概率统计习题
习题一
一填空题
（1）设C B A ,,为三事件，试用C B A ,,的运算表示下列事件：C B A ,,
中不多于两个发生：
C B A ,,中至少有两个发生：BC AC AB ??
（2）设B A ,为二事件，试用B A ,的运算分别表示下列事件及其对立事件：B A ,都发生：,AB
（2）设B A ,
注：1A ：两件均不合格，2A ：一件合格，两件中有一件是不合格品即21A A ?； 两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即1A ，故
516466)())(())((
16
14244
221211211
=?+=+=??=?=C C C C A A P A A A P A A A P P （5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试验的样本空间。{10，
11，……}
（6）假设7.0)(,4.0)(=?=B A P A P ，若B A 与互不相容，则3.0)()()(=-?=A P B A P B P ，若B A 与相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=?+-?=B P B P B P A P A P B A P B P
2甲乙丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶”；-B “乙中靶”；-C “丙中靶”则用上述三事件的运算分别表示下列事件 （1）
甲未中靶：A ； (2)甲中靶而乙未中靶B A
(3)三人中只有丙未中靶：C AB (4)三人中恰好一人中靶：C B A C B A C B A ?? (5)三人中至少一人中靶C B A ?? (6)三人中至少一人未中靶C B A ?? (7)三人中恰好两人中靶：C B A BC A C AB ??
(8)三人中至少两人中靶AC BC AB ?? (9)三人中均未中靶：C B A (10)三人中至多一人中靶C B A C B A C B A C B A ??? (11)三人中至多两人中靶C B A ABC ??= 3 20个运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，
求这两个一级队： （1） 被分在不同组(A )的概率，；（2）被分在同一组(B )的概率。
526.0)(1020
9
18
12≈=
C C C A P ;474.02)(1020
8
18
22≈=
C C C B P
或：因,A B =故474.0526.01)(1)(1)(=-≈-=-=A P B P B P 4
从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率。
252.050
24515≈=C C C P
5
在长度为
a 得线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又 4
1
222,
,=
????
?
????
<<
>+??????--<---<--->+P a y a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 6 在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于
4
1
的概率。
4
ln 4
1
41)41(4ln 4
1411)ln 4
1
(1
)411()41
(14
114
1+=<--
=-=-=
>?
xy P x x dx x
xy P
7 电路由电池组A 与两个并联的电池组C B 及串联而成，设电池组C B A ,,损坏的概率分别为
2.0.2.0.
3.0，求电路发生断电的概率是多少？（C B A ,,为相互独立工作的电池组）
设C B A ,,分别表示电池组C B A ,,损坏，电路发生断电可表示为BC A ?，故 328
.07.02.03.0)()()()()()()()()()()()()()(2=?+=+=-+=-+=?A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P ABC P BC P A P BC A P
8设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为8.0，活到25年以上的概率为4.0，问现在
25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 5
.08
.04.0}20P{}2520{}20/25{===岁以上活到岁以上岁以上，且活到活到岁以上活到岁以上活到P P 9某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，
40年内发生特大洪水的概率为
85％，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。
:X 发生特大洪水的时刻。
25.02
.005
.0}30{}4030,30{}30
40
