第七章 X2检验
Chi-square test
X2分布——计数资料
第一节四格表资料的X2检验
一、X2检验的基本思想
1、X2分布
（1）X2分布是一种连续型分布：X2分布（chi-square distribution）只有一个参数，即自由度。
当自由度V《2时，曲线呈L形
随着V的增加，曲线逐渐趋于对称
当自由度V—00无穷时，X2分布趋近正态分布
（2）X2分布的一个基本性质是它的可加性：（X1+X2）——X2 （V1+V2）
（3）X2 分布的界值：X2值愈大，P值愈小；反之，X2值愈小，P值愈大。
2、X2检验的基本思想
四格表（fourfold table）资料
PearsonX2——X2={Σ（A-T）2/T } V =(行数-1）（列数-1）
A为实际频数（actual frequency）
T为理论频数（theoretical frequency）——根据检验假设H0：π1=π2确定的。
T（RC）=nRnC/n
T（RC）为第R行（row）第C列（column）的理论频数，
nR为相应行的合计，nC为相应列的合计，n为总列数。
X2值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。
3、X2检验的步骤
H0：:π1=π2，即试验组与对照组——总体有效率相等
H1：:π1≠π2，即——————————————不等
ɑ=0.05
——T值——V——P值
二、四格表资料X2检验的专用公式
X2=（ad-bc)2n/(a+b)(a+c)(d+b)(d+c)
a,b,c,d为四格表的实际频数；(a+b)(a+c)(d+b)(d+c)是周边合计数；n为总例数，n=a+b+c+d. 四格表资料X2检验的校正公式
三、X2C=（Iad-bcI-n/2)2n/(a+b)(a+c)(d+b)(d+c)
（1）当n》40且所有的T》5时，用X2检验的基本公式或四格表资料X2检验的专有公式；（2）当n》40但有1《T《5时，用四格表资料X2检验的校正公式。
（3）当n<40，或T<1时，用四格表资料的Fisher确切概率法。
第二节配对四格表资料的X2检验
计数资料的配对设计常用于两种检验方法、培养方法、诊断方法的比较。
其特点是对样本中各观察单位分别用两种方法处理，然后观察两种处理方法的某两分类变量的计数结果。
检验假设McNemar test
X2=（b-c）2/b+c . V=1 ————（b+c）》40
X2=(Ib-cI-1)2/b+c ,v=1 ————（b+c）<40
一般用于样本含量不太大的资料。
检验步骤：
H0：b=c ,即两种方法的检测结果不同
H1：b=/c,即两种方法的检测结果不同
a=0.05
b+c=——————40
四格表资料的Fisher确切概率法
Fisher probabilities in 2*2 table data
超几何分布hypergeometric distribution
基本思想
各组合概率Pi的计算
在四格表周边合计数不变的条件下，表内4个实际频数a.b.c.d.变动的组合数共有“周边合计中最小数+1”
Pi=（a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!/a!b!c!d!n!
！阶乘符号
累计概率P的计算
单侧检验：PL————PR
双侧检验：
检验步骤
Pi《P
行*列表资料的X2检验
用于多个样本率的比较、两个或多个构成比的比较、以及双向无序分类资料的关联性检验。多个样本率比较时，有R行2列，称为R*2 表
两样本的构成比比较时，有2行C列，称2*C表
多个样本的构成比比较，以及双向无序分类资料关联性检验时，有R行C列，称为Ｒ＊Ｃ表
一、多个样本率的比较
二、样本构成比的比较
三、双向无序分类资料的关联性检验————列联系数Ｃ＝[Ｘ２／ｎ＋Ｘ２］开平方
列联系数Ｃ取值范围在０～１之间。
０表示完全独立
１表示完全相关
愈接近于０，关系愈不密切
愈接近于１，关系愈密切
行×列表资料Ｘ２检验的注意事项
１、行×列表资料中各格的理论频数不应小于１，并且１《Ｔ＜５的格子数不宜超过格子总数１／５．
（１）增加样本含量，使理论频数增大
（２）根据专业知识，考虑能否删去理论频数太小的行或列，能否将理论频数太小的行或列与性质相近的临行或临列合并
（３）改用双向无序Ｒ＊Ｃ表资料的Ｆｉｓｈｅｒ确切概率法
２、不能说明任两个总体率之间均有差别
３、无序————
第五节多个样本率间的多重比较
Ｘ２分割法ｐａｒｔｉｔｉｏｎｓｏｆＸ２ｍｅｔｈｏｄ（Ｓｃｈｅｆｆｅ可信区间法、ＳＮＫ法）
一、基本思想
多个样本率比较的资料可整理成Ｒ＊２或ｋ＊２表资料，经行×列表资料Ｘ２检验的结论为拒绝Ｈ０，接受Ｈ１时，若不经任何处理，而直接用分割法把ｋ＊２表Ｘ２分成多个独立的四格表Ｘ２进行两两比较，必须重新规定检验水准，其目的是为保证检验假设中Ｉ型错误ａ概率不变。
因分析目的不同，ｋ个样本率两两比较的次数不同，故重新规定的检验水准的估计方法亦不同。
多个实验组间的两两比较
实验组与同一个对照组的比较
多个实验组间的两两比较
各实验组与同一个对照组的比较
有序分组资料的线性趋势检验
Ｒ＊Ｃ表资料的分类及其检验方法的选择
双向无序Ｒ＊Ｃ表资料——行×列表资料的Ｘ２检验，Ｐｅａｒｓｏｎ列联系数
单向有序Ｒ×Ｃ表资料
（１）分组变量有序，指标变量无序——分析不同年龄组各种传染病的构成情况——Ｘ２检验
（２）分组变量无序，指标变量有序——比较不同疗法的疗效——秩转换的非参数检验３、双向有序属性相同的Ｒ×Ｃ表资料——分析两种检测方法的一致性——一致性检验Ｋａｐｐａ检验
４、双向有序属性不同的Ｒ×Ｃ表资料——
（１）分析不同年龄组患者疗效之间有无差别——单向有序Ｒ×Ｃ表资料——秩转换的非参数检验
