V AR模型与协整
张晓峒
南开大学经济学院
天津300071
xttfyt@https://www.doczj.com/doc/c417381171.html,
1. V AR（向量自回归）模型定义
2. V AR模型的特点
3. V AR模型稳定的条件
4. V AR模型的分解
5. V AR模型滞后期的选择
6. 脉冲响应函数和方差分解
7. 格兰杰（Granger）非因果性检验
8. V AR模型与协整
9. V AR模型中协整向量的估计与检验
10. 案例分析
1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
1. V AR （向量自回归）模型定义
以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例，
y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2t
其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是，
??????t t y y 21=12c c ??????+??
????1.221
.211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +??
?
???t t u u 21
设Y t =??????t t y y 21, c =12c c ??????
, ∏1 =???
???1.221.211.121.11ππππ, u t =??????t t u u 21, 则，
Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (1.3)
含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：
Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω)
其中，Y t = (y 1, t
y 2, t … y N , t )'， c = (c 1 c 2 … c N )'
∏j =??
????
????????j NN j
N j
N j N j
j
j N j j
..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ
,
j = 1, 2, …, k
u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',
不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
因V AR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t
是渐近不相关的，所以可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。
2. V AR 模型的特点
（1）不以严格的经济理论为依据。
（2）V AR 模型的解释变量中不包括任何当期变量。 （3）V AR 模型对参数不施加零约束。
（4）V AR 模型有相当多的参数需要估计。 （5）V AR 模型预测方便、准确（附图）。
（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。
（7）西姆斯（Sims ）认为V AR 模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入V AR 模型。
附：
20406080100
120
80
81
82
83
84
85
86
87
88
PHO
PHOhat
2040
60
80
100120
80
81
82
83
84
85
86
87
88
PHO
PHOF
图1 油价与静态拟合值 图2 油价与静态拟合值
3. V AR模型稳定的条件
对于V AR(1)，
Y t = c + ∏1 Y t-1 + u t
模型稳定的条件是特征方程|∏1-λI |=0的根都在单位圆以内，或相反的特征方程|I–L∏1|= 0的根都要在单位圆以外。
对于k>1的V AR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的V AR(1)模型形式。
Y t = C + A Y t -1 + U t
模型稳定的条件是特征方程|A-λI| =0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程|I-L A|=0的全部根都在单位圆以外。
附：矩阵变换。给出k阶V AR模型，
Y t = c + ∏1 Y t-1 + ∏2 Y t-2+ … + ∏k Y t-k + u t
再配上如下等式，
Y t -1 = Y t -1
Y t -2 =Y t -2
…
Y t-k+1 =Y t-k+1
把以上k个等式写成分块矩阵形式，
1
121?+---????????????????NK k t t t t Y Y Y Y =1
NK ???
??
??
??
????????c 000+NK
NK k k ?-???????????
?????00
0000000I
I I ΠΠΠΠ
1
211
321?----????????
????????NK k t t t t Y Y Y Y +
1
?????????
????????NK t 000 u
其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为
Y t = C + A Y t -1 + U t
附：V AR 模型的特征根
4. V AR模型的分解
以V AR(1)模型
Y t = c + ∏1 Y t-1 + u t
为例，用递推的方法最终可把Y t分解为三部分：
Y t = (I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t-1) c + ∏1t Y0 +
1
1
t
i
i
-
=
∑Πu
t-i
=(I-∏1)-1c + ∏1t Y0 +
1
1
t
i
i
-
=
∑Πu
t-i
5. V AR 模型滞后期的选择
1． 用F 统计量选择k 值。F 统计量定义为，
()//()r u u SSE SSE m F SSE T k -=
-~ F ( m , T – k )
2． 用LR 统计量选择k 值。LR （似然比）统计量定义为，
LR = - 2 (log L (k ) - log L (k +1) ) ~)(22N χ
3． 用赤池（Akaike ）信息准则 (AIC ) 选择k 值。
AIC = -2??? ??T L log +T
k
2
4．用施瓦茨（Schwartz ）准则 (SC ) 选择k 值。
SC =-2??
? ??T L log +T T log k
5．用Hannan-Quinn 信息准则选择k 值。 log ()
22L Ln LnT HQ k T T
=-+
附：选择k 值
评价结果是建立V AR(2)模型。
6. V AR 模型的脉冲响应函数和方差分解
(1)脉冲响应函数:
对于任何一个V AR 模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。
Y t+s = U t+s + ψ1U t+s -1 + ψ2
U t+s -2 + …+ ψs
U t + …
ψ s =
t
s t U Y ??+
ψ s 中第i 行第j 列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第j 个变量y j t 对应的误差项u j t 在t 期受到一个单位的冲击后，对第i 个内生变量y it 在t + s 期造成的影响。
把ψ s 中第i 行第j 列元素看作是滞后期s 的函数
t j s
t i u y ??+,, s = 1, 2, 3, …
称作脉冲响应函数（impulse-response function ），脉冲响应函数描述了其它变量在t 期以及以前各期保持不变的前提下，y i, t +s 对 u j, t 时一次冲击的响应过程。
(2)方差分解
MSE(?t s t +Y ) = E[(Y t +s -?t s t +Y ) (Y t +s -?t s t
