数缺形时少直观，形缺数时难入微 我国著名数学家华罗庚先生有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述.学好向量这一块内容，能进一步促进学生对代数几何的理解，运用代数几何化、几何代数化的方法，从多角度思维。
（一） 代数几何化
平面向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量，便能将其转化为向量问题，从而使问题简化.
（二）几何代数化
通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算.
例：已知向量1a b == ，且0120a b 与的夹角为，问x 为何值时，a xb - 的值最小
b a xb
?并求此时与-的夹角.
分析:画出图形（如下图），易知a xb - 就是点A 到直线OB 上的点的的距离。所以，min A OB a xb -= 点到直线的距离，即图中所示的AH
。在AOH 中易得AH 时2b a xb π
与-的夹角为.
注：本题亦可有代数方法解决，但运算量较大。用数形结合的方法，就显得简洁。 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合.
正所谓：代数几何巧转换，数形结合多直观。
数形结合巧解分段函数问题
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数形结合巧解分段函数问题-中学数学论文 数形结合巧解分段函数问题 湖北武汉关山中学刘元利张璟怡 在数学研究过程中，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，数形结合是历年高考的重点和热点之一。而分段函数作为一类特殊的函数,凡是函数中所涉及到的内容，它都有可能涉及到，如求分段函数的定义域和值域、极值和最值、判断其奇偶性、对称性、单调性、周期性，作图象等在历届高考中也都有所体现，解决这些问题的主要思想方法有数形结合、等价转化及分类讨论等三种方法。本文仅从数形结合方面来求解分段函数问题作了一些整理和归纳，以供参考。 一、求分段函数的定义域、值域及最值 例1.对任意实数x，设f (x)是4x+1,x+2,-2x+4 三个函数中的最小值，求f (x )的最大值 分析：4x+1,x+2,-2x+4 三个中哪个会最小呢？三个都有可能，因而要进行 讨论，故f (x)应为分段函数 解：依题意知，
所 2 求分段函数的单调区间 - 由伺\町知屮 2?对于给定的正数心定文附数川A ） 解徘主三-1 或 （X ）的解析式是解题关键，再作图象求最值比分类讨论求值 评注：先找出 -W 作岀兀图象如M 2所示.由 作岀尸沢幻的岡象如圈 函数屮耳庖弋当时心壬炳数A ⑴的单碉区间为］ ￡1>-匚即.由/（灯輕* 比较要好得多，有时数形结合法就是一种最佳之法。 2呵知/（A ■啲逮增区间为（-X.-I ］，ii （ 例2X 2009年湖南卷［设两数/(iWoc ,4?)内有定 | /( x )./(x J W * 11 ,_/■( jc )乂 2 JI 4K +L * 评注：这是一种自定义函数的题型，具有创新意识，要弄懂定义求出函数解
多有几个？ [5分] 参考答案： 6. 在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两 端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种 不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能，对照图a 在图b的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由。 [5分] 参考答案：
2. 这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方 形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一 个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位 置。 问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为 顶点构成的三角形的面积最大？[5分] 参考答案： 3. 将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管 （加工损耗忽略不计） 问：剩余部分的管子最少是多少厘米？[5分] 参考答案：
