答案: 本科概率论与数理统计作业卷
(一)
一、填空题
.
____)(.6.03.0,4.0,.1=B A P B A B B B A B A 的概率件的对立事件，那么积事表示
若和的概率分别是及其和事件设随机事件 )
()()()(,AB P B P A P B A P B A B A -+== 解
.
____)(,)()()(.2===B P p A P B A P AB P B A 则且，两个事件满足条件、已知
.11)(,1)()()(1)(1)()()()()(,p p
B P B P A P B A P B A P B A P AB P B P A P B A P B A B A --==+∴-=-=-+==所以应填即又解 .
______,,,8
1
)()(0)(,41)()()(.3概率为都不发生的则事，设C B A BC P AC P AB P C P B P A P ======.12
7
,12
7)(,0)(,,0)(),().()()()()()()()(),(1)(),(故应填
通过计算得即有注意到于是问题归结为求而来，由概率性质有为了与已知条件联系起问题是求分析==?=+---++=-=ABC P ABC P AB ABC AB P ABC P ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P ABC P ABC P
.
_____310.4本书放在一起的概率为则其中指定的本书随意放在书架上，把 .
15
1!
10!8!3373应填本书放在一起的概率为
本全排列，则指定的本书视为一组，与另外把解?
二、选择题
1
)()()()D (1)()()()C ()()()()B ()()()A (.1-+≤-+≥==B P A P C P B P A P C P B P A P C P AB P C P C B A 确的是必发生，则下列结论正同时发生时，事件与当事件
).
(1)()()()()()()()()()().()(,C B P A P B A P B P A P C P AB P B P A P B A P AB P C P C AB B A 所以应选所以又由因此必发生就意味着事件同时发生时与因为事件解-+≥-+≥-+=≥? C ,
7
4)
D (52)C (61)B (41)A (2.2的概率为
是掷两枚骰子，则最小点
).
6,2(),2,6(),2,5(),5,2(),2,4(),4,2(),2,3(),3,2)(2,2(.4
1
36991,
222,3666即：，故、另一个点大于或一个点为两点皆为事件总数为解===?+=?P 1
4
1
2
C C
的大小
，无法比较，则回，此时记若依次取出，取后不放，此时记若依次取出，取后放回取出三个数依次为红依次取出三个数，记在数集2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)()()()()()();()(".3,2,1"}5,4,3,2,1{.3p p p p p p p p A P p A P p A D C B A II I >=<===
.
5
1
3451)(,51
)().(,.).
(1323
121p A P p A P p A P P A A =>??=
==
=<事实上，选择此于“取后不放回”，因试验的基本事件总数多而“取后放回”
的基本事件只有一个无论哪一种取法有利于解
4
3)
D (3
2)
C (2
1)
B (4
1
)
A (5532.4超过一角的概率为个，则总币值中个壹分的硬币，任取其个贰分，个伍分，袋中装有
.215
10
272312=??=C C C C p 解
三、计算证明题
个全非废品的概率。
任取个是废品的概率；个恰有任取这批产品的废品率；
个废品，求：个，有一批产品共3)3(13)2()1(6200.1 9122
.0)()3(0855.0)()2(03
.0200
6
)()1(3200
3194
03
200
2
194
161≈=≈===C C A P C C C A P A P 解
.
72.09.08.0.2烧断的概率，至少有一根保险丝被流强度超过这一定值时，求电，同时烧断的概率为和别为它们单独烧断的概率分强度超过一定值时，乙两根保险丝，当电流一条电路上安装有甲、
98
.072.09.08.0)
()()()(6=-+=-+=AB P B P A P B A P B A 得所求概率为
被烧断，由性质分别表示甲、乙保险丝、设解 }
50{}50{9210.321但不含三个数字中含，和三个数字中不含事件的概率：下列三个不同的数字，试求等十个数字中任意选出，，，，从==A A
30
7)(9876543212015
7)(.921092103
10
2
822823
10
3
81381310=
=
=
=
C C A P C A C C A P C A C 所以
八个数字中任意选取，，，，，，，，，字必须从个不同数，而另个一定是，因为三个数字中有一所含的基本事件数为同理，因此
合数意选三个不同数字的组等八个数字中任，，，，，它是从所含的基本条件数为部基本数，而空间中的全
，它就是所研究的概率字的全部组合数为字中任意选三个不同数即从十个数
个不同数字的所有选法十个数字中任意选出三，，，，从解 .4
1
)1,0(4的概率个数的积小于
内任取两个数，求这两从区间
.