+Y )'] = Ω + ψ1Ωψ1' + ψ2Ωψ2 ' + … +ψ s -1Ωψ s -1' （5）
其中Ω = E(u t u t ' )。
下面考察每一个正交化误差项对MSE(?t s t
+Y )的贡献。把u t 变换为正交化误差项v t 。 u t = M v t = m 1v 1t + m 2v 2t +…+ m N v N t
Ω = E(u t u t ' ) = (m 1v 1t + m 2v 2t +…+ m N v N t ) ( m 1v 1t + m 2v 2t +…+ m N v N t ) '
= m 1 m 1'Var(v 1t )+ m 2 m 2'Var(v 2t ) +…+ m N m N 'Var(v Nt )
把用上式表达的Ω代入(5) 式，并合并同期项，
MSE(?t s t
+Y ) =122s-1s-11Var()( '+ ' ' + ' ' + ... + ' ')N
jt j j j j j j j j j v 1=∑m m m m m m m m ψψψψψψ
则
1s-1s-11s-1s-11
Var()( '+ ' ' + ... + ' ')
Var()( '+ ' ' + ... + ' ')
jt j j j j j j N
jt
j j j j j j j v v
11=∑m m m m m m m m m m m m ψψψψψψψψ表示正交化的第j 个新息对前s
期预测量?t s t
+Y 方差的贡献百分比。
附：脉冲响应函数
图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应
附：方差分解
图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差分解 图6 油储量的方差分解
7. 格兰杰（Granger ）非因果性检验
格兰杰非因果性：如果由y t 和x t 滞后值所决定的y t 的条件分布与仅由y t 滞后值所决定的条件分布相同，即
?( y t | y t -1, …, x t -1, …) = ?( y t | y t -1, …) 则称x t -1对y t 存在格兰杰非因果性。
格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上x t 的滞后变量后对y t 的预测精度不存在显着性改善，则称x t -1对y t 存在格兰杰非因果性关系。
为简便，通常总是把x t -1 对y t 存在非因果关系表述为x t （去掉下标-1）对y t 存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。
检验式（V AR 模型方程之一）是
11
1
k k
t i t i i t i t i i y y x u αβ--===++∑∑
H 0: β1 = β2 = …= βk = 0。检验可用F 统计量完成。
()()u u k F SSE T kN -=
-r SSE SSE ~F ( k , T - k N )
注意：滞后期k 的选取是任意的。（1）以x t 和y t 为例，如果x t -1对y t 存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果x t -1对y t 不存在显著性影响，则应该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。
附：格兰杰非因果性检验结果
8. V AR 模型与协整
如果V AR 模型
Y t = ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -1 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω)
的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的V AR 模型。
?Y t = ∏1* ?Y t -1 + ∏2* ?Y t -2 + … + ∏k * ?Y t-k + u t * （新）
然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造V AR 模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。
向量误差修正模型（VEC ）的表达式是
?Y t = (∏1 +∏2 +…+∏k - I ) Y t -1- (∏2 +∏3 +…+∏k ) ?Y t -1- (∏3 +…+∏k ) ?Y t -2 -…- ∏k ?Y t - (k -1) +u t
令 Γj = -∑+=k
j i i 1∏, j = 1, 2, …, k -1，
∏ = - Γ0 - I =∑=k
i i 1
∏- I = ∏1 + ∏2 + … + ∏k – I
则上式写为
?Y t = ∏ Y t -1 + Γ1?Y t -1 + Γ2?Y t -2 + … + Γk -1?Y t -(k -1) + u t
根据Granger 定理，向量误差修正模型（VEC ）的表达式是 A
?
(L ) ?Y t = α β ' Y t -1 + d (L ) u t
其中A ?(L ) 是多项式矩阵A (L )分离出因子(1- L )后降低一阶的多项式矩阵，d (L )是由滞后算子表示的多项式矩阵。
Y t-k 有如下三种可能。
1．当Y t 的分量不存在协整关系，∏的特征根为零，∏ = 0。
2．若rank (∏) = N （满秩），保证 ∏ Y t-k 平稳的唯一一种可能是Y t ~ I(0)。 3．当Y t ~ I(1)，若保证 ∏ Y t-k 平稳，只有一种可能，即Y t 的分量存在协整关系。
例1：
∏ Y t-1 = α β 'Y t-1 =
11
12121
r r N Nr N r
αααααα?????????
??
?? 1111N r rN r N
ββββ??????????? 1,12,1,11
t t N t N y y y ---???
??????????
=
11111,11,1111,1,11111,11,111,1,11
(...)(...)(...)(...)t N N t r r t rN N t N t N N t Nr r t rN N t N y y y y y y y y αββαββαββαββ--------???++++++??
????++++++??
例2：设三个变量的V AR(1)的误差修正模型如下（含两个协整关系），
????
?
????????t t t y y y ,3,2,1= ????
?
?????--8/34/18/58/14/12/1??
????--4/11008
/11??????????---1,31,21,1t t t y y y +????
?
?????t t t u u u 321
代数形式是
? y 1, t = - (1/2) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1] + (1/4) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1] + u 1 t ? y 2, t = (1/8) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1]– (5/8) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1] + u 2 t ? y 3, t = (1/4) [y 1, t -1 - (1/8) y 2 t -1] + (3/8) [y 2, t -1 - (1/4) y 3 t -1] + u 3 t
9. V AR 模型中协整向量的估计与检验
检验协整关系的零假设是 H 0: rk(∏) ≤ r 或 ∏ = α β ' 统计量是
LR = - 2 (logL (β?)r - logL (β?)u )
= - T [
∑+=N
r i log 1
(1- λi ) ], r = 0, 1, …, N - 1
LR 统计量在零假设 0 < r < N 或“存在N - r 个单位根”成立条件下不服从χ2分布。Johansen 证明LR 统计量渐近服从如下分布。
tr ??
