(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 浅谈构造法在解题中的应用
内容摘要
数学思想方法在中学数学教学中有着十分关键的地位，在高中数学教学中，构造思想方法是一种极具创造性的数学思想方法，它充分渗透在其他的数学思想方法之中。
利用构造法解题可以更直观，更简单的解决比较复杂的数学问题。鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用上。具体来说，本文将重点阐述以下几个问题：构造法的理论简介及应用:如构造函数、构造向量、构造数列、构造方程、构造几何模型、构造递推关系式、构造等价命题等。
【关键词】数学解题构造法数学问题
Construction method in solving problems
Abstract
Mathematical way of thinking in mathematics teaching in secondary schools .mathematics teaching in can be more intuitive and easier to solve complicated mathematical problems.In view of this,This article focuses mainly in the construction method in solving problems.Specifically,this article focuses on the following issues:the definition of construction method,In Algebra: Construction expression and formula, structural equation, structural relationship, constructors, construction proposition, construction sequence, structural model, structural vector, etc.
【Key words】Mathematical problem solving Construction method Math problems
目录
一、引言...............................................................................................
二、构造法的理论简介.......................................................................
（一）构造法 ....................................................................................................
（二）构造法的历史过程 ...................................................................................
（三）构造法的特征..........................................................................................
三、构造法在解题中的应用...............................................................
（一）构造函数.................................................................................................
（二）构造向量.................................................................................................
（三）构造数列.................................................................................................
（四）构造方程.................................................................................................
（五）构造几何模型..........................................................................................
（六）构造递推关系式.......................................................................................
（七）构造等价命题..........................................................................................
四、结束语...........................................................................................参考文献：...........................................................................................致谢：...................................................................................................
浅谈构造法在解题中的应用
学生姓名：指导老师：
一、引言
数学思想方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在。历史上有不少数学家，如欧几里得，欧拉，高斯，拉格朗日等人，都曾用构造法解决过数学上的很多难题。
数学蕴含着丰富的美，构造法则起到了锦上添花的作用，近几年来，构造法在中学数学中也有了很高的地位。利用构造法解题需要有扎实的知识基础，较强的观察能力，创造思维和综合运用能力等。
构造法反映了数学发现的创造性思维特点，我们所学的“构造”并不是“胡思乱想”，不是随便“编造”出来的，而是以我们所学习掌握的知识为背景，以具备的扎实的能力为基础，通过仔细观察，认真分析去发现问题的每一个环节以及他们的联系，进而为寻求解题方法创造条件。在运用构造法解题的步骤中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、联想、猜测等数学能力，激发学生的创造性思维。所以在中学数学教学中，应注重对学生运用构造法解题的日常训练，使学生体会数学知识见的内在联系和相互的转化归结，能创造性的构造数学模型，巧妙地解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，体验成功的感觉，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的数学素养和能力。
二、构造法的理论简介
（一）构造法
所谓的构造法，就是根据问题的有关信息，确定某种特定的映射关系构想出数学模型，将问题转化为对数学模型的数理机制的研究，从而达到解题目的的一种化归方法。
构造法是解决各类数学题常用而且重要的方法之一，它在解决不同题目时的思考方式灵活。构造的形式不尽相同，如何系统的理解和掌握构造法及其构造的思路对数学学习就显得十分必要和重要。本文结合数学实际阐述了构造法在数学教学应用的重要性和必要性。
