P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ????
第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）
由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 . 2 )(21)(21)(, 2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(，
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
第5章 行波法与积分变换法 在第4章中，我们较为详细地讨论了分离变量法，它是求解有限域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用.本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法：一是行波法，二是积分变换法.行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用. 5.1 一维波动方程的达朗倍尔公式 我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解.对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般说来是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的.但事情总不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.本节我们就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到始值问题解的表达式. 对于一维波动方程 22 222,u u a t x ??=?? （5.1） 我们作如下的代换（为什么作这样的代换，学完本节后就会明白）： , . x at x at ξη=+?? =-? (5.2) 利用复合函数微分法则得 ,u u u u u x x x ξηξηξη ???????=+=+??????? 22u u u u u x x x ξη ξξηηξη?????????????=+++ ? ? ????????????? 22222 2,u u u ξξηη???=++???? (5.3) 同理有 22 2222222,u u u u a t ξξηη??????=-+???????? ? (5.4) 将(5.3)及(5.4)代入(5.1)得 20.u ξη ?=?? (5.5)
第8章 贝塞尔函数 本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例. 8．1 贝塞尔方程的求解 在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以x 表示自变量，y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为 22 222 ()0,d y dy x x x n y dx dx ++-= (8.1) 其中n 为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现2 n 的项，所以在讨论时，不妨暂先假定 0n >． 设方程(8.1)有一个级数解，其形式为 2012()c k k y x a a x a x a x =+++++ 0c k k k a x ∞ +==∑， 00,a ≠ (8.2) 其中常数c 和(1,2,3)k a k = 可以通过把y 和它的导数,y y '''代入(8.1)来确定. 将(8.2)及其导数代入(8.1)后得 {} 2 20 ()(1)()()0.c k k k c k c k c k x n a x ∞ +=??++-+++-=??∑ 化简后写成 ()}{ 2 2 2 2 1 220122 ()1()0,c c c k k k k c n a x c n a x c k n a a x ∞ ++-=????-++-++-+=???? ∑ 要使上式成为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得下列各式： 2202212221()0;2[(1)]0;3[()]0 (2,3,). k k a c n a c n c k n a a k --=+-=+-+== 由 1得c n =±，代入 2得10a =.现暂取c n =，代入 3得 2 4.(2) k k a a k n k --= +
《数学物理方程》课程 教学大纲 课程代码：B0110040 课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics 课程类型：学科基础课 学时学分：64学时/4学分 适用专业：地球物理学 开课部门：基础课教学部 一、课程的地位、目的和任务 课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。 课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。 二、课程与相关课程的联系与分工 学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。
三、教学内容与基本要求 第一章绪论 1.教学内容 第一节偏微分方程的基本概念 第二节弦振动方程及定解条件 第三节热传导方程及定解条件 第四节拉普拉斯方程及定解条件 第五节二阶线性偏微分方程的分类 第六节线性算子 2.重点难点 重点：物理规律“翻译”成数学物理方程的思路和步骤，实际问题近似于抽象为理想问题 难点：数学物理方程的数学模型建立及数学物理方程的解空间是无限维的函数空间 3.基本要求 （1）了解数学物理方程研究的基本内容，偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念；了解算子的定义。了解三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。 （2）掌握微分算子的运算规律，理解线性问题的叠加原理 （3）了解二阶线性方程的特征理论 （4）掌握两个变量二阶线性偏微分方程分类方法及化简方法 （5）掌握三类方程的标准形式及其化简过程，会三类方程的比较，并能通过标准形式求得某些方程的通解。 第二章分离变量法 1.教学内容 第一节有界弦的自由振动。 第二节有界长杆的热传导问题。 第三节二维拉普拉斯方程的边值问题。 第四节非齐次方程得求解问题。
第8章 贝塞尔函数 本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例. 8．1 贝塞尔方程的求解 在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以x 表示自变量，y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为 22 222 ()0,d y dy x x x n y dx dx ++-= (8.1) 其中n 为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现2 n 的项，所以在讨论时，不妨暂先假定 0n >． 设方程(8.1)有一个级数解，其形式为 2012()c k k y x a a x a x a x =+++ ++ c k k k a x ∞ +==∑， 00,a ≠ (8.2) 其中常数c 和(1,2,3 )k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入(8.1)来确定. 将(8.2)及其导数代入(8.1)后得 {}2 20 ()(1)()()0.c k k k c k c k c k x n a x ∞ +=??++-+++-=?? ∑ 化简后写成 ()}{ 2 2 2 2 1 220122 ()1()0,c c c k k k k c n a x c n a x c k n a a x ∞ ++-=????-++-++-+=???? ∑ 要使上式成为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得下列各式： 2202212221()0;2[(1)]0;3[()]0 (2,3, ). k k a c n a c n c k n a a k --=+-=+-+== 由 1得c n =±，代入 2得10a =.现暂取c n =，代入 3得 2 4 .(2) k k a a k n k --= +
