5-2 简支梁承受均布荷载如图,若分别采用截面面积相等的实心圆和空心圆截面,且21
2
340,5
d D mm D ==,试分
别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分之几?
(c)
(b)
q=2kN/m
题5-2图
=1
M kN ·m)
q l /8
+
2
(d)
解:(1)荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过圆心C 与载荷垂直,沿水平方向。
(2弯矩图如图(b )所示:max 1(M =?kN m) (3)求最大应力 实心圆截面:3max max
311015910.0432z
M W σπ?===??Pa MPa 。
空心圆截面:3max max
3411093.6710.04(10.6)32
z
M W σπ?===??-Pa MPa
故:空心截面比实心截面的最大正应力减少了
15093.67
150
-?100%=41%。
5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面,载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图,并求轴的最大正应力。
题5-2图
+
M (kN·m )
-0.03
0.9
解:(1)荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。约束反力如图所示。 (2)弯矩图如图(b )所示: 1.34(0.9(C B M M =?=?kN m)kN m) (3)求最大应力
实心圆截面:3,max ,max
31.341063.21
0.0632
C C z
M W σπ?=
==??Pa MPa 。 空心圆截面:()3max ,max
4311062.4510.06[145/60]32
B z
M W σπ?===??-Pa MPa
5-8 压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢,380MPa s σ=,取安全因素n=1.5。试校核压板的强度。
题5-8图
0.308
题5-8图
M (kN·m )
+
F 1
解: (1)外力分析。压板可以简化为图示外伸梁,荷载与轴线垂直,发生平面弯曲变形,中性轴是水平上下对称轴。
(2)内力分析,判危险面。弯矩图如图所示。
m-m 15.40.020.308(M -=?=?kN m)
(3)应力分析,判危险点:
m-m 截面具有最大正弯矩,上下边缘点都是正应力强度的危险点。 (4)正应力强度校核:
[]380
2531.5
σ=
=MPa []3max max
330.38100.02253120.03[0.020.012]12
z M W σσ?==?=<=??-Pa 197.45MPa MPa
故,正应力强度足够。
5-11 图示为一承受纯弯曲的铸铁梁,其截面为⊥形,材料的许用拉伸和压缩许用应力之比[][]
14
t c σσ=。试求水
平翼板的合理宽度b 。
(a)
解:(1)以对称轴为y 轴建立图示坐标,z C =0
1122+603034030(603402)3039100
=mm 6034030170
C A y A y b b y A b b ?+??++=
=+?+/
(2)根据弯曲正应力强度可知,对于T
形截面铸铁梁,中性轴应该偏向于受拉边缘。
[][][]max max max max max max 180(400)4(400)4303910080=510170
C t z
C C C C c t z M y I y y M y y I b b b σσσσσσσ+
+
-
-?=?≤??→==→=?-?=-≤=??
+→=→+mm
5-12 ⊥形截面铸铁悬臂梁,尺寸及荷载如图所示。若材料的许用拉伸应力[]40t σ=MPa ,许用压缩应力
[]160c σ=MPa 。截面形心轴z C 的惯性矩I zC =10180cm 4
,4110180,9.64C
z I h ==cm cm 。试计算该梁的许可荷载F 。
0.8F
0.6F
-
+
M 图
题5-12图
[][]6,max max 46
,max max 4:
0.80.0964
1052.8kN 10180100.80.2500.09641610132.55kN 1018010
A A t z A A C z A M F y F I M F y F I σσσσ+--
-?=
?=-≤?→≤??=
?=≤=?→≤?下上截面(-)Pa =40Pa 0Pa
[][]6,max max 46
,max max 4:
0.60.0964
1610281kN 10180100.60.2500.09641044.3kN 1018010
C C C z C C t z c M F y F I M F y F I σσσσ--+
-?=
?=-≤=?→≤??=
?=≤?→≤?下上截面(-)Pa 0Pa =40Pa
5-17 试计算图示矩形截面简支梁的1-1截面上a 、b 的正应力和切应力。
题5-17图
F Q (kN )
-
M (kN·m )
4.36
+
F =4.36kN
+
3.64
4.36
31a a 331311:
3.46100.035 6.10.0750.1512
3.46100.00612.9410.0750.1512
z b b z
M y I M y I σσ-??=?=-=-????=?==??截面Pa 04MPa Pa MPa
*
3,a 33.64100.0750.040(0.075-0.02)
0.381
0.0750.150.07512
S z z b F S I b
ττ????=
==????=a
Pa MPa
5-18 试计算在均布荷载作用下,圆形截面简支梁内的最大正应力和最大切应力,并指出它们于何处。
1.25
q =10kN/m