（２）分析两个有序分类变量间是否存在相关关系——等级相关分析
（３）分析两个有序分类变量间是否存在线性变化趋势——有序分组资料的线性趋势检验
Ｘ２检验Ｃｈｉ－ＳｑｕａｒｅＴｅｓｔ
第一节四格表资料的Ｘ２检验
一、Ｘ２检验的基本思想
１、Ｘ２分布
（１）Ｘ２分布是一种连续型分布
（２）Ｘ２分布的一个基本性质是可加性
（３）Ｘ２界值：Ｘ２值愈大，Ｐ值愈小；Ｘ２值愈小，Ｐ值愈大。
２、Ｘ２检验的基本思想——四格表资料
Ｘ２＝｛（Ａ－Ｔ）２／Ｔ｝和，Ｖ＝（行数－１）（列数－１）
Ａ为实际频数，
Ｔ为理论频数——第Ｒ行Ｃ列的理论频数＝相应行合计×列合计／ｎ
理论频数Ｔ是根据检验假设Ｈ０：～，且用合并率来估计～而定
检验统计量Ｘ２值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。
Ｘ２检验的自由度取决于可以自由取值的格子数目，而不是样本含量ｎ。
四格表资料只有两行两列，Ｖ＝１，即在周边合计数固定的情况下，４个基本数据当中只有一个可以自由取值。
３、假设检验步骤
（１）建立检验假设，确定检验水平
（２）求检验统计量值
二、四格表资料检验的专用公式
三、四格表资料检验的校正公式——仅用于Ｖ＝１的四个表资料。
Ｎ》４０，Ｔ》５，专用公式
Ｎ》４０,１《Ｔ＜５，校正公式
Ｎ＜４０或Ｔ＜１，直接计算概率
配对四格表资料的Ｘ２检验——样本含量不太大，Ｂ～Ｃ
四格表资料的Ｆｉｓｈｅｒ确切概率法
Ｎ＜４０或Ｔ＜１，或Ｐ～～ａ————理论依据：超几何分布
基本思想
各组合概率Ｐｉ的计算
累计概率的计算——单、双侧检验不同
二、检验步骤
第四节行×列表资料的Ｘ２检验
（１）多个样本率比较时，有Ｒ行２列，称为Ｒ×２表
（２）两个样本的构成比比较时，有２行Ｃ列，称为２×Ｃ表
（３）多个样本的构成比比较，以及双向无序分类资料关联性检验时，有行列，称为Ｒ＊Ｃ表
一、多个样本率的比较
二、样本构成比的比较
三、双向无序分类资料的关联性检验
————————为两个或多个样本，做差别检验
————————为单样本，做关联性检验
Ｐｅａｒｓｏｎ列联系数Ｃ取值范围在０～１之间
０表示完全独立
１表示完全相关
愈接近于０，关系愈不密切
愈接近于１，关系愈密切
行×列表资料Ｘ２检验的注意事项
１、行列表中的各格Ｔ》１，并且１《Ｔ＜５的格子数不宜超过１／５格子总数，增大样本含量／删去，合并／改用双向无序Ｒ＊Ｃ表的Ｆｉｓｈｅｒ确切概率法
２、不能说明任两个总体率之间均有差别
第五节多个样本率间的多重比较
Ｘ２分割法
——把２×ｋ表分成多个独立的四格表进行两两比较，重新规定检验水准
多个实验组间的两两比较
实验组与同一个对照组的比较
检验计算公式： 当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量<30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈分布。 检验是用分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。检验分为单总体检验和双总体检验。 1.单总体检验 单总体检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显著。当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量<30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈分布。检验统计量为： 。 如果样本是属于大样本（>30）也可写成： 。 在这里，为样本平均数与总体平均数的离差统计量； 为样本平均数； 为总体平均数； 为样本标准差； 为样本容量。 例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73分，标准差为17分，期末考试后，随机抽取20人的英语成绩，其平均分数为79.2分。问二年级学生的英语成绩是否有显著性进步？ 检验步骤如下： 第一步建立原假设=73 第二步计算值 第三步判断
因为，以0.05为显著性水平，，查值表，临界值，而样本离差的 1.63小与临界值2.093。所以，接受原假设，即进步不显著。 2.双总体检验 双总体检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显著性检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非相关样本被试所获得的数据的差异性。 现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验完全类似，只不过。 相关样本的检验公式为： 。 在这里，，分别为两样本平均数； ，分别为两样本方差； 为相关样本的相关系数。 例：在小学三年级学生中随机抽取10名学生，在学期初和学期末分别进行了两次推理能力测验，成绩分别为79.5和72分，标准差分别为9.124,9.940。问两次测验成绩是否有显著地差异？ 检验步骤为： 第一步建立原假设= 第二步计算值 = =3.459。 第三步判断