甲、乙二人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面1/3路程 时，速度为甲的二倍，而走后面2/3路程时，速度是甲的7/9，问甲、乙二人谁 先到达B？请你说明理由。[5分] 参考答案： 5. 这是一个长方形。（AE的长度与ED的长度之比是9∶5） （BF的长度与FC的长度之比是7∶4）问：涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大？请说明理由。 [5分] 参考答案： 6. 这是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。 问：涂红色的部分的面积是多少平方厘米？ [5分]
7. 这是两个分数相加的算式。问：等号左边的两个方格中各是怎样两个不同的自然 数？[5分] 参考答案： 9. 图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出（单 位：平方厘米） 问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？请说明理由。[5 分] 参考答案：
速解高中解析几何的方法之一——数形结合 四川省郫县第三中学姚慰民 【摘要】解析几何是高考数学的必考内容，在所有题型中所占比值相对较高。一般来说，解析几何的难度比函数低，且有一定的技巧性，只要掌握了速解技巧，将题目的“数”与“形”相结合，将题目所给条件一一对应来帮助解题，就能减少解题时间，也不会漏掉题目条件，提高答题效率。因此，准确运用数形结合答题方法是高中解析几何成绩的决定因素。文章对速解高中解析几何方法中的数形结合进行分析，对数形结合在解析几何几种题型中的运用进行举例说明。 【关键词】高中解析几何；速解方法；数形结合 中图分类号：G633.65 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2015）33- 所谓数形结合，就是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形及条件之间的位置关系来将复杂的、抽象的数学语言及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合以形助数或以数解形，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，以达到化解题途径的目的。可见，数形结合在平面解析几何和立体解析几何的解题中有重要的作用。 一、解析几何的概念 解析几何是几何学的分支，主要是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质，因而解析几何也叫坐标几何，它包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何是二维空间上的解析几何，立体解析几何是三维空间上的解析几何，立体解析几何比平面解析几何更加复杂、抽象。 二、数形结合法的概述 1.数形结合的解题思想 通常来说，一道题目不会明确指定用数形结合的方法进行答题，每道题也不会只有一种解题方法，但数形结合方法在解析几何答题中具备相当的优势，能减少运算量，节约答题时间，提高正确率。因此，学生需要在平时练习中形成数形结合的解题思想，遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，快速找到解题
第课时总课时 数形结合解决问题 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。 【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？学生思考后举例。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 三、拓展延伸。 师：同学们，我们在解决问题中常常用到的线段图，也是数形结合思想的一个重要应用。例如前面学过的相遇问题、百分数应用题等等。下面我们就做两个题目，体会画线段图解决问题的优越性。 1、育才小学2000年有60台计算机，2006年以达到150台。2006年比2000年增加了百分之几？ 2、有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的3/5。每段燃掉多少厘米？ （学生独立解答，体会用线段图解决问题的优越性。） 集体交流，引导学生陈述自己的解题思路。 四、归纳梳理。 师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈 谈自己的收获吗？ 学生谈自己收获，提出尚存疑惑的问题。