M kN ·m)
(d)
+
+
Fs kN)
(c )
5
题5-18图
-
(b )
5
3max max
31.2510101.910.0532
z
M W σπ?===??Pa MPa
*
3,max 244510 3.43A 30.054
S z S z F S F I b
τπ???=
===???半
Pa MPa
5-19 试计算工字形截面梁内的最大正应力和最大切应力。
题5-19图
M kN ·m)
(d)
-+
10(b )
Fs kN)
(a)
-15
-5
+
20
3max max
6
2010141.5914110
z M W σ-?===?Pa MPa *3
,max -2-3x x 151018.1(/)d 13.810(610)
S z S z F S F I b
I S τ??=
===?????半
Pa MPa
5-21 图示起重机行走在由两根工字钢所组成的简支梁上,起重机的重量及其起吊重量如图示。设全部荷载平均分配在两根工字钢梁上,材料的容许应力[][]160100στ==MP MP a ,a 。试按正应力强度条件选择工字钢型号,然后再按切应力强度条件进行校核。
2
10+6
x
40-6x
50-6x Fs kN)
(c)
+
-M kN (d)
题5-21图
解:(1)外力分析
①研究小车,可求得工字钢施与其约束反力,如图所示。
②研究工字梁,由作用力和反作用力定律知钢所受小车施与其的反作用力。荷载与梁轴垂直,梁将发生平面弯曲。中性轴z 过形心与载荷垂直,沿水平方向。
(2)内力分析,判危险面,弯矩图、剪力图如图所示,
最大弯矩只可能出现在C 、D 两横截面上,正应力强度的危险面是C 、D 截面;当x =8m 时,,max 58s F =kN 是剪应力强度的危险面。
因为:2
2
max (506)5065025252550120506()104.16712666
C C
C M x x x x dM x x m M dx =-=-=-=→===?-?=?,当时,kN m 而且:
2
2max (106)(102)80386381919193812080386()140.16712666D D D M x x x x dM x x m M dx =+--=+-=+-=→===+?-?=?,当时,kN m
故:max 140.167D M =?,kN m ,,max 58s F =kN
(3)应力分析,判危险点。由于C 、D 截面关于中性轴z 对称,故C 、D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, 当x =8m 时梁横截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。
(4)由正应力强度条件,选择工字钢型号。
[]
3max
3336
140.1671020.8760410438.0216010
z z M W W σ-?≥
==?→≥?m cm 查表选择NO.28a 工字钢的3
508z W =cm 略大于所需的3
438.02z W =mm 。 (5)由剪应力强度条件,校核所选择工字钢型号。 查表得No.28a 的:24.6z
z I S =cm =0.246m,
b =d =1=8.5mm =0.0085m
[]3
,max
,5810/22213.8680.2460.0085s s
z z
z z F F S Pa MPa I I b b S ττ**??====??半半
故采用两根No.28a 工字钢。
5-27 某一跨度为l =8m 的简支梁,在跨度中央受集中力P=80作用。该梁如图示由两根36a 工字钢铆接而成。铆钉直径d=20mm,铆钉间距s=150mm 。铆钉的容许剪应力[]60τ=MP a ,钢梁的容许正应力[]160σ=MP a 。(1)试校核铆钉的强度。(2)当P 值及作用于梁跨中央的条件不变时,试确定简支梁的容许跨度[l ]。
F s
kN)
-+
40
题5-27
20l
M k N ·m)
(b)
(c)
(d )
+
解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心载荷垂直,上下对称水平方向。 查表得No.36a 的:
76.480,15800,360x A I h ===24cm cm 高mm,腿宽b=136mm
两根工字钢组合梁的截面几何性质:
842
4*43,0.3622[158001076.48010()]8.11590410,
420.360(76.48010) 1.376641022
z x z h I I A h S A -----??=+?=??+??=? ??
?=?=??=?2
43半
m m b=0.136m
(2)内力分析,判危险面。弯矩图如图(c) 、(d)所示,正应力强度的危险面是跨中横截面,梁各横截面均为剪应力强度的危险面。
,max 20,40D s M l F =?=kN m kN
(3)应力分析,判危险点:由于截面关于中性轴z 对称,故跨中截面的上下边缘点是正应力强度危险点,梁中性层上各点为剪应力强度危险点。
(4)按剪应力强度条件校核铆钉强度: 1)求中性层上各点的剪应力
33,max ,max 4
4010 1.37664100.4988978.115904100.136
s z z F S Pa MPa I b
τ*--????=
==???半
2)求中性层上的剪力F s 中
6max 0.498897100.1368542.7999F bl N kN τ==???=s,中
3)求每个铆钉的剪应力τ铆 梁共有8
0.150
n =
个,由于铆钉间距s 相等,切前后对称布置, 每个铆钉的剪力相等,设每个的剪力在其横截面内均匀分布,故每个铆钉的名义剪应力τ铆为:
32
2
542.799910Pa 16.198MPa <[]=60MPa 28/0.1500.024
4
F n d ττπ
π
?=
=
=?