当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量n v30,那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈 t分布。 t检验是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。t检验分为单总体t检验和双总体t检验。 1.单总体t检验 单总体t检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显 著。当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量n v30,那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。检验统计量为: 如果样本是属于大样本（n>30）也可写成: 在这里，t为样本平均数与总体平均数的离差统计量; X为样本平均数; 为总体平均数; X为样本标准差； n为样本容量。 例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73分，标准差为17分，期末考试后，随机抽取20人的英语成绩，其平均分数为分。问二年级学生的英语成绩是否有显著性进步？ 检验步骤如下： 第一步建立原假设H0：=73 第二步计算t值
17 厂1 .19 第三步 判断 因为，以为显著性水平，df n 1 19,查t 值表，临界值t(19)0.05 2.093 , 而样本离差的t 小与临界值。所以，接受原假设，即进步不显著。 2.双总体t 检验 双总体t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显 著。双总体t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用 于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据 的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显著性 检验。各实验处理组之间毫无相关存在， 即为独立样本。该检验用于检验两组非 相关样本被试所获得的数据的差异性。 现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验 完全类似，只不过r 0。 相关样本的t 检验公式为： X 1 X 2 在这里，X 1， X 2分别为两样本平均数; 为相关样本的相关系数 例：在小学三年级学生中随机抽取 10名学生，在学期初和学期末分别进行 了两次推理能力测验，成绩分别为和72分，标准差分别为，。问两次测验成绩是 否有显著地差异？ 检验步骤为： 第一步 建立原假设H 。： 1= 2 1.63 X 1 X 2 2 X 1 ， 2 X 2 分别为两样本方差; 2 X 2
x2检验练习题
2χ检验 练 习 题 一、单项选择题 1. 利用2χ检验公式不适合解决的实际问题是 A. 比较两种药物的有效率 B. 检验某种疾病与基因多态性的关系 C. 两组有序试验结果的药物疗效 D. 药物三种不同剂量显效率有无差别 E. 两组病情“轻、中、重”的构成比例 2．欲比较两组阳性反应率, 在样本量非常小的情况下(如1210,10n n <<), 应采用 A. 四格表2χ检验 B. 校正四格表2χ检验 C. Fisher 确切概率法 D. 配对2χ检验 E. 校正配对2χ检验 3．进行四组样本率比较的2χ检验，如220.01,3χχ>，可认为 A. 四组样本率均不相同 B. 四组总体率均不相同 C. 四组样本率相差较大 D. 至少有两组样本率不相同 E. 至少有两组总体率不相同 4. 从甲、乙两文中，查到同类研究的两个率比较的2χ检验，甲文 220.01,1 χχ>，乙文220.05,1χχ>，可认为 A. 两文结果有矛盾 B. 两文结果完全相同 C. 甲文结果更为可信 D. 乙文结果更为可信 E. 甲文说明总体的差异较大 5. 两组有效率比较检验功效的相关因素是
A. 检验水准和样本率 B. 总体率差别和样本含量 C. 样本含量和样本率 D. 总体率差别和理论频数 E. 容许误差和检验水准 答案：C C E C B 二、计算与分析 1．某神经内科医师观察291例脑梗塞病人，其中102例病人用西医疗法，其它189 例病人采用西医疗法加中医疗法，观察一年后，单纯用西医疗法组的病人死亡13例，采用中西医疗法组的病人死亡9例，请分析两组病人的死亡率差异是否有统计学意义？ 2．某医院研究中药治疗急性心肌梗死的疗效，临床观察结果见下表。问接受两种不同疗法的患者病死率是否不同？ 两种药治疗急性心肌梗死的疗效 组别存活死亡合计病死率 （%）中药组65 3 68 4.41 非中药组12 2 14 14.29 合计77 5 82 6.10 3．某医师观察三种降血脂药A，B，C的临床疗效，观察3个月后，按照患者的血脂下降程度分为有效与无效，结果如下表，问三种药物的降血脂效果是否不同？ 三种药物降血脂的疗效 药物有效无效合计
第八章假设检验
第一节假设检验的基本思想 统计推断的另一重要问题是假设检验.在总体分布未知或虽知其类型但分布中含有未知参数时，为推断总体的某些未知提出关于总体的一些假设.我们需根据样本提供的信息对所提的假设作出接受或拒绝的决策，假设检验就是作出这一决策的过程. 假设检验???参数假设检验非参数假设检验 0 引言以及运用适当的统计量,特性，
参数假设检验是针对总体分布函数中的未知参数而提出的假设进行检验； 鉴于本章主要讨论单参数假设检验问题，故本节就以此为背景来探讨一般假设检验问题. 非参数假设检验是针对总体分布函数形式或类型的假设进行检验。
下面结合例题来说明假设检验的基本思想. 设一箱中有红白两种颜色的球共100个，甲说这里有99个白球乙从箱中任取一个，发现是红球，说法是否正确？先作假设:0H 箱中确有99个白球. 如果假设0H 正确，则从箱中任取一个球是红球的概率为0.01，是小概率事件.通常认为在一次随机试验中，概率小的事件因此，问甲的取一个，发现是白球，若乙从箱中任则没有理由怀疑假设0H 的正确性.不易发生，今乙从箱中任取一个,发现是红球，即小概率事件竟然在一次试验中发生了，故有理由拒绝假设,0H 即认为甲的说法不正确.
