第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
预习课本P12~14,思考并完成下列问题
(1)函数y=c,y=x,y=x-1,y=x2,y=x的导数分别是什么?能否得出y=x n的导数公式?
(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么?
[新知初探]
1.几种常用函数的导数
[点睛]
(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础,都是通过导数的定义求得的,都属于幂函数的导数.
(2)以上几个常见的导数公式需记牢,在求导数时,可直接应用,不必再用定义去求导.
2.基本初等函数的导数公式
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若y =2,则y ′=1
2×2=1.( )
(2)若f ′(x )=sin x ,则f (x )=cos x .( ) (3)f (x )=1x 3,则f ′(x )=-3
x 4.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ 2.下列结论不正确的是( ) A .若y =0,则y ′=0 B .若y =5x ,则y ′=5 C .若y =x -
1,则y ′=-x -
2
D .若y =x 12,则y ′=12x 1
2
答案:D
3.若y =cos 2π
3,则y ′=( )
A .-
3
2
B .-1
2
C .0 D.12
答案:C
4.函数y =x 在点????
14,12处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4
答案:B
[典例] 求下列函数的导数.
(1)y =x 12;(2)y =1x 4;(3)y =5
x 3;(4)y =3x ;
(5)y =log 5x .
[解] (1)y ′=(x 12)′=12x 11.
(2)y ′=????1x 4′=(x -4)′=-4x -5
=-4x 5. (3)y ′=(5
x 3
)′=(x 35)′=35
x -2
5
.
(4)y ′=(3x )′=3x ln 3. (5)y ′=(log 5x )′=
1x ln 5
.
求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
[活学活用]
求下列函数的导数:
(1)y =lg x ;(2)y =????12x ;(3)y =x x ;(4)y =log 1
3x . 解:(1)y ′=(lg x )′=????ln x ln 10′=
1
x ln 10
. (2)y ′=????????12x ′=????12x ln 12=-???
?12x ln 2. (3)y ′=(x x )′=(x 32)′=32x 12=3
2x .
(4)y ′=????log 13x ′=1x ln 13
=-1
x ln 3
.
利用导数公式求切线方程
[典例] 已知曲线y =1
x
.
(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程. [解] ∵y =1x ,∴y ′=-1
x
2.
(1)显然P (1,1)是曲线上的点,所以P 为切点,所求切线斜率为函数y =1
x 在点P (1,1)的导数,即k =f ′(1)=-1.
所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y -1=-(x -1),即为y =-x +2. (2)显然Q (1,0)不在曲线y =1
x 上,
则可设过该点的切线的切点为A ????a , 1a , 那么该切线斜率为k =f ′(a )=-1
a 2.
则切线方程为y -1a =-1
a 2(x -a ).①
将Q (1,0)代入方程:0-1a =-1
a
2(1-a ).
将得a =1
2
,代入方程①整理可得切线方程为y =-4x +4.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. [活学活用]
当常数k 为何值时,直线y =x 与曲线y =x 2+k 相切?请求出切点. 解:设切点为
A (x 0,x 2
0+k ).∵y ′=2x ,∴?????
2x 0=1,
x 2
0+k =x 0,
∴???
x 0=12
,
k =1
4,
故当k =1
4
时,直线y =x 与曲线y =x 2+k 相切,且切点坐标为????12, 12.
导数的简单综合应用
[典例] (1)质点的运动方程是S =sin t ,则质点在t =π
3时的速度为________;质点运动
的加速度为________.
(2)已知两条曲线y =sin x ,y =cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.
[解析] (1)v (t )=S ′(t )=cos t , ∴v ????π3=cos π3=12. 即质点在t =π3时的速度为12.
∵v (t )=cos t ,
∴加速度a (t )
=v ′(t )=(cos t )′=-sin t . 答案:1
2
-sin t
(2)解:由于y =sin x ,y =cos x ,设这两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0).∴两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1=cos x 0,k 2=-sin x 0.
若使两条切线互相垂直,必须cos x 0·(-sin x 0)=-1, 即sin x 0·cos x 0=1,也就是sin 2x 0=2,这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁,很多综合问题我们可以数形结合,巧妙利用导数的几何意义,即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决,往往这是解决问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具,常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.
[活学活用]
曲线y =x 2
3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为( )
A.53
B.89
C.2512
D.412
解析:选C 可求得y ′=23x -13,即y ′|x =1=2
3,切线方程为2x -3y +1=0,与x 轴
的交点坐标为????-12,0,与x =2的交点坐标为????2,53,围成三角形面积为12×????2+12×53=2512
.
层级一 学业水平达标
1.已知函数f (x )=x 3的切线的斜率等于3,则切线有( ) A .1条 B .2条 C .3条
D .不确定
解析:选B ∵f ′(x )=3x 2=3,解得x =±1.切点有两个,即可得切线有2条. 2.曲线y =e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A .1 B .2 C .e
D.1
e
解析:选A 由条件得y ′=e x ,根据导数的几何意义,可得k =y ′|x =0=e 0=1. 3.已知f (x )=-3x 5
3,则f ′(22)=( )
A .10
B .-5x 2
3
C .5
D .-10
解析:选D ∵f ′(x )=-5x 23,∴f ′(22)=-5×232×2
3=-10,故选D.
