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北京市丰台区2009年高三统一练习(一)数学(文科)2009年3月

2009年高三统一练习（一）数学（文科）2009年3月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项。 1.函数)5

2sin(π

-=x y 的最小正周期是

（A ）

（B ） π

（C ）2π （D ） 4π

2. 已知全集R U =，集合{}22≤≤-=y y A ，集合{}x y y B 2==，那么集合)(B C A U 等于（A ）{}02≤≤-y y （B ）{}20≤≤y y （C ）{}2-≥y y （D ）{}0≤y y

3. 已知直线m ?平面α ，直线n ?平面α ，“直线c ⊥m ，直线c ⊥n ”是“直线c ⊥平面α”的

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4. 函数)8131

(log 3≤≤=x x y 的反函数的定义域为

（A ）),0(+∞ （B ）)81,3

(

（C ）)4,1( （D ）)4,1(- 5. 以双曲线13

y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是

（A ）2)2(22=-+y x (B ) 4)2(22=+-y x

(C ) 4)2(22=-+y x (D ) 2)2(22=+-y x

6. 若向量a → ,b → 的夹角为120°，│a → │＝│a → │＝2，则a → ·（a → －b →

）等于

（A ）324+ （B ）2 （C ） 324- （D ）6

7. 北京奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员，两队之间共需进行五场比赛，其中一场

双打，四场单打，每名队员都需比赛两场（双打需两名队员同时上场比赛），要求双打比赛必须在第三场进行，若打满五场，则三名队员不同的出赛顺序安排共有（A ）144 （B ）72 （C ）36 （D ）18

8. 已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a ·)(x g （0,0≠>a a ）；②)(x g 0≠；若

1()1()

1()1(=

--+

g f g f ，则a 等于

（A ）21 （B ）2 （C ）

5 （D ）2或

丰台区2008年高三统一练习（一）

数

学（文科）

第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：

1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号

二

三

总分

16 17 18 19 20 分数

得分评卷人二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中

横线上。

9.不等式021>-x

的解集是。

10. 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是。

11. 设=∈++++=+S N n S n 则),(3931*2 。 12. 在长方体1111D C B A ABCD -中，10,13,511===AB AD AC ，则长方体的对角线长

为。

13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 顶点C B ,分别为椭圆

112

的两个焦点，顶点

A 在该椭圆上，则

B sin sin sin +＝。

14. 对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。函数2+=x y 的

零点是；若函数)(x f y =和)(x g 均是定义在R 上的连续函数，且部分函数值分别由下表给出：

则

1 2 3 4

)(x f

－1

)(x g

A 1

N B

当x= 时，函数))((x g f 在区间)1,(+x x 上必有零点。

三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。得分评卷人 15. （本小题共13分）

已知函数.cos )4

2cos(21)(x

x x f π

（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间)2

,4[π

π-上的最值。

得分评卷人 16. （本小题共13分）

已知数列{}n a 中，2

11=

a ，点（1，0）在函数x a x

a x f n n 12

1)(+-=

的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；

（Ⅱ）设122log -=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。得分评卷人 17. （本小题共14分）

如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2,41==AB AA ,M 是AC 的中点，点N 在1AA 上，

AN 。

（Ⅰ）求111A ACC BC 与侧面所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C BM C --1的正切值；(Ⅲ) 证明1BC MN ⊥.

得分评卷人 18. （本小题共14分）

某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，

2的学生选修过《几何证明选讲》，

1的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互

之间没有影响。

(Ⅰ)任选一名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率； (Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。

已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示。 (Ⅰ)求d c ,的值；

(Ⅱ)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；

（Ⅲ）若0x =5，方程a x f 8)(=有三个不同的根，求实数a 的取值范围。得分评卷人 20. （本小题共14分）

已知21,F F 分别为椭圆

的左、右焦点，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动

直线2l 垂直于直线1l ，垂足为D ，线段2DF 的垂直平分线交2l 于点M 。 (Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)过点1F 作直线交曲线C 于两个不同的点P 和Q ，设F 1P → ＝λF 1Q → ，若λ∈[2，3]，求F 2P → ?F 2Q →

的取值范围。

得分评卷人 19. （本小题共13分）

丰台区2009年高三统一练习（一）数学（文）参考答案与评分标准

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 9．)21

,0( 10. 604

x 11.

