2019届高三年级阶段性学情联合调研
数学试题(Ⅰ)
参考公式：锥体的体积1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1、已知集合{}{}1,3,5,2,3A B ==，则集合A
B 中的元素个数为 ▲ ．
2、已知复数3z a i =+(i 为虚数单位)，若2z 是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．
3、已知双曲线2
2
:1C x y -=，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ▲ .
4、设命题:4p x >；命题2
:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、
“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 5、函数()ln 2f x x =-的定义域为 ▲ ． 6、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,6,33
C b c π
=
==，则A = ▲ .
7、设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，若4100a a +=，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ． 8、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ▲ ．
9、已知函数()[]()
sin 0,f x x x π=∈与函数()1
tan 3
g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为 ▲ .
10、设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβ∥∥，则αβ∥； ②若,m m αβ⊥∥，则αβ⊥； ③若,m m n α∥∥，则n α∥； ④若,m ααβ⊥∥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是___▲___.
11、设0,0x y >>，向量a =()1,4x -，b =(),x y -，若a b ∥，则x y +的最小值为 ▲ ． 12、已知函数()2x
x
f x e e
x -=--，则不等式()()2430f x f x -+>的解集为 ▲ .
13、已知函数()()1ln 1,1
21,1
x x x f x x -?->?=?+≤??，若函数()()g x f x a =-有三个不同的零点，则实数a 的
取值围是 ▲ .
14、已知直线:3l y kx =+与圆2
2
:20C x y y +-=无公共点，AB 为圆C 的直径，若在直线l 上存在点P 使得1PA PB ?=，则直线l 的斜率k 的取值围是 ▲ .
二、解答题(本大题共6小题，计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3455P ??
- ???
,-．
(1)求sin()3
π
α+
的值；
(2)若角β满足5
sin()13
αβ+=，求cos β的值．
16、(本小题满分14分)
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=?，AC BC =，D 是AB 的中点．
(1)求证：1BC ∥平面1A DC ；
1
11
D
C B B
A
(2)求证：平面1A DC ⊥平面ABC .
17、(本小题满分14分)
已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左右焦点坐标为())
12
,F F ，且椭圆E 经
过点12P ?
? ???
。
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设点M 是椭圆E 上位于第一象限的动点，,A B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积。
18、(本小题满分16分)
某海警基地码头O 的正西方向30海里处有海礁界碑A ，过点A 且与AO 成60角(即北偏东30)的直线l 为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头O 的正西方向且距离O 点12海里的领海海面P 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O 处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍()1λ>前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q 处截获可疑船。
(1)若可疑船的航速为10海里/小时，2λ=，且可疑船沿北偏西30的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间。
(2)若要确保在领海(包括分界线)成功拦截可疑船，求λ的最小值。
19、(本小题满分16分)
已知函数()3
2
4f x ax bx a =++，(,a b 为常数)
(1)若1,3a b ==
. .
①求函数()f x 在区间[]4,2-上的最大值及最小值。
②若过点()1,t 可作函数()f x 的三条不同的切线，数t 的取值围。
(2)当[]1,4x ∈时，不等式()2
04f x x ≤≤恒成立，求a b +的取值围。
20、已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为(
)*
n S n N ∈，且3
22a
a =+，2416a a ?=。数列{}n
b 的
前n 项和为n T ，且()()
()*1111,12
n n n n b nT n T n N ++==++
∈。 (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；
(2)证明数列{}n b 为等差数列，并求出{}n b 的通项公式； (3)设数列()(
)()11112n
k k
n k S b c k k +=+=++∑
，问是否存在正整数,,m n l ()m n l <<，使得,,m n l c c c 成等差数列，
若存在，求出所有满足要求的,,m n l ；若不存在，请说明理由。
2019届高三年级阶段性学情联合调研
数学试题(Ⅱ)(附加卷)
21.（B ）已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为e ＝11??
????
，并且矩阵M 对应的变换将点
()1,2-变成点()9,15，求出矩阵M .
21.(C ) 已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ?=-+???=?
