本科生毕业设计（论文）数学分析中积分中值定理的应用探讨
二级学院：数学与计算科学学院
专业：数学与应用数学
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目录
1 引言 (1)
1.1 本文背景 (1)
1.2 本文主要内容及其意义 (1)
1.3 一些引理 (1)
2 积分中值定理的应用 (3)
2.1 积分第一中值定理的应用 (3)
2.2 推广的积分第一中值定理的应用 (5)
2.3 积分第二中值定理的应用 (6)
2.4 推广的积分第二中值定理的应用 (7)
2.5 二重积分中值定理的应用 (9)
2.6 推广的二重积分中值定理的应用 (10)
3 结语 (11)
参考文献 (11)
数学分析中积分中值定理的应用探讨
摘 要：本文主要讨论积分中值定理的应用,它主要包含定积分第一中值定理、定积分第二中值定理与二重积分中值定理等六个方面的应用,从而丰富了数学分析中相关的内容.
关键词：积分中值定理; 推广; 应用
On Discussion of the Applications for the Mean Value
Theorem in Mathematical Analysis
Abstract ：In this paper, we mainly discuss the applications of mean-value theorems , which mainly contains six aspects of the applications such as the first mean-value theorem, the second integral mean-value theorem and the double integrals mean-value theorem and so on. Hence they enrich the related contents in mathematical analysis.
Key words: integral mean-value theorem; generalization ; application.
1 引言
1.1 本文背景
随着时代的发展,数学分析的内容也在更新.积分中值定理作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中,它在数学分析的学习过程占有很重要的地位.积分中值定理在微积分学中有非常广泛的应用,已有相关文献对此定理的推广形式作了研究.在此我们就把积分中值定理、推广及其应用进行归纳总结.相关内容参见文献[1-9].
1.2 本文主要内容及其意义
本文研究的主要内容是研究、分析和总结了积分中值定理及其推广,最后探讨了积分中值定理在各方面的应用问题,如估计积分值,确定数列极限等等,使我们对它有了更深一层的理解,从而丰富了数学分析中相关的内容.
1.3 一些引理
引理[1]1（积分第一中值定理）若()x f 在区间[,]a b 上连续,则在[,]a b 上至少存在一点ξ使得
()()(),b a
f x dx f b a ξ=-?
a b ξ≤≤.
引理[1]2（积分第二中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积 （1）若()g x 在区间(,)a b 上单调递增且()0g a ≥ ,那么存在ξ,使下式成立
()()()()b b
a
f x
g x dx g b f x dx ξ
=??.
（2）若()g x 在区间(,)a b 上单调递减且()0g b ≥,那么存在ξ,使下式成立
()()()()b a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=?
?.
引理[2]3（二重积分中值定理）若()y x f ,在可求面积的有界闭区域D 上连续,
则存在一点()D ∈ηξ,,使得
(,)(,)D
f x y ds f ξησ=???,
其中σ是D 的面积.
引理[1]4（推广的积分第一中值定理）若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且
()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得
()()()(),b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
? a b ξ≤≤.
引理[1]5（推广的定积分第二中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可
积,()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号,则在[,]a b 上必存在一点ξ,使得
()()()()()().b b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ
=+?
??
引理[7]6（二重积分中值定理的推广）若
（1）()y x f ,在闭区域D 上连续且非负,[]b a x ,∈?,f 关于y 单调递减
D =(){()()}b x a x y x y x ≤≤≤≤,,ψ?.
（2）()y x g ,在D 上连续.则存在可积曲线()[]b a D x y s ,,∈∈ξ使得
()())(
()
()
()(,),,,y s b a
D
f x y
g x y dydx f x x dx g y dy ξφξφξ=???
??
.
2 积分中值定理的应用
2.1积分第一中值定理的应用
例1 利用引理1,估计积分
（1）20
10.2cos dx
x π+?,
（2
）10
3
?
. 分析 用引理1估计
()()()b
a m
b a f x dx M b a -≤≤-?,
其中M 和m 分别是()f x 在[,]a b 上的最大、最小值.即()b b b
a
a
a
mdx f x dx Mdx ≤≤???.
由此可以估计积分.
解（1）由于
111
10.210.2cos 10.2
x ≤≤
++-, 即
515610.2cos 4
x ≤≤+. 所以
20
55310.2cos 2
dx x πππ
≤≤
+?. （2）由引理1知存在C (0,1)∈,使得
31134
1
x dx ==
=
?
.
而
1≤≤, 所以
311
4≤≤?
.
例2 设函数()f x 在[]b a ,上连续,在(,)a b 可导,且()()()b c
f x dx b c f a =-?
,
其中[],b c a ∈,证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=.
分析 因为函数()f x 在[]b a ,上连续,在(,)a b 可导,只要再找出一点k ,使得
()()f a f k =.再由罗尔定理即可得证.
证明 由引理1知,在[]c,b 上存在一点k ,使得
()()()b c
f x dx b c f k =-?
.
而
()()()b c
f x dx b c f a =-?
,
所以()()f a f k =,由罗尔中值定理,在(,)(,)a k a b ?内至少存在一点ξ,使得
()0f ξ'=.
