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函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质专题

函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质专题
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质专题

函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质专题

1.将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移

π8

个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值为________.

2.函数f (x )=sin x cos x +

32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________.

3.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,且|φ|<π2)的部分图象如 图所示,则函数f (x )的单调递增区间是________.

4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0,0<φ<

π2

)的图象如右图所示,则

当t =

1100秒时,电流强度是________安.

5.已知函数f (x )=2sin ωx 在区间[-π3,π4

]上的最小值为-2,则ω的取值范围是_____________.

6.设偶函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,

∠KML =90°,KL =1,则f (1

6

)的值为________.

7.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =a +A cos ??????π6x -6 (x =1,2,3,…,12,A >0)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,

则10月份的平均气温值为________℃.

8.已知函数f (x )=cos x sin x (x ∈R),给出下列四个命题:

①若f (x 1)=-f (x 2),则x 1=-x 2;

②f (x )的最小正周期是2π;

③f (x )在区间[-π4,π4

]上是增函数; ④f (x )的图象关于直线x =

3π4

对称. 其中真命题是________.

9.已知函数f (x )=cos x ·cos(x -

π3). (1)求f (2π3

)的值; (2)求使f (x )<14

成立的x 的取值集合.

10.已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12

. (1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.

函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质专题答案

1.将函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移

π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值为________.

答案 k π+π4

,k ∈Z 解析 把函数y =sin(2x +φ)沿x 轴向左平移

π8个单位后得到函数y =sin 2? ????x +φ2+π8=sin ? ????2x +φ+π4为偶函数,则φ+π4=k π+π2,k ∈Z ,∴φ=k π+π4

,k ∈Z. 2.函数f (x )=sin x cos x +

32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________. 答案 π,1

解析 f (x )=sin x cos x +

32

cos 2x =12sin 2x +32

cos 2x =sin ? ????2x +π3. 所以最小正周期为π,振幅为1.

3.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,且|φ|<

π2

)的部分图象如图所示,则函数f (x )的单调递增区间是________.

答案 [k π-π12,k π+5π12

],k ∈Z

解析 由函数的图象可得14T =23π-512

π, ∴T =π,则ω=2.

又图象过点(512π,2),∴2sin(2×512

π+φ)=2, ∴φ=-π3

+2k π,k ∈Z , ∵|φ|<π2

. ∴取k =0,即得f (x )=2sin(2x -π3),

其单调递增区间为[k π-π12,k π+5π12

],k ∈Z. 4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0,0<φ<

π2

)的图象如右图所示,则当t =1100秒时,电流强度是________安.

答案 -5

解析 由图象知A =10,T 2=4300-1300=1100

, ∴ω=2πT

=100π.∴I =10sin(100πt +φ). ∵图象过点? ??

??1300,10,∴10 sin(100π×1300+φ)=10, ∴sin(π3

+φ)=1, π3+φ=2k π+π2

,k ∈Z , ∴φ=2k π+π6,k ∈Z ,又∵0<φ<π2

, ∴φ=

π6.∴I =10sin ? ????100πt +π6, 当t =1100

秒时,I =-5安. 5.已知函数f (x )=2sin ωx 在区间[-π3,π4

]上的最小值为-2,则ω的取值范围是_____________. 答案 (-∞,-2]∪[32

,+∞) 解析 当ω>0时,-π3ω≤ωx ≤π4

ω, 由题意知-π3ω≤-π2,即ω≥32

; 当ω<0时,π4ω≤ωx ≤-π3

ω, 由题意知π4ω≤-π2

,∴ω≤-2. 综上可知,ω的取值范围是(-∞,-2]∪[32

,+∞). 6.设偶函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,

∠KML =90°,KL =1,则f (16

)的值为________. 答案 34

解析 取K ,L 中点N ,则MN =12

, 因此A =12

. 由T =2得ω=π.

∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ=π2

, ∴f (x )=12

cos πx , ∴f (16)=12cos π6=34

. 7.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =a +A cos ??????π6x -6 (x =1,2,3,…,12,A >0)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为________℃.

答案 20.5

解析 由题意得????? a +A =28,a -A =18, ∴????? a =23,A =5,

∴y =23+5cos ????

??π6x -6, 当x =10时,y =23+5×? ??