?????????????????????????????-10110'10)'()()'()()'()(i d i i d i i i d i W W W W W W
其中tr (·) 表示迹，W (i ) 是N -r 维的Wiener 过程。上述统计量也称作迹
统计量。右单端检验。
上述 LR 检验，H 0: rk(∏) ≤ r ，是一个连续检验过程。
例： N = 3 的V AR 模型的3个特征根分别是λ1 = 0.9, λ2 = 0.5, λ3 = 0.04。样本容量T = 100，练习协整向量个数的检验过程。
表
协整检验过程
零假设 N - r 特征值 迹统计量 5%水平临界值 r = rk(∏ ) = 0 3 0.90 303.6 > 34.91 r = rk(∏ ) ≤ 1 2 0.50 73.30 > 19.96 r = rk(∏ ) ≤ 2
1
0.04
4.082 <
9.24
注：LR = - T [
∑+=N
r i log 1
(1- λi ) ]。
结论是该V AR 模型中存在2个协整向量。
附：计算过程。首先检验r = 0。
LR = - T [
∑+=N
r i log 1
(1- λi ) ] = - 100∑=-3
1
)1log(i i λ= -100 [log(0.1)+ log(0.5)+ log(0.96)]
= -100 (-2.302-0.693-0.04) = 303.6 > 34.91（临界值）
接着检验r = 1。
LR = - 100∑=-3
2)1log(
i i λ= -100 [log(0.5)+ log(0.96)] = -100 (-0.693-0.04) = 73.30 > 19.96（临界值）
接着检验r = 2。
LR = - 100 Ln (1- λ3 ) = -100 log(0.96)= -100 (-0.04) = 4.082 < 9.24（临界值）
因为r≤ 1已经被拒绝，但r≤ 2未能被拒绝，所以结论是该V AR模型中存在2个协整向量。
例：输出结果
说明3个变量之间存在一个协整关系。
附：说明
(1) 首先从检验r = 0开始。意即在V AR模型中不存在协整向量（含有N个单位根）。如果r = 0不能被拒绝（LR < 临界值），说明N个变量间不存在协整关系。检验到此终止。不能建立VEC模型。如果r = 0被拒绝（LR > 临界值），则应继续进行下面的检验。
(2) r≤ 1。意即在V AR模型中存在1个协整向量（含有N-1个单位根）。如果r≤ 1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r≤ 1被拒绝，则应进一步作如下检验。
……
(3) r≤N–1。意即在V AR模型中存在N–1个协整向量（含有1个单位
根）。如果r≤N–1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r≤N–1被拒绝，说明r =N。
在检验过程中，比如r≤r*-1已经被拒绝，但r≤r*不能被拒绝，则结论是V AR模型中存在r*个协整向量。
（4）协整检验过程中的每一步检验都属于右单端检验。
案例分析：
英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius (1992) 。祥见Journal of Econometrics（计量经济学杂志）第53卷，211-244页。
1．购买力平价和利率平价
同种商品在不同国家应该保持相同价格。否则就会存在套利问题。但是当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用P t表示国内商品价格，P t*表示国外同类商品价格，E t表示购买力平价，则有
E t = P t / P t*
即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是
LnE t = Ln P t - LnP t*
3个变量的长期均衡关系是
Ln P t - LnP t* - LnE t = u1t
其中u t表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处有u t = 0。
下面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联
系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一样的。分别用R t，R t*表示。资本市场的套利行为对汇率形成压力。制定汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证
R t- R t* = E(t) (E t+1) - E t = u2t
其中E t表示名义汇率（货币的购买力平价）。E(t) (E t+1)表示t期对t+1期汇率的期望。u2t是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持R t，R t*相等称为利率平价。
2．协整关系的预分析
如果用
Y t = (LnP t LnP t* LnE t R t R t*)'
表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。
β1 = (1 -1 -1 0 0)'
β2 = (0 0 0 1 -1)'
β1表示购买力平价协整向量，β2表示利率平价协整向量。
3．估计协整向量个数r。
用P t表示英国商品综合批发价格指数。P t*表示进口商品综合批发价格指数。E t表示英国实际汇率。R t表示三个月的金融债券利率。R t*表示三个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。
通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以在V AR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据
空间）。
2阶V AR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成的。用石油价格调整批发价格指数，再次估计2阶V AR模型。V AR模型残差序列的诊断检验结果见表1。
表1 V AR模型残差的诊断检验
方程内生变量标准差偏度峰度-3 JB统计量序列相关检验，
LM(20)
6.09 (<31.41)
1 LnP t 0.007 0.29 1.27 4.84
(<5.99)
9.59 (<31.41)
2 LnP t* 0.007 0.28 2.16 12.44
(>5.99)
13.54 (<31.41)
3 LnE t 0.030 0.30 0.17 0.95
(<5.99)
9.11 (<31.41)
4 R t 0.011 0.58 0.2
5 3.55
(<5.99)
16.41 (<31.41)
5 R t* 0.013 -0.51 3.7
6 37.95
(>5.99)
注：χ20.05 (2) = 5.99, χ20.05 (20) = 31.41
序列相关检验结果显示5个方程的随机误差序列都不存在自相关。但R t和R t*仍表现为非正态性。这是由于它们的弱外生性造成的。
在上述2阶V AR模型基础上进行协整检验（见表2）。结果显示协整向量个数r = 2。
VAR模型应用实例 众所周知，经济的发展运行离不开大量能源的消耗，尤其是在现代经济发展的过程中， 能源的重要性日益提升。我国自改革开放以来，经济发展取得长足的进步，经济增长率一直处于较高的速度，经济的高速增长带来了能源的大量消耗，进而带来了我国能源生产的巨大 提高。因此，研究经济增长率与能源生产增长率之间的关系具有重要的意义，能为生源生产 提供一定的指导意义。 1?基本的数据 我们截取1978—2015年中国经济增长速度（GDP增速）和中国能源生产增长速度数据，具体数据如下： 表1 1978―― 2016年中国经济和能源生产增长率 2?序列平稳性检验（单位根检验） 使用Eviews9.0来创建一个无约束的VAR模型，用gdp表示的是中国经济的增长率，用nysc表示中国能源生产的增长率，下面分别对gdp和nysc进行单位根检验，验证序列是否 平稳，能否达到建立VAR模型的建模前提。