2ln 2
1
411}41{2
ln 21
41d )411(1,),(4
1.1.1),(,),(,
}4
1
{,10,10,14
1+==<+=--=<<<<<
构成平面区域的全体点满足正方形面积为的正方形内等可能取值在边长为则看作平面上的一个点把的概率需要求事件有和设两个数分别为解
答案: 本科概率论与数理统计作业卷
(二)
一、填空题
.
____)(,9
1
.1=A P A B B A B A 不发生的概率相等，则发生的概率与不发生
发生都不发生的概率为和设两个相互独立的事件
3
2
)(,1)(3
2
)(34)(,311)(91)()(21)()(9
1)()()()(1)
()()()(91)(1)()(),()(,
9
1
)(),()()(2
=
≤=
=±=-=+-??????
==+--????
?
-=-=
+-=+====A P A P A P A P A P A P A P B P A P B P A P B P A P AB P B P AB P A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B P A P AB P B A 故由于或解得也即即有
且相互独立，即、由题设解
._____8180
4.2朝上的概率为，则在一次投掷中正面为正面朝上的概率次投掷中至少一次出现在掷一不均匀硬币，已知
.
3
2
,81
1)1(,8180)1()(,440
04==-=-=p p p p C A P p 得
即则由题意
的概率为设一次投掷中正面朝上解 .
______210.3率为二次抽出的是次品的概抽出后不再放回，则第，每次抽一个，个次品，任意抽取两次个正品和一批产品共有
.
6
1
6
1
111·61112·65)|()()|(·)()(11
1
)|(,112)|(61
)(,65)(}
{}{故应填且全概率公式知且则第二次抽取的是次品表示事件第一次抽取的是正品表示事件设分析=
+=+==
==
=A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P B A
，
至多发生一次实验中，事件次独立表示事件，至少发生一次次独立实验中，事件表示事件设解至多发生一次的概率为发生一次的概率为次独立试验，则至少，现进行发生的概率为设在一次试验中，事件}{}{.
_________._________.4A n C A n B n p A 1
1
)
1()1()1(1)1()1()()1(1)(1)(---+----+-=--=-=n n
n
n n n
p np p p p np p C P p B P B P 和所以应分别填
二、选择题
6
5)
D (5
2)
C (4
1)
B (3
1
)
A ()|(}{}10{.,.1212121=>==A
B P X X B X X A X X ，则，＝＋记数分别表示先后掷出的点，设将一枚骰子先后掷两次
)
A (4,6.4,6;5,5;6,4故应选只有一种情况：事件有三种情况：事件解
B A
)
D (0
)|()D (0)|()C (1)()B (0)()A (0)(0)(.2应选解，则错误的是，为对立事件，与设===+=>>A B P B A P B A P AB P B P A P B A
独立
与独立
与独立与独立与条件是相互独立的充分必要、、三个事件两两独立，而、、设C A B A AC AB C A AB BC A C B A C B A )
D ()
C ()B ()A (.3 A)
(BC A P(BC))P(A P(ABC)P(C))B (P P(A)P(ABC)C B A P(C)P(B)P(BC)P(C)P(A)P(AC)B)(P P(A))AB (P 独立。故应选与＝＝互相独立，，知＝，＝，＝解：由?????????
%
15)D (%
30C (%
20)B (%
10)A (.___%.43000%;32000%;21000.4）品的概率为次品是甲厂产支，发现为次品，则该如果从中随机地抽取一率为支，次品丙厂生产的为支，次品率为乙厂生产的为为支，次品率的为的灯管，其中甲厂生产仓库中有不同工厂生产
6
3
)(,62)(,61)(04.0)|(,03.0)|(,02.0)|(,,,)
A (321321321===
===A P A P A P A C P A C P A C P C A A A 于是表示抽得灯管为次品甲乙丙三厂，分别表示抽得灯管来自解
1
.0)
|()()|()()|()()
|()()|(332211111=++=A C P A P A C P A P A C P A P A C P A P C A P 由贝叶斯公式得
三、计算、证明题
概率是多少？
岁以上的活到岁的这种动物，问它能如果现在有一只率为年以上的概，活年以上的概率为活设某种动物由出生算起2520.4.0258.020.1 ().
5.08
.04
.0)()(|,
4.0)()(,,,8.0)(.
2520======?===B P AB P B A P A P AB P A BA B A B P A B 由概率的定义，得因此所以由于按题意，年以上”“能活年以上”，“能活设事件解
458
.0114.06.041.02.036.0009.0)|()()(1
)|(,6.0)|(2.0)|(,0)|(14.07.05.04.0)(41.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(36
.07.0)5.01()4.01()
7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)(09
.0)7.01()5.01()4.01()(.,,,).3,2,1,0(.