30{==≥<<≥=≥< 10 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受到干扰,当发出信 号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率0.8与0.2收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率0.9与0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率. :1A 发出信号“.” :2A 发出信号“__” :1B 收到信号“.”; :2B 收到信号“__” 由题设:1.0)/(,4.0)(,8.0)(,6.0)(212111====A B P A P A B P A P 于是: 52.01.04.08.06.0)/()()/()()(2121111=?+?=+=A B P A P A B P A P A P 由贝叶斯公式有:903.0) () /()()/(111111==B P A B P A P B A P 又由: 9.0)/(,2.0)(2212==A B P A B P 于是: 46.09.04.02.06.0)/()()/()()(2221212=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:75.0) () /()()/(222222== B P A B P A P B A P 11 设袋中有a 个黑球，b 个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第)1(b a k k +≤≤次取出的一个球是黑球的概率。 （1）b a a P += b a a k b a b a b a k b a b a a k b a A k b a A k a P k b a k b a += +-=-+++---+-+=+--+= +--+)1()1)((]1)1()1[()1(() 11()2(1 1 个 个球中取个个球中取（次取出黑球）第 12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25％，35％，40％，若 每个车间成品中的次品率分别占产量的5％，4％，2％， （1） 全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？ （2） 全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲车间生产的概率 是多少 （1）321,,A A A 分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。:B 抽出的一个是次 品035.01002 10040100410035100510025)/()()(3 1 =++== ∑=i i i A B P A P B P （3） 由贝叶斯公式有:362.0045 .0100 5 10025)()/()()/(111≈==B P A B P A P B A P 13 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n 次才取出 )1(n k k ≤≤次红球的概率。 k r n k n k k n k n C C )10 1()109()101()109(10111111-------= 14 灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多 只有一只坏了的概率。 记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好} X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X ～)8.0,3(b 104 .02.01342.032.02.08.02.08.0)1(33321 33003=?=??+=?+?=≤C C X P 15 某人有两盒火柴，每盒中各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他 发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r 根的概率。 r n n r n C --222 1 注：可看作r n -2重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为 21，取了第二盒中一根火柴的概率也为2 1 ，设所求事件为B ，则B 相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n 根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了r n -根火柴，”的事件，故 r n n r n r n n n r n C C B P ----==2222 1)21()21()( 习题二 1 填空题 （1）设随机变量X 的分布律为 2,1,0(! }{===k k a k X P k λ）则λ-=e a （2）设随机变量X 的分布律为 2,1,0(}{== =k N a k X P ）则1=a （3）一均匀骰子在重复掷10次后，X 表示点3出现的次数，则X 服从：参数为) 6 1 ,10(b 的二项分布，分布律为102,1,0()6 5()61(}{1010 ===-k C k X P k k k ） （4）设随机变量X 的概率密度为?? ?<<=, 0, 10,2)(x x x f ，Y 表示对X 的三次重复观察中事 件? ?????≤21X 出现的次数，则64943161343)41(}2{223=?===C Y P （5）已知X ～),(2σμN ,则σ μ -= X Y ～)1,0(N 2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不 得把卖不出的报纸退回，设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100}; 66615 10 66615.0100 X X 3 设在15只同类型的零件中有两只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽 样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 3512 }1{315 2 1312== =C C C X P ; 351}2{315 11322===C C C X P 35 22 }2{}1{1}0{= =-=-==X P X P X P 4 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为P ，失败的概率为P q -=1， （1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。 （2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。 （1）第X 次成功，前X-1次全失败。 ,2,1)1(]) 1([}{11 011=-=-==----k p p p p p C k X P k k k k （2）第Y 次成功，前Y-1次成功r-1次。 ,1,)1(}{111+=?-==----r r k p p p C k Y P r k r r k 5 设随机变量X 的分布函数?? ? ??≥<≤<=1,110,0 ,0)(2x x x X x F ，试求（1） }2 1{)3(},431{)2(}21{>≤<-≤X P X P X P ; 4 3 }21{1}21{)3(,169 )1()43(}431{)2(41)21(}21{)1(= ≤-=>= --=≤<-==≤X P X P F F X P F X P 6 有一繁忙汽车站，每天有大量汽车通过，设每两汽车在一天的某时段内出事故的概率 为0.0001，在某天该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算） 1.0=≈np λ 004.01.01}1{}0{1}2{1.01.0≈--==-=-=≥--e e X P X P X P 7 …在t 时间间隔内收到紧急呼救的次数X 服从参数为 2 t 的泊松分布，…… （1）…中午12点至下午3时没有收到紧急呼救的概率。 （1）…中午12点至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 （1）参数为 2 3 )3(2= =t t 在3小时内收到k 次呼救的概率为： 220.0}0{;,2,1,0,! )23(}{2323 ≈=====- -e X P k k e k X P k （2）参数为2 5 )5(2==t t ;918.0,!0)25(1}0{1}1{2 5 0≈-==-=≥-e X P X P 8 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次 的概率。 001.0=p ， （每个工作时内发生故障的概率） X ：100作时内发生故障的次数，X ～)001.0,100(b 99984.0! 21.0!11.0!0001.0999.0001.0999.0999.0} 2{}1{}0{}2{1 .021.01 .01.02982 1009911001000100≈++≈ ?+?+==+=+==≤---=≈e e e C C C X P X P X P X P np λ 7 设X ～],5,2[U 现对X 进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 3 22535}3{=--= >X P Y 表示对X 进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y ～)32 ,3(b ， 27 2027894)32(31)32(}3{}2{}2{3 33223= +=+==+==≥C C Y P Y P Y P 10 设随机变量X ～?? ? ??<-=,0,1,1)(2x x c x f 求：（1）常数c,(2)X 的分布函数)(x F ，（3）X 落 在区间)2 1 ,21(-的概率。 （1） 因π π1 c arctan 1)(111 1 1 2 = ==-== --+∞ ∞ -??故c x c x dx c dx x f ?? ? ?? <-=,0,1,11)(2 其他x x x f π （2） 当1X -<时,0)x (F = 当1X 1<<-时， 2 1arcsin 1 arctan 1 1)(1 12 + = = -= --?x x t dt x F x x π π π 当1≥x 时：1arctan 1 01)(11 1 1 12 == +-= --??x dt t dt x F x π π 3 1]21)21arcsin(1[)2121arcsin 1()21()21()2121{)3(=+--+=--=<<- ππF F X P 11 …服务时间X 服从指数分布，其概率密度为 ?? ???>=-其他,00,5 1)(5 x e x f x ，某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求Y 的分布律，并求}1{≥Y P . 等待1次离开的概率为： ??∞ +-∞+- == = >10 210 55 1)(}10{e d e dx x f X P x Y ～),,5(2-e b )5,,1.0()1(}{5225 =-==---k e e C k Y P k k k 5167.0)1(1}0{1}1{52≈--==-=≥-e Y P Y P 12 X ～)2,3(2N （1）求}.3{},2{},104{},52()1(>>≤<-≤ 1 ()1()232()235(}52{=--=---=≤<φφ?φX P 9396.01)2 7(2)27()27()234()2310( }104{=-=--=----=≤<-φφφ?φX P 6997.0)2 5 ()21(1}22{1}2{=----=≤<--=>?φX P X P 5.0)0(1}3{1}3{=-=≤-=>φX P X P 由}{}{c X P c X P ≤=>得)2 3(}2323{}{21-=-<-=≤=c c X P c X P φ， 又 3),0(2 1 ==c 故φ 13寿命X 服从σμ,60=的正态分布，若要求σ,80.0}200120{≥≤ ） （查 1.2890.0)40 ( ,80.01)40 ( 2) 160 120()160200( }200120{φσ φσ φσ φσ φ?