例3 假设()f x 为[0,1]上的连续非负、严格单调减函数,且≤≤≤0b c 1.证明
c
b
b ()()
c b f x dx f x dx >?
?.
分析 要证b c 0
b ()()b f x dx f x dx
c >
?
?,即需证b c
0b (1)()()b b f x dx f x dx c c
->??. 证明 由积分中值定理可知
b 0
()()()(0)f x dx bf bf b b ξξ=><
,
11()()()()()()c b
f x dx c b f c b f b b c ξξ=->-<
.
由以上两个不等式可以得到
b c 0b
11
()()()f x dx f b f x dx b c b >>-??, b c 0b (1)()()c
f x dx f x dx b
->??.
两边乘以b
c
得
b 0(1)()()c
b
b b f x dx f x dx
c c ->??.
因为01,11b b
c c
<
<-<所以,又由于()f x 为[0,1]上的连续、非负函数,所以 0
()0b f x dx >?
.
因此
()()b c
b b f x dx f x dx c
>
?
?. 2.2 推广的积分第一中值定理的应用
例4 利用引理4证明不等式
（1）10011
201010x
e dx x -<<+?,
（2）1
023<<
?, （3）2
1
2
24
22x
x
e
e dx e -
-≤≤?.
分析 估计积分()()b a
f x
g x dx ?的一般的方法是:求()x f 在[]b a ,的最大值M
和最小值m ,又若()0≥x g ,则
()()()()b
b
b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???.
证明（1）利用引理4,x 1
(),()e 10f x g x x
-=
=+取,则有 10101000011201010
x
x x
e e dx dx e dx x ---<<+???, 其中,右边的
1010
0111e 101010
x e dx --=
1010011
(e )2020
x e dx --=?1-. 与所证的左边不等式尚差稍许,为此可有
105550
0011131(e )1010151515420
x x
x e e dx dx e dx x x ---->≥=>?=++?
??1-.
由此可证
10011201010
x
e dx x -<<+?.
（2）估计连续函数的积分值()b a
f x dx ?的一般的方法是求()x f 在[]b a ,的最
大值M 和最小值m ,则
()()()b
a m
b a f x dx M b a -≤≤-?.
因为
2
3
2149222
2
≤??? ??--=
-+≤x x x []()1,0∈x , 所以
1023<<
? （3）在区间[0,2]上求函数()x
x
e x
f -=2
的最大值M 和最小值m .
()()
x
x
e x x
f --='212,令()0='x f ,得驻点21=
x .比较??
?
??21f ,()0f ,()2f 知41
21-=??
?
??e f 为()x f 在[0,2]上的最小值,而()22e f =为()x f 在[]20，上的最大值.由引理4得
21
2
24
(20)(20)x x
e e
dx e ---≤≤-?,
即
2
12
24
22x
x
e
e dx e --≤≤?.
2.3 积分第二中值定理的应用
例5 利用积分第二中值定理估计积分2010sin x
dx x
ππ
?. 分析 由引理2估计有
()()()()b a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=?
?
,
所以只要找到满足引理2条件的(),()f x g x 即可.
解 设1
()sin ,()f x x x x
?==,则()f x 及()x ?在[10,20]ππ上满足第二中值定理的条件,特别1
()x x
?=
单调下降且不为负,于是 201010sin 1
sin 10x dx xdx x πξπ
π
π
=?
?
2
sin 1cos 21055ξ
ξθπππ
-=
=
=, 其中1020,01πξπθ<<≤≤.
例6 确定积分131
x x e dx -?
的符号.
分析 先换元把函数转换成符合所需要的函数.再利用积分中值定理就可以确定积分的符号.
解
10101
3333311
1
()()x x x t x x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx ----=+=---+?
?
???
1
1
1
333331
1
()t x t x x x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx --=+=-+=+?????.
由引理2可知
1331
()0x x e dx e e ξξξ--=-≥?
(01)ξ≤≤.
又3x
x e 在[1,1]-上不恒为0,则有131
0x
x e dx ->?,即131
x x e dx -?
的符号为正号.
2.4 推广的积分第二中值定理的应用
例7 证明0x >,0c >时
21sin x c x
t dt x
+≤
?
. 分析 由引理2及引理5估计有
()()()()b a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=??
,
()()()()()().b b
a
a
f x
g x dx g a f x dx g b f x dx ξ
ξ
=+?
??
所以只要找到满足条件的(),()f x g x 即可.
证 取2,
t t dt μ===
由引理2及引理5可得： 2
2
2
()2
sin sin x c x c x
x x t dt d ξμμμ++=
=?
?
?
=
21
21cos cos 22x x
x x
ξ-≤
=. 例8 求极限1
20lim 1n
n x dx x →∞
+?. 分析 此数列通项属于含有定积分的形式,且该函数的定积分不易直接求出,分析出(),()f x g x 即可.
解（1）方法一 令2
1
(),()1n f x g x x x
=
=+.则由积分第二中值定理及其推广可知g （x ）在[0,1]上连续,而且不变号,所以存在ξ使得：
110
()()()()f x g x dx f g x dx ξ=?
?
.