我们在解题过程中，出于某种需要，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得以实现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题得以解决。在这种思维过程中，对已有的知识和方法采取分解、组合、变换、类比限定、推广等手段进行思维的再创造，构造新的式子或图形来帮助解题的思想，我们称之为构造的思想。
构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在：构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性。
构造法的实质是一句某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的方法。它的具体解题过程可以用下面的框架来表示：
→→通过创造性思维构
对条件、结论及其
通过推演实现
相互关系进行分析造出相对应的模型转化得出结论
（二）构造法的历史过程
（1） 构造法与构造主义
从数学产生的那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关。直觉派处于对数学的可信性的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。”这就是构造主义。
（2）直觉数学阶段
直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了
能行性，主张没有能行性就不得不承认它的存在性。
他在数学工作中的立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。
（3）算法数学阶段
“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的问题
的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都丛数学中排除掉，只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想法。由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”的阶段。
（4）现代构造数学阶段
1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”
阶段。比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造法的活力。他研究的课题广及测度论、对偶理论、泛函微积。
（三）构造法的特征
运用构造法解决问题有以下特点：
（1）构造法是通过构造一个辅助问题而使原问题得到转化。
（2）构造法解决问题的步骤比较直观。
（3）构造法解决问题有非常大的灵活性．针对某一具体问题，怎样去进行构造。这与学生的数学基本功和解题经验都密切相关。
当我们遇到复杂的数学问题或实际问题而无从下手解决时，如果我们恰到好处的构造出一个数学模型来，便会有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。
三、构造法在解题中的应用
理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。
（一）构造函数
函数是高中数学教学的核心，是解决初等数学问题的根本出发点，利用函数的性质，将数学问题转化为函数问题来解，是一种常见、并且非常有效的做法。
例1：若，
证明：
x y a b y z b c x z a c
x y a b c r y z a b c r x z a b c r +++++++++
+>
+++++++++++++++
。
分析：这三个分式的结构类似，可以看作是函数在对应点处的值。所
以构造函数，显然在上单调递增，图象是双曲线，直线和是该双曲线的渐近线，利用函数的单调性有：
x y a b y z b c x y a b c r y z a b c r
+++++++>++++++++++x a b z b c x a z c x z a c x a b c r z a b c r x z a b c r x z a b c r x z a b c ++++++++++>+=+++++++++++++++++++++++
例2：解方程22(65)[1(65)4](14)0x x x x +?++++?++=
分析：通过观察方程可知方程的特点，并构造函数。
2()(14)(),()f t t t f t f t -=-?++=-∴ 为奇函数。由原方程可知，
22(65)(1(65)4)(14)x x x x +?+++=-?++
即，又有为单调递增函数，所以，原方程得解。
（二）构造向量
平面向量是高中数学教学中非常重要的教学工具，它不仅反映数量关系，而且体现位置关系，所以充分利用向量模型可以解决代数，几何以及三角等数学问题，实现数形之间的转化，其解题思路简单，尤其是对几何问题，效果相当显著。
例3：求函数的最大值。
解：构造向量a=(2,2),b=,于是()824f x a b a b =?≤=?=，
当且仅当，即，所以时，等号成立。
时，取得最大值4。
例4：已知为正数，求函数2222()y x a c x b =++-+的最小值。
解：构造向量，原函数则化为：
()()()222
2y a b a b x c x a b c a b =+≥+=
+-++=++
（三）构造数列 在解决许多数学问题尤其是不等式证明题中，通常可以构造一个数列，利用数列的性质（如单调性）和数列的求和运算来解题，很有实用价值。
例5：证明：()111111,2,3......1n n n n n +????+<+= ? ?+????
分析：此题若直接证明，比较有难度，如果构造数列
1211...1,1n n x x x x n
+====+=， 利用平均值不等式12
11121 (1)
n n n x x x x x x n ++++++≥+，所以11112111111
n n n n n n n ??++ ?+??+≤==++++，显然成立。 例6：求证 ()()222112 (1216)
n n n n +++=
++。 证明：构造数列()()222112...121,6n a n n n n n N =+++-++∈，所以只要证明即可。
（1）
（2）假设，则
()()()()()21111(1)122312166
k k k a a a k k k k k k k ++=-=+-
++++++ ()()()()()222211(1)127621166066k k k k k k k k k =+-+++--=+-++=
综上可知，原式对一切均成立。
（四）构造方程 方程是解数学题的一个重要工具，对于很多数学问题，根据其已知条件，数量关系构造出与结论相关的辅助方程，在已知与未知之间搭起桥梁，通过对辅助方程及方程的性质（比如求根、找根与系数的关系、找判别式）的研究，来解决原问题，使解答简洁、合理。
例7：已知为互不相等的实数，
试证()()()()()()
1bc ac ab a b a c b a b c c a c b ++=------ （1）
证明：构造方程
()()()()()()()()()()()()
1x b x c x a x c x a x b a b a c b a b c c a c b ------++=------ （2）
显然，为方程的三个互不相等的实根。
任意实数均满足（2）式，特别的，令，即得（1）式
例8：已知22260,260x x y y +-=+-=，求的值。
解：（1）当时，由有
所以，则
（2）当时，由已知条件构造辅助方程，那么就是该辅助方程的两个根，根据韦达定理可得：，所以.