数形结合——让“几何直观”在课堂教学中秀出风采 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“形缺数时难入微，数缺形时少直观”，即“数无形不直观，形无数难入微”。“数形结合”的思想是重要的数学思想，新课标中特别注重这种思想在教学中的渗透，借助几何直观，可以把数形结合的思想更好地反映出来。如在第一学段中对数字的教学、对加、减、乘、除意义的教学和一些抽象概念的教学；第二学段中对分数、小数、百分数、负数意义的教学、立体图形教学、代数的教学以及一些复杂数量关系的分析等等，都无不渗透着数形结合的思想。 下面就结合我的教学实践，谈一谈我对这个核心内容的粗浅认识。 1．以图示本。 几何直观的最大好处就在于它的直观性，它让学生的眼球一下子就能集中到黑板上、问题上。在第一学段对学生的数字教学中，我通过出示可爱的动物、植物、人物等画片，将图与数形成了“一一对应”的视觉冲突，让学生以此建立初步的数感。而在后面加减乘除意义的教学中，我利用图形的圈入、划去，几组相同或几组不同个数图形的对比研究以及图形的平均分和不平均分存在的根本差别等等，让学生经历反复的视觉刺激，在师生不断的探求和总结中，逐步揭示出这些概念的数学本质。以直观的图为媒介，很好地向抽象的概念过渡。 2．以图促思。 举个例子，例如在教学“连除应用题”时，我先给学生示题：学
校图书室买来200本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。平均每层放了多少本书?然后又出示了书架的实物图，我让学生用长方体的图模代替书往上面放，最后让学生说明自己解决问题的过程。学生会根据自己的摆放方式不同而得出三种不同的算法：①先算每个书架放了几本?②先算两个书架共有几层?③先算两个书架的一层共放几 本书?我觉得只有这样的几何直观才能帮助学生感悟到用连除两步计算解决问题的数学本质。借助“形”的直观，能促进学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，很好地发展了他们的数学思想和推理能力。 3．以图明理。 例如：为了学好分数乘法应用题，我是这样来引题的： （1）每生准备一张长方形纸 要求：把这张长方形纸折一折，平均分成4份，把其中的3份画上阴影。 师：看着这个图，你想说什么？（放开来让学生说）（主要说明：阴影部分、空白部分和整个长方形三者之间有什么关系？）（2）根据学生的回答，当学生说到空白部分是整张长方形的1/4时，引导复习：如果知道阴影部分是整张长方形的3/4，怎样知道空白部分是整个长方形的几分之几？（这个问题为后面例题的学习作了铺垫。） 类似的方法还可以广泛地运用到抽象的概念教学中，通过形象的
数学奇才华罗庚阅读练习题及参考答案 阅读下面的文字，完成(1)～(4)题(25分) 数学奇才华罗庚 无论研究数学中的哪一个分支，华罗庚总能抓住中心问题，并 力求在方法上有所创新。他反对将数学割裂开来，永远只搞一个小分支或其中的一个小题目，而对别的东西不闻不问。他将这种做法形容为“画地为牢”。他曾多次告诫学生：“我们不是玩弄整数，数论跟其他分支是有密切关系的。”在《数论导引》中，华罗庚首先强调的就是数学的整体性与各部分之间的联系。 1945年，尽管华罗庚已经是世界数论界的领袖学者之一，但他并不满足，决心中断他的数论研究，另起炉灶。关于他改变自己研究方向的主要原因，正如他以后多次说的，“加入我当时不改行，大概只写几篇数论文章，我的数学生命也就结束了，但该行了就不一样了。”“在研究数学时，选准方向拼命进攻固然重要，但退却有时也很重要。善于退却，把握住退却的时机，这本身就是一种艺术。”他的改行，实际上是其治学之道“宽、专、漫”中的“漫”，即他在搞熟弄通的分支附近，扩大眼界，在这个过程中逐渐转移到另一个分支，使自己的专业知识“漫”到其他领域。这样，原来的知识在新的领域还有用，选择的范围就越来越大。他一直认为，从解析数论中“漫”出来是他一生研究数学的得意之笔。 对于我国数学教育中存在的问题，华罗庚认办，主要出在太注 意方法而忽略了原则。一个数学问题往往要教十几种方法，其实只要
一种就够了。学会一种方法，别的自然可以想到。在教学方法上，一种毛病是不少老师不愿意改作业，许多题目自己在黑板上演算一遍，让学生照抄了事；另一种毛病是不愿当堂答复学生的问题，这一种态度最坏。华罗庚上课时，对学生提的任何问题总要在课堂上答复，认为这样可以训练学生如何去“想”。有时实在解决不了，他也很坦白地告诉学生，他要回去继续想，而不是只顾面予，使问题解决得模模糊糊。他还讲到“由薄到厚"和“由厚到薄"的读书方法：“譬如我们读一本书，厚厚的一本，加上自己的注解，就会愈读愈厚，我们知道的东西也就‘由薄到厚’了。但这还只是接受和记忆的过程，读书并不是到此为止。‘由厚到薄’是消化、提炼的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来。” 1979年3月底，华罗庚应英国伯明翰大学邀请,去英国讲学，历时八个月，其间还应邀到荷兰、法国与西德访问了一个多月。7月下旬，“解析数论会议”在英国达勒姆召开，华罗庚应邀参加，他的学生王元与潘承洞也参加了。王元代表华罗庚和他自己做了“数论在近似分析中的应用"的大会报告，潘承洞做了“新中值公式及其应用"的大会报告。一些白发苍苍的数学家用“突出的成就"、“很高的水平"等评语，赞扬中国数学家在研究解析数论方面所作的努力，并向华罗庚表示祝贺。 通过对欧洲的访问，华罗庚深刻领悟到“班门弄斧”这个成语是要人隐讳缺点，不要暴露，不如改成“弄斧必到班门"。他每到一个地方去演讲，必讲对方最拿手的东西，其目的就是希望得到帮助与