-+n 12.14 13. 2 14. -2；1

三、解答题：本大题共6个小题，共80分。 15. （本小题共13分）

已知函数.cos )4

2cos(21)(x

x x f π

（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间)2

,4[π

π-

上的最值。

解：（Ⅰ）由题意 0cos ≠x ? Z k k x ∈+≠

ππ

所求定义域为 {Z k k x x ∈+≠

|ππ

} …………4分

（Ⅱ）x

x x

x x f cos 2sin 2cos 1cos )4

2cos(21)(++=

x x x cos cos sin 2cos

x x sin 2cos 2+=)4

sin(22π

=x …………9分由)2

,4[π

π-

∈x 知 )43,

0[4

ππ

∈+

x ，

A 1

N B

所以当4

x 时，)(x f 取得最大值为22； …………11分

当4

-=x 时，)(x f 取得最小值为0 。 …………13分

16. （本小题共13分）

已知数列{}n a 中，2

11=

a ，点（1，0）在函数x a x

a x f n n 12

1)(+-=

的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；

（Ⅱ）设122log -=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。解：(Ⅰ)由已知 n n a a f 2

10)1(1=

?=+ 又 02

11≠=

a …………3分

所以数列{}n a 是公比为

1的等比数列所以 n

n a 2

…………6分

（Ⅱ）由 n a b n n 21log 122-==- …………9分所以 2)21()5()3()1(n n T n -=-++-+-+-= …………13分 17. （本小题共14分）

如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2,41==AB AA ,M 是AC 的中点，点N 在1AA 上，

AN 。

（Ⅰ）求111A ACC BC 与侧面所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C BM C --1的正切值； (Ⅲ) 证明1BC MN ⊥.

解：（Ⅰ）在正三棱柱111C B A ABC -中， ABC CC 平面⊥1

∴BM CC ⊥1

又 M 是正△ABC AC 边的中点，∴AC BM ⊥

C AC CC = 1∴11A ACC BM 平面⊥ …………3分 ∴∠M BC 1为111A ACC BC 与侧面所成角

又 52,31==

BC BM ∴sin ∠M BC 1=

15 …………5分

所以111A ACC BC 与侧面所成角为10

15arcsin

（17

51arctan

）

（Ⅱ）由已知得 BM M C BM CM ABC CC ⊥⊥⊥11,,所以又底面

∠MC C 1为二面角C BM C --1的平面角，所以 4tan 1=∠MC C …………9分 (Ⅲ)证明: 依题意得 4

17=

MN ，171=M C ，4

171=

N C

因为 2

N C M

C MN

=+ ∴⊥MN M C 1 …………11分

又由（Ⅰ）中11A ACC BM 平面⊥ 知MN BM ⊥，且M C 1M BM = ，

∴M BC MN 1平面⊥ 1BC MN ⊥ …………14分 18. （本小题共13分）

某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，

2的学生选修过《几何证明选讲》，

1的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间

没有影响。

(Ⅰ)任选1名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率； (Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A ，

参加过《数学史》的选修为事件B ，该生没有选修过任何一个模块的概率为P ，则12

1)4132(

1)(1=

+-=+-=B A P P

所以该生没有选修过任何一个模块的概率为12

1 …………6分

(Ⅱ)至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为

16)32(31

2(4

443

=+=C C W 所以至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为27

16 …………13分

19. （本小题共13分）

已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示。 (Ⅰ)求d c ,的值；

(Ⅱ)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；

（Ⅲ）若0x =5，方程a x f 8)(=有三个不同的根，求实数a 的取值范围。解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++=

(Ⅰ)由图可知函数)(x f 的图像过点（0，3），且0)1('=f

得 ?

??==???

?=--++=03

23233

c d b a c b a d …………3分 (Ⅱ)依题意 3)2('-=f 且5)2(=f

?=+--+-=--+5

34348323412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a

所以396)(23++-=x x x x f …………8分（Ⅲ）依题意 b a bx ax x f a x b a bx ax x f 2323)()0(3)23()(2'23--+=>++-+= 由 a b f 90)5('-=?= ① 若方程a x f 8)(=有三个不同的根，当且仅当满足 )1(8)5(f a f << ② 由 ① ② 得 311

1378325<

+<<+-a a a a

所以当

311

20. （本小题共14分）已知21,F F 分别为椭圆

的左、右焦点，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，

动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为D ，线段2DF 的垂直平分线交2l 于点M 。 (Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)过点1F 作直线交曲线C 于两个不同的点P 和Q ，设F 1P → ＝λF 1Q → ，若λ∈[2，3]，求F 2P →

?F 2Q →

的取值范围。

解：(Ⅰ)设M ),(y x ，则),1(y D -，由中垂线的性质知2MF MD =

∴|1+x |=22)1(y x +- 化简得C 的方程为x y 42= …………3分