（五）构造几何模型 如果原问题的已知条件中，数量关系有比较明显的几何意义或者是以某一种形式可以和几何图形建立联系，那么我们就可以通过几何作图来构造图形，在图形中展现已知条件和数量关系，然后在构造出的图形中找到原问题的结论。
构造几何模型，可以使题目更加直观。
例9：试证()22220m n mn n m m n -+->>>
分析：由隐含条件可知和的形式考虑到可以构造一个直角三角形，使,显然2222,0,,22AC m n m n mn n mn n =->>>>
222222222,22mn n n mn n n
m n mn n m n n m ∴->->∴-+->-+>
C
A B
例10：对于正数，若，求证
分析：这是一个不等式问题，我们很容易想到它的代数式解法，即由等式
()()()()3k a m b n c p abc mnp k an bp cm =+++=++++来证明。
但是另外一种方法更加简单，结论非常直观——构造图形来解答。
构造边长为的正方形，且令 ,,,,,DF a DG AH n AG BH b BE p CE c CF m ========； 并作出相应的矩形（1）（2）（3），由，就有了。
D F C
G
E
A H B
H
（六）构造递推关系式 根据函数方程和递推关系式之间的关系，根据已知条件、各种公式定理以及相应的运算法则，构造一个递推关系式，能产生意想不到的效果。 例11：设是方程的两根，试求的值。
分析：令，由，可知
()()()()()()22111212121212231n n n n n n F n x x x x x x x x x x F n F n +++++=+=++-+=-+-
重复迭代，就可算出任意的值，这里，
()()()()()()()771213,27,318,447,5123,
6322,7843
843
F F F F F F F x x =-==-==-==-∴+=-
（七）构造等价命题
命题的表达方式大多抽象复杂，如果直接论证比较困难时，可以构造一个表达方式较为通俗明了，而且和原命题等价的新命题（比如构造原命题的逆否命题），这样就达到了很好的效果。
例12：设是两个实数, (){},|,,A x y x n y na b b Z ===+∈ ，(){}2,|,315,,B x y x m y m m Z ===+∈
是坐标平面内的点集，那么是否存在实数使得同时成立。
分析：由可知存在整数，使得，由则，
所以原命题等价于新命题：讨论关于的方程组是否有实数解。
所以不存在实数使得原命题中（1）（2）同时成立。
四、结束语
对于构造法在解题中的应用，除了以上所列举的这些以外，我们还需要加强这方面的补充和完善，对其进行深入和广泛的研究，将构造法应用于更多的数学题中。数学的发展离不开大胆的创新与严谨的探索，只有这样，才能为迅速发展的数学和其他学科领域提供更好的帮助和服务。
参考文献：
[1]高桐乐数学解题中的基本模型构造（第二版） 1989（11）.
[2]闵嗣鹤严士健初等数论2003.
[3]张同君陈传理竞赛数学解题研究[M].高等教育出版社 2005.11
[4]陈自强数学解题思维方法导引[M].中南工业大学出版社 1995.6
[5]王子兴数学教学论[M].广西师范大学出版社 1992.1
[6]侯敏义数学思维数学方法论东北师范大学出版社.1991
致谢：
经过一个阶段的努力，本次毕业论文即将接近尾声。论文
写作是一个系统再学习的过程，在知识与思想上，都使我受益匪浅。在写作中，我也遇到了一些困难，感谢指导老师以及同学们的支持与帮助。
在本次论文中，从论文题目到开题报告，从写作初稿到完成定稿，我的指导老师对各个环节给予细心的指引与教导。杨老师以她渊博的专业知识，严谨的工作作风，认真负责的态度一直感染着我，也是我学习的榜样。在此，请接受我诚挚的谢意！
还要感谢在大学期间的所有老师，为我的数学专业知识打下基础。
最后，感谢数学系以及师范大学对我的栽培！