妙用“数形结合”，巧解小学数学问题-小学数学论文-教育 期刊网 妙用“数形结合”，巧解小学数学问题 浙江绍兴市越城区灵芝镇中心小学（312000）罗海明 “数形结合”是数学的重要思想方法之一，而且“数形结合”能培养学生创造性思维、抽象思维和形象思维。著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合千般好，数形分离万事休。”可见数形结合的重要性。 一、注重“形”与“数”之间的结合 在小学数学课堂教学过程中，应注重“数”与“形”之间的结合。通过“形”来刺激学生的感官，使其首先进行仔细观察，进而得出计算关系，而这种计算关系则涉及“数”。根据数学问题中”数”的结构，构造出与之相应的集合图形，并利用几何图形的特征、规律来研究和解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字讨论，在这里我们暂且称之为“以形助数”。“以形助数”其实是指在数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。“以形助数” 中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型；若无形，则可另行构造或联想。因此“以形助数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高学段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？ 【例1】计算如图1所示图形的面积。
首先让学生审题：（1）从整体上来看，图1为一个什么平面图形？（2）图1中有几个三角形，它们的特征是什么？让学生带着这两个问题进行思考，最终得出如下解题思路。 解题思路分析：要求梯形的面积，那么就需要知道上底、下底以及高这三个条件。由图1可以看出，该梯形的高是6厘米，那么解题的关键就是求出上底以及下底的长度，或者求出它们二者的长度和。在左边的直角三角形中，其中一个内角是45°，由此可知左边这个直角三角形为等腰直角三角形，因此梯形高的左边部分与下底相等。同理可知，右边的小三角形也是一个等腰直角三角形，因此梯形的上底与高的右边部分相等。然后按照等腰直角三角形的含义推出该梯形上下底长度之和为梯形高，即为6厘米，因此根据梯形的面积公式得（上底+下底）×高÷2=（6×6）÷2=18（平方厘米）。 【例2】如图2所示，直角三角形的面积为12平方厘米，计算圆的面积大小。 首先提出两个问题：（1）图2中包括哪两种图形？（2）两种图形各自的面积计算的基本公式是什么？ 解题思路分析：根据圆的面积计算公式S=πr2，若要计算圆的面积，那么解决此题的关键之处在于先求出r。在图2中，三角形的底以及高都是圆的半径，图
对几何直观的理解 《课标（2011年版）》在“课程设计思路”中提出了“几何直观”这个与学习内容有关的新的核心概念，怎样理解“几何直观”？它在小学数学学习和教学中有何作用？ 一、把握十个核心概念的三个层次 第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念，如：数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域； 第二层，体现在不同领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想； 第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。 二、对直观的理解 1、直观是相对的，有不同的层面和表现。眼前的美景难以描摹，我们拍下照片，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图，这也是直观。 2、直观含有可视化的意思（英文Visual），作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。比如，相较于文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。 3、直观它是认识的浅层次阶段，是进一步抽象的基础。 三、几何直观的含义 《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.” 著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.” 也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.” 从这些描述中，我们可以有以下的认识： ◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式。 ◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.