1.假设检验的基本思想 假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法。为了检验一个假设0H 是否正确，定该0H 正确，然后根据抽取到的样本对假设0H 作出接受或拒绝的决策. 如果样本观察值导致了不合理的现象的发生，就应拒绝假设,0H 假设. 0H 假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾,而是首先假否则应接受基于人们在实践中广泛采用的原则,试验中是几乎不发生的，即小概率事件在一次但概率小到什么程度才能看作
第七 章 假设检验 一、教材说明 本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显着性检验方法.。 1、本章的教学目的与要求 （1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤； （4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系； （5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定； （6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。 2、本章的重点与难点 本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。 二、教学内容 下面主要分3节来讲解本章的主要内容。 § 假设检验的基本概念 对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。 1.引例 我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法. 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时, 其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): , 问机器是否正常 分析：用μ和σ分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，则)015.0,(~2 μN X ,其中μ未知。 问题: 已知总体2 (,)X N μσ:,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是 0.5μ≠。 提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设 1H ). 如果作出的判断是接受0H , 则0μμ=即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不 正常的.
t 检验计算公式： 当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量n <30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。 t 检验是用 t 分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异 是否显著。 t 检验分为单总体 t 检验和双总体 t 检验。 1.单总体 t 检验 单总体 t 检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显著。当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量 n <30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈 t 分布。检验统计量为： X t。 X n 1 如果样本是属于大样本（n >30）也可写成： X t。 X n 在这里， t 为样本平均数与总体平均数的离差统计量； X为样本平均数； 为总体平均数； X为样本标准差； n为样本容量。 例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73 分，标准差为 17 分，期末考试后，随机抽取 20 人的英语成绩，其平均分数为 79.2 分。问二年级学生的英语成绩是否有显著性进步？ 检验步骤如下： 第一步建立原假设 H 0∶=73 第二步计算 t 值 X 79.2 73 t 17 1.63 X n 119 第三步判断 因为，以 0.05 为显著性水平， df n 1 19 ，查t值表，临界值 t (19)0.05 2.093 ，而样本离差的t 1.63 小与临界值 2.093 。所以，接受原假设，即进步不显著。
2.双总体 t 检验 双总体 t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显 著。双总体 t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用 于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据 的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显著性检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非相关样本被试所获得的数据的差异性。 现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验完全类似，只不过 r 0 。 相关样本的 t 检验公式为： t X1 X2 。 2 2 2 X1X2 X1 X 2 n 1 在这里， X1 ， X 2 分别为两样本平均数； X 2 1 ， X2 2 分别为两样本方差；为相关样本的相关系数。 例：在小学三年级学生中随机抽取 10 名学生，在学期初和学期末分别进行了两次推理能力测验，成绩分别为 79.5 和 72 分，标准差分别为 9.124,9.940 。问两次测验成绩是否有显著地差异？ 检验步骤为： 第一步建立原假设 H0∶1= 2 第二步计算 t 值 t X1 X 2 2 2 2 X1X2 X1 X 2 n 1 = 79.571 9.12429.9402 2 0.704 9.124 9.940 10 1 =3.459 。 第三步判断 根据自由度 df n 1 9 ，查t值表 t (9)0.05 2.262 ， t(9) 0.01 3.250 。由于实 际计算出来的 t =3.495>3.250= t(9) 0.01 ，则 P ，故拒绝原假设。 0.01 结论为：两次测验成绩有及其显著地差异。 由以上可以看出，对平均数差异显著性检验比较复杂，究竟使用 Z 检验还是使用 t 检验必须根据具体情况而定，为了便于掌握各种情况下的 Z 检验或 t 检验，