??-12=20.5. 8.已知函数f (x )=cos x sin x (x ∈R),给出下列四个命题:

①若f (x 1)=-f (x 2),则x 1=-x 2;

②f (x )的最小正周期是2π;

③f (x )在区间[-π4,π4

]上是增函数; ④f (x )的图象关于直线x =3π4

对称. 其中真命题是________.

答案 ③④

解析 f (x )=12sin 2x ,当x 1=0,x 2=π2时,

f (x 1)=-f (x 2),但x 1≠-x 2,故①是假命题;

f (x )的最小正周期为π,故②是假命题;

当x ∈[-π4,π4]时,2x ∈[-π2,π2

],故③是真命题; 因为f (3π4)=12sin 32π=-12

, 故f (x )的图象关于直线x =34

π对称,故④是真命题. 9.已知函数f (x )=cos x ·cos(x -

π3

). (1)求f (2π3

)的值; (2)求使f (x )<14

成立的x 的取值集合. 解 (1)f (2π3)=cos 2π3·cos π3=-cos π3·cos π3

=-(12)2=-14

. (2)f (x )=cos x cos(x -π3)=cos x ·(12cos x +32sin x ) =12cos 2x +32sin x cos x =14(1+cos 2x )+34

sin 2x =12cos(2x -π3)+14

. f (x )<14等价于12cos(2x -π3)+14<14

即cos(2x -π3

)<0, 于是2k π+π2<2x -π3<2k π+3π2

,k ∈Z. 解得k π+5π12

,k ∈Z. 故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π+5π12

,k ∈Z}. 10.已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12

. (1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.

指数函数对数函数幂函数的图像与性质 (2)

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算. (2)有理数指数幂的性质 ①a r as =a r+s (a>0,r、s∈Q ); ②(a r )s =a rs (a 〉0,r 、s ∈Q ); ③(a b)r =a r bs (a>0,b >0,r ∈Q);。 n 为奇数 n 为偶数

3.指数函数的图象与性质 y=a x a〉1 00时,y>1; x<0时,01 (3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(—∞,+∞)上是减函数 注:如图所示,是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1〉b1,∴c>d〉1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2、对数的性质与运算法则

对数函数图像及其性质

《对数函数及其性质》 学校:广西师范大学院系:数学科学学院 作者: 学号: 对数函数及其性质 一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的, GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节

针对学生的学习背景,体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体,教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先,基于“人人有份”的数学教学思想,坚持面向全体学生,引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程,体现了学生为中心的教育教学理念。其次,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程,课堂教学要坚持以学生为主体,教师为主导的“双主”地位,结合学情,让学生参与数学基本活动,探究和挖掘数学知识本质,以恰时恰点的问题引导数学活动,培养学生的问题意识,孕育创新精神。遵循这样的理念,我对此课时进行了如下设计: 第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话,并且在对话之后重视体会、总结、反思,力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 (一)学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质,用研究指数函数的方法,进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用,有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性,加深对对函数的思想方法的理解。 (二)学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识,具备一定学习函数的基本能力,如通过类比分析问题的能力;且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密,所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发,让学生体验对数函数来源于实践,通过教师课件的演示,通过数形结合,让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象,让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的 规律,从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 (一)教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸,同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识,因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程,体现了数形结合的思想,同时蕴涵丰富的解题技巧,这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练:求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ,求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈

例5 设1 sin sin 3x y +=,求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数,则函数f (x )=1+asinax 的图象不可能是( ) A . B . C . D . 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性

例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是( ) .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是( ) 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3.下列函数中是奇函数的是( ) .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是( ) 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6.函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8.函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________

4.4.1正弦函数图像与性质练习题.doc

正弦、余弦函数的图像及性质习题 一、选择题 1、若[]π2,0∈x ,函数x x y cos sin -+=的定义域是 A .[]π,0 B .???? ??23,2ππ C . ?? ?? ??ππ,2 D .?? ? ? ??ππ2,23 2、函数x y sin 1-=的最小值是 A .1- B .0 C .2- D .1 3、若cosx=0,则角x 等于( ) A .k π(k ∈Z ) B . 2π+k π(k ∈Z ) C .2 π +2k π(k ∈Z ) D .- 2 π +2k π(k ∈Z ) 4、使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A .m ≥0 B .m ≤0 C .-1<m <1 D .m <-1或m >1 5、已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间[,]上的最小值是-2,则的最小值等于( )A. B. C.2 D.3 6.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为 ,则等于 . A . B . C .2 D .4 7.函数y=3cos ( 52x -6 π )的最小正周期是( ) A . 5 π2 B . 2 π 5 C .2π D .5π 8.下列函数中,同时满足①在(0, 2 π )上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是( ) A .y=tanx B .y=cosx C .y=tan 2 x D .y=|sinx| 9、函数??? ?? ?- ∈=32,6,sin ππx x y 的值域是 ??3π- 4 π ?322 3 cos()3 y x π ω=+ (0)ω>2 π ω12 12