6.02.0.
7.05.04.0.23
0321032103210=?+?+?+?=======??==??-+?-?+-??==?-?-+-??-+-?-?==-?-?-====∑
=i i
i
i A B P A P B P A B P A B P A B P A B P A P A P A P A P A A A A i i A B 利用全概率公式，得再由题意知
，得
按加法公式及乘法公式，机，射中与否相互独立三门高射炮各自射击飞构成完备事件组显然，门炮射中飞机”““飞机坠毁”，设解试求飞机坠毁的概率必坠毁，若三门炮都射中，飞机；坠毁的概率为若有两门炮射中，飞机；，飞机坠毁的概率为又设若只有一门炮射中，，概率分别是甲、乙、丙射中飞机的向同一架飞机射击，设甲、乙、丙三门高射炮 种赛制对甲更有利？
制，问采取哪
制，也可采取五局三胜比赛即可采取三局两胜胜的概率为乙，赛一局甲胜的概率为员进单打比赛，如果每甲、乙两个乒乓球运动.4.06.0.3
648
.0288.036.0)()()()(288
.02)4.06.0()(36
.06.0)(,.)1(21212
22
12121=+=+=+==??===+====A P A P A A P A P A P A P A A A A A A 所以，有而
“甲胜”，则第三局甲胜”，局，“前两局甲、乙各胜一“甲净胜二局”，设采用三局两胜制解
.
682.0207.0259.0216.0)()()()()(207
.06.04.06.0)(259
.06.04.06.0)(216
.06.0)(.,,)2(321321222
43223231321321321时对甲更有利所以，采用五局三胜制由题设知
互不相容，且则两局，第五局甲胜”，“前四局中甲、乙各胜局甲胜”，两局，乙胜一局，第四“前三局中甲胜“前三局甲胜”，“甲胜”，采用五局三胜制，设=++=++=++==???==???===++=====B P B P B P B B B P B P C B P C B P B P B B B B B B B B B B B 答案:本科概率论与数理统计作业卷(三) 一、填空题
._______,216
1
3110
1~.1的分布函数为则设有随机变量X X ???
?
??-????
????
?≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=
≤=<≤-=≤=-<1
,110,2101,311,0)(1
2
1
6131}{)(1;
21
6131}{)(103
1
}{)(01;
0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理，得
时，当时，当时，当时，当分析
.
_____.2=C X 则的分布律如下表所示，如果离散型随机变量
X 0 1 2 3
P
C 1 C
21 C 31 C 41
.12
251)(3
1=
=∑=C x P x i 得：根据
解
的分布律如下表所示已知X .3
X 0 1 2 3 4 5
}{x X P =
121 61 31 121 92 9
1 的分布律为
则2)2(-=X Y
故应填
因此由于记分析9
1
}5{}9{,
36
11
92121}4{}0{}4{,
41
12161}3{}1{}1{,
3
1
}2{}0{,
9)5(,0)2(,1)3()1(,4)4()0(.)2()(2=
====+==+====+==+=============-=X P Y P X P X P Y P X P X P Y P X P Y P g g g g g g x x g
Y 0 1 4 9
}{y Y P =
31 41 36
11 91 二、选择题
23
,21)D (23,21)C (32
,32)B (52,53)A ()()()()()(.1212121-
===-==
=-==-=b a b a b a b a x bF x aF x F X X x F x F 组数值中应取
函数，在下列给定的各是某一随机变量的分布的分布函数，为使与分别为随机变量与设).
(1)(lim )(lim )(lim ,1)(lim 21A b
a x F
b x F a x F x F x x x x 故应选即因此有
根据分布函数的性质：分析
-=-==+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→
1
1)D (11
)C (1)B (0)A (0),,3,2,1(,}{.2-=
+=
+=>>===b b
b b k b k X P X k λλλλλλ的任意实数为，则且的分布律为：设离散型随机变量
).
()0(,111
1
1·,1,11)1(·lim lim 1)1(·
1
}{1
1
1
C b b
b b S b b S b k X P n n n n n n
k k
n k k
k 所以应选因所以时当于是可知即因为解><+==-<=--=--=====∞→∞→=∞
=∞
=∑∑∑λλ
λ
λλλλλλ
λλλ
三、计算证明题
.
33543215.1的概率分布求个球中的最大号码，试表示取出的只，以，在其中同时取，，，，只球，编号为一个袋中有X X 的概率分布是
从而，种取法，故
只，共有任取
中，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件种取法，故
只，共有中任取，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法，所以
只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解
X C C X P C X C C X P C X C X P X X 5
3
}5{624,321253},5{10
3
}4{2321243},4{101
1}3{,3,2,13},3{.