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算 x2检验（chi-square test）或称卡方检验 x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法。可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理的比较）两类。 一、四格表资料的x2检验 例20.7某医院分别用化学疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表 20-11，问两种疗法有无差别？ 表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较 表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为： 式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤： 1.建立检验假设： H0：π1=π2 H1：π1≠π2 α=0.05 2.计算理论数（TRC），计算公式为： TRC=nR.nc/n 公式（20.13） 式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。 第1行1列： 43×53/87=26.2 第1行2列： 43×34/87=16.8 第2行1列： 44×53/87=26.8 第2行2列： 4×34/87=17.2 以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12： 表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较
t 检验计算公式： 当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量n <30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。 t 检验是用t 分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。t 检验分为单总体t 检验和双总体t 检验。 1.单总体t 检验 单总体t 检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显 著。当总体分布是正态分布，如总体标准差σ未知且样本容量n <30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。检验统计量为： X t μ σ-=。 如果样本是属于大样本（n >30）也可写成： X t μ σ-=。 在这里，t 为样本平均数与总体平均数的离差统计量； X 为样本平均数； μ为总体平均数； X σ为样本标准差； n 为样本容量。 例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73分，标准差为17分，期末考试后，随机抽取20人的英语成绩，其平均分数为79.2分。问二年级学生的英语成绩是否有显著性进步？ 检验步骤如下： 第一步 建立原假设0H ∶μ=73 第二步 计算t 值 79.273 1.63X t μ σ--=== 第三步 判断 因为，以0.05为显著性水平，119df n =-=，查t 值表，临界值0.05(19) 2.093t =，而样本离差的t =1.63小与临界值2.093。所以，接受原假设，即进步不显著。
2.双总体t 检验 双总体t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显著性检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非相关样本被试所获得的数据的差异性。 现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验完全类似，只不过0r =。 相关样本的t 检验公式为： t = 在这里，1X ，2X 分别为两样本平均数； 12X σ，2 2X σ分别为两样本方差； γ为相关样本的相关系数。 例：在小学三年级学生中随机抽取10名学生，在学期初和学期末分别进行了两次推理能力测验，成绩分别为79.5和72分，标准差分别为9.124,9.940。问两次测验成绩是否有显著地差异？ 检验步骤为： 第一步 建立原假设0H ∶1μ=2μ 第二步 计算t 值 t = =3.459。 第三步 判断 根据自由度19df n =-=，查t 值表0.05(9) 2.262t =，0.01(9) 3.250t =。由于实际计算出来的t =3.495>3.250=0.01(9)t ，则0.01P <，故拒绝原假设。 结论为：两次测验成绩有及其显著地差异。 检验。
SPSS最适用的统计学方法（X2检验和T检验） 1．SPSS的启动 （1）在windows[开始]→[程序]→[spss20]，进入SPSS for Windows对话框， 2．创建一个数据文件 三个步骤： （1）选择菜单【文件】→【新建】→【数据】新建一个数据文件。 （2）单击左下角【变量视窗】标签进入变量视图界面，定义每个变量类型。 （3）单击【数据视窗】标签进入数据视窗界面，录入数据库单元格内。3．读取外部数据 当前版本的SPSS可以很容易地读取Excel数据，步骤如下： （1）按【文件】→【打开】→【数据】的顺序使用菜单命令调出打开数据对话框，在文件类型下拉列表中选择数据文件,如图所示。
图 Open File对话框 （2）选择要打开的Excel文件，单击“打开”按钮，调出打开Excel数据源对话框，如图所示。对话框中各选项的意义如下： 工作表下拉列表：选择被读取数据所在的Excel工作表。 范围输入框：用于限制被读取数据在Excel工作表中的位置。 图 Open Excel Data Source对话框 4．数据编辑 在SPSS中，对数据进行基本编辑操作的功能集中在Edit和Data菜单中。
5．SPSS数据的保存 SPSS数据录入并编辑整理完成以后应及时保存，以防数据丢失。保存数据文件可以通过【文件】→【保存】或者【文件】→【另存为】菜单方式来执行。在数据保存对话框（如图所示）中根据不同要求进行SPSS数据保存。 图 SPSS数据的保存 5. 数据分析 在SPSS中，数据整理的功能主要集中在【数据】和【分析】两个主菜单下 6.语言切换：编辑（E）—选项（N）--用户界面-语言--简体中文 第六章：描述性统计分析(X2检验) 完成计数资料和等级资料的统计描述和一般的统计检验，我们常用的X2检验也在其中完成。 6.1.1界面说明 界面如下所示:分析—描述统计—频率
第二讲 非参数检验 1. 实验目的 1.了解非参数假设检验基本思想； 2.会用SAS 软件中的proc npar1way 过程进行非参数假设检验和proc freq 过程进行列联表的独立性检验。 2. 实验要求 1.会用SAS 软件建立数据集，并进行统计分析； 2.掌握proc npar1way 过程进行非参数假设检验的基本步骤； 3.掌握proc freq 过程进行列联表的独立性检验的基本步骤。 3. 实验基本原理 3.1 符号检验 0:H 两种方法的处理效果无显著性差异 令10 i i I i ?=??第个个体中新方法优于对照方法第个个体中新方法劣于对照方法1,2,,i N =L 统计量1N N i i S I ==∑ N S 表示新方法的处理效果优于对照方法的配对组总数。若新方法的处理效果显著的优于对照方法，则N S 的值应明显偏大。因此，若对给定的置信水平α，有 {}N P S c α≥<， 则拒绝0H 。 0H 为真时，（1）N S 服从二项分布1(,)2 b N (),()24N N N N E S Var S ==。拒绝域为：{}N N S S c > （2）由中心极限定理可知，当2 ,1N N S N - →∞的零分布趋于标准正态分布。