≥?≥-=---=≤ 14随机变量X 的分布律为： 求2X Y =的分布律。 Y 得2X Y =的分布律为 15设X ～x e Y N =求)1(),1,0(的概率密度，（2）求122+=X Y 的概率密度， +∞ ====='==>='∞+∞-==∞=∞-∞+∞-},max{,0},min{,1 )(,ln )()(,0)()()1(e e e e y y h y y h x x g e x g e x g Y x x βα有反函数， 且）上恒有，在（ 故Y 的概率密度? ????≤>=-,0, 00,21)(2)(ln 2 y y e y y f y Y π (2)因,0122≥+=X Y ，则)1(,0)(≤=y y F y ， 当1>Y 时， ? ?? ??≤>-=== -<<-- =<+=---- --- -??1, 0,1,)1(21)(21221}2 1 21 {}12{)(410 2 10 22 1 2 12 222 y y e y y f dx e dx e y X y P y X P y F y Y y x y y x y ππ π 习题三 1. 离 散 随 机 变 量 Y X 与相互独立同分布， ,21}1{}1{= -==-=Y P X P .2 1 }1{}1{====Y P X P 求}{Y X P =的概率. .2 1 )(}1,1{}1,1{}{===+-=-===已知独立Y X P Y X P Y X P . 即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般不会以概率1相等. （2）设二维随机变量),(Y X 的概率密度 ? ??≤≤=其他，,0,1,),(22y x y cx y x f ，则。 421 C = （3）Y X 和是相互独立同分布的随机变量， 且,21}1{}1{====Y P X P ;2 1 }2{}2{====Y P X P 求Y X Z +=的概率分布. ,4 1 }2{==+Y X P .2 1}1,2{}2{}1{}3{= ==+====+Y X P Y P X P Y X P ,,41 }4{==+Y X P （2）由已知易得.2 1 }42{,21}22{=== =X P X P 2.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量Y X ,如下： ???=,1,0若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品，X ? ??=;1,0若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品 ，Y 试分别就（1）、（2）两种情况，写出Y X 和的联合分布律．并问随机变量Y X 和是 否相互独立？ （1）放回时，,36 5 }1,0{,3625}0,0{======Y X P Y X P ,365}0,1{= ==Y X P ,36 1 }1,1{===Y X P （2）不放回抽样，,66 10 }1,0{,6645}0,0{======Y X P Y X P ,66 1 }1,1{,6610}0,1{==== ==Y X P Y X P 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立． 3 设随机变量),(Y X 的联合密度? ? ?<<<<--=其他，,04 2,20),6(),(y x y x k y x f 试求（1）常数k ；（2）};3,1{< 8 1,18)26()2122()6()1(202 0422204 2= ==-=-+-=--? ? ?? k k dx x k dx x y k dydx y x k 因 8 3)62(81)6(81}3,1{)2(103221032=-+-=--=< ??dx x y dydx y x Y X P 32 27875.6)26(81)262(81)6(81}5.1{)3(5.105.104225.104 2 ==-=---=--= ??? dx x dx x y dydx y x X P 3 2)26(81)6(81),(}4{)4(4240242404 240 = --=--== <+? ????---dy yx x x dx y x dy dx y x f dy Y X P y y y 4.随机变量),(Y X 在矩形域d y c b x a ≤≤≤≤,上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量Y X 及是否独立？ 解 按题意),(Y X 具有联合概率密度 ??? ?? ≤≤≤≤--=., 0,,,) )((1),(否则d y c b x a d c a b y x f ?????><≤≤-=b x a x b x a a b x f X ,0,1 )(, ?????><≤≤-=d y c y d y c d c y f Y ,0,1)(, Y X 及是独立的. 事实上,若),(Y X 服从区域D 上的均匀分布，则只有当D 为矩形区域：d y c b x a ≤≤≤≤,时，X 与Y 分别服从],[],,[d c b a 上的均匀分布，且X 与Y 独立，反之亦然. 5 一仪器由二个部件构成，以X 和Y 分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知X 和 Y 的联合分布函数???≥≥+--=+---其他， ,00,0,1),()(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x （1）X 与Y 是否独立？ （2）两个部件的寿命都超过100小时的概率α （1）X 和Y 的分布函数分别为???≥-=+∞=-其他， ,0,0,1),()(5.0x e x F x F x X ???