Augm&nted Di ckey-Fuller Test Equation Dependent Variables (GDP) Method. Least Squares Date： 05/17/17 Time： 10:55 Sample (adjusted): 19S2 2015 Included observations: 34 after adjustments Variable Coefficient St! Error t^Statistic Prob. GDP(-1)-0.8561710.221114 -18675530,0006 EXGDPHJ)0.6256310.193529 3.23275510031 D(GDP 図)0.0492400.175617 0.280544 07811 D(GDP(-3))0264937 0.16734B 1.583145 01242 C3540050 2222961 3,841745 00006 R-squareri 0.45S475 Mean dependent var 0.052941 Adjusted R-squared 0 383782 S.D d即巴口血吋调「 2.545731 r r di “內erm 洽占耗…甘尺讨丹, A 图2.1经济增速（GDP）的单位根检验
VAR模型的应用 基于VAR量技术通过变量平稳性和协整检验格兰杰因果检验，脉冲响应函数和预测方差分解分析，对经济增长与环境污染在时序维度的关系及其动态性进行了实证研究. [1]刘坤,刘贤赵,常文静. 烟台市经济增长与环境污染关系实证研究——基于VAR计量技术的检验分析[J]. 环境科学学报,2007,11:1929-1936. 1、孙长青（2012年）城镇化、工业化和金融发展的动态关系进行了分析，运用VAR模型、Johansen协整检验、Granger因果性检验和方差分解等定量分析方法进行了实证研究。[1]孙长青. 基于VAR模型的城镇化、工业化与金融发展关系分析——以中原经济区为例[J]. 经济经纬,2012,06:17-21. 2、近年来，中国经济发展的可持续性备受关注。环境 作为一种不可替代的资源，诸多数据显示，中国为其经 济高速增长付出的资源环境代价是沉重的，同时经济增 长也会影响环境。在未来的经济发展中，如何处理经济 增长与环境治理的关系，就变成了一个迫切而现实的问 题。在这种进程中，是否能够找到某种平衡路径的前提， 就是要对经济发展和环境污染的关系进行深入的研究。从目前来看，在这一方面国内的相关研究还有待于 进一步深入。 (二)VAR模型的构建 VAR模型是Sims于1980年提出的向量自回归模 型weclor auloregressive model，简称VAR模型)。本文用 VAR模型对山东省经济增长与环境污染各指标进行实 证分析，VAR模型可以表述如下: 其中为k维内生变量，为D维外生变量;为kxk维待估计的系数矩阵，m为 KxD维待估计的系数矩阵，(其中为k维向量的方差协方差矩阵)。可以同期相关，但通常不与自己的滞后值相关，也不与等式右边的变量相关,p为模型的滞 后阶数。 [1]吴丹,吴仁海. 不同地区经济增长与环境污染关系的VAR模型分析——基于广州、佛山、肇庆经济圈的实证研究[J]. 环境科学学报,2011,04:880-888. 建立经济增长和环境污染的VAR模型，使用广义脉冲响应和方差分解对经济增长与衡量环境污染水平的各指标动态关系进行了实证分析。 [1]李治国,周德田. 基于VAR模型的经济增长与环境污染关系实证分析——以山东省为例[J]. 企业经济,2013,08:11-16. 农业用水量与农业经济增长的而板VAR模型，考察农业用水与农业经济增长的互动效应。
应用VAR模型时的15个注意点 向量自回归（VAR,Vector Auto regression）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。VAR方法通过把系统中每一个内生变量,作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型,从而回避了结构化模型的要求。Engle和Granger（1987）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为是具有协整关系的。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。 VAR 模型对于相互联系的时间序列变量系统是有效的预测模型,同时，向量自回归模型也被频繁地用于分析不同类型的随机误差项对系统变量的动态影响。如果变量之间不仅存在滞后影响,而不存在同期影响关系，则适合建立VAR 模型,因为VAR模型实际上是把当期关系隐含到了随机扰动项之中。 注意点： 1、单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。 2、当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验,但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3、当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提）想进一步确定变量之间是否存在协整关系,可以进行协整检验,协整检验主要有EG两步法和JJ检验 :①、EG两步法是基于回归残差的检验可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；②、检验是基于回归系数的检验，JJ 检验前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式） 4、当变量之间存在协整关系时，可以建立 ECM 进一步考察短期关系，Eviews 这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验请注意识别。 5、格兰杰检验只能用于平稳序列，这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。
VAR模型应用实例 众所周知,经济得发展运行离不开大量能源得消耗,尤其就是在现代经济发展得过程中,能源得重要性日益提升。我国自改革开放以来,经济发展取得长足得进步,经济增长率一直处于较高得速度,经济得高速增长带来了能源得大量消耗,进而带来了我国能源生产得巨大提高。因此,研究经济增长率与能源生产增长率之间得关系具有重要得意义,能为生源生产提供一定得指导意义。 1.基本得数据 我们截取1978—2015年中国经济增长速度(GDP增速)与中国能源生产增长速度数据,具体数据如下: 表1 1978——2016年中国经济与能源生产增长率 使用Eviews9、0来创建一个无约束得VAR模型,用gdp表示得就是中国经济得增长率,用nysc表示中国能源生产得增长率,下面分别对gdp与nysc进行单位根检验,验证序列就是否平稳,能否达到建立VAR模型得建模前提。
图2、1 经济增速(GDP)得单位根检验
图2、2 能源生产增速(nysc)得单位根检验 经过检验,在1%得显著性水平上,gdp与nysc两个时间序列都就是平稳得,符合建模得条件,我们建立一个无约束得VAR模型。 3.VAR模型得估计
图3、1 模型得估计结果
图3、2 模型得表达式 4、模型得检验 4、1模型得平稳性检验 图4、1、1 AR根得表 由图4、1、1知,AR所有单位根得模都就是小于1得,因此估计得模型满足稳定性得条件。
图4、1、2 AR根得图 通过对GDP增长率与能源生产增长率进进行了VAR模型估计,并采用AR根估计得方法对VAR模型估计得结果进行平稳性检验。AR根估计就是基于这样一种原理得:如果VAR模型所有根模得倒数都小于1,即都在单位圆内,则该模型就是稳定得;如果VAR模型所有根模得倒数都大于1,即都在单位圆外,则该模型就是不稳定得。由图4、1、2可知,没有根就是在单位圆之外得,估计得VAR模型满足稳定性得条件。 4、2 Granger因果检验 图4、2、1 Granger因果检验结果图 Granger因果检验得