4.已知f (x )=x α,若f ′(-1)=-2,则α的值等于( ) A .2 B .-2 C .3
D .-3
解析:选A 若α=2,则f (x )=x 2,∴f ′(x )=2x , ∴f ′(-1)=2×(-1)=-2适合条件.故应选A. 5. 曲线y =1
3x 3在x =1处切线的倾斜角为( )
A .1
B .-π4
C.π4
D.5π4
解析:选C ∵y ′=x 2,∴y ′|x =1=1,
∴切线的倾斜角α满足tan α=1,∵0≤α<π,∴α=π
4
.
6.曲线y =ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________,切线方程为____________. 解析:∵y ′=(ln x )′=1x ,∴y ′|x =e =1
e .
∴切线方程为y -1=1
e (x -e),即x -e y =0.
答案:1
e
x -e y =0
7.已知f (x )=a 2(a 为常数),g (x )=ln x ,若2x [f ′(x )+1]-g ′(x )=1,则x =________. 解析:因为f ′(x )=0,g ′(x )=1
x , 所以2x [f ′(x )+1]-g ′(x )=2x -1
x =1. 解得x =1或x =-1
2,因为x >0,所以x =1.
答案:1
8.设坐标平面上的抛物线C :y =x 2,过第一象限的点(a ,a 2)作抛物线C 的切线l ,则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________.
解析:显然点(a ,a 2)为抛物线C :y =x 2上的点,∵y ′=2x ,∴直线l 的方程为y -a 2
=2a (x -a ).
令x =0,得y =-a 2,∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0,-a 2). 答案:(0,-a 2) 9.求下列函数的导数:
(1)y =x 8;(2)y =4x ;(3)y =log 3x ; (4)y =sin ????x +π
2;(5)y =e 2. 解:(1)y ′=(x 8)′=8x 8-
1=8x 7.
(2)y ′=(4x )′=4x ln 4. (3)y ′=(log 3x )′=
1
x ln 3
. (4)y ′=(cos x )′=-sin x . (5)y ′=(e 2)′=0.
10.已知P (-1,1),Q (2,4)是曲线y =x 2上的两点, (1)求过点P ,Q 的曲线y =x 2的切线方程. (2)求与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程.
解:(1)因为y ′=2x ,P (-1,1),Q (2,4)都是曲线y =x 2上的点. 过P 点的切线的斜率k 1=y ′|x =-1=-2, 过Q 点的切线的斜率k 2=y ′|x =2=4,
过P 点的切线方程:y -1=-2(x +1),即2x +y +1=0. 过Q 点的切线方程:y -4=4(x -2),即4x -y -4=0. (2)因为y ′=2x ,直线PQ 的斜率k =4-1
2+1
=1, 切线的斜率k =y ′|x =x 0=2x 0=1, 所以x 0=1
2,所以切点M ????12,14, 与PQ 平行的切线方程为: y -14=x -1
2
,即4x -4y -1=0. 层级二 应试能力达标
1.质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s =5t ,则质点在t =4时的速度为( ) A.
125
23
B.
1105
23
C.25
523 D.110
523
解析:选B ∵s ′=15t -4
5.∴当t =4时,
s ′=15·1544=1105
23
.
2.直线y =1
2x +b 是曲线y =ln x (x >0)的一条切线,则实数b 的值为( )
A .2
B .ln 2+1
C .ln 2-1
D .ln 2
解析:选C ∵y =ln x 的导数y ′=1
x ,
∴令1x =1
2,得x =2,∴切点为(2,ln 2).
代入直线y =1
2
x +b ,得b =ln 2-1.
3.在曲线f (x )=1x 上切线的倾斜角为3
4π的点的坐标为( )
A .(1,1)
B .(-1,-1)
C .(-1,1)
D .(1,1)或(-1,-1)
解析:选D 因为f (x )=1x ,所以f ′(x )=-1x 2,因为切线的倾斜角为3
4π,所以切线斜率
为-1,
即f ′(x )=-1
x 2=-1,所以x =±1,
则当x =1时,f (1)=1;
当x =-1时,f (1)=-1,则点坐标为(1,1)或(-1,-1).
4.设曲线y =x n +
1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n
的值为( )
A. 1n
B.1n +1
C.n n +1
D .1
解析:选B 对y =x n +
1(n ∈N *)求导得y ′=(n +1)x n . 令x =1,得在点(1,1)处的切线的斜率k =n +1,∴在点(1,1)处的切线方程为y -1=(n +1)(x n -1).令y =0,得x n =n
n +1
,∴x 1·x 2·…·x n =12×23×34×…×n -1n ×n n +1=1
n +1
, 故选B.
5.与直线2x -y -4=0平行且与曲线y =ln x 相切的直线方程是________. 解析:∵直线2x -y -4=0的斜率为k =2,
又∵y ′=(ln x )′=1x ,∴1x =2,解得x =1
2.
∴切点的坐标为????1
2,-ln 2. 故切线方程为y +ln 2=2????x -1
2. 即2x -y -1-ln 2=0. 答案:2x -y -1-ln 2=0
6.若曲线y =x 在点P (a ,a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a 的值是________________.
解析:∵y ′=
1
2x ,∴切线方程为y -a =1
2a (x -a ),令x =0,得y =a 2,令y =0,
得x =-a ,由题意知12·a
2
·a =2,∴a =4.
答案:4
7.已知曲线方程为y =f (x )=x 2,求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程.
解:设切点P 的坐标为(x 0,x 2
0).
∵y =x 2,∴y ′=2x ,∴k =f ′(x 0)=2x 0, ∴切线方程为y -x 20=2x 0(x -x 0).