拒绝域为 ：N S u α??????>???????? 3.2 Wilcoxon 秩和检验 （1）单边假设检验 0:H 两种方法的处理效果无显著性差异 as 1:H ：新方法优于对照方法。 用于检验0H 的统计量为：1n s i i W I ==∑ 若对给定的置信水平α，有 {}s P W c α≥<，则拒绝0H 。且s W 的分布列为： 0#{;,}{}H s w n m P W w N n ==?? ??? 根据观测结果计算s W 的观测值0s W ，计算检验的p 值： 00{}{}s H s s H s k w p P W w P W k ≥=≥= =∑ 然后将p 值与显著水平α作比较，若p α<，则拒绝0H ，否则接受0H 。 （2）双边假设检验 给定的显著水平21,c c 和α应该满足： ε=≥+≤}{}{2100c W P c W P A H A H 仅由上式还不能唯一确定21c c 和，当我们对两种方法谁优谁劣不得而知时，通常取 2}{}{2100α =≥=≤c W P c W P A H A H 若利用p 值进行检验，设A A W ω的观测值为,计算概率值 }{}{00A A H A A H W P W P ωω≤≥或 由对称性可知，检验的p 值为上述两概率中小于1/2的那一个的2倍。例如
假设检验与方差分析 一、单选题 1、假设检验的基本思想是（） A、中心极限定理 B、小概率原理 C、大数定律 D、置信区间 2、如果一项假设规定的显著水平为0.05，下列表述正确的是（） A、接受H0时的可靠性为95% B、接受H1时的可靠性为95% C、H1为假时被接受的概率为5% D、H0为真时被拒绝的概率为5% 3、假设检验的步骤（） A、建立假设、选择和计算统计量、确定P值和判断结果 B、建立原假设、备择假设，确定检验水准 C、确定单侧检验或双侧检验、选择t检验或u检验、估计一类错误和二类错误 D、计算统计量、确定P值、做出推断结果 4、在一次假设检验中，当显著水平设为0.05时，结论是拒绝原假设，现将显著水 平设为0.1，那么（） A、仍然拒绝原假设 B、不一定拒绝原假设 C、需要重新进行假设检验 D、有可能拒绝原假设 5、进行假设时，在其他条件不变的情形下，增加样本量，检验结论犯两类错误的 概率将（） A.都减小 B. 都增加 C.都不变 D.一个增加一个减少 6、在假设检验中，1-α是指（） A.拒绝了一个真实的原假设的概率 B.接受了一个真实的原假设概率 C.拒绝了一个错误的原假设的概率 D.接受了一个错误的原假设概率 7、在假设检验中，1-β是指（） A.拒绝了一个正确的原假设的概率 B.接受了一个正确的原假设的概率 C.拒绝了一个错误的原假设的概率 D. 接受了一个错误的原假设的概率 8．将由显著性水平所规定的拒绝域平分为两部分，置于概率分布的两边，每边占显著性水平的二分之一，这是（）。 A. 单侧检验 B.双侧检验 C.右侧检验 D.左侧检验 9.方差分析要求（） A.各个总体方差相等 B.各个样本来自同一总体 C.各个总体均数相等 D.两样本方差相等 二、多项选择题 1.显著性水平与检验拒绝域关系（） A. 显著性水平提高（α变小），意味着拒绝域缩小 B. 显著性水平降低，意味着拒绝域扩大 C. 显著性水平提高，意味着拒绝域扩大 D. 显著性水平降低，意味着拒绝域扩大化 E. 显著性水平提高或降低，不影响拒绝域的变化 2. β错误（） A. 是在原假设不真实的条件下发生 B. 是在原假设真实的条件下发生 C. 决定于原假设与真实值之间的差距 D. 原假设与真实值之间的差距越大，犯β错误的可能性就越小
数学·选修1－2(人教A版) 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 ?达标训练 1．在研究两个分类变量之间是否有关时，可以粗略地判断两个分类变量是否有关的是( ) A．散点图B．等高条形图 C．2×2列联表 D．以上均不对 答案：B 2．在等高条形图形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( ) A. a a＋b 与 d c＋d B. c a＋b 与 a c＋d C. a a＋b 与 c c＋d D. a a＋b 与 c b＋c 答案：C 3．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，说确的是( ) A．k越大，“ X与Y有关系”可信程度越小 B．k越小，“ X与Y有关系”可信程度越小 C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小 D．k越大，“X与Y无关”程度越大 答案：B 4．下面是一个2×2列联表：
则表中a、b的值分别为( ) A．94、96 B．52、50 C．52、54 D．54、52 答案：C 5．性别与身高列联表如下： 那么，检验随机变量K2的值约等于 ( ) A．0.043 B．0.367 C．22 D．26.87 答案：C 6．给出列联表如下： 根据表格提供的数据，估计“成绩与班级有关系”犯错误的概率约是( ) A．0.4 B．0.5 C．0.75 D．0.85 答案：B
?素能提高 1．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，下列说法中正确的是( ) A ．男人、女人中患有色盲的频率分别为0.038、0.006 B ．男人、女人患色盲的概率分别为19240、3 260 C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲是与性别有关的 D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关 解析：男人患色盲的比例为38480，比女人中患色盲的比例6 520 大， 其差值为?? ???? 38480－6520≈0.067 6，差值较大． 答案：C 2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K 2＝ 算得， K 2＝ ≈7.8. 附表： P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001 k 0 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