应用VAR模型时的15个注意点(笔记) 向量自回归（VAR,Vector Auto regression）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。VAR方法通过把系统中每一个内生变量,作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的要求。Engle和Granger（1987a）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为是具有协整关系的。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。 VAR模型对于相互联系的时间序列变量系统是有效的预测模型，同时，向量自回归模型也被频繁地用于分析不同类型的随机误差项对系统变量的动态影响。如果变量之间不仅存在滞后影响，而不存在同期影响关系，则适合建立VAR模型，因为VAR模型实际上是把当期关系隐含到了随机扰动项之中。 注意点： 1、单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。 2、当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3、当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验 A、EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性 B、JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL 模式） 4、当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews 这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。 5、格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。 6、非平稳序列很可能出现伪回归，协整的意义就是检验它们的回归方程所描述的因果关系是否是伪回归，即检验变量之间是否存在稳定的关系。所以，非平稳序列的因果关系检验就是协整检验。 7、平稳性检验有3个作用：1）检验平稳性，若平稳，做格兰杰检验，非平稳，作协正检验。2）协整检验中要用到每个序列的单整阶数。3）判断时间学列的数据生成过程。
VaＲ模型及其在金融风险管理中的应用 引言 国际金融市场的日趋规范、壮大,各金融机构之间的竞争也发生了根本性变化,特别是金融产品的创新，使金融机构从过去的资源探索转变为内部管理与创新方式的竞争,从而导致了各金融机构的经营管理发生了深刻的变化，发达国家的各大银行、证券公司和其他金融机构都在积极参与金融产品(工具)的创新和交易，使金融风险管理问题成为现代金融机构的基础和核心。随着我国加入ＷTO，国内金融机构在面对即将到来的全球金融一体化的挑战，金融风险管理尤显其重要性。 传统的资产负债管理(Assｅｔ－Liabiliｔy Mａnageｍent）过份依赖于金融机构的报表分析，缺乏时效性，资产定价模型(CＡＰM）无法揉合新的金融衍生品种，而用方差和β系数来度量风险只反映了市场(或资产）的波动幅度。这些传统方法很难准确定义和度量金融机构存在的金融风险。1９93年,Ｇ30集团在研究衍生品种基础上发表了《衍生产品的实践和规则》的报告,提出了度量市场风险的VaR( Valｕe-ａt-Rｉsk )模型（“风险估价”模型),稍后由ＪP.Mｏrｇaｎ推出了计算VａR的RiｓkMeｔrics风险控制模型。在些基础上,又推出了计算ＶaR的CrediｔMetrｉcsTＭ风险控制模型，前者用来衡量市场
风险；ＪP．Morｇａn公开的CrediｔmetriｃsTＭ技术已成功地将标准ＶaR 模型应用范围扩大到了信用风险的评估上，发展为“信用风险估价”(Creｄit Value ａt Risｋ）模型,当然计算信用风险评估的模型要比市场风险估值模型更为复杂。目前,基于VaR度量金融风险已成为国外大多数金融机构广泛采用的衡量金融风险大小的方法。?VaR模型提供了衡量市场风险和信用风险的大小，不仅有利于金融机构进行风险管理，而且有助于监管部门有效监管。?⒈1９9５年巴塞尔委员会同意具备条件的银行可采用内部模型为基础,计算市场风险的资本金需求，并规定将银行利用得到批准和认可的内部模型计算出来的VａR值乘以３，可得到适应市场风险要求的资本数额的大小。这主要是考虑到标准VａＲ方法难以捕捉到极端市场运动情形下风险损失的可能性,乘以3的做法是提供了一个必要的资本缓冲。?⒉Grｏuｐof Thirty １993年建议以风险资本(Cａpitａl—ａt—ｒisk）即风险价值法（VａR）作为合适的风险衡量手段,特别是用来衡量场外衍生工具的市场风险。?⒊1９95年，SEC也发布建议,要求美国公司采用ＶaＲ模型作为三种可行的披露其衍生交易活动信息的方法之一。 这些机构的动向使得VaR模型在金融机构进行风险管理和监督的作用日益突出。 国际金融风险管理的发展 从国际金融风险管理发展历程来看,近２0年来,大致经历了以下几个阶段：?(一）80年代初因受债务危机影响。银行普遍开始注重对信用风险的防范与
实用标准文档 文案大全VAR模型应用实例 众所周知，经济的发展运行离不开大量能源的消耗，尤其是在现代经济发展的过程中，能源的重要性日益提升。我国自改革开放以来，经济发展取得长足的进步，经济增长率一直处于较高的速度，经济的高速增长带来了能源的大量消耗，进而带来了我国能源生产的巨大提高。因此，研究经济增长率与能源生产增长率之间的关系具有重要的意义，能为生源生产提供一定的指导意义。 1.基本的数据 我们截取1978—2015年中国经济增长速度（GDP增速）和中国能源生产增长速度数据，具体数据如下： 表1 1978——2016年中国经济和能源生产增长率 2.序列平稳性检验（单位根检验） 使用Eviews9.0来创建一个无约束的VAR模型，用gdp表示的是中国经济的增长率，用nysc表示中国能源生产的增长率，下面分别对gdp和nysc进行单位根检验，验证序列是否平稳，能否达到建立VAR模型的建模前提。
图2.1 经济增速（GDP）的单位根检验
图2.2 能源生产增速（nysc）的单位根检验 经过检验，在1%的显著性水平上，gdp和nysc两个时间序列都是平稳的，符合建模的条件，我们建立一个无约束的VAR模型。 3.VAR模型的估计
图3.1 模型的估计结果
图3.2 模型的表达式 4.模型的检验 4.1模型的平稳性检验 图4.1.1 AR根的表 由图4.1.1知，AR所有单位根的模都是小于1的，因此估计的模型满足稳定性的条件。
图4.1.2 AR根的图 通过对GDP增长率和能源生产增长率进进行了VAR模型估计，并采用AR根估计的方法对VAR模型估计的结果进行平稳性检验。AR根估计是基于这样一种原理的:如果VAR模型所有根模的倒数都小于1，即都在单位圆内，则该模型是稳定的;如果VAR模型所有根模的倒数都大于1，即都在单位圆外，则该模型是不稳定的。由图4.1.2可知，没有根是在单位圆之外的，估计的VAR模型满足稳定性的条件。 4.2 Granger因果检验 图4.2.1 Granger因果检验结果图
VAR模型的应用 案例分析的目的 一般来说，地区GDP越高，人均收入也越高，居民消费水平也越高，而反过来，居民消费水平越高，对GDP的促进作用也越大。那么两者是否真的存在相互影响呢？本案例将分析居民消费水平与GDP之间的这种联动效应。 1.实验数据 本实验选取湖北省从1980年到2010年的年度数据。整理如下： 表1 GDP总额与居民消费水平
3.VAR模型的构建 3.1 数据平稳性检验 因为数据变动趋势较大，本例对数据取对数，其中LGDP表示GDP总额，LX表示居民消费水平。 表2 将数据取对数调整后的新序列LGDP与LX
2009 9.469708 8.960725 2010 9.678318 9.102421 图1 居民消费水平与GDP的对数值的对比图 图2 LX序列的单位根检验结果
图4 LGDP序列的单位根检验结果从而LX和LGDP在5%的显著水平上均是平稳序列。 3.2 VAR模型滞后阶数的选择 由于共有31个年度样本数据，选取最大的可能滞后阶数为3 不同判断标准下滞后阶数的选取
从以上分析结果可以看出，FPE，AIC，SC，HQ都得出滞后阶数为2时的VAR模型为最优的，可得选取的最优滞后阶数为2，即K=2 。 3.3 VAR模型的估计 下表是滞后阶数为2时的VAR模型的估计结果 VAR（2）的估计结果 Vector Autoregression Estimates Date: 05/08/12 Time: 19:07 Sample (adjusted): 1982 2010 Included observations: 29 after adjustments Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ] LGDP LX LGDP(-1) 1.516551 0.954641 (0.27898) (0.28720) [ 5.43606] [ 3.32399] LGDP(-2) -0.420999 -0.487069 (0.25111) (0.25851) [-1.67655] [-1.88416]
