课 题：7.6圆的方程（三）
教学目的：
1.理解圆的参数方程王新敞
2.熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程王新敞
3.理解参数θ的意义王新敞
4.理解圆心不在原点的圆的参数方程王新敞
5.能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程王新敞
6.可将圆的参数方程化为圆的普通方程王新敞
教学重点：圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形) 王新敞
教学难点：参数方程，参数的概念王新敞
授课类型：新授课王新敞
课时安排：1课时王新敞
教 具：多媒体、实物投影仪王新敞
内容分析：
本节为第三课时讲解圆的参数方程王新敞
为了突出重点，突破难点，可以对本节的例题、练习进行适当的调整和组合，并安排一些变式练习王新敞
将参数方程化为普通方程时，常用的消参方法有：代入法、加减法、换元法等王新敞
要注意不能缩小或扩大曲线中y x ,的取值范围王新敞
圆上的点的特征性质，在圆的参数方程中，得到了另一种形式的表示王新敞
在涉及圆上的动点距离、面积、定值、最值等问题时，用圆的参数方程来解往往更为简捷王新敞
王新敞
教学过程：
一、复习引入： 一、复习引入：
1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆王新敞
2．求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程王新敞
)
（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ; （4）化方程0),(=y x f 为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞
(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明王新敞
)
3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程王新敞
4. 圆的标准方程 ：2
22)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ，
若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+王新敞
5．圆的标准方程的两个基本要素： r b a ,, 王新敞
6．圆的一般方程：只有当042
2>-+F E D 时，①表示的曲线才是圆，把形如022=++++F Ey Dx y x ①的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞
（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42
122-+为半径的圆；
（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2
E
y -=，即只表示一个点（-2D ，-2
E
）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞
王新敞
二、讲解新课：
1. “旋转角”的概念：一条射线从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置形成的角，叫正角；按顺时针方向旋转形成的角形成的角，叫做负角；若没有旋转，就称为零角王新敞
2．圆心为原点半径为r 的圆的参数方程
如图所示在圆2
22r y x =+上，对于θ的每一个允许值，由方程组?
??==θθ
sin cos r y r x ①，所确定的点P(y x ,)都在圆
222r y x =+上王新敞
方程组①叫做圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程，θ为参数王新敞
3．圆心为),(b a 原点半径为r 的圆的参数方程
把圆心为原点O ，半径为r 的圆按向量),(b a v =
平移，可得到圆心为
),(1b a O ，半径为r 的圆王新敞
如图，设圆1O 上任意一点P(x,y)，它是圆O 上一点),(111y x P 按平移向量
),(b a v =平移后得到的，则根据平移公式，有??
?+=+=b
y y a
x x 11， 由于θθsin ,cos 11r y r x ==，故???+=+=θθs
i n c
o s r b y r a x ②
这就是圆心为),(1b a O ，半径为r 的圆的参数方程王新敞
4．参数方程的意义：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数，即?
?
?==),(),
(t g y t f x ③
并且对于t 的每一个允许值，由方程组③所确定的点M （y x ,)都在这条曲
线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系y x ,之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数王新敞
点评：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系王新敞
三、讲解范例：
例 如图所示，已知点P 是圆1622=+y x 上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0）.点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？
分析：应先根据线段中点坐标公式特点M 的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型王新敞
解：设点M 的坐标是(y x ,)王新敞
∵圆162
2
=+y x 的参数方程为：?
??==,sin 4,
cos 4θθy x
又∵点P 在圆上，∴设P 的坐标为(4cos θ,4sin θ) 由线段中点坐标公式可得点M 的轨迹的参数方程为：??
?=+=.
sin 2,
cos 26θθy x 王新敞
从而判断线段PA 的中点M 的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆王新敞
四、课堂练习：课本P 81练习 1，2.
1.填空：已知圆O 的参数方程是
??
?==.
sin 5,
cos 5θθy x (0≤θ＜2π）王新敞
(1)如果圆上点P 所对应的参数θ=
3
5π
，则点P 的坐标是 王新敞
（2）如果圆上点Q 的坐标是（-
2
3
5,
25），则点Q 所对应的参数θ等于 王新敞
解析：(1)由???????==35sin 53
5cos 5ππy x 得???????-==2
3
525y x
(2)由???????==-==235sin 525cos 5θθy x (0≤θ＜2π）得????
???=-=2
3
sin 21cos θθ ∴θ=32π.
答案：（1）（
2
3
5,25-
）王新敞
（2）32π王新敞
2.把圆的参数方程化成普通方程： （1）??
?+-=+=;sin 23,cos 21θθy x (2)???+=+=θ
θsin 2,
cos 2y x
解：(1)由???+-=+=;sin 23,cos 21θθy x 得???????
+=
-=2
3sin 2
1cos y x θθ
∵1cos sin 2
2
=+θθ ∴1)2
3()21(
22=++-y x 即：4)3()1(2
2
=++-y x 王新敞
(2)由??