≥-=+∞=-其他， ,0,0,1),()(5.0y e y F y F y Y 由于)()(),(y F x F y x F Y X =，故独立。 1 .005.005.0)]1.0(1)]{1.0(1[}1.0{}1.0{}1.0,1.0{)2(---==--=>>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X α 6 （1）求第二题中X 和Y 的边缘分布，（2）X 与Y 是否独立？ （1）由∑==== =1 },{}{k k Y i X P i X P ∑==== =1 },{}{k j Y k X P j Y P 知，放回与不放回的情形都是： 放回，X 与Y 独立；不放回，X 与Y 不独立； 7 随机变量) ,(Y X 的分布函数为=)3arctan )(2arctan (1 ),(2 y C x B y x F ++= π. 求：（1）),(Y X 的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X 与Y 是否独立？ 解 由分布函数的性质有,0),(=-∞x F ,0),(=-∞y F 1),(=+∞+∞F 从而对任意的y x ,；有0)2)(2arctan (1 2=-+π πC x B ， ,0)3arctan )(2(1 2=+-y C B ππ 于是，有.2,2π π==C B ， ) 9)(4(6),(222y x y x f ++=π)4(2)(2x x f X +=π，)9(3 )(2y y f Y +=π 独立。 8 设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为 ,,00,10),2(8.4),(? ??<<<<-=其它x y x x y y x f 求边缘概率密度. 解 对任意10≤≤x ， )2(4.2)2(8.4),()(2 00 x x dy x y dy y x f x f x x X -=-= = ?? 当0≤x 或1 ≥x 时 0)(0 ==?dy x f x X ,对任意10≤≤y ， ??+-=-= = 1 2 1 )43(4.2)2(8.4),()(y y Y y y y dx x y dx y x f y f ， 可知边缘概率密度为：? ??≤≤-=其它,01 0),2(4.2)(2x x x x f X ., 010),43(4.2)(2??? ≤≤+-=其它y y y y y f y 9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为???≤>=-0 , 00,)(t t te t f t ，设各周的需要 量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度. i X 表第i 周的需求量，各i X 相互独立。 设两周的需求量为21X X Z +=，则 111111)()(),()(2 1 dx x z f x f dx x z x f z f X X Z -= -= ??+∞ ∞-+∞ ∞ - 要?? ?>>?=-1 111, 0,0)()(21x z x x z f x f X X 而,)()()()(11)(11111121z x z x X X e x z x e x z e x x z f x f -----=-=- 故)0(,6 )32()()(231211110>=-=-=---? z e z e x z x dx e x z x z f z z z z Z 故??? ??≤>=-0, 00,!3)(3z z e z z f z Z 10.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从)400,160(N 分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率. 设i X 为选取的第i 只电子管的寿命，则i X ～)20,160(2N ,.4,3,2,1=i 令},,,min{4321X X X X Y =则41}]180{[}180{>=>X P Y P ，而 1587.0)1(1}180{1=-=>φX P 因此000634.0}180{=>Y P 11.设随机变量Y X ,相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件}{a X A ≤=.},{a Y B >=且,9 7 )(= B A P 求常数a 4 )3)(1(123212321)()()()()(97 --+ =----+-=-+=?=a a a a a a B P A P B P A P B A P 3 7350 )73)(53(,035369;92434,4341222= ==--=+--=+-?+-+=a or a a a a a a a a a 习 题 四 1填空：（1）．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 求.2)(,2),(==X D X E （2）设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，期望为a ，方差2 σ，令∑== n i i n X n X 1 1 ，则 n a X D a X E n n 2 )(,)(== （3）设随机变量321,,X X X 独立，1X 在[0.6]上服从均匀分布，2X 服从)2,0(2N ，3X 服从参数为3=λ的泊松分布，记32132X X X Y +-=，则 4639443)(9)(4)()(321=?+?+=++=X D X D X D Y D 2 产品次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的抽取10件产品进行检验，若发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，求E(X),(设各产品是否次品是相互独立的) 设：Y: 取10件进行检验的次品数,)1.0,10(b Y ≈ ?? ?