2χ检验 练 习 题 一、单项选择题 1. 利用2χ检验公式不适合解决的实际问题是 A. 比较两种药物的有效率 B. 检验某种疾病与基因多态性的关系 C. 两组有序试验结果的药物疗效 D. 药物三种不同剂量显效率有无差别 E. 两组病情“轻、中、重”的构成比例 2．欲比较两组阳性反应率, 在样本量非常小的情况下(如1210,10n n <<), 应采用 A. 四格表2χ检验 B. 校正四格表2χ检验 C. Fisher 确切概率法 D. 配对2χ检验 E. 校正配对2χ检验 3．进行四组样本率比较的2χ检验，如22 0.01,3χχ>，可认为 A. 四组样本率均不相同 B. 四组总体率均不相同 C. 四组样本率相差较大 D. 至少有两组样本率不相同 E. 至少有两组总体率不相同 4. 从甲、乙两文中，查到同类研究的两个率比较的2χ检验，甲文22 0.01,1χχ>，乙文22 0.05,1χχ>，可认为 A. 两文结果有矛盾 B. 两文结果完全相同 C. 甲文结果更为可信 D. 乙文结果更为可信 E. 甲文说明总体的差异较大 5. 两组有效率比较检验功效的相关因素是 A. 检验水准和样本率 B. 总体率差别和样本含量 C. 样本含量和样本率 D. 总体率差别和理论频数 E. 容许误差和检验水准
答案：C C E C B 二、计算与分析 1．某神经内科医师观察291例脑梗塞病人，其中102例病人用西医疗法，其它189 例病人采用西医疗法加中医疗法，观察一年后，单纯用西医疗法组的病人死亡13例，采用中西医疗法组的病人死亡9例，请分析两组病人的死亡率差异是否有统计学意义？ 2．某医院研究中药治疗急性心肌梗死的疗效，临床观察结果见下表。问接受两种不同疗法的患者病死率是否不同？ 两种药治疗急性心肌梗死的疗效 组别存活死亡合计病死率（%） 中药组65 3 68 4.41 非中药组12 2 14 14.29 合计77 5 82 6.10 3．某医师观察三种降血脂药A，B，C的临床疗效，观察3个月后，按照患者的血脂下降程度分为有效与无效，结果如下表，问三种药物的降血脂效果是否不同？ 三种药物降血脂的疗效 药物有效无效合计 A 120 25 145 B 60 27 87 C 40 22 62 4．为研究某补钙制剂的临床效果，观察56例儿童，其中一组给与这种新药，另一组给与钙片，观察结果如表，问两种药物预防儿童的佝偻病患病率是否不同？ 表两组儿童的佝偻病患病情况 组别病例数非病例数合计患病率(%)
页脚内容1 t 检验计算公式： 当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量n <30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。 t 检验是用t 分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。t 检验分为 单总体t 检验和双总体t 检验。 1.单总体t 检验 单总体t 检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显 著。当总体分布是正态分布，如总体标准差σ未知且样本容量n <30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t 分布。检验统计量为： X t μ σ-= 。 如果样本是属于大样本（n >30）也可写成： X t μ σ-= 。 在这里，t 为样本平均数与总体平均数的离差统计量； X 为样本平均数； μ为总体平均数；
页脚内容2 X σ为样本标准差； n 为样本容量。 例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73分，标准差为17分，期末考试后，随机抽取20人的英语成绩，其平均分数为79.2分。问二年级学生的英语成绩是否有显著性进步？ 检验步骤如下： 第一步 建立原假设0H ∶μ=73 第二步 计算t 值 79.273 1.6317X t μ σ--= = = 第三步 判断 因为，以0.05为显著性水平，119df n =-=，查t 值表，临界值0.05(19) 2.093t =，而样本离差的t =1.63 小与临界值2.093。所以，接受原假设，即进步不显著。 2.双总体t 检验 双总体t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显著性检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非相关样本被试所获得的数据的差异性。 现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验完全类似，只不过
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ t检验和x2检验doc 实验一 t-检验实验目的及要求掌握利用Excel 数据分析中提供t-检验工具进行假设检验的方法，并能够解释实验结果。 实验内容及步骤例1-7： 双样本等均值检验是在一定置信水平之下, 在两个总体方差相等的假设之下，检验两个总体均值的差值等于指定平均差的假设是否成立的检验。 假设某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了两组员工，每组9 人，一组采用新的装配方法，另外一组采用旧的装配方法。 18个员工的设备装配时间图1-18 中表格所示。 根据以下数据，是否有理由认为新的装配方法更节约时间？图1-18 操作步骤： STEP1： 选择工具菜单的数据分析子菜单，双击t-检验: 双样本等方差假设选项，则弹出图1-19 所示对话框。 (注: 如果没有数据分析，则请加载分析工具库加载宏。 操作方法： 在工具菜单上，单击加载宏。 在可用加载宏列表中，选中分析工具库框，再单击确定。 如果必要，请按安装程序中的指示进行操作。 1 / 5
) 2）在数据分析对话框中，单击t－检验，再单击确定。 3）在出现的对话框中，设置所需的参数。 图1-19 STEP2： 分别填写变量1 的区域： $B$1: $B$10，变量2 的区域： $D$1: $D$10，由于我们进行的是等均值的检验，填写假设平均差为0，由于数据的首行包括标志项选择标志选项，所以选择标志选项，再填写显著水平为0. 05, 然后点击确定按扭。 则可以得到图1-20所示的结果。 图1-20 结果分析： 如图1-20中所示，表中分别给出了两组装配时间的平均值、方差和样本个数。 其中，合并方差是样本方差加权之后的平均值, Df 是假设检验的自由度它等于样本总个数减2， t 统计量是两个样本差值减去假设平均差之后再除于标准误差的结果， P(T=t) 单尾是单尾检验的显著水平， t 单尾临界是单尾检验t 的临界值， P(T=t) 双尾是双尾检验的显著水平， t 双尾临界是双尾检验t 的临界值。 由下表的结果可以看出t 统计量均小于两个临界值，所以，在5%显著水平下，不能拒绝两个总体均值相等的假设，即两种装配方法所耗时间没有显著的不同。 Excel 中还提供了以下类似的假设检验的数据分析工具，它们的名称和作用如下：