因此有以下式子
1
122
2
00
1
11
00.11(1)(1)1
n n x dx x dx x n n ξξ≤=
=
≤→+++++??
则有
1
20lim 01n
n x dx x →∞
=+?.
（2）方法二 令2
1
(),()1n f x g x x x
=
=+.则由推广的积分第一中值定理可知,存在[0,1]n ξ∈,使得
1
1222
00
1
11
1111n n n
n
x dx x dx x n ξξ==
?++++??
. 从而
1
22
011
lim lim 0111n n n n
x dx x n ξ→∞→∞=?=+++?.
注 (1)本题如果按下面的做法,则是错误的：
1
122001lim lim 0,(0,1)11n n
n n n n x dx dx x x ξξ→∞→∞
==∈++??. 这里(0,1)n ξ∈,但不一定有lim n n n ξ→∞
=0.例如(0,1)1
n n
n ξ=
∈+,然而却有 1lim lim(
)01
n n
n n n n e n ξ-→∞
→∞
==≠+. (2)一般有结论：若f 在[0,1]上连续,则1
lim ()0n n x f x dx →∞
=?.
例9 设函数()x f 在()∞+，
0上连续,0
()(2)()x F x x t f t dt =-?,试证:在()∞+，0 内,若()x f 为单调增函数,则()x F 为单调减函数.
分析 先求导,利用积分中值定理得到()[()()]F x x f f x ξ'=-.再由()x f 为单 调增函数.即可证()0F x '≤.
证明 0
()(2)()()2()x x x
F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-???,
对上式求导,得
()()()2()()()x
x
F x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-??.
利用引理5,得
()()()[()()]F x xf xf x x f f x ξξ'=-=- (0)x ξ≤≤.
若()x f 为非减函数,则()()0≤-x f f ξ,
所以()0F x '≤,故()F x 为单调减函数,命题得证.
2.5 二重积分中值定理的应用
例10 应用引理3估计积分
2210
1
10cos cos x y dxdy x y +≤++??的值. 分析 由于函数(,)f x y 在闭区域D 上连续,假设(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值分别为,M m ,即(,)m f x y M ≤≤.对不等式在区域D 上进行二重积分可得
(,)D
D
D
mds f x y ds Mds ≤≤??????,
即
(,)D
D
D
m ds f x y ds M ds ≤≤??????.
解 由于221
(,)10cos cos f x y x y
=
++在{}(,)|10D x y x y =+≤上连续,据中
值定理知存在(,)D ξη∈,使得
22
10cos cos D
I x y
?=
++, 从而
1210D D I ??≤≤
,即25
203
I ≤≤. 例11 设(,)Z f x y =在闭正方形D ：01,01x y ≤≤≤≤上连续,且满足下列条件：
(,)0,(,)1D
D
f x y dxdy xyf x y dxdy ==????,
证明存在(,)D ξη∈,使得11
(,),4D
f A xy dxdy A ξη≥
=-??其中. 分析 由于(,)0,(,)1D
D
f x y dxdy xyf x y dxdy ==????则得
1
(,)14D
xy f x y dxdy -=??（）.再利用引理3即可证. 证明 由(,)0,(,)1D D
f x y dxdy xyf x y dxdy ==????知1(,)14D xy f x y dxdy -=??（）,
所以1
(,)14
D
xy f x y dxdy -
≥??,由引理3得:存在(,)D ξη∈,使得 1
(,)
14
D
f xy dxdy ξη-
≥??
, 故1(,)f A
ξη≥
. 2.6 推广的二重积分中值定理的应用
例12 若
（1）()y x f ,在闭区域D 上连续且非负,[)+∞∈?,a x ,f 关于y 单调递减
D =(){()()}+∞<≤≤≤x a x y x y x ,,ψ?;
(2) ()()dx x x f a
?
+∞?,存在;
（3）()y x g ,连续且(),D
g x y dxdy ??收敛;
则D
fg ??收敛.
分析 由于()y x g ,连续且(),D
g x y dxdy ??收敛,则存在可积曲线.再利用二重
积分中值定理的推广可证.
证明 因(),D
g x y dxdy ??收敛,由引理6得存在正数k ,使得对任意的可积曲
线()[)+∞∈∈,,a D x y s η 有
()
()()
,s y g y K ηφηη≤?.
又()(),a
f x x dx φ+∞?
存在,故a M ≥?>?,0ε,当2
1,A A M ≥时有
()()21
,A A f x x dx K
ε
φ≤?
.
由二重积分中值定理的推广有,()21,A A ∈?ξ 使得
()()
()
()()()()()
()
2
21
1
,,,,s A x A y A x
A f x y g x y f x x dx g y dy ψξφφξφξ=
????
?
K K
ε
≤?=ε.
所以D
fg ??收敛.
3 结语
本文通过讨论积分中值定理,对积分中值定理内容、积分中值定理应用加以说明,使得我们对积分中值定理有一个大概的了解.积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.此外,积分中值定理的推广问题也是当今数学分析研究的一个方向,在此也给出了简单的介绍。在利用积分中值定理解决问题时,要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是在学习过程中逐渐要培养的、积累的好习惯.
参考文献
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