=否则 ，，次品数大于次检验要调整设备，即 第01,1i X i 则 ,41 ∑== i i X X )}0(0}1(1{44)()(4 1 =?+=?===∑=i i i i i X P X P EX X E X E 而}1{)0(1)1(=-=-==Y P Y P X P i ∑=-- =--=1 0i 10109.01.01}P{1}0{1i i i C P 次品次品2638.073616.01)9.09.0(1910≈-≈+-= 故0556.12636.04=?=EX 3 100名战士举行射击练习，每人每次射击的命中率均为0.8，每人至多射击4次，但若中靶，则不得射击，且各次射击互不影响，试问：平均看来，应准备多少法子弹为宜？ . 125,8.124100248.1:,248.1008.04032.0316.028.01)(:.008.0}3{}2{}1{1}4{,032.0}3{,16.0}2{,8.0}1{, 3,2,1,8.02.0}{,,1:1发子弹为宜即准备由故则 次中第次射击未中表示战士前解=?=?+?+?+?===-=-=-=========?==-=-X E X P X P X P X P X P X P X P i i X P i i i X i 4某电器设备用于最大负荷的时间X （分钟）是一个随机变量，其概率密度为： ).(., 0,30001500),3000(15001,15000,1500 )(2 2 X E x x x x x f 求其它????? ????≤<--≤≤= 解：)(1500)3000(150011500)()(3000 1500 2 2 2 1500 分=--? + = =???∞ +∞ -dx x x dx x dx x f x X E 5．一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布，概率密度为 ?? ?? ?≤>=-.0,0, 0,41)(4x x e x f x 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. :A 售出设备一年内调换，:Y 表示调换费用。则：?- - -== 1041 4,141)(e dx e A P x ∑-= -k k k p y Y E )100()100(=64.33)1(20010041 4 1=--- - e e （元） 6．设),(Y X 的分布律如下表: （1）求)(),(Y E X E ，（2）设X Y Z = ，求);(Z E （3）设,)(2Y X Z -=求).(Z E （1）Y X ,的边缘分布见上表，故： ,24.032.024.01=?+?+?=EX 03.013.01=?+?-=EY （2）15 11.0310311.0212.011-=?++-+-+-= =∑∑ i j ij i j P X Y EZ （3）5)(2==-= ∑∑ i j ij j i P y x EZ 7．随机变量X 服从几何分布，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中10< p q q p q q q P p q p kq X E k k 1 1)()1()(321 1='??? ? ??-=+++=-=?= ∑∞ =- ∑ ∑ ∞ =∞ =-'=?= 1 1 1 22 )( )(k k k k kq p p q k X E =])11 ( [])( [1 ''-=''∑ ∞ =q q p q q p k k ='??? ? ? ?-2)1(q q p 2421)1()1(2)1(p q q q q q p +=--+-= 其中“′”表示对q 的形式导数. )(p q X D = ， .2)(,2)(==X D X E 11 设随机变量X 服从指数分布：???≤>=-, 0, 0,0,)(x x e x f x 当当λλ其中.0>λ求 )()2(),2()1(2X e E X E -. 解 ?∞ +-=0 2)2(dx e x X E x 22 0=+-=-=??∞ +-∞ +∞ +--dx e xe xde x x x 3 1)(0 32= == ?∞ +-- dx e e E x X 12设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为???????≤>=-.0, 0,0,)(2 22x x e x x f x σσ其中,0>σ是常数. 求).(),(X D X E σ π π σ σ σ σ σσσ σσ2 4 2)2( 2)(0 ) 2( 20 20 20 222 2 22 2 2 22 22 = ==+ -=-== ????∞+-∞+- ∞+- ∞ +- ∞ +- x d e dx e xe xde dx e x X E x x x x x ， 2 222 20 22 2 20 220 22 22 3 2 22)2(2)(22 22 2 22 22 σσσ σ σσσσσσσ=-=- -=+ -=- == ∞+- ∞+- ∞+- ∞ +- ∞ +-∞ +- ????x x x x x x e x d e dx e e x de x dx e x X E 2)2 2(σπ - =DX 13设n X X X ,,,21 独立同分布随机变量，期望为μ，方差2σ，令 ∑ == n i i X n X 1 1 21 2 )(1 1 ∑ =--= n i i X X n S ，（1）验证n a X D X E 2 )(,)(==μ （2）验证2 1 221 1 ∑=--= n i i X n X n S （3）验证22)(σ=S E （1）∑ ==?== n i i n n X E n X E 1 1)(1 )(μμ，∑== ?