?+=+=θθsin 2,cos 2y x 得???-=-=2
sin 2
cos y x θθ
又∵1cos sin 2
2
=+θθ ∴1)2()2(2
2=-+-y x 王新敞
3.经过圆422=+y x 上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程王新敞
解：设M （y x ,)为线段PQ 的中点，
∵圆422=+y x 的参数方程为 ?
?
?==θθ
sin 2cos 2y x
又∵点P 为圆上任一点
∴可设点P 的坐标为(2cos θ,2sin θ) 则Q 点的坐标为（2cos θ,０)
由线段中点坐标公式，得点M 的轨迹的参数方程为：?
?
?==θθ
sin cos 2y x
消去参数θ,可得：1)2(2
2=+y x 即
14
22=+y x 王新敞
五、小结 ：圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形) 王新敞
参数方程，
参数的概念； 参数方程与普通方程的互化；参数方程的意义及实际应用王新敞
六、课后作业： 1.填空题
（1）已知圆的参数方程是??
?==θ
θ
sin 8cos 8y x (0≤θ＜2π）若圆上一点M 的坐
标为(4,-43)，则M 所对应的参数θ的值为 王新敞
分析：将点M 的坐标代入参数方程分别求得sin θ,cos θ的值，由此求θ的值王新敞
解：将点M （4，-43）代入
??
?==θ
θsin 8cos 8y x 得???
???
?
-
==23sin 21cos θθ 又∵0≤θ＜2π,∴θ=
35π.答案：3
5π
王新敞
(2)已知圆的参数方程为??
?+=+-=θ
θ
sin 33cos 35y x ,则它的普通方程为 王新敞
分析：由参数方程解得cos θ、sin θ的表达式，由1cos sin 2
2=+θθ求
出x 与y 的关系式，即可求得王新敞
解：由???+=+-=θθsin 33cos 35y x 得???
????
-=+=
33
sin 35cos y x θθ
由1cos sin 2
2=+θθ 得9)3()5(22=-++y x 王新敞
答案：9)3()5(22=-++y x 王新敞
2.已知点M 是圆0422=-+x y x 上的一个动点，点N （2，6）为定点，当点M 在圆上运动时，求线段MN 的中点P 的轨迹方程，并说明轨迹的图形王新敞
分析：先将圆0422=-+x y x 化为4)2(22=+-y x 利用圆的参数方程求解王新敞
解：将已知圆的方程化为：4)2(22=+-y x 则其参数方程为??
?=+=θ
θsin 2,
cos 22y x 故可设点M （2+2cos θ,2sin θ)
又∵点N （2，6）.∴MN 的中点P 为?
??+=+=θθ
sin 3cos 2y x
∴点P 的轨迹方程为：??
?+=+=θ
θsin 3cos 2y x
它表示圆心在（2，3），半径为1的圆王新敞
3.若实数y x ,满足0422
2=+-+y x y x ，求y x -的最大值.
分析一：将圆化为参数方程来解王新敞
解法一：将圆04222=+-+y x y x 变为5)2()1(2
2=++-y x
∴圆的参数方程为?????+-=+=θ
θ
sin 52cos 51y x
代入y x -得 y x -=（1+
5cos θ）-(-2+5sin θ)=3+5（cos θ-sin θ)
=3+10cos(θ+
4
π
)≤3+10
∴y x -的最大值为3+10王新敞
分析二：令y x -=u 代入圆方程来解.
解析二：令u =y x -，则u x y -=代入圆方程得
04)1(2222=-+-+u u x u x
由0)4(8)1(422≥---=?u u u 即0162
≤--u u ∴3-10≤u ≤3+10，即3-10≤x -y ≤3+10 ∴y x -的最大值为3+10王新敞
4.已知对于圆1)1(22=-+y x 上任意一点P （y x ,），不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围王新敞
分析：将圆的参数方程代入0≥++m y x ，转化为求m 的最值问题来解王新敞
解：由1)1(22=-+y x 得其参数方程为：?
?
?+==θθ
sin 1cos y x
代入0≥++m y x ，得cos θ+1+sin θ+m ≥0 ∴m ≥-cos θ-sin θ-1王新敞
∴m ≥-2sin(θ＋
4
π
)-1恒成立， ∴转化为求-2sin(θ+4
π
)-1的最大值， ∵-2sin （θ+4
π
）-1的最大值为2-1王新敞
∴m ≥2-1王新敞
5.已知圆12
2=+y x ,定点A (1,0),B 、C 是圆上两个动点，保持A 、B 、C 在圆上逆时针排列，且∠BOC =
3
π
（O 为坐标原点），求△ABC 重心G 的轨迹方程王新敞
分析：利用三角形重心坐标公式：???
????++=++=33
321321y y y y x x x x 来解王新敞
解：令B （cos θ,sin θ）,则C (cos(θ+3π),sin(θ+3
π
)), 设重心G 坐标为（y x ,）王新敞
则???
??????????++=??????+++=)3sin(sin 31)3cos(cos 131πθθπθθy x 即???????+=???
???++=)6sin(33)6cos(3131πθπθy x
化为普通方程得：3
1)31(2
2=+-y x 王新敞
七、板书设计（略）王新敞
八、课后记：王新敞