5,4,3352
4223523233
5
=
=====
=====
==
X 3 4 5
P
101 10
3 53
.
.2的概率分布口个数，求灯前已通过的路表示该汽车首次遇到红信号显示时间相等，以独立，且红绿两种其它信号为红或绿相互每个信号灯为红和绿与绿灯信号的路口，需要通过三个均设有红一汽车沿一街道行使，X X
故分布律为
于是相互独立，且，遇到红灯个路口首次汽车在第表示设的可能值为由题设知解3
32132133213212
212113212
1
)()()()(}3{21)()()()(}2{21)()()(}1{2
1
)(}0{,2
1
)()(,,"")3,2,1(,3,2,1,0=====
====
====
=====A P A P A P A A A P X P A P A P A P A A A P X P A P A P A A P X P A P X P A P A P A A A i i A X i i i
X 0 1 2 3
P
21 221 321 32
1 .
,3:2:1,1,0,1.3的概率分布试求比为且取这三个值的概率之的可能取值为设随机变量X X -
???
?
??-=
===++=++=???
? ??-213
1
6110
1~2
1,
3
1611321
3:2:1::10
1~321111321321321X p p p p p p p p p p p p p p p X ，故
即
而
依题意记解
本科概率论与数理统计作业卷(四)
一、填空题
{}{}{}.
902.03
2!42}4{,2,00
2,2
}2{}1{.,2,1,0,!
}{:,.______4,21.12
2422
≈====>=-=
===?
==
=====-----e e X P e e X P X P k e k k X P X X P X P X P X k
于是
得因为即得由的值参数本题的关键为先要求出的分布律为由题设解＝则知服从泊松分布，并且已设随机变量λλλλλλλλλλ
λ
(){}{}.
27
19
27
19)32(1)1(1}1{1}1{3
2)1(,)1(1)1(1}1{1}1{95.__________1,9
5
1),3(2.2330
0322002所以应填解
则的二项分布，若为服从参数的二项分布，随机变量，服从参数为
设随机变量=
-=--=<-=≥=---=--=<-=≥==≥=≥p p C Y P Y P p p p p C X P X P Y P X P p Y p X
.
_________)()4,0(,)2,0(.32==y f X Y X Y 由概率分布密度在则随机变量上的均匀分布服从设随机变量y
y y
dy y dF f y dx y X P y Y P y F y F Y Y Y y Y Y 41)
40(41
)(2
1
21}{}{)()()4,0(0
故应填
所以，为
区间内的分布函数在因为分析<<==
==≤=≤=?
二、选择题
16
9)
D (643)C (647)B (649)A (}2{}2
1
{,
01
0,2)(.1=
=≤???<<=Y P X X Y x x x f X 出现的次数，则事件的三次独立重复观察中表示对
以，其他的概率密度为设随机变量64
94341}2{412}21{)
(2
2321
0=
??? ????? ??====≤?C Y P xdx X P A ，解
)]
(1[2)D ()
(2)(1
)(2)B ()(21)A ()|(|,0),()(.2a F a F C a F a F a X P a x f x f X ---->>=-是
任意则对即具有对称的概率密度，设随机变量)]
(1[2))](1()([1)]
()([1)(1)|(|1)|(|)
(1)(1)()()()()()()()().(a F a F a F a F a F a x a P a x P a x P a F a F x a F a F dx x dx x a F x x D a
a
-=---=---=<<--=<-=>?-=-?==-+∴==-∴=-???∞
+∞-+∞-∞
-????? 解
{}{}2
12
121212122,)D (,)C (,)B (,)A (,5,4);5,(~),4,(~,.3p p p p p p p p Y P p X P p N Y N X Y X >=<=-≥=-≤=都有对任何实数才有的个别值只对都有对任何实数都有对任何实数则
记
均服从正态分布与设随机变量μμμμμμμ
.
,d 21
}15
{d 21}14{}14{)1,0(~5
),1,0(~4211
2
21
2
122
的取值无关而且与故
所以
由于解μπ
μπ
μμμ
μp p t
e
Y P p t
e
X P X P p N Y N X t t ==
≥-==
≥-=-≤-=--?
?
∞
-
∞-
三、计算证明题
.
)3()21
,21()2()1(,01,1)(.12
的分布函数内的概率；落在区间；系数求：其他
的密度函数为连续型随机变量X X A x x
A
x p X -??
???<-=
3
1arcsin 1
111}2121{)2(1
1)2
2
(
arcsin 1)(,1)()1(21
2
1
21
2
121111
2
==-=<<-=
=+
==-==-
---∞+∞
-∞+∞-??