== n i i n n n X D n X D 12 2 221 )(1 )(σσ ∑ ∑ ==+--= --= n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2 22 1 2 )2(1 1 )(1 1 )2( ∑=+--= n i i X n X n X n 1 2 22[1 1= ][1 12 1 2∑=--n i i X n X n （3）)]()([1 1)(2 1 2 2∑ =--= n i i X nE X E n S E ])([)([{ 1 1 21 2∑=+-+-=n i i i X E X D n EX DX n 221 2 2 ][ ]) ([{1 1σμσ==+-+-=∑=i n i i i DX n n EX DX n 14随机变量),(Y X 具有概率密度 ?????≤≤≤≤+=,, 0, 20,20),(8 1 ),(其它y x y x y x f 求).(,),,(),(),(Y X D Y X Cov Y E X E XY +ρ 解：?????≤≤+=+=? ., 0, 20),1(4 1)(81)(20其它x x dy y x x f X 同理?????≤≤+=.,0,20),1(41)(其它y y y f Y ?== += 20.6 7 )(,67)1(4 )(Y E dx x x X E . 36 11 )(. 36 11)67()1(4)]([)()(.3 4 )238(8)(8)(8 )(2202 22202 220202 0==-+=-==+= += +=? ? ????Y D dx x x X E X E X D dy y y dx xy x dy y dxdy y x xy XY E .9 5 )]()([)()(2)()]([)()(.11 1) ()(),(,36 1676734)()()(),(2222 2= +-++=+-+=+- == -=?-= -=Y E X E Y E XY E X E Y X E Y X E Y X D Y D X D Y X Cov Y E X E XY E Y X Cov XY ρ 15(1)在每次试验中事件A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中事件A 发生的次数在400次至600次之间的概率是.975.0≥ 注：设A 发生的次数为m,则由22 2)1(1}{ ,}{ε εεσεμn p p p n m P X P -- ≥<-?≤ ≥-（1） .975.040 1 101.01000411}1.05.01000{}6.010004.0{}600400{)1(=-=??-><-=<<=<<由m P m P m P (2) 设)50,,2,1( =i X i 是相互独立的随机变量，它们相互独立，且都服从泊送分布)03.0(π， ∑== 50 1 i i X Z ，则用中心极限定理计算.11.0}3{≈ >Z P （精确到2位小数）。 )( }{}{ 1 1 σ μφσ μσ μ n n c n n C n n X P c X P n i i n i i -≈-≤ -=≤∑∑ ==因 i X ～)03.0(π，故 03.0)(,03.0)(==i i X D X E ，所以 .11.089.01)225.1(1)50 03.05003.03( 1}3{1}3{=-≈-=??--=≤-=>φφZ P Z P 16 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5 ㎏，均方差为0.1㎏，问5000只零件的总重量超过2510㎏的概率是多少？ 解：设5000只零件的重量分别为)5000,,2,1( =i X i 记∑== 5000 1 k k X X ,则 50 2500 5000 1.05000 5.05000 1 -= ??-= ∑=X X Z k k (近似)～)1,0(N .0793.0)4141.1(1}50 1050 2500 { }2510{≈-=> -=>φX P X P 17．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 第k 次轰炸命中目标的次数为)100,,2,1( =k X k ,则k X 独立同分布,且 69.1,2)(2===σμk X E ,命中的总次数,σ μ n n X X X k k k k -=∑∑==100 1 100 1 ,(近似)～)1,0(N , 8759.0)13 20 ()1320( }220180{=-Φ-Φ≈≤≤X P 18．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司 付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率． 设老人死亡数为,X 017.0,10000==p n ，公司亏本当且仅当 ,10000402000?>X 即200>X ，于是，),(npq np N X ≈， 亏本的概率：01017.0)321.2(1)) 1(200( 1}200{≈Φ-=--Φ-≈>P np np X P ． 19．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ(未知），方差4002=σ.为了估计μ，随机地取n 只这种器件，在时刻0=t 投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命 为∑== n k k n X n X X X X 1 211 ,,,,以 作为μ的估计.为了使,95.0}1{≥<-μX P 问n 至少为多少？ 95.0}1 {,95.0}1{1 ≥≤ ? -?≥<-∑=n n n n X P X P n i i σ μ μ 95.0)()( 95.0}{1 ≥- -?≥≤ -∑=σ φσ φσ σ μ n n n n n X P n i i 1537,64.15362096.1,96.120 1.96975.0)20 ( ,95.1)( 222≥?=?