??
?s 中铆
(5)由正应力强度条件确定简支梁的容许跨度[l ]
[]36max ,max
4
:
20100.3601018.035m 8.11590410z M l y l I σσ-??=?=≤?→≤?跨中跨中跨中截面Pa =160Pa 故,简支梁的容许跨度[l ] =18m
补充1:图示矩形截面梁受集中力作用,试计算1-1横截面上a 、b 、c 、d 四点的正应力。
(kN )
(a)
(b)
(e)
(d)
10
10
(b)
180
(a)2a
B
q
A
l
a
z
F S 图
(c)
.5
M kN q l /8
+
2
M kN ·m)
题补充1
解:(1)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。
(2)内力分析,弯矩图如图(b )所示,1-1横截面的弯矩为:
1115230(M -=-?=-?kN m)
(3)应力分析,梁上边有弯矩图,上侧纤维受拉。1-1横截面上的a 点处于拉伸区,正应力为正;c 点处于中性层上,正应力为零;b 、d 两点处于压缩区,正应力为负。
3
111111max 2301011.1110.1800.36
a a z z z
M M M y y I I W σ---?=?=?===??Pa MPa 。
11.11b a σσ=-=-MPa 0c σ=
3
1133010(0.1500.050)7.4110.1800.312
d d z
M y I σ-?=-?=-?-=-??Pa MPa
补充2:试计算图示矩形截面简支梁的1-1截面上a 、b 、c 三点的剪应力。 解:(1)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。
(2)内力分析,剪力图如图(b )所示,1-1横截面的剪力为:
11 3.2(S F -=kN)
(3)应力分析, 1-1横截面上的a 点既有正应力,也有剪应力;c 点处于中性层上,剪应力最大;b 为边缘点,剪应力为零。
()3
*
11,33.2100.040.080(0.080.02)0.2811
0.0800.1600.08012
S z a
a z F S I b
τ-????-?=
==????Pa MPa 。
3
33 3.2100.375220.080.160
S c F A τ??===??Pa MPa
0b τ=
+
-
32
100
160
3.2
+
-4.8
F S kN)
(b )
+
20
F S kN)
题补充2图
题补充3图
补充3:图示外伸梁,截面为工字钢28a 。试求横截面上的最大剪应力。
解:(1
)外力分析,判变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。
(2)内力分析,判危险面。剪力图如图(b )所示,危险面在AC 段。
max 160(S F =kN)
(3)应力分析, AC 段中性层上各点剪应力最大。 查表工字钢N O.28a t 得:*
*24.6,8.5x
z z x
I I cm b d mm S S ====
补充4: 外伸梁ACD 的荷载、截面形状和尺寸如图所示,试绘制出梁的剪力图和弯矩图,并计算梁内横截面上的最大正应力和最大剪应力。
(b )
20
20
1003+
(d)
(c)
+
-8
F S kN)
题补充4图
3
,max 23,1601076.524.610(8.510)
S z S
z z z F S F I I b b S τ*--*??=
=
==?????半
半Pa MPa
解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。
求截面惯性矩:
32324541220200(10082)2020012110020(8210)10020 3.9691012z I -??
=???+-????
??
??
+??+-??=?????
mm m
*
4(20082)
220(20082) 2.785102
z S --=??-?
=?33m m m (2)内力分析,判危险面。弯矩图、剪力图如图(b)所示。
max max max 886S S C B C F F M M M M +-+====?==?-+
kN
kN m
kN m ,
因为,截面不关于中性轴对称,具有最大正负弯矩的截面都是正应力强度的危险面,即B 、C 两截面均为正
是正应力强度的危险面。C 的右截面是剪应力强度的危险面。
(3)应力分析,求最大正应力和最大剪应力
B 截面具有最大正弯矩,上压下拉;
C 截面具有最大负弯矩,上拉下压,86C
B M M =?>=?-+
kN m kN m ,
故C 截面的上边缘具有最大的拉应力;最大的压应力可能出现在B 截面的上边缘或C 截面的下边缘。最大剪
应力出现在C 的右截面的中性轴上。
3,max
max 53,max
max 5
:
810(0.20.082)3.969108100.0823.96910
C C z C C z C M y I M y I σσ
+
--
-??-=?==???=?==?上上截面Pa 23.78MPa Pa 16.52MPa 3,max
max 5
:
610(0.20.082)3.96910
C B z B M y I σ
-
-??-=?==?上截面Pa 17.84MPa 故,
,max C σ+=23.78MPa ,max σ-=17.84MPa 。 ()*3
4
5
810 2.78510 1.403.9691020.020
S z
C C z F S I b
τ++
--????=
=
=????Pa MPa
补充5:铸铁梁的荷载及横截面尺寸旭图所示。材料的容许拉应力[]40t σ=MP a ,容许压应力
[]100c σ=MP a 。试校核梁的正应力强度。已知横截面形心距截面下边缘157.5mm 。
+
(d)
20
20
-
-
M kN ·m)
+
10
10(c)
(a)10(b)
F S kN)
题补充5图
解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。
①求截面惯性矩:
3232454130200(72.515)2003012120030(157.5100)30200 6.0131012z I -??=??+-????