正弦函数的图像和性质

1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义:对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ,而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样,对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应, 按照这个对应法则所建立的函数,表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中,/ C=90 ,y为一条直角边,r为斜边,X为另一条直角边(在坐标 系中,以此为底),贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ,叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1,1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值:当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时,y(max)=1 ②最小值:当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时,y(min)=-1 零值点:( kπ ,0) ,k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴:关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称:关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期:y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数(其图象关于原点对称) 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式:y=Asin (ω x+ φ )+h

对数函数的图像与性质说课稿

《对数函数》说课稿 各位老师,大家好: 今天我说课的题目是《对数函数》.对于这个课题,下面我主要从以下两大方面进行说明. 一、教材分析与教法设计 教材的内容与地位 《对数函数》是人教B版必修1第三章内容.主要学习(1)对数函数的定义(2)对数函数的图象与性质(3)利用对数函数图像与性质进行初步应用. 对数函数是继一次函数、二次函数、指数函数后所要研究的又一重要的基本初等函数,它在实际生活中有广泛的应用,所以学习对数函数既是对前面所学函数知识和方法的巩固、深化和提高,也为学习其他函数奠定良好的基础,起着承上启下的作用. 学情分析 在学习本节课前,学生学过指对互化原理,已经树立了相互联系相互转化的观点.而经过对一、二次函数、指数函数研究后,学生对函数研究思路有了更加理性的思维.但是对数是一个新出现的代数形式,学生在对数的四则运算方面掌握的并不好. 教学目标的确定及依据 按照《课程标准》的要求(通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系;初步理解对数函数的概念,能借体会对数函数是一类重要的函数模型;助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。),根据上述教材内容与地位的分析,考虑到学生的学情,我制定如下教学目标: 1、能够准确说出对数函数的定义;通过探究例1会利用对数函数定义求相关函数的定义域; 2、会画出具体的对数函数图像; 3、通过观察对数函数的图像,利用数形结合的思想方法,运用自主探究、小组合作方式归纳出对数函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、定点等); 4、通过探究例2学会利用对数函数的单调性判断大小.(已知真数大小,比较两个对数值大小;已知对数值大小,比较真数大小;已知对数值、真数大小判定底数范围。)获得灵活运用知识的能力. 教学重点与难点

正弦函数的图像和性质(一)

正弦函数的图像和性质(一) 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高; 2.认真限时完成,规范书写,课上小组合作探讨,答疑解惑。 【重点难点】重点:正弦函数的图像 难点:图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法,能用五点法画出正弦函数的图像; 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析; 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律,培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法: 描点法 步骤:列表→描点→连线 补全上述表格,并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容,试借助于单位圆,利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法

观察的图像,发现有五个点起着关键的作用,它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点: ______,________,_________,________,__________. 因此,在精度要求不高的情况下,我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点,然后用光滑的曲线连接,做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数,所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样,只是位置不同,因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动(每次移动个单位)就可以得到的图像,正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上,画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 (1) (2) 例2、在上,利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 (1) (2)

正弦函数的图像和性质(一)

x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质(一) 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高; 2.认真限时完成,规范书写,课上小组合作探讨,答疑解惑。 【重点难点】重点:正弦函数的图像 难点:x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法,能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像; 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析; 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律,培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像的画法: 补全上述表格,并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容,试借助于单位圆,利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像,发现有五个点起着关键的作用,它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点:______,________,_________,________,__________. 因此,在精度要求不高的情况下,我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点,然 后用光滑的曲线连接,做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数,所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 ( (π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样,只是位置 不同,因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y,的图像向左、向右平行移动(每次移动π2 个单位)就可以得到R sin∈ =x x y,的图像,正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上,画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 (1)x y sin 3 =(2)x y sin -1 =

对数函数的图像与性质知识点与习题

对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾: 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数,其 图象关于直线x y =对称 二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __; 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ,则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1,则__________∈a

