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福建省龙海一中2015届高三上学期第二次月考数学(理)

A A

龙海一中2015届高三数学（理科）第二次月考

一、选择题（每小题各5分, 共50分）

1.抛物线24x y =的准线方程为（）

A. 1x =-

B. 1x =

C.1y =

D.1y =- 2.设,,,a b R a b ∈>则下列不等式一定成立的是（） A.2

a b > B.

a b

< C.2a ab > D.22a b > 3. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ B ．若//l α，//l β，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：

1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；

3:p 数列n a n ??

????

是递增数列； 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；

其中的真命题为（） A. 12,p p B.

34,p p C. 14,p p D. 23,p p

5．已知,x y 满足条件020x y x x y k ≥??

≤??++≤?

（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为8 ，则k 等于（）

A.16-

B. 8

C. 6-

D.6 6．设,a b c ，为单位向量，,a b

的夹角为60，则()a b c +?的最大值为( )

A. B.

C.3

D.2 7．设P 是椭圆2

214

x y +=上任意一点，A 是椭圆的左顶点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，则12PA PF PA PF ?+?的最大值为

（）

A ．8

B ．16

C ． 12

D ．20

8.函数()sin()f x x ω?=+()x R ∈ (0,)2

ω?><

的部分图象如图所示,如果12,(,)63

x x ππ

∈-

,且

12()()f x f x =,则12(

)f x x +等于(

)

A .

121 9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，若平面11A BCD 上一动点

P 到1AB 和BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（）

A ．椭圆的一部分

B ．圆的一部分

C ．一条线段

D ．抛物线的一部分

11.两直线212:260,:(1)(1)0l ax y l x a y a ++=+-+-=，若12l l ⊥，则a = ；

12. 双曲线14

=-y x 的顶点到渐进线的距离等于 ;

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ; 14．已知0,0x y >>,且(4)21xy x y -+=,若2xy m ≥-恒成立,则实数m 的最大值是 .

15. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)2n n a n =-?，我们用错位相减

法求其

前n 项和n S ：

由23123252(21)2n n S n =?+?+?+-?…得

23412123252(21)2n n S n +=?+?+?+-?…

两式项减得：2312222222(21)2n n n S n +-=+?+?++?--?…，

求得1(23)26n n S n +=-?+。类比推广以上方法，若数列{}n b 的通项公式为22n n b n =?，则其前n 项和n T .

三．解答题：（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．共80分）

16．（本小题13分）设p ：实数x 满足03422<+-a ax x （其中0≠a ），q ：实数x 满足

<--x x （I ）若1=a ，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（II ）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

17．（本小题13分）已知向量223sin ,2,cos ,cos .444x x x m n ???

?== ? ????

? （I ）若2,cos 3m n x π?

??=+ ??

?求的值；

（II ）记()f x m n =?，在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，

求)(A f 的取值范围。

18. （本小题13分）已知数列{}n a 是等差数列，256,=12a a =；数列{}n b 的前n 项和是{}n S ，且

n n S b +=．

(1) 求数列{}n a 、

{}n b 的通项公式；

(2) 记3

2log 2

n n n c b a -=

?，{}n c 的前n 项和为n T ，若20102

n m T -<

对一切n N *

∈都成立，求最小正整数m 的值。

19．（本小题13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=,2AB AD =,平面PAD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA BD ⊥； (Ⅱ)

若PA =

=，求二面角A PB C --的余弦

值.

20．（本小题14分）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这

两个

椭圆相似.已知椭圆C 与椭圆22

184

x y Γ+=相似，且椭圆C 的一个短轴端点是抛物线214y x =的焦点. （Ⅰ）试求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆E 的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线:(0,0)l y kx t k t =+≠≠与椭圆C 交于,A B 两点，且与椭圆E 交于,H K 两点.若线段AB 与线段HK 的中点重合，试判断椭圆C 与椭圆E 是否为相似

椭圆？并证明你的判断.

21．（本小题14分）已知函数2()2ln 1f x x ax =+- ()a R ∈

（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若1a =，试回答下列两个问题

（i ）若不等式(1)(1)f x f x m ++-<对任意的01x <<恒成立，求m 的取值范围；

（ii ）若12,x x 是不相等的两个正数，且12()()0f x f x +=，求证：122x x +>

龙海一中2015届高三数学（理科）第二次月考答案

一、D D A C C A B C D B

11.

23 12. 552 13. π+3

3 14. 51

16. (I)当1=a ，解得1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3.……2分 q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ＜3. ……………………3分若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴实数x 的取值范围是(2,3)． ……………………6分（II ）设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} ＝(2,3)，

p 是q 的必要不充分条件，则A B ≠

? ……………………7分

由0342

2<+-a ax x 得0))(3(<--a x a x ， ……………………8分当0>a 时，A ＝)3,(a a ，有??

?≥≤3

a a ，解得21≤≤a ； ……………………10分

当0

2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=1

2．

…………6分

（2）∵（2a-c ）cosB=bcosC,

由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=,