《数学奇才华罗庚》阅读答案 数学奇才华罗庚 无论研究数学中的哪一个分支，华罗庚总能抓住中心问题，并力求在方法上有所创新。他反对将数学割裂开来，永远只搞一个小分支或其中的一个小题目，而对别的东西不闻不问。他将这种做法形容为“画地为牢”。他曾多次告诫学生：“我们不是玩弄整数，数论跟其他分支是有密切关系的。”在《数论导引》中，华罗庚首先强调的就是数学的整体性与各部分之间的联系。 1945年，尽管华罗庚已经是世界数论界的领袖学者之一，但他并不满足，决心中断他的数论研究，另起炉灶。关于他改变自己研究方向的主要原因，正如他以后多次说的，“假如我当时不改行，大概再写几篇数论文章，我的数学生命也就结束了，但改行了就不一样了”。“在研究数学时，选准方向拼命进攻固然很重要，但退却有时也很重要。善于退却，把握住退却的时机，这本身就是一种艺术。”他的改行，实际上是其治学之道“宽、专、漫”中的“漫”，即他在搞熟弄通的分支附近，扩大眼界，在这个过程中逐渐转到另一个分支，使自己的专业知识“漫”到其他领域。这样，原来的知识在新的领域还有用，选择的范围就会越来越大。他一直认为，从解析数论中“漫”出来是他一生研究数学的得意之笔。 对于我国数学教育中存在的问题，华罗庚认为，主要出在太注意方法而忽略了原则。一个数学问题往往要教十几种方法，其实只要一种就够了。学会一种方法，别的自然可以想到。在教学方法上，一种毛病是不少老师不愿意改作业，许多题目自己在黑板上演算一遍，让学生照抄了事；另一种毛病是不愿当堂答复学生的问题，这一种态度最坏。华罗庚上课时，对学生提的任何问题总要在课堂上答复，认为这样可以训练学生如何去“想”。有时实在解决不了，他也很坦白地告诉学生，他要回去继续想，而不是只顾面子，使问题解决得模模糊糊。他还讲到“由薄到厚”和“由厚到薄”的读书方法：“譬如我们读一本书，厚厚的一本，加上自己的注解，就会愈读愈厚，我们知道的东西也就‘由薄到厚’了。但这还只是接受和记忆的过程，读书并不是到此为止。‘由厚到薄’是消化、提炼的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来。” 1979年3月底，华罗庚应英国伯明翰大学邀请，去英国讲学，历时八个月，其间还应邀到荷兰、法国与西德访问了一个多月。7月下旬，“解析数论会议”在英国达勒姆召开，华罗庚应邀参加，他的学生王元与潘承洞也参加了。王元代表华罗庚和他自己做了“数论在近似分析中的应用”的大会报告，潘承洞做了“新中值公式及其应用”的大会报告。一些白发苍苍的数学家用“突出的成就”、“很高的水平”等评语，赞扬中国数学家在研究解析数论方面所作的努力，并向华罗庚表示祝贺。 通过对欧洲的访问，华罗庚深刻领悟到“班门弄斧”这个成语是要人隐讳缺点，不要暴露，不如改成“弄斧必到班门”。他每到一个地方去演讲，必讲对方最拿手的东西，其目的就是希望得到帮助与指教。他形象地说：“你要耍斧头就要敢于到鲁班那儿去耍，如果他说你有缺点，一指点，我下回就好一点了；他如果点点头，就说明我们的工作有相当成绩。”在《数论导引》的序言里，华罗庚曾把搞数学比作下棋，号召大家找高手下，即与大数学家去较量。l982年，在淮南煤矿的一次演讲中，华罗庚还将“观棋不语真君子，落子无悔大丈夫”改成
利用数形结合处理数学问题的技巧 摘要 数形结合在代数解题中有广泛应用，是数学研究的常用方法，它的思想可以把抽象的代数问题具体化，把数量关系与空间图形结合起来，既能分析其代数意义，又能揭示其几何意义。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。下面将通过一些典型例题，探索解题中应用数形结合的技巧和方法。 关键词：数形结合思想方法技巧典型例题 正文： 数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。“以形助数”就是把某些复杂的数学问题通过几何图形很直观的看出来，这样就把问题直观具体化。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： 一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
1 引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系； ②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2 文献综述 2.1国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 2.2国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 2.3提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不
什么是几何直观 ——对几何直观的认识与思考（七） 关于几何直观，课标在第一部分前言的“课程设计思路”中描述了其定义，阐发了其价值与作用：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。可以说，这段话是目前理解几何直观的最重要依据。 数学课程标准（2011版）解读第92页—95页对几何直观的认识中指出：几何直观，顾名思义，所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。用最通俗的话说几何直观，它不仅是看到了什么?而是通过看到的图形思考到了什么?想象到了什么?直白点就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法。利几何直观在小学数学中的运用 2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”教师在理解几何直观的过程中，要注意以下几个问题：第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于帮助学生直观地理解数学。 