5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围是 ( ) (A )2-≤m (B )2-≥m (C )1-≤m (D )1-≥m 6.函数x x f a )1(2log )(-=是减函数,则实数a 的取值范围是 . 7.若13 2 log >a ,则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数,则当0≥x 时,13)(-=x x f ,设)(x f 的反函数是)(x g y =,则=-)8(g 9.方程lgx -x +1=0的实数解有______个. 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ,值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=,2log 2)(x x g =,试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13.已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且, (1)讨论)(x f 的奇偶性与单调性; (2)若不等式2|)(|

对数及对数函数的图像与性质(教师版)

第一课时 对数及其运算 【知识要点】 1.对数的定义: 如果N a b =(a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log 2.指数式与对数式的关系:b N N a a b =?=log (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、 b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. 3.对数运算公式:如果0a >,1a ≠,0M >,0N >,那么 (1) log 10a =; log 1a a =; log a N a N =; log b a a b =; (2)()log log log a a a MN M N =+ (3)log log log a a a M M N N =- (4)()log log n a a M n M n R =∈ (5 )1log log a a M n = (6)换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c b b a a b c c a =>≠>>≠ 换底公式推论:(1)1log log a c c a =;(2)log log log 1a b c b c a ??=;(3)log log m n a a n b b m = 【典题精讲】 题型一 对数的化简、求值 1.b N N a a b =?=log . 2.注意对数恒等式log a N a N =,对数换底公式log log log b a b N N a =及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a =?=在解题中的灵活应用.

【例1】(1) 若23=x ,则x = 465=??? ??x ,求=x (2)设3643==b a ,则=+b a 12__________; (3)计算:22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3 25lg +?++ 解析:(2)由3a =4b =36得a =log 336,b =log 436,再根据换底公式得a =log 336=1log 363 ,b =log 436=1log 364.所以2a +1b =2log 363+log 364=log 36(32×4)=1. (3)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 =2(lg5+lg2)+(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+1=3. 【变式1】已知32a =,那么33log 82log 6-用表示是( A ) A .2a - B .52a - C .2 3(1)a a -+ D . 23a a - 【变式2】若=-=-33)2 lg()2lg(,lg lg y x a y x 则( A ) A .a 3 B .a 23 C .23-a D .a 【变式3】(1)计算=-+2 3lg 53lg 25lg __________. 答案:1 (2)计算:=+?+20lg 5lg 2lg 5lg 2 __________. 答案:2 【例2 ()lg1000lg1041lg10lg102 -==-?-; 【变式1 】lg 的值是( )

正弦函数和余弦函数图像与性质

6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系?若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象? 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;

对数函数图象及其性质知识点及例题解析

对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )=(a 2-a +1)log (a +1)x 是对数函数,则实数a =__________. 解析:由a 2-a +1=1,解得a =0,1. 又a +1>0,且a +1≠1,∴a =1. 【例1-1】下列函数中是对数函数的为__________. (1)y =log a >0,且a ≠1);(2)y =log 2x +2;(3)y =8log 2(x +1); (4)y =log x 6(x >0,且x ≠1);(5)y =log 6x . 解析: 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y =log a x 的图象.已知a , 43,35,110 中取值,则相应曲线C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为( ) A 43,35,110 B ,43,110,35 C .43,35,110 D .43110,35 解析:由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C 4的底数<C 3的底数<C 2的底数<C 1 的底数.故相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 443,35,110 .答案:A 点技巧 作直线y =1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小. 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0,+∞). (2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1. 若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义. (3)求函数的定义域应满足以下原则: ①分式中分母不等于零; ②偶次根式中被开方数大于或等于零; ③指数为零的幂的底数不等于零; ④对数的底数大于零且不等于1;

1.5正弦函数的图像与性质基础练习题

1.5正弦函数的图像与性质基础练习题 一、单选题 1.已知函数()sin 022f x x ππ??????=+<< ???????的图象过点0,2? ?? ,则()f x 图象的一个对称中心为( ) A .1,03?? ??? B .()1,0 C .4,03?? ??? D .()2,0 22sin 0x -≥成立的x 的取值集合是( ) A .()32244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? B .()72244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? C .()52244x k x k k Z π πππ?? -≤≤+∈???? D .()572244x k x k k Z π πππ?? +≤≤+∈???? 3.函数π ()sin(2)3f x x =+的最小正周期为( ) A .4π B .2π C .π D .π 2 4.函数sin 26y x π?? =+ ???的最小正周期是( ) A .2π B .π C .2π D .4π 5.函数1sin y x =-的最大值为( ) A .1 B .0 C .2 D .1- 6.已知函数()()sin 2f x x ?=+的图像关于直线3x π =对称,则?可能取值是( ). A .2π B .12π - C .6π D .6π- 7.函数sin 26y x π? ? =+ ???的一条对称轴是( ) A .6x π =- B .0x = C .6x π = D .3x π =