将点B (3,5)代入上式,得5-x 20=2x 0(3-x 0),
即x 20-6x 0+5=0,∴(x 0-1)(x 0-5)=0,
∴x 0=1或x 0=5,
∴切点坐标为(1,1)或(5,25),
故所求切线方程为y -1=2(x -1)或y -25=10(x -5), 即2x -y -1=0或10x -y -25=0.
8.求证:双曲线xy =a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数. 证明:设P (x 0,y 0)为双曲线xy =a 2上任一点. ∵y ′=????a 2
x ′=-a 2
x 2
. ∴过点P 的切线方程为y -y 0=-a 2
x 20(x -x 0).
令x =0,得y =2a 2
x 0;令y =0,得x =2x 0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S =12·???
?2a 2
x 0·|2x 0
|=2a 2.
即双曲线xy =a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.
第二课时 导数的运算法则
预习课本P15~18,思考并完成下列问题
(1)导数的四则运算法则是什么?在使用运算法则时的前提条件是什么?
(2)复合函数的定义是什么,它的求导法则又是什么?
[新知初探]
1.导数的四则运算法则 (1)条件:f (x ),g (x )是可导的.
(2)结论:①[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ). ②[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ). ③????f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). [点睛] 应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算. (2)两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导. (3)若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
(4)对于较复杂的函数式,应先进行适当的化简变形,化为较简单的函数式后再求导,可简化求导过程.
2.复合函数的求导公式
(1)复合函数的定义:①一般形式是y =f (g (x )). ②可分解为y =f (u )与u =g (x ),其中u 称为中间变量.
(2)求导法则:复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为:y x ′=y u ′·u x ′.
[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x )=2x ,则f (x )=x 2.( )
(2)函数f (x )=x e x 的导数是f ′(x )=e x (x +1).( ) (3)函数f (x )=sin(-x )的导数为f ′(x )=cos x .( )
答案:(1)× (2)√ (3)×
2.函数y =sin x ·cos x 的导数是( ) A .y ′=cos 2x +sin 2x B .y ′=cos 2x C .y ′=2cos x ·sin x D .y ′=cos x ·sin x
答案:B
3.函数y =x cos x -sin x 的导数为________. 答案:-x sin x
4.若f (x )=(2x +a )2,且f ′(2)=20,则a =________. 答案:1
利用导数四则运算法则求导
[典例] 求下列函数的导数: (1)y =x 2+log 3x ;(2)y =x 3·e x ;(3)y =
cos x
x
. [解] (1)y ′=(x 2+log 3x )′=(x 2)′+(log 3x )′ =2x +
1
x ln 3
. (2)y ′=(x 3·e x )′=(x 3)′·e x +x 3·(e x )′ =3x 2·e x +x 3·e x =e x (x 3+3x 2).
(3)y ′=????cos x x ′=(cos x )′·x -cos x ·(x )′x 2
=
-x ·sin x -cos x x 2
=-x sin x +cos x
x 2
.
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. [活学活用]
求下列函数的导数:
(1)y =sin x -2x 2
;(2)y =cos x ·ln x ;(3)y =e x
sin x
.
解:(1)y ′=(sin x -2x 2)′=(sin x )′-(2x 2)′=cos x -4x . (2)y ′=(cos x ·ln x )′=(cos x )′·ln x +cos x ·(ln x )′
=-sin x ·ln x +
cos x
x
. (3)y ′=????e x
sin x ′=(e x )′·sin x -e x ·(sin x )′sin 2
x
=e x ·sin x -e x ·cos x sin 2x =e x (sin x -cos x )
sin 2x
复合函数的导数运算
[典例] 求下列函数的导数: (1)y =
11-2x
2;(2)y =e sin(ax +b )
; (3)y =sin 2????2x +π
3;(4)y =5log 2(2x +1). [解] (1)设y =u -1
2
,u =1-2x 2,
则y ′=(u -1
2)′ (1-2x 2)′=????-12u -32·(-4x ) =-12(1-2x 2)-32 (-4x )=2x (1-2x 2)-3
2.
(2)设y =e u ,u =sin v ,v =ax +b , 则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=e u ·cos v ·a =a cos(ax +b )·e sin(ax
+b ).
(3)设y =u 2,u =sin v ,v =2x +π3,
则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2 =4sin v cos v =2sin 2v =2sin ????4x +2π
3. (4)设y =5log 2u ,u =2x +1, 则y ′=5(log 2u )′·(2x +1)′ =
10u ln 2=10
(2x +1)ln 2
.
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数.
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点. [活学活用]
求下列函数的导数:
(1)y =(3x -2)2; (2)y =ln(6x +4); (3)y =e 2x
+1;
(4)y =2x -1;
(5)y =sin ?
???3x -π
4;(6)y =cos 2x . 解:(1)y ′=2(3x -2)·(3x -2)′=18x -12; (2)y ′=
16x +4·(6x +4)′=3
3x +2
; (3)y ′=e 2x +
1·(2x +1)′=2e 2x +
1; (4)y ′=
122x -1·(2x -1)′=1
2x -1
.
(5)y ′=cos ????3x -π4·????3x -π4′=3cos ????3x -π
4. (6)y ′=2cos x ·(cos x )′=-2cos x ·sin x =-sin 2x .
与切线有关的综合问题
[典例] (1)函数y =2cos 2x 在x =π
12处的切线斜率为________.
(2)已知函数f (x )=ax 2+ln x 的导数为f ′(x ), ①求f (1)+f ′(1).
②若曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线,求实数a 的取值范围.
