2009年福建省泉州七中复读段高考数学摸底考试卷2009.9.5
一、选择题：（共60分）
1、为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2、已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在（ ）
A、轴上 B、轴上 C、直线上 D、直线上
3、函数是的反函数，若的图象过点，则（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在△中，""是"△为钝角三角形"的（ ）
A、必要不充分条件 B、充要条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件
5、已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、定义行列式运算=. 将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、将正方形ABCD沿对角线BD折成120°的二面角，C点到处，这时异面直线AD与所成角的余弦值是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知等差数列的前项和为，且，则过点和N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过二分钟后，该物体位于点，且，则的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、以上均不正确
10、定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为（ ）
A、 B、 C、0 D、1
11、已知x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、双曲线（）的右顶点为A，x轴上存在一点Q，若C上存在一点P，使AP⊥PQ，则双曲线C的离心率e的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：（共16分）
13、设随机变量服从正态分布，若，则=_______________。
14、定义映射如下表：
1
2
3
4
... 2
4
7
11
... 若，则 。
15、若函数在上有最小值，则实数的取值范围为 。
16、一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是_________________。
三、解答题：（共74分）
17、设锐角三角形的内角的对边分别为，且。
（1）求的大小；（2）求的取值范围.
18、将圆按向量平移得到，直线与相交于、两点，若在上存在点，使，求直线的方程。
19、某厂规定，如果工人在第一季度里有1个月完成产生任务，可得奖金90元；如果有2个月完成任务，可得奖金210元；如果有3个月完成任务，可得奖金330元；如果三个月都未完成任务，则没有奖金。假设某工人每个月完成任务与否是等可能的，求此工人在第一季度里所
得奖金的期望。
20、在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
（1）求证：EF∥平面SAD；（2）设SD，求二面角A－EF－D的大小。
21、已知函数。
（1）若，试确定函数的单调区间。
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围。
（3）设函数，求证：
22、已知各项全不为0的数列的前k项和为，且，。
（1）求数列的通项公式。
（2）对任意给定的正整数n，数列满足：，，
求。
答案：
一、选择题：（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
C
C
C
D
B
C
D
D
C
二、填空题：（每题4分，共16分）
13、； 14、； 15、； 16、；
三、解答题：（共74分）
17、设锐角三角形的内角的对边分别为，且。
（1）求的大小；
（2）求的取值范围。
解： （1）由条件及正弦定理得：
则（3分）
∴又，
∴又， ∴. （6分）
（2）由及， 得.
又△为锐角三角形，∴
∴ . （8分）
（10分）
又，∴.
∴. （12分）。
18．（本小题满分12分）将圆按向量平移得到，直线与相交于、两点，若在上存在点，使求直线的方程。
解： 由已知圆的方程为，
按平移得到.(1分)
∵
∴.
即. （5分）
又，且，∴.∴. （7分）
设， 的中点为D。
由，则，
又.
∴到的距离等于. （9分）
即，
∴.
∴直线的方程为：或. （12分）
19、（满分12分）
某厂规定，如果工人在第一季度里有1个月完成产生任务，可得奖金90元；如果有2个月完成任务，可得奖金210元；如果有3个月完成任务，可得奖金330元；如果三个月都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每个月完成任务与否是等可能的，求此工人在第一季度里所得奖金的期望．
解： 设：该工人在第一季度完成任务的月数，
：该工人在第一季度所得奖金数，则与的分布列如下：
∴．
答：该工人在第一季度里所得奖金的期望为153.75元
20、在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，
侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
（1）求证：EF∥平面SAD；
（2）设SD，求二面角A－EF－D的大小。
解： （1）作FG∥DC交SD于G，则G为SD中点，
连接AG。易得FG。
又CD，E为AB中点，则FGAE，
故四边形AEFG为平行四边形，从而EF∥AG。
由于AG平面SAD，EF平面SAD，
所以EF∥平面SAD。
（2）不妨设DC＝2，则SD＝4，DG＝2，
△ADG为等腰直角三角形。
取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG。
易得AB⊥平面SAD，则AB⊥DH
AB交AG于A，故DH⊥平面AEF。
取EF中点M，连接MH、DM。易得MH⊥EF，DM⊥EF，
则∠DMH为二面
角A－EF－D的平面角，
可求得其大小为。
21、已知函数。
（1）若，试确定函数的单调区间。
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围。
（3）设函数，
求证：
解： （1）由，得，。
由，得，故的单调增区间为。
由，得，故的单调减区间为。
（2）由，可知是偶函数，
则对任意恒成立，
等价于对任意恒成立。
由，得。
①当时，，
此时在上单调递增，
故，合题意。
②当时，。
当x变化时，的变化情况如下表：
－
0
＋ 单调递减
极小值
单调递增 由此可得：在上。
由题意得，则。
综上所述：。
（3）。
，依此类推。
由此可得：
，
故：
22、已知各项全不为0的数列的前k项和为，且，。
（1）求数列的通项公式。
（2）对任意给定的正整数n，数列满足：，，求。
解：（1）当时，由及，得。当时，由，
得。又，则，从而，，故。
（2）由，得
，
故