二〇一五年七月 VAR模型及其在投资组合中的应用 内容提要 20世纪90年代以来，随着金融衍生产品市场的迅猛发展，加剧了金融市场的波动，2008年的金融危机使得大量的金融机构和投资者破产，风险管理再一次成为金融活动的核心内容。基于VaR的风险管理理论也在巴塞尔协议II的推广下开始广泛地被金融机构所运用，成为目前市场上主流的风险管理工具。本文将VaR及其延伸概念边际VaR和成分VaR的风险管理理论运用到证券市场的投资组合风险调整过程中，选取能够覆盖多数行业的40只个股构成一个投资组合，运用蒙特卡洛法分别计算投资组合在95%的置信水平和持有期为1天的条件下组合的VaR，以此来分析投资组合的风险分布及单只个股的风险贡献度；同时将VaR 运用均值-VaR的组合优化理论确定投资组合的最小VaR投资组合，对比调整前后的损益走势图来说明VaR在投资组合风险调整优化过程中的有效性。 【关键词】投资组合风险管理 VaR 均值-VaR 组合优化理论 一、序言 （一）研究背景及意义 20 世纪 90 年代以来，随着世界金融市场在业务范围和产品规模上的急剧扩张，使得世界各国经济体之间的一体化和联动性不断增强，近些年的金融危机在国家之间的传导也更为迅速，往往带来整个行业的衰退和大量金融机构的破产。08 年的全球金融危机最初只是美国房地产市场上的次债危机，但由于涉及
大量金融衍生产品如 CDO、MBO 和全球范围内的大量机构投资者，使得次债危机最终演变为全球范围内的金融危机，雷曼兄弟等众多金融机构破产倒闭，全球经济也迅速进入衰退周期。 因此可以总结出：世界经济一体化和联动性的增强在横向上扩大了金融风险影响的范围。对此，以巴塞尔委员会为首的全球金融监管机构开始重新制定金融风险管理标准，风险管理再次成为金融活动的核心内容。尤其对于证券公司、基金公司来说，他们持有的不再是单一的一种资产，而是众多资产组成的一揽子投资组合，如何运用一种有效的风险管理标准全面地衡量组合的风险，成为他们首要考虑的问题，VaR 正是在这种背景下产生并快速发展起来的。 早期的VaR只是作为一种衡量风险的方式，便于向管理层和决策者汇报，是一种消极被动的运用；随后管理者发现可以运用VaR进行主动的风险调控和绩效评估，为优化资源配置提供依据，此时VaR已经演变成为一种主动的积极的管理策略。目前，VaR作为风险管理领域的主流工具，广泛地被银行、保险公司、机构投资者、非金融机构及监管层机构所运用，应用的范围不仅限于单个的资产或者项目，还包括投资组合、衍生金融工具如理财产品定价、信用风险的度量等方面。 而我国的资本市场起步晚，但是在规模和数量上却发展迅速。在全球经济联动性增强、我国资本市场开放程度不断加大的趋势下，投资者面临的风险将会更加复杂、国际化、多样化，这对投资者的管理能力和风险控制能力提出了更高的要求。尤其是对于管理资金庞大的基金管理人来说，任何细微的失误都会造成重大的损失。因此，VaR风险衡量法的推广在我国资本市场上具有很大的意义。 首先，对于证券市场上的投资者或是基金管理人来说，随着投资组合中的股票数量逐渐增多，投资者希望了解组合整体的风险水平，VaR作为风险控制依据，基金公司可以为每个交易员设定VaR数额限制，能够有效地约束交易员的过度投机行为，避免一些重大的损失。同时，VaR 可以作为基金业绩评估标准，在投资活动中风险和收益呈正向关系，高收益往往伴随着高风险，因此目前基金业绩评估指标中不再简单地以收入高低来评价业绩，而是开始将风险因素考虑到绩效评估中，防止基金管理人过度追求高收益而忽略对风险的防范。 （二）文献综述 1． VaR研究现状 关于VaR的研究，最早由推出的 VaR（Value-at-Risk）模型，之后发展成为“信用风险估价”（Credit Value at Risk）模型，主要是在正态分布的假
1、单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。 2、当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验（11楼主解释了该原理），但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3、当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验 A、EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性 B、JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式） 4、当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别 做格兰杰因果检验的前提必须保证两组序列为稳定序列.一般检验序列的稳定性都会采用ADF单位根检验,如果证实不存在单位根,则序列被定义为稳定序列.因此可以将其,两组序列进行格兰杰因果检验. 协整检验并不是进行格兰杰因果检验的先决条件,但目前很多的文献中都将其序列进行ADF检验后,再进行协整检验,最后才进行格兰杰因果检验. 其实实际上只需要进行单位根检验后,证明其为稳定序列就可以进行格兰杰因果检验了.在这里,关于单位根检验,我建议采用PP检验,因为PP检验中t统计量的构造相对于ADF检验的统计量更为稳定. 先进行单位根检验，判断数据是否平稳，如果存在单位根，且同阶的话，再进行协整分析，可用E－G两步法或Johnson法来判断协整关系，如果存在协整可进一步检测格兰杰因果检验，看看某一个变量的先前的变化对另一个变量是否有影响。 单位根检验是检查序列的平稳性，非平稳的序列进行回归会出现伪回归问题，分析结果不可靠，如果序列是平稳的就可以直接建模，如果不平稳，就要进行协整分析，协整的前提是序列应为同阶单整，具有协整关系的非平稳序列也可以进行回归分析而不会出现伪回归现行，避免了差分丢失信息的弊端。 首先，需要对序列的平稳性进行检验，如果序列均平稳，则可以直接进行Granger 因果检验，由于此时变量以其水平值出现，所以此时检验的是变量间长期意义上的因果关系；在变量均非平稳但协整的情况下则可以建立误差修正模型(Error Correction Model, ECM)来研究变量间的关系，由于误差修正项的出现，ECM可以同时研究短期与长期的因果关系；在变量均非平稳且不协整的情况下，则需要在差分的基础上建立VAR模型，但由于差分消除了变量长期上的经济信息，因此此时只可以分析变量间的短期因果关系。 格兰杰因果检验中的滞后阶数怎么确定的？还有作了协整检验了，存在协整关系，怎么写协整方程？ 根据AIC 和SC的值来判断，越小越好。协整方程就是你作协整检验时，作的回归方程，其表达形式和平稳变量作回归的表达形式相同，这个方程叫作长期协整
应用VAR莫型时的15个注意点 向量自回归（VAR,Vector Auto regression ）常用于预测相互联系的时间序 列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。VAR方法通过把系统中每一个 内生变量,作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造莫型,从而回避了结构化模型的要求。En gle和Gran ger（1987）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为是具有协整关系的。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。 VAR模型对于相互联系的时间序列变量系统是有效的预测模型，同时，向量自回归模型也被频繁地用于分析不同类型的随机误差项对系统变量的动态影响。如果变量之间不仅存在滞后影响, 而不存在同期影响关系，则适合建立VAR 模型, 因为VAR模型实际上是把当期关系隐含到了随机扰动项之中。 注意点： 1、单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。 2、当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验, 但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3、当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提）想进一步确定变量之间是否存在协整关系, 可以进行协整检验, 协整检验主要有EG两步法和JJ检验：①、EG两步法是基于回归残差的检验可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；②、检验是基于回归系数的检验，JJ 检验前提是建立VAR莫型（即模型符合ADL模式） 4、当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM 进一步考察短期关系，Eviews 这里还提供了一个Wald－Granger 检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验请注意识别。 5、格兰杰检验只能用于平稳序列，这是格兰杰检验的前提，而其因果关系 并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”