[解析] (1)由函数y =2cos 2x =1+cos 2x ,得y ′=(1+cos 2x )′=-2sin 2x ,所以函数在x =π
12
处的切线斜率为-2sin ????2×π12=-1. 答案:-1
(2)解:①由题意,函数的定义域为(0,+∞),
由f (x )=ax 2+ln x ,得f ′(x )=2ax +1
x ,
所以f (1)+f ′(1)=3a +1.
②因为曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为在x ∈(0,+∞)内导函数f ′(x )=2ax +1
x 存在零点,
即f ′(x )=0?2ax +1
x
=0有正实数解,
即2ax 2=-1有正实数解,故有a <0,所以实数a 的取值范围是(-∞,0).
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用:导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用.
(2)方法:先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.
[活学活用]
若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+15
4x -9都相切,则a 的值为( ) A .-1或-25
64
B .-1或
214
C .-74或-2564
D .-74
或7
解析:选A 设过点(1,0)的直线与曲线y =x 3相切于点(x 0,x 30),
则切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0),即y =3x 20x -2x 30.
又点(1,0)在切线上,代入以上方程得x 0=0或x 0=32.
当x 0=0时,直线方程为y =0. 由y =0与y =ax 2+
154x -9相切可得a =-2564
. 当x 0=32时,直线方程为y =274x -27
4
.
由y =274x -274与y =ax 2+15
4
x -9相切可得a =-1.
层级一 学业水平达标
1.已知函数f (x )=ax 2+c ,且f ′(1)=2,则a 的值为( ) A .1 B. 2 C .-1
D .0
解析:选A ∵f (x )=ax 2+c ,∴f ′(x )=2ax , 又∵f ′(1)=2a ,∴2a =2,∴a =1.
2.函数y =(x +1)2(x -1)在x =1处的导数等于( ) A .1 B .2 C .3
D .4
解析:选D y ′=[(x +1)2]′(x -1)+(x +1)2(x -1)′=2(x +1)·(x -1)+(x +1)2=3x 2+2x -1,∴y ′|x =1=4.
3.曲线f (x )=x ln x 在点x =1处的切线方程为( ) A .y =2x +2 B .y =2x -2 C .y =x -1
D .y =x +1
解析:选C ∵f ′(x )=ln x +1,∴f ′(1)=1,又f (1)=0,∴在点x =1处曲线f (x )的切线方程为y =x -1.
4. 已知物体的运动方程为s =t 2+3
t (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻t =2时的速度
为( )
A.194
B.174
C.154
D.134
解析:选D ∵s ′=2t -3t 2,∴s ′|t =2=4-34=13
4
.
5.设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( ) A .0 B .1 C .2
D .3
解析:选D y ′=a -
1
x +1
,由题意得y ′|x =0=2,即a -1=2,所以a =3. 6.曲线y =x 3-x +3在点(1,3)处的切线方程为________. 解析:∵y ′=3x 2-1,∴y ′|x =1=3×12-1=2. ∴切线方程为y -3=2(x -1),即2x -y +1=0. 答案:2x -y +1=0
7.已知曲线y 1=2-1
x 与y 2=x 3-x 2+2x 在x =x 0处切线的斜率的乘积为3,则x 0=________.
解析:由题知y ′1=1x 2,y ′2=3x 2-2x +2,所以两曲线在x =x 0处切线的斜率分别为1
x 20
,
3x 2
0-2x 0+2,所以3x 20-2x 0+2x 20
=3,所以
x 0=1.
答案:1
8.已知函数f (x )=f ′????π4cos x +sin x ,则f ????π4的值为________. 解析:∵f ′(x )=-f ′????
π4sin x +cos x , ∴f ′????π4=-f ′????π4×22+22, 得f ′????π4=2-1.
∴f (x )=(2-1)cos x +sin x . ∴f ????π4=1. 答案:1
9.求下列函数的导数: (1)y =x sin 2
x ;(2)y =e x +1e x -1
;
(3)y =
x +cos x
x +sin x
;(4)y =cos x ·sin 3x .
解:(1)y ′=(x )′sin 2x +x (sin 2x )′ =sin 2x +x ·2sin x ·(sin x )′=sin 2x +x sin 2x . (2)y ′=(e x +1)′(e x -1)-(e x +1)(e x -1)′(e x -1)2
=-2e x (e x -1)2 . (3)y ′=(x +cos x )′(x +sin x )-(x +cos x )(x +sin x )′
(x +sin x )2
=(1-sin x )(x +sin x )-(x +cos x )(1+cos x )
(x +sin x )2
=
-x cos x -x sin x +sin x -cos x -1
(x +sin x )2
.
(4)y ′=(cos x ·sin 3x )′
=(cos x )′sin 3x +cos x (sin 3x )′ =-sin x sin 3x +3cos x cos 3x =3cos x cos 3x -sin x sin 3x .
10.偶函数f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图象过点P (0,1),且在x =1处的切线方程为
y =x -2,求f (x )的解析式.
解:∵f (x )的图象过点P (0,1),∴e =1. 又∵f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ).
故ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =ax 4-bx 3+cx 2-dx +e . ∴b =0,d =0.∴f (x )=ax 4+cx 2+1.
∵函数f (x )在x =1处的切线方程为y =x -2, ∴切点为(1,-1).∴a +c +1=-1. ∵f ′(x )|x =1=4a +2c ,∴4a +2c =1. ∴a =52,c =-92
.
∴函数f (x )的解析式为f (x )=52x 4-9
2
x 2+1.