8.函数2sin y x =的最小值是( ) A .2- B .1- C .1 D .2 9.已知集合{}20M x x x =-≤, {}sin ,N y y x x R ==∈,则M N =( ) A .[]1,0- B .()0,1 C .[]0,1 D .? 10.已知函数()sin()()2f x x x R π =-∈,下面结论错误的是( ) A .函数()f x 的最小正周期为2π B .函数()f x 在区间0, 2π??????上是增函数 C .函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D .函数()f x 是奇函数 11.函数()sin 4f x x π? ?=+ ??? 图象的一条对称轴方程为( ) A .4πx =- B .4x π = C .2x π = D .x π= 12.函数12sin()24y x π=+ 的周期,振幅,初相分别是( ) A .,2,44ππ B .4,2,4π π-- C .4,2,4π π D .2,2,4π π 二、填空题 13.函数sin 2y x =的最小正周期为_____________ 14.函数1sin 223y x π??=+ ?? ?的最小正周期是_______ 15.y =3sin 26x π??- ???在区间0,2π?? ????上的值域是________. 三、双空题 16.设函数()sin f x A B x =+,当0B <时,()f x 的最大值是 32,最小值是12-,则A =_____,B =_____. 17.函数sin 24y x π??=+ ???的对称轴为_________,对称中心为_____________. 四、解答题 18.已知函数2sin 23y x π? ?=+ ??? .

对数函数图像及其性质

《对数函数及其性质》人教A版第二章第2.2.2节 学校:广西师大学 院系:数学科学学院 作者: 学号:

对数函数及其性质 一、教学设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的学习背景,体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体,教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先,基于“人人有份”的数学教学思想,坚持面向全体学生,引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程,体现了学生为中心的教育教学理念。其次,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程,课堂教学要坚持以学生为主体,教师为主导的“双主”地位,结合学情,让学生参与数学基本活动,探究和挖掘数学知识本质,以恰时恰点的问题引导数学活动,培养学生的问题意识,孕育创新精神。遵循这样的理念,我对此课时进行了如下设计: 第一、在课堂活动过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话,并且在对话之后重视体会、总结、反思,力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 (一)学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质,用研究指数函数的方法,进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用,有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性,加深对对函数的思想方法的理解。 (二)学习的经验起点 大部分学生已经掌握了一些函数知识,具备一定学习函数的基本能力,如通过类比分析问题的能力;且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密,所以对于不同底数a的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发,让学生体验对数函数来源于实践,通过教师课件的演示,通

指数对数函数图像与性质(含答案)

指数函数与对数函数 知识点一:对数函数与指数函数的图像与性质 知识点二:对数函数与指数函数的基本运算 指数函数: (1)_______(0,,)r s a a a r s R ?=>∈ (2)_______(0,, r s a a a r s R ÷= >∈ () (3)_______(0,,)s r a a r s R =>∈ ()(4)________(,0, ) r a b a b r R = >∈ 对数函数:恒等式:N a N a =log ;b a b a =log ①M a (log ·=)N ___________________ _②=N M a log __________________________ ③log n a M =_________________________. a b b c c a l o g l o g l o g = (4)几个小结论:①log _____n n a b = ;②log ______a =;③log _______n m a b = ④log log ____a b b a ?= l o g 1 ____;l o g _ a a a ==. 图象 性质

例题1: 1求函数y =122)2 1(++-x x 的定义域、值域、单调区间. 2求函数y = log 2 (x 2 -5x+6) 的定义域、值域、单调区间. 3函数) 3(2 1 2log a ax x y +-=在区间),2[+∞上是减函数,求实数a 的取值范围。 4设0≤x ≤2,求函数y =122 4212 x x a a --?++的最大值和最小值. 练习2: 1、已知(10)x f x =,则(5)f =( ) A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >≠,下列说法中,正确的是( ) ①若M N =则log log a a M N =; ②若log log a a M N =则M N =; ③若22log log a a M N =则M N =; ④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,则S T 是 ( ) A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为( ) A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值范围是( ) A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 6、计算()()22 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a --