??
??
+??+-??=?????
mm m
②求支反力()01030()0B D B
D M F F M ?==??→??
==???∑∑kN kN F F (2)内力分析,判危险面。弯矩图、剪力图如图(b)所示。
m)kN ?==-(20max B M M ,max 10(E M M +
==?kN m)。
(3)应力分析,判危险点:
B 截面具有最大负弯矩,上拉下压,-
+
正应力强度的危险点。 E 截面具有最大正弯矩,上压下拉,,max ,max E E σσ-+ <,下边缘点是危险点。 (4)正应力强度校核:由于拉压强度不同,必须同时考虑B 、E 这两个具有最大正负弯矩的截面。 []3,max max 54 : 20100.0725 406.01310B B t z B M y I σ σ+ -??=?==<=?上截面Pa 24.11MPa MPa m []3,max max 5 20100.1575 52.391006.01310 B B c z M y I σσ- -??=?==<=?下Pa MPa MPa []3,max max 5 : 10100.1575 406.01310 E E t z E M y I σ σ+ -??=?==<=?下截面Pa 26.19MPa MPa 故,正应力强度足够。 补充6:图示简支梁,其横截面尺寸如图b 所示,40.625c y =mm 。若梁材料的容许拉应力[]160t σ=MP a ,容许压应力[]80c σ=MP a 。试计算梁的容许均布荷载集度[]q 。 (c) (b) q + M N ·m) 3.125q 解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。 ①求截面惯性矩: 3232464 112512125(109.375)1212512212510025(40.625)251007.35610122z I -?? =??+-???? ?? ?? +??+-??=????? mm m (2)内力分析,判危险面。弯矩图如图(b)所示,危险面是跨中横截面。 2max 125 88 M ql q == (3)应力分析,判危险点: 跨中横截面具有最正负弯矩,上压下拉,max max σσ+ ->,由于[][]16080t c σσ==MP MP a>a ,故上下边 缘点都是正应力强度的危险点。 (4)正应力强度校核: [][]6max max 6 6max max 62580.109375160107.35610 3.44325 4.63580.04062580107.35610B t z B c z q M y I q q q M y I σσσσ+---? ?=?=?<=???=?? →??=???=?=?<=???? 下上kN/m kN/m 故,梁的容许均布荷载集度[]min(3.443,4.635) 3.443q ==kN/m 补充7: 图示梁由两根槽钢组成。钢的容许应力[][]160100στ==MP MP a ,a ,试选择梁的槽钢型号。 题补充6图 (d ) M k N ·m) 114 + (b) 2020 56 (c) + - F S k N) 题补充7图 解: (1)外力分析,荷载与轴线垂直,发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心C 与载荷垂直,沿水平方向。 (2)内力分析,判危险面。弯矩图如图(c) 、(d)所示,正应力强度的危险面是跨中横截面,剪应力强度的危险面靠近支座。 max 114,56D S M F =?=kN m kN (3)应力分析,判危险点:由于截面关于中性轴z 对称,故D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, A 的右截面、B 的左截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。 (4)由正应力强度条件,选择槽钢型号 [][]3max 333max ,max 6 1141020.712510356.25216010 D z z z M M W W W σσσ-?=≤→≥==?→≥?m cm 查表选择NO.28b 工字钢的3 366z W =cm 略大于所需的。 (5)由剪应力强度条件,校核所选择工字钢型号 查表得No.28b 的: 5130,280x I h ==4cm 高mm,腰厚d =9.5mm,平均腿厚t =12.5mm,腿宽b=84mm 故:由两根槽钢组合梁的截面几何性质: * ,43 25130210260, 2()/2(/22 2 0.280.2820.084()/2(0.0840.0095/2 4.35310m 22z x z I I h h S b b -==?=??=??--? ?? ? ?? =??--?=? ??? 42 2 半22cm d)( -t))(-0.0125) []34 max ,max 8 5610 4.3531012.5102601020.0095 S z z F S Pa MPa I b ττ* --????= ==???半 第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时,梁横截面上产生的应力为( ) A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁,其对圆心的极惯性矩I p = ;截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ;截面的抗扭截面系数W p = ;截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ,式中ρ 表示梁中性层的曲率半径,M 表示梁横截面上的 ,I z 表示梁横截面的 ,EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时,梁纯弯曲时,横截面上的正应力沿高度方向呈 分布,横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设,梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维,这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 ~ 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示,q =30kN/m ,a =3m ,50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3,大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ,试校核梁的强度。 ' 2、如图所示矩形截面悬臂梁,外载荷F =3kN ,梁长l =300mm ,其高宽比为h /b =3,材料的许用应力[σ]=160Mpa ,试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1 3、如图所示的简支梁,梁横截面为圆形,直径D =25mm ,P =60N ,m =180N ?m, a =2m ,圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ,试校核梁的强度。 { 4、如图所示悬臂梁,外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形,自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图(b )两种方式搁置,试求图(a )情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图(b )情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax )。图中力的单位为(N ),尺寸单位为(mm )。 ( (a) 】 5、如图一单梁吊车,其跨度l =10m ,吊车大梁由45a 号工字钢制成,45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3,大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ,电葫芦自重G =15kN ,最大起重量Q=55kN ,试校核大梁的强度。(大梁自重暂不考虑。) 图5.3.2 图 5.3.3 图 5.3.4 图5.3.5 第五章 弯曲应力 §5.1 纯弯曲 §5.2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施 §5.1 纯弯曲 1.?? ?===----σ τ,0,,0,const M F M F S S 纯弯曲横力弯曲弯曲 2.观察变形 以矩形截面梁为例 (1)变形前的直线aa 、bb 变形后 成为曲线a a ''、b b '',变形前的mm ,nn 变形后仍为直线m m ''、n m '',然而却相对转过了一个角度,且仍与a a ''、b b ''曲线相垂直。 (2)平面假设 根据实验结果,可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面,且仍垂直于变形后的梁轴线,这就是弯曲变形的平面假设。 (3)设想 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压, 只发生伸长和缩短变形。显然,凸边一侧的纤维发生伸长,凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短,连续变化,中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。 (4)中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴,由于整体变形的对称性,中性轴由与纵向对称面垂直。P139 note :可以证明,中性轴为形心主轴。 §5.2 纯弯曲时的正应力 1.正应力分布规律: ①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 (1)变形几何关系 取d x 微段来研究,竖直对称轴为y 轴,中性轴为z 轴,距中性层为y 的任一纤维b b ''的线应变。 ()ρ θ ρθρθρεy y = -+= d d d (a ) (2)物理关系 因为纵向纤维之间无正应和,每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩,当应力小于比例极限时,由胡克定律 ε=σE ρ =σy E (b ) 此式表明:任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上,任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度,正应力按直线规律变化。 (3)静力关系 横截面上的微内力σd A 组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力 e 第五章 弯曲应力 5.1 纯弯曲 一、纯弯曲和横力弯曲 1. 纯弯曲BC 段:Q =0,M =常数。 特点:弯曲后的轴线为圆弧线。 2、横力弯曲AB 、CD :Q ≠0,M ≠0。 特点:弯曲后的轴线为非圆弧线。 F s 二、弯曲变形假设 1. 平面假设: 变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面,且垂直于变形后的轴线,只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。 2. 纵向纤维间无正应力。 三、中性层和中性轴 1. 中性层:由于变形的连续性,各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的,因而其间必定存在一层既不伸长,又不缩短的纤维,这一层称为中性层。 2. 中性轴:中性层与横截面的交线称为中性轴。 5.2 纯弯曲时的正应力 一、变形几何关系 ()ρ θ ρθ ρθρεy d d d y = -+= 二、 物理关系 当应力小于比例极限,由胡克定律: ρ εσy E E == 任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。 三、静力关系 横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。该力系可简化为 ?= A dA N σ, ? = A y dA z M σ, ? = A z dA y M σ 根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ,而0=N 、0=y M ,即 0=?= A dA N σ 0=? = A y dA z M σ ? = A z M dA y M =σ 由0=?=A dA N σ可知中性轴必须通过截面形心。 由0== ?? A A y dA zy E dA z M ρ σ=可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。 由M dA y E dA M A A z ==??ρ σ2 y =可得? A dA y M E 2= ρ 令?=A z I dA y 2--对z 轴的惯性矩 y I M y E E z = ==ρ εσ 5.3 横力弯曲时的正应力 一、正应力近似计算公式 y I M z = σ (误差不大,满足工程所需精度) 二、惯性矩计算 1. ? = A dA y 2Z I 若横截面是高为h,宽为b 的矩形,12 I 3 Z bh =; 若横截面是直径为D 的圆形,64 I 4 Z D π= 2. 平行移轴公式 A 2ZC Z b I I += 例题 1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成,其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。 第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲:梁横截面上的剪力为零,弯矩为常量,这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲:梁横截面上同时有剪力和弯矩,且弯矩为横截面位置x 的函数,这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法: 1. 观察表面变形情况,作出平面假设,由此导出变形的几何方程; 2. 在线弹性范围内,利用胡克定律,得到正应力的分布规律; 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层:梁变形时,其中间有一层纵向线段的长度不变,这一层称为中性层。 