?
?
x
dx x X P A A x A dx x
A dx x p dx x p πππ
π
π
由此得故因为解 得
综合起来时当时当时当的分布函数为设,1
011
0}
1{}1{}1{}{)(,
1arcsin 121110}
1{}1{}{)(,110
0)(}{)(,1),()3(1
11
2
1
12
1=+-+=≤<+≤<-+-≤=≤=>+=-+=≤<-+-≤=≤=≤<-===≤=-≤??
?????
--∞---∞-∞
-∞
-x
x x
x dt dt t dt x X P x X P X P x X P x F x x dt t dt x X P X P x X P x F x dt dt t p x X P x F x x F X πππ
?????
??>≤<-+-≤=1
,
111,
arcsin 1
211,0)(x x x x x F 当当当π
2.某地区的月降水量X （单位：mm ）服从正态分布N(40,2
4),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm 的概率.
9396
.09938.010Y P 9938.010B Y mm 50Y 10mm 50109938.0)5.2()4
40
50440P )50P A P mm 50A 10＝）＝＝（）
，（～的月数”，则过＝“该地区降水量不超设天贝努利试验，相当做超过个月该地区降水量是否观察（
（）＝（”
＝“某月降水量不超过解：设==-≤-=≤φx x
.
21)3(11)2(1081)1(.
5.2108).(~.3次交通事故的概率个月内最多发生求次交通事故的概率；个月内至少发生求次交通事故的概率；次、个月内发生求倍次事故概率的发生次交通事故的概率是内发生据统计资料知，一个月即的泊松分布，服从参数通事故的次数某地区一个月内发生交λλP X X
0620
.004462.001487.000248.0}
2{}1{}0{}2{04462
.0!
26}2{01487
.06}1{)3(9975.000248.01}0{1}1{00248
.0}0{)2(0413
.0!
106}10{1033.0!86}8{)1(6
,36!
105.2!8}10{5.2}8{.
,.
,2,1,0,!
}{),(~6
26106
10682108≈++≈=+=+==≤≈==≈==≈-≈=-=≥≈===≈==≈====?
====?==
=--------X P X P X P X P e X P e X P X P X P e e X P e X P e X P e e X P X P k k e k X P P X k λλ
λλ
λλλλλλλλ解出即
据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问解
)
(e ,0,
00
e )(.4y
f Y x x x f X Y X x X 的概率密度求随机变量，概率密度为设随机变量=???<≥=-?
-=≤=≥??
?≥≤<=≤=≤=y x Y X Y dx
e y X P y F y y y X P y y e P y Y P y F Y ln 0
}ln {)(11
},ln {1,
0}{}{)(时，故数
的分布函数，然后求导先求出解
??
?
??≥<===
1
,1
1,0)(1)()(22
y y y y f y dy
y dF y f Y y Y 因此
答案：本科概率论与数理统计作业卷(五) 一、填空题
.
7
5
}0,0{}0{}0{}0,0{}0),{max(._________}0),{max(.7
4
}0{}0{,7
3
}0,0{,.1=≥≥-≥+≥=≥≥=≥=≥=≥=≥=≥≥Y X P Y P X P Y X P Y X P Y X P Y P X P Y X P Y X 或解则且为两个随机变量和设.
______02,00,e )(,01
0,2)(.22具有实根的概率是的二次方程相互独立，则，又设其他，其他的概率密度分别为，设随机变量=+-??
?>=???<<=-Y X Y X y y f x x x f Y X y Y X μμμ.
e .
e d e d 2d d e 2d d ),()(},0:{}02:{,
0;
0,10,e 2)(),(11x 0
1
222
2
----≤-====
≥-==+-=??
?><<=??????所以应填故有实根又设其他，的联合概率密度为解由独立性y x x y x x y x y x f A P Y X Y X A y x x y x f Y X y y D
x y y ωμμω
.
______,2
1
}1{).2
1
,(.3＝则如果
分布相互独立且都服从正态与已知随机变量μμ=≤+Y X P N Y X
.
2
1
,02121)121()1(),1,2(~.