层级二 应试能力达标
1.若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( ) A .-1 B .-2 C .2
D .0
解析:选B ∵f ′(x )=4ax 3+2bx 为奇函数,∴f ′(-1)=-f ′(1)=-2. 2.曲线y =x e x -1
在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A .2e
B .e
C .2
D .1
解析:选C 函数的导数为f ′(x )=e x -
1+x e x -
1=(1+x )e x -
1, 当x =1时,f ′(1)=2,即曲线y =x e x
-1
在点(1,1)处切线的斜率k =f ′(1)=2,故选C.
3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .e -
1
B .-1
C .-e -
1
D .-e
解析:选C ∵f (x )=2xf ′(e)+ln x , ∴f ′(x )=2f ′(e)+1
x
,
∴f ′(e)=2f ′(e)+1e ,解得f ′(e)=-1
e ,故选C.
4.若f (x )=x 2-2x -4ln x ,则f ′(x )>0的解集为( ) A .(0,+∞) B .(-1,0)∪(2,+∞) C .(2,+∞)
D .(-1,0)
解析:选C ∵f (x )=x 2-2x -4ln x , ∴f ′(x )=2x -2-4
x >0,
整理得(x+1)(x-2)
x>0,解得-1<x<0或x>2,
又因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以x>2.
5.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为________________.
解析:∵y=ln(x+a),∴y′=
1
x+a
,设切点为(x0,y0),
则y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且
1
x0+a
=2,
解之得a=1
2ln 2.
答案:1
2ln 2
6.曲线y=
x
2x-1
在点(1,1)处的切线为l,则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的
最近距离是____________.
解析:y′=-
1
(2x-1)2
,则y′|x=1=-1,∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2
=0,圆心(-2,0)到直线的距离d=22,圆的半径r=1,∴所求最近距离为22-1.
答案:22-1
7.已知曲线f(x)=x3+ax+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0.
(1)求a,b的值;
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线l:y=-1
4x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
解:(1)∵f(x)=x3+ax+b的导数f′(x)=3x2+a,
由题意可得f′(2)=12+a=13,f(2)=8+2a+b=-6,解得a=1,b=-16.
(2)∵切线与直线y=-1
4x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),
则f′(x0)=3x20+1=4,∴x0=±1.
由f(x)=x3+x-16,可得y0=1+1-16=-14,
或y0=-1-1-16=-18.
则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
8.设f n(x)=x+x2+…+x n-1,x≥0,n∈N,n≥2.
(1)求f n ′(2);
(2)证明:f n (x )在????0, 23内有且仅有一个零点(记为a n ),且0<a n -12<2n
3n +1. 解:(1)由题设f n ′(x )=1+2x +…+nx n -
1.
所以f n ′(2)=1+2×2+…+(n -1)2n -
2+n ·2n -
1,①
则2f n ′(2)=2+2×22+…+(n -1)2n -
1+n ·2n ,②
①-②得,-f n ′(2)=1+2+22+…+2n -
1-n ·2n
=1-2n
1-2-n ·2n =(1-n )·2n -1, 所以f n ′(2)=(n -1)·2n +1. (2)因为f (0)=-1<0,
f n ????23=23????
1-????23n 1-23-1=1-2×????23n ≥1-2×????232>0, 因为x ≥0,n ≥2.
所以f n (x )=x +x 2+…+x n -1为增函数, 所以f n (x )在???0, 2
3内单调递增, 因此f n (x )在????0, 2
3内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )=x -x n +
1
1-x
-1,
所以0=f n (a n )=a n -a n +
1
n
1-a n
-1,
由此可得a n =12+12a n +1n >12,故12<a n <2
3. 所以0<a n -12=12a n +1n <12×????23n +1=2n
3
n +1.
高等数学常用导数和积分公式 导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分: (一)含有的积分() 1.= 2.=() 3.= 4.= 5.= 6.= 7.= 8.= 9.= (二)含有的积分10.=11.=12.=13.=14.=15.=16.=17.=18.= (三)含有的积分19.=20.=21.= (四)含有的积分22.=23.=24.=25.=26.=27.=28.= (五)含有的积分29.=30.= (六)含有的积分31.==32.=33.=34.=35.=36.=37.=38.=39.=40.=41.=42.=43.=44.= (七)含有的积分45.==46.=47.=48.=49.=50.=51.=52.=53.=54.=55.=56.=57.=58.=
(八)含有的积分59.=60.=61.=62.=63.=64.=65.=66.=67.=68.=69.=70.=71.=72.=(九)含有的积分73.=74.=75.=76.=77.=78.=()含有或的积分79.=80.=81.=82.=(一)含有三角函数的积分83.=84.=85.=86.=87.==88.==89.=90.=91.=92.=93.=94.=95.=96.=97.=98.=99.==100.=101.=102.=103.=104.=105.=106.=107.=108.=109.=110.=111.=112.=(二)含有反三角函数的积分(其中)113.=114.=115.=116.=117.=118.=119.=120.=121. =(三)含有指数函数的积分122.=123.=124.=125.=126.=127.=128.=129.=130.=131.=(四)含有对数函数的积分132.=133.=134.=135.=136.=(五)含有双曲函数的积分137.=138.=139.=140.=141.=(六)定积分142.==0143.=0144.=145.=146.==147. ===(为大于1的正奇 数),=1 (为正偶数),=
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式大全 导数公式: 基本积分表: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
一、是非题: 1. 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ,且()()b f a f =,则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ,使()0=ξ'f . 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 2.若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微,且()00='x f ,则函数()x f 必在0x 处取得 极值. 错误 ∵驻点不一定是极值点,如:3 x y =,0=x 是其驻点,但不是极值点。 3.若函数()x f 在0x 处取得极值,则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线. 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线,但0=x 不是极值点。 4.函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值. 正确 ∵0cos 1≥+='x y ,函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增,无极值。 5.若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数,且()()0,0>''<'x f x f ,则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹. 正确 二、填空: 1.设()x bx x a x f ++=2 ln (b a ,为常数)在2,121==x x 处有极值,则=a ( 23- ),=b ( 16 - ). ∵()12++='bx x a x f ,当2,121==x x 时, 012=++b a ,0142=++b a ,解之得6 1 ,32-=-=b a 2.函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是( 0=x ). ∵()x x x f 211 2 ?+= ',令()0='x f ,得0=x 。又0>x ,()0>'x f ; 0 声明:第一次弄这些,花了本人好些时间,o(∩_∩)o ,版权所有,严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++= 等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-= 高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版) 1.