中性轴:中性层和横截面的交线称为中性轴,梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的,在线弹性范围内,中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率,平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中:()x ρ为变形后中性层的曲率半径,()M x 为弯矩,z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比,试中M 和y 均取其绝对值,可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力,为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数,对于矩形、圆形和弯环截面等,z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围: 1)在线弹性范围内()p σσ≤,在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时,平面假设成立,公式为精确公式。横力弯曲时,平面假设不成立,公 第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用,则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 ( × ) 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时,其横截面绕中性轴旋转。 ( √ ) 3、 在非均质材料的等截面梁中,最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。( × ) 4、等截面梁产生纯弯曲时,变形前后横截面保持为平面,且其形状、大小均保持不变。 ( √ ) 5、梁产生纯弯曲时,过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 ( × ) 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 ( × ) 7、横力弯曲时,横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 ( √ ) 二、填空题 1、应用公式 z M y I 时,必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁,在横力弯曲条件下,危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁,其高为h 、宽为b 、长为l ,则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示,则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x 三、选择题 1、如图所示,铸铁梁有A,B,C和D四种截面形状可以供选取,根据正应力强度,采用( C )图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁,材料相同,承受相同的载荷F。则当F 增大时,破坏的情况是( C )。 A 同时破坏; B (a)梁先坏; C (b)梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度,可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示,则梁内钢筋(图中虚线所示)配置最合理的是( D ) A B C D A B D x 第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时,梁横截面上产生的应力为( ) A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁,其对圆心的极惯性矩I p = ;截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ;截面的抗扭截面系数W p = ;截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ,式中ρ 表示梁中性层的曲率半径,M 表示梁横截面上的 ,I z 表示梁横截面的 ,EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时,梁纯弯曲时,横截面上的正应力沿高度方向呈 分布,横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设,梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维,这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示,q =30kN/m ,a =3m ,50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3,大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ,试校核梁的强度。 2、如图所示矩形截面悬臂梁,外载荷F =3kN ,梁长l =300mm ,其高宽比为h /b =3,材料的许用应力[σ]=160Mpa ,试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1 3、如图所示的简支梁,梁横截面为圆形,直径D =25mm ,P =60N ,m =180N ?m, a =2m ,圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ,试校核梁的强度。 4、如图所示悬臂梁,外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形,自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图(b )两种方式搁置,试求图(a )情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图(b )情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax )。图中力的单位为(N ),尺寸单位为(mm )。 (a) 5、如图一单梁吊车,其跨度l =10m ,吊车大梁由45a 号工字钢制成,45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3,大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ,电葫芦自重G =15kN ,最大起重量Q=55kN ,试校核大梁的强度。(大梁自重暂不考虑。) 图 5.3.3 图 5.3.4 第五章弯曲应力 §5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力* §5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念* §5-6 提高梁抗弯能力的措施 §5-1 梁弯曲正应力 一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下,梁受外力而弯曲时,其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向内力元 σdA所组成,剪力由切向内力元τdA组成,故横截面上同时存在正应力和剪应力。 