金融计量知识：应用VAR模型时的15个注意点(笔记) 向量自回归（VAR,Vector Auto regression）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。VAR方法通过把系统中每一个内生变量,作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的要求。Engle和Granger（1987a）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为是具有协整关系的。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。 VAR模型对于相互联系的时间序列变量系统是有效的预测模型，同时，向量自回归模型也被频繁地用于分析不同类型的随机误差项对系统变量的动态影响。如果变量之间不仅存在滞后影响，而不存在同期影响关系，则适合建立VAR模型，因为VAR模型实际上是把当期关系隐含到了随机扰动项之中。 注意点： 1、单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。 2、当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3、当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验 A、EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性 B、JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式） 4、当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。 5、格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。 6、非平稳序列很可能出现伪回归，协整的意义就是检验它们的回归方程所描述的因果关系是否是伪回归，即检验变量之间是否存在稳定的关系。所以，非平稳序列的因果关系检验就是协整检验。 7、平稳性检验有3个作用：1）检验平稳性，若平稳，做格兰杰检验，非平稳，作协正检验。2）协整检验中要用到每个序列的单整阶数。3）判断时间学列的数据生成过程。 ADF检验：1 view---unit root test,出现对话框，默认的选项为变量的原阶序列检验平稳性，确认后，若ADF检验的P值小于0.05，拒绝原假设，说明序列是平稳的，若P值大于0.5，接受原假设，说明序列是非平稳的；2 重复刚才的步骤，view---unit root test,出现对话框，选择1st difference,即对变量的一阶差分序列做平稳性检验，和第一步中的检验标准相同，若P值小于5%，说明是一阶平稳，若P值大于5%，则继续进行二阶差分序列的平稳性检验。
第8章 V AR 模型与协整 8.1 向量自回归（V AR ）模型 1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 8.1.1 V AR 模型定义 V AR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y 1t ，y 2t 之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型 y 1, t = f (y 1, t -1, y 1, t -2, …) y 2, t = f (y 2, t -1, y 2, t -2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。V AR 模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N ，一个是最大滞后阶数k 。 以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例， y 1, t = μ1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = μ2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是， ??????t t y y 21=??????21μμ+??????1.221.211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +?? ????t t u u 21 (8.2) 设， Y t =??????t t y y 21, μ =??????21μμ, ∏1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =?? ????t t u u 21, 则， Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下： Y t = μ + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中， Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' μ = (μ1 μ2 … μN )' ∏j =??????????????j NN j N j N j N j j j N j j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππΛM O M M ΛΛ, j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )', Y t 为N ?1阶时间序列列向量。 μ为N ?1阶常数项列向量。∏1, … , ∏k 均为N ?N 阶参数矩阵，u t ~ IID (0, Ω) 是N ?1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。 因V AR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t 是不相关的，所以
第8章 VAR 模型与协整 8.1 向量自回归（VAR ）模型 1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 8.1.1 VAR 模型定义 VAR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y 1t ，y 2t 之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型 y 1, t = f (y 1, t -1, y 1, t -2, …) y 2, t = f (y 2, t -1, y 2, t -2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR 模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N ，一个是最大滞后阶数k 。 以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的VAR 模型为例， y 1, t = ?1 + ?11.1 y 1, t -1 + ?12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = ?2 + ?21.1 y 1, t -1 + ?22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ? IID (0, ? 