>>=≥?≥n n n n n ）（查φφσ φ 20某单位设置一电话总机，共有200架电话分机，设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的，设每时刻每个分机有0.05的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于0.9的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 解：设每时刻要使用外线的分机数为X,则X 为一随机变量，且X ～)05.0,200(B .5.995.005.0200,1005.0200=??==?=npq np 由德莫复—拉普拉斯定理： . 14)28.1(9.0)5 .910 (}5.9105.910 {}{)(的最小值为求得查k k k X P k X P x φφφ=≥-≈-<-=< 习题五 1填空题 1 设总体X ～n X X X N ,,,),,(21 2 σμ是来自总体X 的样本，则随机变量X ～～)1(2-n χ， n S X μ -～)1(-n t （2）在正态总体)3,20(N 中抽取2个独立样本，样本均值分别为Y X ,，又样本容量分 别为10，15 Y 独立。 0)(=-Y X E ，2 1 153103)(=+= +=-Y D X D Y X D （3）在正态总体),(2σμN 中抽取16个独立样本，2,σμ均未知，2S 为样本方差，则 99.0}041.2{22 =≤σ S P 注：99 .001.01}615.3015{1} 041.21515(}041.2{)15(22 22 22 2=-=>-=?≤=≤χσ σσ查S P S P S P (5)设总体9219212,,,,,,),3,0(,Y Y Y X X X N Y X 与都服从分别是来自Y X ,的样本，Y X 与相互独立，记T Y Y Y X X X T 则,2 92 22 1921++++++= 的抽样分布是)9(t 注：因为))(9(9 1),1,0(9 129 1 22 9 1 页见 服从服从χ∑∑==== i i i i Y Y N X X 由 页t 分布的定义得).9(,81 19 19 2 92 22 19219 1 2 9 1 2 t Y Y Y X X X Y X Y X T i i i i 服从++++++= = = ∑∑== 2设n X X X ,,,21 是来自总体)(2n χ的样本，求变量样本均值X 的数学期望与方差。 由于n X X X ,,,21 是来自总体)(2n χ的样本，故 n X D n X E i i 2)(,)(==， ∑==??== n i i n n n n X E n X E 1 1 )(1 )(， ∑ ==??= = n i i n n n X D n X D 1 2 2221)(1)( 3在正态总体)5.0,(2 μN 中抽取个独立样本,,,,1021X X X ， （1）已知};4{,02 10 1 ≥= ∑ =i i X P 求μ（2）};85.2)({,210 1 ≥-∑=X X P i i 求未知μ 解：（1）由99页定理1有 )10(45.0),1,0(5.0022101 22101χ服从服从i i i i i X X N X ∑∑===-，故： ;1.0} 164{}4{) 10(210 1 2101 2χ查表≈≥=≥∑∑==i i i i X P X P （2）)9()(45.0)(,31042101 22101χ服从页定理X X X X i i i i -=-∑ ∑==，故 ;25.0} 4.11)(4{}8 5.2)({) 9(210 1 2101 2χ查≈≥-=≥-∑∑==X X P X X P i i i i （2）由168页 式.25.0))9((}4.1125 .0)({ }85.2) ({ 210 1 2 10 1 2 ≈=≥-=≥-∑ ∑==χ查i i i i X X P X X P 4已知随机变量).,1(),(2n F X n t X 服从求证服从 证明：设独立且服从服从Y U n Y N U ,).(),1,0(2χ则由148页知： ),(n t n Y U X 服从= 又由146页定理知).1(22χ服从U 从而由F 分布的定义知： ).,1(22 n F n Y U X 服从= 5 X ～Y N ),,(21σμ～),,(22σμN 从2总体中抽样本，得下列数据： 7.116,54,7211===S X n ；7.85,42,82 22===S Y n ，求}5.78.0{21<-<μμP 解：2总体方差相等，故2 1211 1)(n n S Y X t w + ---= μμ～)2(21-+n n t ， 其中： 2)1()1(212 22211-+-+-=n n S n S n S w ，又124254=-=-Y X ，518.08 1 911 12 1≈+= +n n ；0.1013 7 .8577.1166≈?+?= w S ，所以 } 5.78.0{21<-<μμP } 10518.08.0121 1)(10518.05 .7122 121?-<+ ---???->=<<=t P t P t P 查表：16.2)13(,870.0)13(025.020.0==t t ，故 175.0025.020.0}5.78.0{21=-=<-<μμP 6总体X ～n X X X N ,,,),,(212 σμ是来自总体X 的样本，（1）求n X X X ,,,21 的联合概率密度。（2）求X 的概率密度。 （1）1 2 2)(21 σμσπ∑=--??? ? ?? n i i x n e （2） 2 2 )(2)(21n x e n σ μσ π-- ? 7设),0(,,,,,,2121σN X X X X X m n n n 是来自正态总体 ++ ，容量为m n +的样本，求下列统计量的分布。
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