因此，教师要善于在教学中利用几何直观，将复杂、抽象的问题变得简明、形象，帮助学生探索解决问题的思路，帮助学生直观地理解数学。如在教学“数的认识”时，教师要帮助学生利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片，直观理解数量和数的意义；在教学“解决复杂数量关系的问题”时，要善于利用线段图等描述和分析问题中的数量关系；在解决“鸡兔同笼”等问题时，要重视通过列表分析解决问题；在探索事件发生的变化规律时，要重视利用统计图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果；在探索函数关系的变化规律时，要重视利用表格、图像进行描述和分析等。 用图形进行数学的思考和想象。 几何直观在小学数学中的运用 2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”教师在理解几何直观的过程中，要注意以下几个问题：第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过
用数形结合法巧解最值问题 胡龙林 数形结合涉及两方面的问题,一是将图形性质转化成数量关系问题,二是将数量 关系问题转化成图形性质问题,都是中学数学普遍而重要的问,利用后者求函数 的最值可获得简捷解法。现行高中数学教材解析几何中简单线性规划内容，教材重点在于图解法求解目标函数的最值,它更好地体现了数形结合的思想方法，也引发了我对数形结合这思想方法的一点思考。数形结合不仅把抽象的问题直观 化，简化解题过程,提高学生的解题能力，而且可拓宽解题思路,提高学生思维的灵活题性和创造性。 1利用数轴上的截距解函数最值 截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差, 可取正数也可取负数或0.求形如)()(x g x f y ±=的函数最值, 可以把)(),(x g x f 当作是变量, 即令)(),(x g u x f v ==, 方程0),(=v u F 一般表示一条曲线, 则y 可以当作是y u v +±=的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.]1[ 例1 已知数y x ,满足03422=+-+x y x , 求y x +的最值. 解 令,b y x =+则.b x y +-= 因为1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(, 以及它到直线b x y +-=的距离为1, 所以111| 12|22=+-?b , 可得22±=b . 于是 ,22max +=b .22min -=b 例2 求函数3424322+---+=t t t t S 的最值. 解 令?????-+=+-=, 43,34222t t y t t x 有x y S -=又 ).0,0(,1624433422222≥≥=+??????-+=+-=y x y x t t y t t x 因此S 可看成是直线系S x y +=和椭圆16 242 2=+y x 在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得
那是在北京召开数学研究会的时候。 有一天，著名的数学家华罗庚收到了一位普通中学青年教师的来信。 信的大意是：我读了您写的《堆叠素数论》，觉得这本书写得很好。可是经过反复核算，发现有一个问题的计算错了。这好比是在明珠上蒙上了一粒微尘，希望您能更正。 华罗庚读完信，翻开书来看，再一算，果然有错，他赞不绝口：“真是太好了，他的意思完全正确，他很有才华。” 华罗庚在数学研究会上宣读了这封信，写信的青年也被邀请来参加会议。这个青年人就是陈景润，后来也成为一个有名的数学家。 就这样，华罗庚从自己的错误中发现了一个难得的人才。 1．联系上下文理解词语。 赞不绝口：_________________________ 2．查字典。 不认识“庚”，可用_______查字法查字典，先查_______，再查_______ ； 会读“意”，不知文中加点词“大意”中“意”的确切意思，可以用_______查字法查字典，先查_______，再查_______。字典中有三种解释：①意思；②心愿，愿望；③意料，料想。“大意”的“意”应取第_______种解释。 3．填空。 （1）陈景润写信时，华罗庚是一位____，陈景润是一位____。 （2）文中画线句子中的“明珠”指_______，“一粒微尘”指_______。 4．陈景润的信写了哪三层意思？ （1）_______________________
（2）_______________________ （3） _______________________ 参考答案： 1．赞美的话说个不停，形容对人或事物十分赞赏。2．部首广 5画音序 Y yi ① 3．（1）数学家中学教师 （2）《傩叠素数论》一个算错的问题 4．（1）觉得《堆叠素数论》得很好。 （2）发现一个问题计算错了。 （3）希望能更正。
几何直观在小学数学教学中的运用 几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的 难点。 （一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系 “在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了 （二）以图促思—渗透数形结合思想 “数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。 （三）以图求解—有助于数学方法的再创造 直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象