M σdA τdA Q 当梁较长时,正应力是决定梁是否破坏的主要因素,剪应力则是次要因素。 二、弯曲分类 P P a a A C D B A C D +?B C D + P P Pa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩,称为剪切弯曲(横力弯曲)。 CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力,称为纯弯曲。此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。 三、纯弯曲实验1.准备 A B C D E F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线,且AB ∥CD 、EF ∥GH 。 在梁两端对梁施加纯弯矩M 。 A B C D E F G H M M A B C D E F G H 2.现象 ?变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动,仍为直 线,但二者不再平行;仍与弧线垂直。 ?纵向线EF 、GH 由直线变成曲线,且EF 变短,GH 变长; ?曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化;?横截面上部分沿厚度方向变宽,下部分变窄。 3.假定 ?梁的任意一个横截面,如果在变形之前是平面,在变形后仍为平面,只是绕截面的某一轴线转过了一个角度,且与变形后的轴线垂直。——平截面假定。 ?梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉,中间一层纤维既不受拉也不受压,这一层叫中性层或中性面。 ?中性层与横截面的交线叫中性轴。梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。 中性层 纵向对称面 中性轴 5-2简支梁承受均布荷载如图,若分别采用截面面积相等的实心圆和空心圆截面,且 D i 40mm,鱼 3 ,试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分之 D 2 4 几? q=2kN/m (3) 求最大应力 5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面,载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图,并求轴的最大正应力。 解:(1)荷载在纵向对称面内,与轴线垂直, 梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过圆心C 与载荷垂直,沿水平 方向。实心圆和空心圆截面,且 D 1 40mm,色 3 D 2 4 4D 12 产1 2 ) D 2 D 1 40 60.47 mm (2弯矩图如图( b ) 所示: M max 1 (kN m) 实心圆截面: max M max W z 32 Pa 159MPa 。 0.043 空心圆截面: M max max W z M max 1 3 1 10 32 D ;(1 4 ) 32 Pa 67.39MPa 3 4 0.06047 (1 0.75 ) 故:空心截面比实心截面的最大正应力减少了 159 67.39 100%= 57.62% 。 159 M kN - m) 5kN A 解:(1)外力分析。压板可以简化为图示外伸梁,荷载与轴线垂直,发生平面弯曲变形,中性轴是水平 上下对称轴。 (2)内力分析,判危险面。弯矩图如图所示。 M m-m 15.4 0.02 0.308 (kN m) (3)应力分析,判危险点: 3kN 3kN B E ■ r IBM BIB 卩r 3.36 kN << 仁 L 34 + ------------------- 1 ---- 1 ------- |7.64 kN 1 1 1 1 1 1 003 M (kN ?m ) X|- | 丨” 解:(1 )荷载在纵向对称面内,与轴线垂直,梁发生平面弯曲。约束反力如图所示。 (2)弯矩图如图(b )所示:M C 1.34 (kN m) M B 0.9 (kN m) (3)求最大应力 度。 实心圆截面: 空心圆截面: C ,max B,max M C,max W z M max W z 5-8压板的尺寸和载荷情况如图所示。 3 1.34 103 1 32 32 材料为 F1=15. 4kN 0.308 Hll M(kN 5 题 5-8 图 Pa 63.2MPa 。 0.063 1 103 3 0.063 [ 45钢, Pa 62.45MPa 4 45/60 ] s 380MPa ,取安全因素 n=1.7。试校核压板的强 题5-8图 200 300 0.9 题5-2 图 第5章弯曲应力 判断正误 1.直径为D的圆形截面挖去一个边长为a的正方形如图所示,该截面对轴z的弯曲截面系数 。() 2.平面弯曲静定梁横截面上的正应力与杆件材料的力学性能有关。() 3.外径为D、内径为d的空心圆截面梁,其弯曲截面系数为。() 4.铸铁梁的危险截面为弯矩最大的截面。() 5.几种常用截面(矩形、工字形、圆形)梁,其最大弯曲切应力发生在剪力最大的截面中性轴上。() 6.以中性轴为界,梁凸出的一侧受拉,凹入的一侧受压。() 7.称为梁的弯曲刚度。() 8.梁内最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力一定发生在同一截面的上、下边缘处。() 9.钢梁第三类危险点的强度计算需要用第三强度理论或第四强度理论。() 10.从弯曲强度考虑,比较合理的截面形状是:用较小的面积获得较大弯曲截面系数。() 计算题 5-1受均布荷载的简支梁如图所示,试计算:(1)1-1截面AA线上1、2两点的正应力;(2)此截面上的最大正应力。 5-2简支梁承受均布荷载2/q kN m =,梁跨长2l m =,如图示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面,实心圆截面的直径140D mm =,空心圆截面的内、外径比22=35d D α=,试分别计算它们的最大弯曲正应力及两者之比值。 5-3 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示,若许用应力[]160MPa σ=,求许可荷载[F]。 5-4如图所示的简支钢梁AB ,材料许用应力。该梁拟采用三种形状的截面:(a )直径为d 的圆截面;(b )高宽比为2的矩形截面;(c )工字型钢截面。试:(1)按弯曲正应力强度条件设计三种形状的截面尺寸;(2)比较三种截面的值,说明何种形式最为经济;(3)按弯曲切应力强度条件进行校核。 第五章弯曲应力 第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲:梁横截面上的剪力为零,弯矩为常量,这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲:梁横截面上同时有剪力和弯矩,且弯矩为横截面位置x 的函数,这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法: 1. 观察表面变形情况,作出平面假设,由此导出变形的几何方程; 2. 在线弹性范围内,利用胡克定律,得到正应力的分布规律; 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层:梁变形时,其中间有一层纵向线段的长度不变,这一层称为中性层。 