若f (x )=sin π 3 -cos x ,则f ′(α)等于( ) A .Sin α B .Cos α C .sin π3+cos α D .cos π 3+sin α [答案] A [解析] ∵f (x )=sin π 3 -cos x ,∴f ′(x )=sin x ,∴f ′(α)=sin α,故选A. 2.设函数f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n +1B .n +2n +1C.n n -1 D .n +1n [答案] A [解析] ∵f (x )=x m +ax 的导数为f ′(x )=2x +1,∴m =2,a =1,∴f (x )=x 2+x , ∴f (n )=n 2+n =n (n +1),∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为: S n =11×2+12×3+13×4+…+1 n (n +1)=????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1 =1-1n +1=n n +1 ,故选A. 3.已知二次函数f (x )的图象如图所示,则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )=ax 2+c (a <0,且c >0),于是f ′(x )=2ax ,显然f ′(x )的图象为直线,过原点,且斜率2a <0,故选B. 4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .e - 1B .-1C .-e - 1 D .-e [答案] C [解析] ∵f (x )=2xf ′(e)+ln x ,∴f ′(x )=2f ′(e)+1x ,∴f ′(e)=2f ′(e)+1 e , 解得f ′(e)=-1 e ,故选C. (高等数学)第四章导 数的应用 第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或(?Skip Record If...?), 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值(或极小值);并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点(或极小值点). 注意:极大值、极小值在今后统称为极值; 极大值点、极小值点在今后统称为极值点; 2.定理1.极值的必要条件(费马定理)设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义,且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值,则必有:?Skip Record If...?. 证明:不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义,则?Skip Record If...?的某个邻域,使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------(1) 所以,?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------(2) 又因为?Skip Record If...?存在,所以应有?Skip Record If...?---------(3) 故,由(2)式及(3)式,必有?Skip Record If...?. 1.注意:使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点(或极小值点),也可能不是.比如:?Skip Record If...? 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =, )(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设 ) (u f y= ,而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导,则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' = 高中数学-导数的概念及运算练习 1.y =ln 1 x 的导函数为( ) A .y ′=-1 x B .y ′=1 x C .y ′=lnx D .y ′=-ln(-x) 答案 A 解析 y =ln 1x =-lnx ,∴y ′=-1 x . 2.(·东北师大附中摸底)曲线y =5x +lnx 在点(1,5)处的切线方程为( ) A .4x -y +1=0 B .4x -y -1=0 C .6x -y +1=0 D .6x -y -1=0 答案 D 解析 将点(1,5)代入y =5x +lnx 成立,即点(1,5)为切点.因为y ′=5+1x ,所以y ′|x =1=5+1 1=6. 所以切线方程为y -5=6(x -1),即6x -y -1=0.故选D. 3.曲线y =x +1 x -1在点(3,2)处的切线的斜率是( ) A .2 B .-2 C.12 D .-12 答案 D 解析 y ′=(x +1)′(x -1)-(x +1)(x -1)′(x -1)2=-2 (x -1)2,故曲线在(3,2)处的切线的斜率k = y ′|x =3=-2(3-1)2=-1 2 ,故选D. 4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-32t 2 +2t ,那么速度为零的时刻是( ) A .0秒 B .1秒末 C .2秒末 D .1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s=13t 3-32t 2+2t ,∴v =s ′(t)=t 2 -3t +2. 令v =0,得t 2 -3t +2=0,t 1=1或t 2=2. 5.(·郑州质量检测)已知曲线y =x 2 2-3lnx 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( ) A .3 B .2 C .1 D.12 答案 A 导数的计算 教学目标:1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式; 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点: 能利用导数公式求简单函数的导数,基本初等函数的导数公式的应用 一、 用定义计算导数 问题1:如何求函数()y f x c ==的导数? 2.求函数()y f x x ==的导数 3.函数2()y f x x ==的导数 4.函数1()y f x x == 的导数 5 .函数y = 二 1.基本初等函数的导数公式表 分几类 1、幂函数 2.三角函数 3指数函数 4.对数函数 补充 1 ()f x x = '21 ()f x x =- ( )f x = '()f x = 2公式的应用 典型题一、求导数 A x y x y x y x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5 )2()1(125==== ==、求下列函数的导数 例 思考 求()f x '的方法有哪些? 3.导数的四则运算法则: 问题 ln x x ?如何求? 推论:[]''()()cf x cf x = 提示:积法则,商法则, 都是 前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加 号, 商法则中间是减号.。 常见错误:[]'''()()()()f x g x f x g x ?= ' ''()()(()0)()()f x f x g x g x g x ??=≠???? 典型题二、导数的四则运算法则 例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1)323y x x =-+ (2)sin y x x =?; (3)2(251)x y x x e =-+?; (4)cos x y x lnx =- A 变式练习1 1y x x =+ sin (cos )x y x x e =- cos x y x = +lnx 2sin y x x = sin cos x y x = A 变式2.求下列函数的导数 (1)y=23x +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y=sin x x (4)y=2 ln 1x x + A 变式3.已知f (x )=xcosx ﹣sinx ,则f′(x )=( ) 解:∵f (x )=xcosx ﹣sinx , ∴f ′(x )=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx , 已知函数f (x )=2 x lnx ,则f′(x )等于( ) 函数y=e x sinx 的导数等于( ) A . e x cosx B . e x sinx C . ﹣e x cosx D . e x (sinx+cosx ) 分析: 利用导数乘法法则进行计算,其中(e x )′=e x ,sin ′x=cosx . 解答: 解:∵y=e x sinx , ∴y ′=(e x )′sinx+(e x )?(sinx )′ =e x sinx+e x cosx 高等数学中导数的求解及应用 摘要:高等数学是一门方法学科,因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的,在高等数学的整个学习过程中,它起着 承前启后的作用,是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词:高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高,是高等数学的核心灵魂,因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到,更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识,举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果自变量x在x0的改变量 为△x(x0≠0,且x0±△x仍在该邻域内)时,相应的函数有增量△y=f(x0+△x)- f(x0)。 