（t 为参数）．设
直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一个动点，求MN 的最大值.
22．某市有,,,A B C D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为
2
3
，游览B 、C 和D 的概率都是1
2
，且该游客是否游览这四个景点相互独立.
（1）求该游客至多游览一个景点的概率；
（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望()E X .
23.已知抛物线2
:2C y px =经过点()1,2P ．过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，
B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．
（1）求直线l 的斜率的取值围；
（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：
1
1
λ
μ
+
为定值．
2019届高三年级阶段性学情联合调研
数学试题(Ⅰ)参考答案及评分标准
一、填空题：
1、4
2、3±
3、22
4、充分不必要
5、)
2,e ?+∞? 6、
512π 7、10- 8、1
3
9、
2π
10、②④ 11、9 12、{}|14x x x ><-或 13、(]1,2 14、(
)
3,11,3??--??
二、解答题： 15、（1）
角α的终边经过点 3
4(,)55P -- ∴2234
()()155
OP =
-+-=
∴43
sin ,cos 55αα=-=- …………4分
∴1143sin()sin ()()32255π
ααα+
==?--= …………7分
（2）5sin()13
αβ+=
，∴12cos()13αβ+===±…………9分
()βαβα=+-，∴cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++
∴当12cos()13αβ+=
时 ， 56
cos 65β=-； …………11分 当12cos()13αβ+=-时 ， 16
cos 65β= …………13分
综上所述：56cos 65β=-或16
cos 65
β= …………14分
16、（1）证明：连结1C A ，设1
1
AC AC E =，连结DE ． ∵三棱柱的侧面11AA C C 是平行四边形，∴E 为1AC 中点． …………2分 在△1ABC 中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥1BC ． …………4分 ∵DE ?平面1A DC ，1BC ?平面1A DC ，∴ 1BC ∥平面1A DC ． …………6分 (2)∵ 11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=?， ∴△1A AB 为正三角形． …………8分
D 是AB 的中点，∴1AB A D ⊥．
∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴ AB CD ⊥． …………10分 1A D
CD D =，∴AB ⊥平面1A DC ． …………12分
∵AB ?平面ABC ，∴平面1A DC ⊥平面ABC ． …………14分
17、解：(1)因为椭圆焦点坐标为())
12
,F F ，且过点P ?- ??
，
所以121242a PF PF =+=
+=，所以2a =， …………3分
从而1b ===，
故椭圆的方程为2
214
x y +=。 …………6分
(2)设点()()0000,02,01M x y x y <<<<，(),0C m ，()0,D n ， 因为()2,0A -，且,,A D M 三点共线，所以
0022y n
x =+，解得0022
y n x =+， 所以00000222
122y x y BD x x ++=+
=++， …………8分 同理得00022
1
x y AC y ++=
+， …………10分
因此，()()()
2
0000000000222222
112221221ABCD
x y x y x y S AC BD x y x y ++++++=?=??=++++ ()22
000000000044484
222x y x y x y x y x y +++++=
+++， …………12分 因为点()00,M x y 在椭圆上，所以
220014
x y +=，即22
0044x y +=，代入上式得： ()
000000004488
2222ABCD x y x y S x y x y +++=
=+++。 …………14分
18、 (1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且2OQ PQ =，设PQ a =，则2OQ a =，
又可疑船沿北偏西30的方向朝公海逃跑，所以120QPO ∠=， …………2分 在OPQ ?中，有2
2
2
2cos OQ OP PQ OP PQ OPQ =+-?∠，
即224144212cos120a a a =+-?，故24480a a --=
，解得2a =±负值舍去) ……5分
所以1105
a t =
=小时。 …………7分 (2)以O 为坐标原点，AO 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则
()()12,0,30,0P A --，设(),Q x y ，
因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ PQ λ=，
故()2
222
212x y x y λ??+=++??，即2222
2
224144011
x y x λλ
λλ+++=-- 故可疑船被截获的轨迹是以2212,01λλ??- ?-??