中性轴:中性层和横截面的交线称为中性轴,梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的,在线弹性范围内,中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率,平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中:()x ρ为变形后中性层的曲率半径,()M x 为弯矩,z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比,试中M 和y 均取其绝对值,可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力,为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数,对于矩形、圆形和弯环截面等,z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围: 1)在线弹性范围内()p σσ≤,在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时,平面假设成立,公式为精确公式。横力弯曲时,平面假设不成立,公式为近似公式,当梁的跨高比5l h ≥时,误差2%≤。 Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁 []max max z M W σσ= ≤ (5-5) 式中,[]σ为料的许用正应力。 当梁内,max ,max t c σσ≠,且材料的[][]t c σσ≠时,强度条件应为 [],max t t σσ≤,[],max c σσ≤ Ⅵ、提高梁正应力强度的措施 1)设法降低最大弯矩值,而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低,从而提高梁的承载能力。 2)对于[][]t c σσ<的梁,应使横截面的中性轴偏于受拉一侧,最好使 [] [] ,max ,max t t c c y y σσσσ== 拉压,使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。 第5章 弯曲应力 思考题 1.推导梁的弯曲正应力公式时,采用物理关系εσE =是根据线弹性变形和纵向层不受挤压的假设。( √) 2.在等截面梁中,最大弯曲正应力一定发生在弯矩值最大的截面上。( × ) 3.对于等截面梁,最大拉应力与最大压应力在数值上一定相等。( × ) 4.梁发生平面弯曲时,其横截面绕( C )旋转。 (A )梁的轴线;(B )截面对称轴;(C )中性轴;( D )截面形心 5.对于纯弯曲梁,可由平面假设直接导出( B )。 (A ) z EI M = ρ 1 ;(B )ρεy =;(C )梁产生平面弯曲;(D )中性轴通过形心 6.如图所示,两根h b ?矩形截面的木梁叠合在一起,两端受力偶矩o M 作用,则该叠合梁的抗弯截面模量W 为( A )。 (A )261bh ;(B ))61(22bh ;(C )2 )2(61h b ;(D ) bh ) 121 (23 7.受力情况相同的三种等截面梁,如图所示。它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合组成。若用3max 2max 1max )(,)(,)(σσσ分别表示这三种梁中横截面上的最大正应力,则( B )。 (A )3max 2max 1max )()()(σσσ<<;(B )2max 3max 1max )()()(σσσ<=; (C )3max 2max 1max )()()(σσσ=<;(D )3max 2max 1max )()()(σσσ==。 M o 1 2 3 8.设计钢梁时,宜采用中性轴为( A )的截面;设计铸铁梁时,宜采用中性轴为( B )的截面。 (A )对称轴; (B )偏于受拉边的非对称轴; (C )偏于受压边的非对称轴; (D )对称或非对称轴。 9.梁的四种截面形状如图所示,其截面面积相同。若从强度方面考虑,则截面形状最为合理的是 c ;最不合理的是 b 。 10.空心圆轴外径为D ,内径为d ,其惯性矩z I 和抗弯截面模量z W 能否按式子 4 4 3 3 64 64 32 32 z z D d D d I W ππππ= - = - 和计算,简述理由。 否。44 ()/(/2)/26464 z z I D d W D D ππ= =- 11.圆截面梁,当横截面直径增大一倍时,该梁的抗弯能力增大几倍? 3 32 d W π= 增大8倍 2a 2a 2a 第五章 弯曲应力 5.2简支梁承受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面,且 5 3 , 40221==D d mm D ,试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几? 解:1)空心截面尺寸: 由 () ??? ? ??????? ? ??-=-= 2 2 2 2222 22 21 144 4 D d D d D D π π π 求出;mm d mm D 30,5022== 2)确定危险截面: 梁的弯矩图如图,最大弯矩发生在梁中间截面。且:m KN ql M ?==18 2max 3)求最大正应力: 实心截面:32 3 1D W Z π= MPa W M Z 2.159max max == σ 空心截面:? ?? ????????? ??-=4 2232 132D d D W Z π MPa W M Z 6.93max ' max ==σ 4)最大正应力之比: %2.412 .1596 .932.159max ' max max =-=-σσσ 5.4矩形截面悬臂梁如图所示,已知[]MPa m KN q h b m l 10,/10,3 2 ,4====σ。试确定此梁横截面的尺寸。 解:1) )确定危险截面: 梁的弯矩图如图,最大弯矩发生在梁固定端截面。且:2 2max ql M = 2)建立强度条件:[]σσ≤=Z W M max max 其中:6 2bh W Z = 3)代入数据求出梁截面尺寸:mm h mm b 416,277≥≥. 5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢,MPa s 380=σ,取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。 解:1)最大弯矩 ()() m N M ?=??=-3081020104.1533max 2)A —A 截面抗弯模量 () 3 2 633max 568.110 112102.1203.0cm y I W =???-== --3)最大正应力: MPa W M Z 4.196max max == σ 许用应力[]MPa n s 253== σσ 可见s σσ?max ,压板强度足够。 5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁,其截面为倒T 形,材料的拉伸和压缩许用应力之比 [][]4/1/=c t σσ。求水平翼板的合理宽度。 解:1)确定中性轴位置:由于梁受正的弯矩作,用,因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力,中性轴以上部分受压而产生压应力。由于:第五章弯曲应力力习题
材料力学教案第5章 弯曲应力
5-第五章 弯曲应力.
第五章 弯曲应力
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