若△y与△x之比,当△x→0时,有极限lim =lim存在,就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数,且有函数y=f(x)在点x=x0处可导,记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0,f(x0)〕处 的切线斜率,即f`(x0)=tan,其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大,这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置,即曲线 y=f(x)在点〔x0,f(x0)〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程,可知曲线y=f(x)在点〔x0,f(x0)〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元,关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元,若每个产品的销售价格是30元,求:总成本的 函数,总收入的函数,总利润的函数,边际收入,边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解:总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和: 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x(常数p是产品数量) 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0,x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时,边际利润是零。这也就表明了,当每月生产数目为1000个时,利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无 穷大,那么极限lim可能存在,也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式,分别简记为或。对于这类极限,即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商” I.基本函数的导数 01.()0C '=; 02.()1x x μμμ-'=; 03.()sin cos x x '=; 04.()cos sin x x '=-; 05. ()2tan sec x x '=; 06.()2 cot csc x x '=-; 07.()sec sec tan x x x '=; 08.()csc csc cot x x x '=-; 09.() ln x x a a a '=; 10.()x x e e '=; 11.()1 log ln a x x a '=; 12.()1ln x x ' =; 13. ( )1 arcsin x '= ; 14.( )arccos x ' =-; 15.()2 1 arctan 1x x ' = +; 16. ()2 1 arc cot 1x x '=-+。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±; 02.()Cu Cu ''=; 03.()uv u v uv '''=+; 04.2(0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==,则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。 ● 计算极限时常用的等价无穷小 0lim sin x x x → 0lim tan x x x → ()2 01lim 1cos 2 x x x →- ()0 lim 1x x e x →- ()0lim ln 1x x x →+ 01 1x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=,则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理:()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()()f a f b =,则存在一(),a b ξ∈,使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理:若()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则存在一 (),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理:若()f x 、()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈,使得0x x δ-<,则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则:若(1)()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或,(2)()f x '及()F x '在00x x δ<-<(或x X >)处存在,且()0F x '≠,(3)() () lim () x a f x F x →∞''或存在(或∞),则()() ()()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式: ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ 其中:()()()()()11 01! n n n f R x x x n ξ++=-+ ,()0,x x ξ∈。 1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是( ). ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0,π]上满足罗尔定理结论的ξ=( ). (A ) 0(B ) 2 π(C )π (D )23π 3、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是( ). (A ))ln(ln x (B ) x ln (C ))2ln(x - (D ) x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1,3]上满足拉格朗日定理的ξ等于( ). (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为( ). (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点,则下列命题正确的是( ). (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在(a ,b )内,0)(,0)(<''<'x f x f ,则f(x)在(a ,b )内为( ). (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是( ). (A )(1,6)(B ) (2,3)(C ) (2,4)(D ) (3,2) 9、()y f x =在(a,b)内可导,且12a x x b <<<,则下列式子正确的是( ). (A )在12(,)x x 内只有一点ξ,使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立; (B )在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立;(C )在1(,)a x 内至少有一点ξ,使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立; (D )在12(,)x x 内至少有一点ξ,使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立. 10、求下列极限时,( )可用罗必达法则得出结果. (A )sin lim sin x x x x x →∞- +;(B )22sin lim x x x →∞; (C )lim x →+∞; (D )lim (arctan )2x x x π→+∞-. 11、下列命题中正确的是( ). (A )若0x 为()f x 的极值点,则必有0()0f x '=;(B )若0()0f x '=,则0x 必为()f x 的极值点; (C )若()f x 在(a,b)内存在极大值,也存在极小值,则极大值必定大于极小值; 高中数学-导数的计算练习 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列求导运算正确的是 A .211()1x x x '+=+ B .21 (log )ln 2 x x '= C .3(3)3log x x x '= D .2 (cos )2sin x x x x '=- 【答案】B 【解析】因为211()x x '=- ,所以A 项应为2 11x -;由1(log )ln a x x a '=知B 项正确;由()ln x x a a a '=可知C 项错误;D 项中,2 2 (cos )2cos sin x x x x x x '=-,所以D 项是错误的,综上所述,正确选项为B . 2.已知函数3 ()f x x =在点P 处的导数值为3,则P 点的坐标为 A .(2,8)-- B .(1,1)-- C .(2,8)--或(2,8) D .(1,1)--或(1,1) 【答案】D 3.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()(1)2ln xf f x x ='+,则(1)f '等于 A .e - B . 