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。 定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则 x 点处的张力)(x T 为 ) ()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)] ([22ρ∣ x u x l g x x ??--?+] [ρ∣ g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 2 2 1),,(y x t t y x u --=在锥2 22 y x t -->0中都 满足波动方程 2 22222y u x u t u ??+??=??证：函数 2 2 2 1),,(y x t t y x u --= 在锥 2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 2 2 52222 32222 2)(3) (t y x t y x t t u ?--+---=??-- ) 2()(22223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 2 25222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )( )2 22 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()22225222222y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题
（20141203）第八章 拉普拉斯变换 一、定义 若f ∈E （即0t <时，()0f t =），关于复数(Re 0)z z >的函数 μ0 ()()d t z f z f t e t ∞-=? 就称为f 的拉普拉斯变换，且 μ1()lim ()d 2b ir zt b ir r f t f z e z i π+-→∞=? 称为f 的拉普拉斯逆变换。 二、拉普拉斯变换的几个重要性质（f ∈E ） 1、 位移性质 对于任意0,C a c >∈都有 []μμ()()(), ()()az ct H t a f t a e f z e f t f z c -??--==-??L L 2、压缩性质 对于任意0a >都有 []μ 11()()f at a f a z --=L 3、 导数性质 若函数f 在[0,)∞上k 阶可导，且(),',...,k f f f ∈E ，则 ·μ()12(1)()()(0)'(0)(0)k k k k k f z z f z z f z f f ---=-+-+--+L 4、 积分性质
μ10()d ()t f s s z f z -??=???? ?L 5、 乘多项式性质 μ() ()(1)(), 0k k k t f t f z k ??=-≥??L 若1()t f t -∈E ，则 μ1()()d z t f t f w w ∞-??=???L 6、 卷积性质 若g ∈E ，则 μμμμ() 1(), f g f g f g f g -*=*=g g L L 三、拉普拉斯变换的几个重要公式 1、 卷积公式 若,f g ∈E ，则 ()()()d t f g t f t s g s s *=-? 2、 变换公式 ()f t μ() (Re 0)f z z > 1 1/z at e 1/()z a - k t 1!/k k z + n ct t e 1!/()n n z c +- sin ct 22/()c z c + cos ct 22/()z z c +
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆 在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为
第四章 积分变换法 积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求. §4?1 热传导方程Cauchy 问题 4.1.1 一维热传导方程Cauchy 问题 考虑如下问题 2(,), , 0 (1. 1) (,0)(), (1. 2) t xx u a u f x t x t u x x x ??-=-∞<<∞>? =-∞<<∞? 下面利用Fourier 变换求解该定解问题. 设0>β为常数，函数2 x e β-的Fourier 变换为 ( ) 22 4()x F e e ωββ πωβ - -= (1.3) 为书写方便起见，引入记号?()(())(),f F f x ωω=, 如果f 为二元函数),(t x f ， ),))(,((),(?t t x f F t f ωω=表示对),(t x f 中的空间变量x 作Fourier 变换的像函数，此时t 作为参数对待. 对（1.1）—（1.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得 22?(,)??(,)(,), 0??(,0)() .du t a u t f t t dt u ωωωωω?ω?+=>? ??=? 上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得 22 22()0 ???(,)()(,)t a t a t u t e f e d ωωτω?ωωττ---=+? (1.4) 利用（1.3）得 ),)( 21( 222 2 4t e t a F e t a x t a ωπω- -= ) ,)() (21( ) (4) (22 2 2τωτπττω --=-- --t e t a F e t a x t a 记 2241Γ(,)() 2x a t x t e u t a πt - = （1.5） 其中)(t u 为单位阶跃函数. 则有
习 题 2.1 4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。试写出定解问题。 解：由题意可知定解问题为： ?? ?? ???<<-=-<<=========== )(,)/(,)0(,0,00,0)/(0 00002L x L I u L x u u u u u a u Y u t t t t t x x x xx xx tt εερερ 习 题 2.2 3. 设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡—玻尔兹曼定律正比于u 4，即d Q =k u 4d S d t ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传 导，周围介质的绝对温度为已知函数 ),,,(t z y x ?。试写出边界条件。 解：由题意可知： dsdt u dsdt n u k )(44?σ-=??- ∴边界条件为： )(44?σ -- =??u k n u s 习 题 2.3 4. 由静电场Gauss 定理?????= ?V S V S E d 1 d 0 ρε，求证：0 ▽ερ = ?E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。 证明：由题意可知由静电场高斯定理： ????????= =?V S V V V divE S E d 1 d d 0 ρε ∴ 0 0▽ερερ=??= E divE 习 题 2.4 2. (1) 032=-+yy xy xx u u u 解：由题意可知： △=12－1×(-3)=4﹥0 => 双曲型
03d d 2d d 2 =--?? ? ??x y x y => 3d d =x y 或 -1 令 ???+=-=y x y x ηε3 则 ??? ???-=????????=1113 y x y x Q ηηεε => ??????=??????-??????-??????-=?? ????=??????''''08801113311111132212121122121211 T Q a a a a Q a a a a 00b 0b 21='='=-='=-='f c c L c L ηηεε ∴ )()3()()(016y x g y x f g f u u ++-=+=?=ηεεη (5) 031616=++yy xy xx u u u 解：由题意可知： △=82－16×3=16﹥0 => 双曲型 03d d 16d d 162 =+-?? ? ??x y x y => 43d d =x y 或 41 令 ? ??-=-=y x y x 443ηε 则 ??? ???--=??????? ?=4143 y x y x Q ηηεε => ??????--=??????--????????????--=?? ????=??????''''03232044133881641432212121122121211 T Q a a a a Q a a a a 00b 0b 21='='=-='=-='f c c L c L ηηεε ∴ )4()43()()(064y x g y x f g f u u -+-=+=?=-ηεεη 习 题 2.5 2.试证明：若),,(τt x V 是定解问题 ? ?? ??====><<=-====),(,00,0,0,002ττττx f V V V V t L x V a V t t t L x x xx tt