
设E 1F 交AB 于M 点.
在1E BM 与FAM 中，由于E 1B=DE=AF ， 11120,E BM FAM E MB FMA ∠=∠=∠=∠ （图11）
所以1.E BM FAM ? 于是11
E BM FAM CE
F CEF S S S S =?= 自F 作FH CE ⊥于H ，作11FH CE ⊥于H 1. 由于1111,22
CE FH CE FH ??=??但CE = CE 1，FH = FH 1. 因为F 点到1E CE ∠的两边的距离相等， 所以111160.22
ECF E CF ECE DCB ∠=∠=∠=∠= 例7. 正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF ，GH 分割为四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点.若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小.
分析： 容易猜测到HAF ∠=45. 我们证明如下.
设AG = a ，BG = b ，AE = x ，ED = y .
则有关系式
a +
b = x + y ①
2ax = by ②
由① a – x = y – b （图12） 平方得222222,a ax x y by b -+=-+ 将②代入得 222224,a ax x y ax b -+=-+ 222()a x b y a x ∴+=+?+= 22222,.b y CH CF FH a x FH +=+=∴+= 即DH + BF = FH.
将Rt ADH 绕A 旋转90 到Rt ABM 的位置.
易证 ,.AMF AHF MAF HAF ?∠=∠
而 90.
M A H M A B B A H D A H B A H D A B ∠=∠+∠=∠+∠=∠= 1452
H AF MAH ∴∠=∠= 例8.如图13，三角形ABC 中.120, =∠=BAC AC AB 三角形ADE 是正三角形，点D 在BC 边上. .3:2:=DC BD
当三角形ABC 的面积是50平方厘米时，
求三角形ADE 的面积是多少平方厘米？
（1998第七届日本算术奥林匹克决赛试题4）
（图13） （图14）
解：直接解题有困难，将ABC 绕A 点逆时针旋转120,240 拼成正三角形 MBC ，则正ADE 变为正11AD E 和 正22AD E .易知DED 1E 1D 2E 2是正六边
形，DD 1D 2是正三角形，其面积是三角
形ADE 面积的3倍。因此，设法由正 MBC 面积为150，求出三角形DD 1D 2 （图15） 的面积，问题就解决了。
注意到:BD DC =11:CD D M =22:2:3.MD D B =连接DM ，则MBD 的面积是MBC 面积的25，等于150×25= 60.而2D BD 的面积是MBD 面积的35
， 等于60×35
= 36.同理可得12MD D ，1DCD 的面积也是36.因此三角形DD 1D 2的面积=150-3×36=42. 三角形ADE 的面积是三角形DD 1D 2面积的1,3
等于14.