为圆心，以2121λ
λ-为半径的圆， …………10分
又直线l 的方程为)330y x =+33030x y -+=， 要确保在领海(包括分界线)成功拦截可疑船，则：
圆心22
12,01λλ??
- ?-??
在直线)330y x =+下方，且Q 的轨迹与直线l 至多只有一个公共点， 所以2
2
123001
λλ->-222
1233031
121
λλλ
λ-+-≥
- …………13分 即22533345301λλλλ?>???
--≥??>???
，解得3λ≥ 故要确保在领海(包括分界线)成功拦截可疑船，则min 3λ=。 …………16分 19、(1)因为1,3a b ==，所以()3
2
34f x x x =++，从而()2
36f x x x '=+。
①令()0f x '=，解得2x =-或0x =，列表：
x 4-
()4,2--
2-
()2,0-
()0,2
2
()f x '
+
-
+
所以，()()max 224f x f ==，()min 12f x =-。 …………4分
②设曲线()f x 切线的切点坐标为(
)
32
000,34P x x x ++，则2
0036k x x =+，
故切线方程为(
)()32
2
0000
3436y x x x x x x ---=+-，
因为切线过点()1,t ，所以()
()3
2
2
0000034361t x x x x x ---=+-，
即3
002640x x t -+-=， …………6分
令()3
000264g x x x t =-+-，则()2
0066g x x '=-，
所以，当()()0,11,x ∈-∞-+∞时，()00g x '>，此时()0g x 单调递增，
当()01,1x ∈-时，()00g x '<，此时()0g x 单调递减， 所以()()018g x g t ==-极小值，()()01g x g t =-=极大值，
要使过点()1,t 可以作函数()f x 的三条切线，则需()()10
10
g g ->???
（2）当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤等价于2404a x b x ?
?
≤+
+≤ ???
，………11分 令()24h x x x =+，则()333
88
1x h x x x -'=-=，
所以，当()1,2x ∈时，()0h x '<，此时函数单调递减；
当()2,4x ∈时，()0h x '>，此时函数单调递增，故()()min max 3,5h x h x ==。 …………13分 若0a =，则04b ≤≤，此时04a b ≤+≤； 若0a ≠，则034
054a b a b ≤+≤??
≤+≤?
，从而()()[]2354,8a b a b a b +=+-+∈-；
综上可得48a b -≤+≤。 …………16分
20、(1)设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则由2416a a ?=得2
316a =，从而34a =，又由
322a a =+得22a =，因此，3
2
2a q a =
=， 所以2
1
22
n n n a a q
--==，122112
n
n n S -==--。 …………4分
(2)方法一：因为()()1112
n n n n nT n T ++=++
，所以11
12n n T T n n +=++， …………6分
从而数列n T n ??
????
是以111T =为首项，12为公差的等差数列，故()()1111122n T n n n =+-=+，
故()1
12
n T n n =+，
当2n ≥时，()()111
1122
n n n b T T n n n n n -=-=+--=，且1n =时适合，因此，n b n =，
从而当2n ≥时，11n n b b --=为常数，所以，数列{}n b 为等差数列。 …………9分
方法二：因为()()
1112
n n n n nT n T ++=++
， 所以，当2n ≥时，有()()
1112
n n n n n T nT -+-=+，
两式相减得：112n n n nT nT nT n +-=-+，即1121n n n T T T +-=-+，
故111n n n n T T T T +--=-+，即11n n b b +=+， …………7分 又由()()
1111,12
n n n n b nT n T ++==++
得21213T T =+=，从而2212b T T =-=，故211b b -=， 所以，数列{}n b 为等差数列。 …………9分
(3)因为()()()()()121
11222121221
k k k k k S b k k k k k k k +++++?==-++++++，
所以3243212
222222223243212n n n n c n n n +++??????=-+-++-=- ? ? ?+++??????
， …………11分 假设存在存在正整数,,m n l ()m n l <<，使得,,m n l c c c 成等差数列，则
2222222222222n m l n m l +++??????-=-+- ? ? ?+++??????