统计检验的基本思想： 任何实验都是从提出问题和研究假设开始的，当研究假说涉及直接可观察的或有限的现象时，研究假说可以直接被证实或证伪，不需要通过统计推理。 然而，当研究涉及不可直接观察的现象或不能观察所有的事例时，即当研究假说不能通过直接观察，或通过观察总体的所有成员而直接被估价时，就需要通过统计推论间接地对它进行估价。 统计检验假说的宗旨是确定以事实支持的概率。由于研究假说是关于变量之间关系的一般的预测，能够加以检验的事例非常多，要为所有的事例一一取得支持是不可能的。实际上我们只可能在有限的事实基础上做结论。 在实验研究中，研究者常常不直接对研究假说加以证实，而是采取检验它的虚无形式，即检验虚无假说。 检验虚无假说的基本思想： 两种假说：H 0：μ1=μ2 H 1：μ1≠μ2 μ1与μ2 的较小差别可能是由机遇产生的，因而不是真正的差别。如果μ1与μ2差别较大，并且这种差别的出现大于一定概率时，我们可以通过推翻虚无假说，而间接接受备择假说。统计功效是指，在假设检验中，在拒绝原假设后，接受正确的替换假设的概率。我们知道，在假设检验中有α错误和β错误。α错误是弃真错误，β错误是纳伪错误。纳伪错误是指，拒绝原假设后，接受错误的替换假设的概率。由此可知，统计功效等于1－β。因为在统计推论中，既要控制α错误，又要控制β错误，满足双重控制条件下的样本量才是更有效的样本量。统计功效的大小取决于多种因素，包括：检验的类型、样本容量、α水平，以及抽样误差的状况。统计功效分析应是上面诸因素结合在一起的综合分析。 影响统计检验力的因素有： 1、n，样本数； 2、双侧检验还是单侧检验；将通常的双尾检验变成单尾假设检验可增加假设检验效能。 3、处理效应大小，处理效应越大，1-β越大； 4、显著性标准α。降低假设检验的α水平也将降低检验效能，从.05降到.01将降低假设检验的效能。 序列设计(sequential design)： 为了取长补短，把横断研究与纵向研究的优点结合起来，序列设计可以达到这一目的。 序列设计是通过选择不同年龄的被试并对其进行追踪。 例： 想研究6~12岁儿童逻辑推理能力的发展，可以从2002年开始测量一个6岁的样本（1996出生）和一个8岁的样本（1994年出生）的逻辑推理能力。接着在2004年和2006年再次测量两个群体的推理能力。
7.1 假设检验的基本思想与概念 教学目的：要求学生了解假设检验的基本思想，理解假设检验的基本概念，认识假设检验问题，熟悉假设检验的基本步骤。 教学重点：基本概念，假设检验的基本步骤. 教学难点：基本概念的理解. 7.1.1统计假设的概念 为了引入统计假设的概念，先请看例8-1。 例7-1味精厂用一台包装机自动包装味精，已知袋装味精的重量 ，机器正常时，其均值=0.5（0.5，0.015的单位都是公斤）。某日开工后随机抽取9袋袋装味精，其净重（公斤）为： 0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512 问这台包装机是否正常？ 此例随机抽样取得的9袋味精的重量都不正好是0.5公斤，这种实际重量和标准重量不完全一致的现象，在实际中是经常出现的。造成这种差异不外乎有两种原因：一是偶然因素的影响，二是条件因素的影响。 由于偶然因素而发生的（例如电网电压的波动、金属部件的不时伸缩、衡量仪器的误差而引起的）差异称为随机误差；由于条件因素（生产设备的缺陷、机械部件的过度损耗）而产生的差异称为条件误差。若只存在随机误差，我们就没有理由怀疑标准重量不是0.5公斤；如果我们有十足的理由断定标准重量已不是0.5公斤，那么造成这种现象的主要原因是条件误差，即包装机工作不正常，那么，怎样判断包装机工作是否正常呢？ 我们通过解例8-1 来找出解假设检验问题的思想方法。 解已知袋装味精重，假设现在包装机工作正常，即提出如下假设： ， 这是两个对立的假设，我们的任务就是要依据样本对这样的假设之一作出是否拒绝的判断。 由于样本均值是的一个很好的估计，故当为真时，应很
t检验计算公式： 当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量n<30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。 t检验是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。t检验分为单总体t检验和双总体t检验。 1.单总体t检验 单总体t检验是检验一个样本平均数与一已知的总体平均数的差异是否显著。当总体分布是正态分布，如总体标准差σ未知且样本容量n<30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。检验统计量为： t=X-μ σ X n-1 。 如果样本是属于大样本（n>30）也可写成： t=X-μ σ X n 。 在这里，t为样本平均数与总体平均数的离差统计量； X为样本平均数； μ为总体平均数； σ为样本标准差； X n为样本容量。 例：某校二年级学生期中英语考试成绩，其平均分数为73分，标准差为17分，期末考试后，随机抽取20人的英语成绩，其平均分数为79.2分。问二年级学生的英语成绩是否有显著性进步？ 检验步骤如下： 第一步建立原假设H∶μ=73 第二步计算t值 t=X-μ σ X n-1= 79.2-73 =1.63 17 19 第三步判断 因为，以0.05为显著性水平，df=n-1=19，查t值表，临界值t(19) 0.05 =2.093，而样本离差的t=1.63小与临界值2.093。所以，接受原假设，即进步不显著。
n - 1 n - 1 2.双总体 t 检验 双总体 t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显 著。双总体 t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用 于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据 的差异性，这两种情况组成的样本即为相关样本。二是独立样本平均数的显著性 检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非 相关样本被试所获得的数据的差异性。 现以相关检验为例，说明检验方法。因为独立样本平均数差异的显著性检验 完全类似，只不过 r = 0 。 相关样本的 t 检验公式为： t = X 1 - X 2 σ 2 + σ 2 - 2γσ σ X X X 1 2 1 X 2 。 在这里， X ， X 分别为两样本平均数； 1 2 σ 2 ， σ 2 分别为两样本方差； X 1 X 2 γ 为相关样本的相关系数。 例：在小学三年级学生中随机抽取 10 名学生，在学期初和学期末分别进行 了两次推理能力测验，成绩分别为 79.5 和 72 分，标准差分别为 9.124,9.940。 问两次测验成绩是否有显著地差异？ 检验步骤为： 第一步 建立原假设 H ∶ μ = μ 1 第二步 计算 t 值 2 t = X 1 - X 2 σ 2 + σ 2 - 2γσ σ X X X 1 2 1 X 2 = 79.5 - 71 9.1242 + 9.9402 - 2 ? 0.704 ? 9.124 ? 9.940 10 -1 =3.459。 第三步 判断 根据自由度 df = n - 1 = 9 ，查 t 值表 t (9) 0.05 = 2.262 ， t (9) 0.01 = 3.250 。由于实 际计算出来的 t =3.495>3.250= t (9) 0.01 ，则 P < 0.01，故拒绝原假设。 结论为：两次测验成绩有及其显著地差异。 由以上可以看出，对平均数差异显著性检验比较复杂，究竟使用 Z 检验还是 使用 t 检验必须根据具体情况而定，为了便于掌握各种情况下的 Z 检验或 t 检验，