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是， ??????t t y y 21=??????21μμ+? ? ????1.221.211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +?? ????t t u u 21 (8.2) 设， Y t =??????t t y y 21, ? =??? ???21μμ, ?1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =?? ????t t u u 21, 则， Y t = ? + ?1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的VAR 模型表示如下： Y t = ? + ?1 Y t -1 + ?2 Y t -2 + … + ?k Y t -k + u t , u t ? IID (0, ?) (8.4) 其中， Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' ? = (?1 ?2 … ?N )' ?j =? ? ? ?????? ?? ?? ?j NN j N j N j N j j j N j j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ , j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )', Y t 为N ?1阶时间序列列向量。 ?为N ?1阶常数项列向量。?1, … , ?k 均为N ?N 阶参数矩阵，u t ? IID (0, ?) 是N ?1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。 因VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t 是不相关的，所以可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。 VAR 模型的特点是：
向量自回归（VAR,Vector Auto regression）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。VAR方法通过把系统中每一个内生变量,作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型,从而回避了结构化模型的要求。Engle和Granger（1987）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为是具有协整关系的。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。 VAR 模型对于相互联系的时间序列变量系统是有效的预测模型,同时，向量自回归模型也被频繁地用于分析不同类型的随机误差项对系统变量的动态影响。如果变量之间不仅存在滞后影响,而不存在同期影响关系，则适合建立VAR 模型,因为VAR模型实际上是把当期关系隐含到了随机扰动项之中。 注意点： 1、单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。 2、当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验,但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3、当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提）想进一步确定变量之间是否存在协整关系,可以进行协整检验,协整检验主要有EG两步法和JJ检验 :①、EG两步法是基于回归残差的检验可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；②、检验是基于回归系数的检验，JJ 检验前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式） 4、当变量之间存在协整关系时，可以建立 ECM 进一步考察短期关系，Eviews 这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验请注意识别。 5、格兰杰检验只能用于平稳序列，这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，
VAR 模型的构建（例：上证指数与投资者的数据分析） 应用 Eviews 软件，创建 VAR 对应选择 Quick/Estimate V AR，或选择 Objects/new object/V AR，也可以在命令窗口直接键入 VAR
选择 VAR 滞后选择的选取：根据信息法则不断调试最优阶数 Engogenour variable ：内生变量的设置，根据VAR 模型的设计，所有变量都可以作为内生变量，所以不依据顺序随意输入数据。 在做 VAR 模型时，不同类型的时间序列必须进行平稳检验，最好选择平稳的时间序列来做
（说明：此时的模板数据已经做了一阶差分，即指数的一阶差分序列—上证指数。本例子中选取了三类投资者：基金、散户、券商，同时给出了彼此的买价和卖价） 第一个是估计值，第二个（误差），第三个是标准差。主要是为了判断变量的显著性。 判断滞后阶数的信息准则需要看下面的信息准则，对应的数字越小，就是应选择最优阶数。 之后做脉冲效应，view 下选择 impulse response，即建立脉冲反应。
Display format ：表、两个关系的图、多重图 Impulse：冲击response：四个变量都响应 Period：滞后阶数 确定后得出的图为 Response to Cholesky One S.D. Innovations±2 S.E. Response of DIF_IN02 to DIF_IN02Response of DIF_IN02 to DIF_FUND Response of DIF_IN02 to DIF_INBANK Response of DIF_IN02 to DIF_INDEX .03.03.03.03 .02.02.02.02 .01.01.01.01 .00.00.00.00 -.01-.01-.01-.01 12345678910123456789101234567891012345678910 Response of DIF_FUND to DIF_IN02Response of DIF_FUND to DIF_FUND Response of DIF_FUND to DIF_INBANK Response of DIF_FUND to DIF_INDEX .06.06.06.06 .04.04.04.04 .02.02.02.02 .00.00.00.00 -.02-.02-.02-.02 12345678910123456789101234567891012345678910 Response of DIF_INBANK to DIF_IN02Response of DIF_INBANK to DIF_FUND Response of DIF_INBANK to DIF_INBANK Response of DIF_INBANK to DIF_INDEX .016.016.016.016 .012.012.012.012 .008.008.008.008 .004.004.004.004 .000.000.000.000 -.004-.004-.004-.004 12345678910123456789101234567891012345678910 Response of DIF_INDEX to DIF_IN02Response of DIF_INDEX to DIF_FUND Response of DIF_INDEX to DIF_INBANK Response of DIF_INDEX to DIF_INDEX 1.5 1.5 1.5 1.5 1.0 1.0 1.0 1.0 0.50.50.50.5 0.00.00.00.0 -0.5-0.5-0.5-0.5 12345678910123456789101234567891012345678910 第一组表示自己对于影响，第二组表示散户投资者对于指数的影响，第三组表示券商都是指数的影响 --- 第一排指数是受影响的对象