1- C .1 D .e 【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>, ∴1 ()1()2f x f x '='+ ,把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+,解得(1)1f '=-.故选B . 4.曲线e x y =在点2 (2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A .2e 2 B .23e C .26e D .29e 【答案】A 第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一.知识要点: 1.导数的定义:割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??,当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率:0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数,导数记为 ()f x ',则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?,称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义:()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即:0()l k f x '=. 4.常见导数公式:0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则: (1).[]()()()()f x g x f x g x '''±=± (2)[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? (3)2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导:(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设,则()().y f u u x '''=? 二.考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 (1)2 348y x x =-+ (2)1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0 最新整理高二数学教案导数的计算导学案及练习题学习要求1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 学法指导 1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式,类推一般多项式函数的导数公式,体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础,记准公式是学好本章内容的关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系,如公式6是公式5的特例,公式8是公式7的特例.公式5与公式7中lna的位置的不同等. 1.几个常用函数的导数 原函数导函数 f(x)=cf′(x)= f(x)=xf′(x)= f(x)=x2f′(x)= f(x)=1x f′(x)= f(x)=x f′(x)= 2.基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)=cf′(x)= f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)= f(x)=sinxf′(x)= f(x)=cosxf′(x)= f(x)=axf′(x)=(a》0) f(x)=exf′(x)= f(x)=logax f′(x)=(a》0且a≠1) f(x)=lnxf′(x)= 探究点一几个常用函数的导数 问题1怎样利用定义求函数y=f(x)的导数? 问题2利用定义求下列常用函数的导数:(1)y=c(2)y=x(3)y=x2(4)y=1x(5)y=x 问题3导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么? (2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢? 问题4画出函数y=1x的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 探究点二基本初等函数的导数公式 问题1利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个问题? 问题2你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗? 例1求下列函数的导数:(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3; (5)y=log3x. 跟踪1求下列函数的导数:(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=例2判断下列计算是否正确. 1 导数的计算 教学目标:1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式; 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点:能利用导数公式求简单函数的导数,基本初等函数的导数公式的应用一、用定义计算导数 问题1:如何求函数y =f (x) =c 的导数? 2.求函数y =f (x) =x 的导数 3.函数y =f (x) =x2的导数 4.函数 y = 5.函数 y = f (x) =的导数 x 的导数 二 1.基本初等函数的导数公式表 函数导数 y =c y'= 0 y =f (x) =x n(n ∈Q*) y' =nx n-1 y = sin x y'= cos x y = cos x y'=-sin x y =f (x) =a x y'=a x? ln a (a > 0) y =f (x) =e x y'=e x f (x) = log a x f '(x) = 1 (a > 0且a ≠ 1) x l n a f (x) = ln x f ' (x) =1 x 分几类1、幂函数 2.三角函数 3 指数函数 4.对数函数 补充 f (x) =1 x f ' (x) =- 1 x2 x x 2 x x ? ? = f (x ) (g (x ) ≠ 0) 2 ] g (x ) [ f ' (x )g (x ) - f (x )g ' (x ) = ? ? g (x ) ? ? ? f (x ) ?' 3、 1、 [ f (x ) ± g (x )]' = f ' (x ) ± g ' (x ) 2、[ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g (x ) ± f (x )g ' (x ) 导数运算法则 f ( x ) = 1 f ' (x ) = 1 2 公式的应用 典型题一、求导数 例1、求下列函数的导数 A (1) y = x 5 (2) y = 5 (3) y = 1 (4) y = ln x (5) y = log 2 x (6) y = cos x 思考 求 f '(x ) 的方法有哪些? 3. 导数的四则运算法则: 问题 x ? l n x 如何求? 推论: [cf (x )]' = cf ' (x ) 提示:积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.。 常见错误: [ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g ' (x ) ? f (x ) ?' ? g (x ) ? ' (g (x ) ≠ 0) g ' (x ) 典型题二、导数的四则运算法则 例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. 高中数学导数的计算精选题目(附答案) (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数运算法则 ①[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); ②[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); 当g (x )=c 时,[cf (x )]′=cf ′(x ). ③?????? f (x ) g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). (3)复合导数 复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 1.求下列函数的导数: (1)y =10x ; (2)y =lg x ; (3)y =log 1 2x ; (4)y =4 x 3; (5)y =? ????sin x 2+cos x 22-1. 2.求下列函数的导数: (1)y =? ????1e x ; (2)y =? ????110x ; (3)y =lg 5; (4)y =3lg 3 x ; (5)y =2co S 2x 2-1. 3.(1)y =x 3·e x ; (2)y =x -S i n x 2co S x 2; (3)y =x 2+log 3x; (4)y =e x +1e x -1 . 4.求下列函数的导数: (1)y =cos x x ; (2)y =xS i n x +x ; (3)y = 1+x 1-x +1-x 1+x ; (4)y =lg x -1 x 2. 5.点P 是曲线y =e x 上任意一点,求点P 到直线y =x 的最小距离. 6.求过曲线y =co S x 上点P ? ???? π3,12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方 程. 7.求下列函数的导数. (1)y =1-2x 2; (2)y =e S i n x ;高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
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