正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》(第一课时)(教案) 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标:1、理解正弦函数的周期性; 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图; 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质; 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间; 5、初步理解“数形结合”的思想; 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点:1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像; 2、利用函数图像观察正弦函数的性质; 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点:正弦函数性质的理解和应用 教学方法:多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程: Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式: )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数,即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期,其中π2是它的最小正周期,也直接叫周期,故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =,[]π2,0∈x (1)、列表

(2)、描点 (3)、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…, [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ,…与x y sin =,[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-,R x ∈得: ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以,正弦函数为奇函数(观察上图,图像关于原点对称) 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得: 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数,在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1,最小值为-1,所以值域为[]1,1-

对数函数的图像及性质

2.2.2对数函数图像及其性质 (一) 湖北省大悟县楚才高中尹维坚 整体设计 教材分析: 1、本节内容是人教版高中数学(必修一)中对数函数及其性质,对数函数及其相关知识历来是高考的重点,既有中档题,又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。 2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数,它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的,是对上述知识的应用,也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。 3、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统,同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具,是学生今后学习对数方程,对数不等式的基础。 4、学生容易忽视函数的定义域,在进行对数函数定义教学时要结合指数式强调对数函数的定义域,加强对对数函数定义域为(0, )的理解。在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质是本节课的教学重点,而理解底数a 的值对于函数值变化的影响是教学的一个难点,教学时要充分利用多媒体技术,数形结合,帮助学生理解。 教学目标: (一)知识与能力 1、理解对数函数的概念; 2、掌握对数函数的图象、性质及简单应用。 3、培养学生数形结合的意识 (二)过程与方法 运用现代教育技术充分提高学生的学习数学的兴趣,强调学生“活动”的内化,以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的以及与科技发展相适应。 (三)情感态度与价值观 1.认识事物之间的普遍联系与相互转化; 2.用联系的观点看问题; 3.了解对数函数在生产生活中的简单应用. 教学重点、难点 1、重点: (1)对数函数的定义、图象和性质; (2)对数函数性质的初步应用. 2、难点:底数a对图象的影响 教学方法 通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.归纳探究对数函数的性质。 教学媒体 电子白板、几何画板、PPT多媒体课件演示

《对数函数图像与性质》说课稿

《对数函数图像与性质》说课稿 《对数函数图像与性质》说课稿 《对数函数的图像与性质》说课稿 今天我说课的内容是《对数函数的图像与性质》 一、说教材 1、教材的地位和作用 函数是高中数学的核心,而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一.本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的,因此既是对上述知识的应用,也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数在生产、生活实践中都有许多应用.本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统,为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识. 2、教学目标的确定及依据 根据教学大纲要求,结合教材,考虑到学生已有的认知结构心理特征,我制定了如下的教学目标: (1)知识目标:掌握对数函数的图像与性质;初步学会用 对数函数的性质解决简单的问题. (2)能力目标:渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法,培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力. (3)情感目标:构造和谐的教学氛围,增加互动,促进师生情感交流,培养学生严谨的科学态度,欣赏数学的精确和美妙之处,调动学生学习数学的积极性.3、教学重点与难点 重点:对数函数的图像与性质. 难点:对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化. 二、说教法 学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体,教师作为学生学习的指导者,应充分地调动学生学习的积极性和主动性,有效地渗透数学思想方法.根据这样的原则和所要完成的教学目标,对于本节课我主要考虑了以下两个方面:

1、教学方法: (1)启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳; (2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法; (3)渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法. (4)用探究性教学、提问式教学和分层教学 2、教学手段: 计算机多媒体辅助教学. 三、说学法 “授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终身.本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导: (1)探究定向性学习:学生在教师建立的情境下,通过思考、分析、操作、探索,归纳得出对数函数的图像与性质。 (2)主动式学习:学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。 四、说教程 1、温故知新 我通过复习y=log2x和y=log0.5x的图像,让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。 设计意图:这与本节内容有密切关系,有利于引出新课.为学生理解新知清除了障碍,有意识地培养学生分析问题的能力. 2、探求新知 研究对数函数的图像与性质.关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的图像分析归纳,引导学生填写表格(该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质),采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法,归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质. 在学生得出对数函数的图像和性质后,教师再加以升华,强调“数形结合”记忆其性质,做到“心中有图”.另外,对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体

正弦函数和余弦函数图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T . 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α====; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定 的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系?若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象? 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法

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