2
1
)1(==-?=-Φ=≤+++=≤+μμμμμY X P N Y X Y X Y X p 因此有
的分布，由题设知为此需首先要确立数来确定分布中的未知参”“这是一个反问题，即由分析
二、选择题
4
2414141432
10)D (10)C (4
34121211
0)B (10)A (},max{2
1211
0.1P
P Z Z P
P Z Z Y X Z P
X X Y X 的分布律为则随机变量的分布律为
具有同一分布律，且，变量设相互独立的两个随机=
2
2
1
2
22223)1,1()1,0()0,1(}1),{max(}1{21)0,0(}0),{max(}0{1
,0,},{},{},{},{}),{max(}{21211
21
210
1
0}{}{},{,=++=====
=======+====≤+<======?====∑∑=-=P P P Y X P Z P P Y X P Z P i i Y k X P k Y i X P i Y i X P i Y i X P i Y X P i Z P X
Y j Y P i X P j Y i X P Y X i
k i k 于是
所以相互独立与由于解
).
B (4
3411
},max{所以应选的分布律为
故P
Z Y X Z =
1
,0,0)D (10,10)C (0,0)B (1)A (,),().,(),(),(),(),,(),(),(.22121=+≥≥≤≤≤≤>>=++=b a b a b a b a b a b a y x f y x bg y x ap y x f y x g y x p Y Y X X 且应满足则随机变量的联合密度，是某个二维要使函数，令和的联合密度分别为与设二维连续型随机变量
.
).
,()(),(),,()(),(,),0(0).
,(,0),(),(,0),(,0),(,0,0).
().
,(0),(),(,1,
1),(0),(),().
(此式未必成立或有则对一切或如果得
由对于所以选择且由此可推得且为密度函数解y x g b y x ap y x p a y x bg y x b a R y x y x bg y x ap y x g y x p b a D R y x y x bg y x ap b a dxdy y x f y x f y x f D -≥-≥<<∈?≥+≥≥≥≥∈?≥++==≥???
∞+∞
-∞+∞
-
三、计算、证明题
1.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中的空白处 解：
为什么？
是否独立和问的联合分布；和求而且的概率分布和已知随机变量?)2()1(.1}0{2
1
214121411
01
01.22121212
121X X X X X X P P
P
X X X X ==-
的联合分布
和于是得易见
，可见由解21211212211212121210
)4
1
2141(1}0,0{;4
1}1{}0,1{;2
1}1{}1,0{;4
1}1{}0,1{0}1,1{}1,1{1}0{)1(X X X X P X P X X P X P X X P X P X X P X X P X X P X X P =++-=========
=====-===-======-===.
14
12
14
12102101
2141041010121
∑
-X X
不独立
和于是由以上结果，可见212121,04
1}0{}0[,0}0,0{)2(X X X P X P X X P ≠=
=====
}
1{)2();()1(,00,e ),(.3≤+??
?<<=-Y X P x f X y x y x f Y X x y 求概率的密度求随机变量其他
的概率密度为），（设二维随机变量
2
1
1
210
x x)-(11x
210
1
e
2e 1]d e [e d e d d d ),(}1{)2(0,
00
e )(0
)(0e d e )(,0)1(---≤+--∞+-+=-===
≤+??
?≤>==≤==>??
????－－，故
时，时解－－－x
y x y x y x f Y X P x x x f x f x y x f x x y
y x x X X x
x
y X 分布密度
的求它们的和上服从均匀分布且都在相互独立与设随机变量Y X Z a Y X +=,],0[,.4??≤+=
≤+=≤=?????≤≤≤≤=?????∈=z
y x Z y
x y x f z Y X P z Z P z F a
y a x a y x f Y X a x a x f d d ),(}{}{)(,00,0,1),(,,0],0[,1
)(2
其它独立，所以，而其它解
????
??
???≤<-≤≤==????
?????≤<--≤≤<其它（（故，其它＝,02,20,)'),10],)2(21[10,210,
022Z
Z 22222a z a a z
a a z a z
z F z f a z z a a a a z z a z
答案：本科概率论与数理统计作业卷(六) 一、 填空题 .
_______)
e (1.12=+-x
X E X 望的指数分布，则数学期服从参数为设随机变量 .
3
4
.34
d e )e (d )()e ()e (0
00
e )(1.
)(0222所以应填故，，的密度函数为
的指数分布，服从参数为因为刃而解了望一般方法，问题就迎的数学期的密度函数求密度函数，并知道由若读者熟悉指数分布的解=+=+=+??
?<≥=?
?∞
+--∞
+∞----x x x
x f x X E x x x f X X X g X x x x X z X
∑∑∞
==?
======1.43
2
2)()(._____)(,,2,1,32
}2{.2k k k k k k
k x p x X E X E k X P X 解则的分布律为：设离散型随机变量 .
_____23,2,1,0,!
e 2}{2.32=-====-EZ X Z k k k X P X k 的数学期望，则随机变量的泊松分布，即服从参数为已知离散型随机变量
.
44
23)23(,22.