思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。 借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解 决问题的能力。 如何在小学数学教学中培养学生的空间观念 正娟 关键词：空间观念；几何知识；教学；几何图形变式新课标指出：“空间观念是一种自觉地感受空间图形、运用空间图形的意识和能力”.其主要表现在：实物的形状与几何图形之间的想象；复杂图形的分解；描述实物或几何图形的运动、变化和位置的关系；运用图形描述问题、利用图形直观来进行思考等.在初中几何的教学中，教师不仅要重视学生“合情推理”的逻辑思维能力，更应该重视空间观念的培养。本文就如何在教学中培养学生的空间观念浅谈几点。 一、从建立表象到再造想象，再从再造想象到创造想象. 1.运用感性材料，建立表象 空间观念指的是物体的大小、形状、方向、距离在人脑中留下的既直觉又有一些概括性的形象。表象是具有感知的形象在头脑中的保持，它是具体感知向概念、思维过渡的重要环节。没有形成清晰的表象就不能很好地进行思维活动，没有丰富的表象储备，表象的重新组合或再造而产生新的表象的过程将会困难，培养初步的空间想象能力也就无从说起。小学教材的几何知识（系统学习时）的安排是：线→面→体，即一维空间→二维空间→三维空间；从图形来说是简单单一→复杂组合；从计算来说是长度→面积→体积.无论哪一方面，都是以大量表象的化，形象思维活动向抽象思维活动转化，揭示出概念的本质属性而得到概念，形成初步的空间想象能力，发展思维的。
华罗庚阅读答案 那是在北京召开数学研究会的时候。 有一天，著名的数学家华罗庚收到了一位普通中学青年教师的来信。 信的大意是：我读了您写的《堆叠素数论》，觉得这本书写得很好。可是经过反复核算，发现有一个问题的计算错了。这好比是在明珠上蒙上了一粒微尘，希望您能更正。 华罗庚读完信，翻开书来看，再一算，果然有错，他赞不绝口：“真是太好了，他的意思完全正确，他很有才华。” 华罗庚在数学研究会上宣读了这封信，写信的青年也被邀请来参加会议。这个青年人就是陈景润，后来也成为一个有名的数学家。 就这样，华罗庚从自己的错误中发现了一个难得的人才。 1．联系上下文理解词语。 赞不绝口：_________________________ 2．。 不认识“庚”，可用_______查字法，先查_______，再查_______ ； 会读“意”，不知文中加点词“大意”中“意”的确切意思，可以用_______查字法，先查_______，再查_______。字典中有三种解释：①意思；②心愿，愿望；③意料，料想。“大意”的“意”应取第_______种解释。 3．填空。 陈景润写信时，华罗庚是一位____，陈景润是一位____。 文中画线句子中的“明珠”指_______，“一粒微尘”指_______。 4．陈景润的信写了哪三层意思？ _______________________ _______________________ _______________________ 参考答案： 1．赞美的话说个不停，形容对人或事物十分赞赏。 2．部首广 5画音序 Y yi ① 3．数学家中学教师 《傩叠素数论》一个算错的问题 4．觉得《堆叠素数论》得很好。 发现一个问题计算错了。 希望能更正。
数形结合的思想方法(1)---应用篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两 点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内 在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提 示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构， 引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. ? 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围. ?
数形结合思想在高中数学中的应用 灵宝实验高中 王少辉 一、什么是“数形结合思想”？ 数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。 二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？ “数”和“形”是数学研究的两个基本对象。 数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等； 形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。 既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题： ①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题 三、数形结合思想应用举例 （一）在集合中的应用 {x |x ∈A ，或x ∈B } {x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ?A } 在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。 【例1】 (1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤= (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1
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