，即322222222n m l n m l +++=++++， 令()*23,n
n d n n N n
=≥∈，则原问题等价于存在正整数(),,3m n l m n l ''''''≤<<，使得2222n m l n m l '''?=+'''
，即2n m l d d d '''=+成立。 因为()()
112122011n
n n n n n d d n n n n ++--=
-=>++(因为3n ≥)，故数列{}n d 单调递增， 若2l n ''-≥，即2l n ''≥+，则2l n d d ''+≥，
从而2
2244222221n l n n n n d d n n d d n n n '+''+'
''''+≥===>'++''
，即2l n d d ''>，而2n m l d d d '''=+， 因此，0m d '<，这与0m d '>恒成立矛盾，故只能有1l n ''-=，即1l n ''=+， …………13分
从而11
2221n m n n m n '''++=+'''+，故()1221m n m n n ''+='''+，即()()114,2n m n n m n n m ''+-''+''''=≥>， (*) ①若n '为奇数，，则记112n m n t ''+-'+=，从而1
122m n n t '
'+'+=?，
因为数列{}(
)
*
3,n d n n N
≥∈单调递增，所以数列()*
13,n n n N d ??≥∈?
???
单调递减，故当4n '≥时，1
15
232
n n '+'+≤，而*2m N '∈，故t N ?，因此，(*)式无正整数解。 ②若n '为偶数，则记12n m n u ''+-'=，即1
22
m n n u '-''=?，同理可得(*)无正整数解。
综上，不存在存在正整数(),,3m n l m n l ''''''≤<<，使得,,m n l c c c '''成等差数列，也即不存在正整数,,m n l ()m n l <<，使得,,m n l c c c 成等差数列。 …………16分
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数学试题(Ⅱ)参考答案及评分标准
21(B)、设a b c d ??=????M ，由条件有11311a b c d ??????=????????????，且19215a b c d -??????
=????????????， …………4分 所以3329215a b c d a b c d +=??+=??-+=??-+=?，，，，解得1436a b c d =-??=?
?=-?
?=?，
，
，． 1436-??=??-??M …………10分
21(C) 、曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，故圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径1r =
…………4分
直线l 的直角坐标方程4(2)3
y x =--, 令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0).
…………7分
从而5MC =，所以51MN MC r +=+≤
即MN 的最大值为51+。 …………10分 22、（1）记“该游客游览i 个景点”为事件,0,1i A i =， 则()021111
1111322224
P A ?
???????=-
---=
???????????????， ()3
2
11321211511113232224P A C ????????
=--+-??-=
??? ? ?????????
。 所以该游客至多游览一座山的概率为()()01151
24244
P A P A +=+= …………4分 （2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，
()()01
024P X P A ===
， ()()15
124
P X P A ===，
()2
2
1
233211211321113223228P X C C ????????==???-+-???-= ? ? ? ?????????，
()3
2333211117
3113223224P X C C ??????==???-+-??=
? ? ???????， ()3
211
43212
P X ??==?= ???，
所以X 的概率分布为：
X 0 1 2 3 4
P
124 524 38 724 112
…………8分
故()15972130123424242424246
E X =?
+?+?+?+?=. 答：X 的数学期望为13
6
。 …………10分
23、（1）因为抛物线22y px =经过点()1,2P ，
所以42p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．
由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为()10y kx k =+≠． 由24 1
y x y kx =+???=得()222410k x k x +-+=． 依题意()2
224410k k ?=--??>，解得0k <或01k <<．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点()1,2-，从而3k ≠-， 所以直线l 斜率的取值围是()()(),33,00,1-∞--． …………4分
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ．
由（1）知12224k x x k -+=-
，12
2
1
x x k =，直线PA 的方程为()112–211y y x x -=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为111121
2211
M y kx y x x -+-+=+=+--．
同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-． …………6分 由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．
()()()2212121212122
22421111111121111111
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+
-+--∴+=+=+=?=?
=------， 所以1
1
λ
μ
+
为定值． …………10分