故应填所以
的泊松分布，则服从参数为由于学期望随机变量线性函数的数利用数学期望的性质求
分布的有关性质，并会本题要求读者熟悉泊松分析=-=-==EX X E EZ EX X
._____.4一球为白球的概率为，则从箱中任取，机变量只球，其中白球数是随箱中有n EX X N =.
.1}{1}{·}{}|{)(0
00N
n
N
n EX N k X kP N k X P N
k k X P k X A P A P A N
k N
k N
k 故应填表示“取到白球”，则
分析==
==
=====∑∑∑===.
2
2
d e
z 2
d e
z 21)1,0(.__________))2
1
(
,0(,.50
2
2
222
π
π
π
π所以应填
的数学期望为
，则正态分布服从标准
，性质及正态分布的性质，则由独立随机变量的若令解的数学期望则随机变量的随机变量，
正态分布是两个相互独立且服从设－
－
=
?=
=-==--?
?
∞+∞+∞
-z z Z E Z N Z Y X Z Y X E Y X N Y X z z 二、选择题
2
15)
D (2
15)
C (2
53)
B (2
53)
A (,1),,2,1()(.1+--+=====a EX n a n X P n 则且设
2
5310),2,1(,)(25
325
31)1()()B (2
-=
?≤≤∴===-=
+=
?=-=
a a n a n X P a a a a X E n 或解
3
19)
D (3
14)
C (3
10)
B (3
8)
A (1.223期望为的数学的指数分布，则服从参数为设随机变量X e X Y X -+=.3
19)()()(,
3
1
)(,
!3)4()(0,
00
,)()
D (230320
33=
+====Γ==??
?≤>=-∞+--∞+--??X x X x x e E X E Y E dx e e E dx e x X E x x e x f X 故
所以的密度函数为解
6
1)
D (2
1)
C (1
)B (0
)A (,010,
101,1)(.3=???
??≤<-≤≤-+=EX x x x x x f X 则数学期望其它
若若率密度为是一个随机变量，其概设
).
A (0
3121
312
1)1()1()()()(1
0320
1321
00
12
2故应选分析=??????-+??????+=-++=-=--??x x x x dx x x dx x x X E EX X E DX
三、计算证明题
).
(,030001500,)1500(300015000,
)1500()()(.12
2X E x x x x
x p X 求其它率密度为是一个随机变量，其概以分计大负荷的时间里，某电器设备用于最设在某一规定时间间隔????
??
???≤<-≤≤=
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《线性代数与概率统计》 第一部分 单项选择题 1．计算 112212 12 x x x x ++=++（A ） A ．12x x - B ．12x x + C ．21x x - D ．212x x - 2．行列式1 1 1 111111 D =-=--（B ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．设矩阵 231123111,112011011A B -???? ????==???? ????-???? ，求AB =（B ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 率统计》 率统计》作业题 4．齐次线性方程组123123123 00 0x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=?有非零解，则λ=（C ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 5．设? ?? ? ??=50906791A ，???? ?? ? ? ?=67356300 B ，求AB =（D ） A ．1041106084?? ??? B ．1041116280?? ??? C ．1041116084?? ??? D ．1041116284?? ???
6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且A a =,B b =,00A C B ??= ??? ,则C =（D ） A ．(1)m ab - B ．(1)n ab - C ．(1)n m ab +- D ．(1)nm ab - 7．设???? ? ? ?=34 3122 321 A ，求1-A =（D ） A ．1 3 23 53 22111?? ? ?- - ? ?-? ? B ．132********-?? ? ?- ? ?-?? C ．13 2353 22111-?? ? ?- ? ?-?? D ．13 23 53 22111-?? ? ?- - ? ?-? ? 8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ） A ．111[()]()()T T T A B A B ---= B ．111()A B A B ---+=+ C ．11()()k k A A --=（k 为正整数） D ．1 1()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为 正整数） 9．设矩阵m n A ?的秩为r ，则下述结论正确的是（D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零 B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零 C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零 D ．A 中有一个r 阶子式不等于零 10．初等变换下求下列矩阵的秩， 32 1321 317051A --?? ?=- ? ?-? ? 的秩为（C ） A ．0 B ．1
习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18
1．第2题 设随机变量X和Y都服从正态分布，则( ). (A)服从正态分布 (B)服从分布 (C)服从F分布 (D)或服从分布 A.见题 B.见题 C.见题 D.见题 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 2．第3题 设随机变量X的概率密度为,则c=()（A）（B）0 （C）（D）1 A.见题 B.见题
C.见题 D.见题 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 3．第4题 如果P(A)=,P(B)=,且事件B与A独立，则P(AB)=（） （A）（B）（C）（D） A.； B.； C.； D.。 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 4．第5题 设随机变量X~e(1),Y~e(2),且X与Y相互独立。令Z的方差为D(Z)=( ) 4 4
2 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 5．第6题 假设样本X1,X2,...X n来自总体X,则样本均值与样本方差S2=2独立的一个充分条件是总体X服从（）。 A.二项分布 B.几何分布 C.正态分布 D.指数分布 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 6．第7题 设标准正态分布N（0，1）的分布函数为，则（）（A）（B）- （C）1- （D）1+
A.； B.； C.； D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 7．第8题 设随机变量X~N（），则线性函数Y=a-bX服从分布（） A. ； B. ； 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 8．第9题 设随机变量X~U（0，1），则它的方差为D(X)=（） 2
3 4 12 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 9．第10题 设来自总体N（0，1）的简单随机样本，记 ，则=() （A）n （B）n-1 （C） （D） A.见题 B.见题 C.见题 D.见题 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 10．第23题
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布，
D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《概率论与数理统计》作业解答 第一章 概率论的基本概念习题（P24-28） 1. 写出下列随机试验的样本空间S ： (1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. (3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果. (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果. 解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数. 设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ??==??????? . (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =???. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为： (5) 所求样本空间为：{} 22(,):1S x y x y =+< 2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生.
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件：
东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题（一） 一、填空题 1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。 2．用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X 的分布函数为 。 3．已知随机变量X 和Y 成一阶线性关系，则X 和Y 的相关系数=XY ρ 。 4．简单随机样本的两个特点为： 5．设21,X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，若212004 1 X CX + 为μ的一个无偏估计，则C = 。 二、选择题 1．关系（ ）成立，则事件A 与B 为互逆事件。 （A ）Φ=AB ； （B ）Ω=B A ； （C ）Φ=AB Ω=B A ； （D ）A 与B 为互逆事件。 2．若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立。 )(A )(x f y =的定义域为[0,1] )(B )(x f y =非负 )(C )(x f y =的值域为[0,1] )(D )(x f y =在),(+∞-∞内连续 3．设Y X ,分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EY EX <,DY DX >则 ( ) (A ) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B ) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C ) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D ) 甲的工作效率及稳定性都不如乙 4．样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，μ=EX 为已知，而2σ=DX 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ） (.A ).∑==4141i i X X (B ).μ241++X X (C ).∑=-= 4 12 2)(1 i i X X k σ (D ).∑=-=4 1 22 )(31i i X X S 5．设θ是总体X 的一个参数，θ?是θ的一个估计量，且θθ=)?(E ，则θ?是θ的（ ）。 （A ）一致估计 （B ）有效估计 （C ）无偏估计 （D ）一致和无偏估计 三、计算题 1．两封信随机地投向标号1，2，3，4的四个空邮筒，问：（1）第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少；（2）两封信都投入第二个邮筒的概率是多少？
概率论与数理统计作业及解答
概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-=
概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.
第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1?掷一枚骰子，设A=｛出现奇数点｝, B=｛出现1或3点｝，贝U下列选项正确的是(). A. AB=｛出现奇数点｝ B. AB =｛出现5点｝ C.B =｛出现5点｝ D. AU B 2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是(). (A B) B A. (A B) B A B A AB (A B) B A B . AB AB A 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A=｛第i次正面向上｝(i =1,2)，则“至少有一次正面向上”可表示为(). A I A2U A1A2 A A2 A1A2 U A2某人向一目标射击3次，设A表示“第i次射击命中目标” (i =1，2，3)，则3次都没有命中目标表示为(). A A2 A3 A A2 A3 AA2A3 AA2A3设A与B为互为对立事件，且P(A) O,P(B) 0，则下列各式中错误的是 (). P(A|B) 0 P(B| A) 0 P(AB) 0 P(AU B) 1 设事件A与B相互独立，P[A)=, P( B)=,贝U P(A|B)=(). A. 0.2 B.0.4 C. 已知事件A与B互不相容，P(A)>0, P( B)>0,则(). P(AU B) 1 . P(AB) P(A)P(B) P(AB) 0. P(AB) 0 8.设P(A)=0, B为任一事件,则(). A A B与B相互独立与B互不相容 9.已知P(A)=, P(B)=,且 A B,则P(A| B)=(). .0.4 C. 设A与B为两事件,则AB =(). AB AUB AI B AI B 设事件 A B,P(A)=, P( B)=,则P(AUB)(). A. 0.3 B.0.2 C. 设事件A与B互不相容，P(A)=, P(B)=,则P(A|B)=().
第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质
随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。