江西省吉安县中、新余一中联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．a2＞b2D．a|c|＞b|c|
2．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=﹣，则等于（）
A．﹣3 B．﹣C．3D．
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形
4．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．.{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1} 5．（5分）在等差数列{a n}中，a9=，则数列{a n}的前11项和S11等于（）
A．24 B．48 C．66 D．132
6．（5分）设定点M1（0，﹣3），M2（0，3），动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+（其中a是正
常数），则点P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．不存在
7．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
8．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
9．（5分）“方程=1表示焦点在y轴上的椭圆”是“n＞m＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（5分）下列说法错误的是（）
A．若命题p：?x∈R，使得x2﹣x+1=0，则￢p：?x∈R，都有x2﹣x+1≠0
B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为假命题
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．已知p：?x∈R，使得cosx=1，q：?x∈R，都有x2﹣x+1＞0，则“p∧﹣q”为假命题
11．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
12．（5分）设a＞1，定义，如果对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log a b＞7log a+1b+7（a＞0且a≠1）恒成立，则实数b的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（0，4）D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24，且a1=1，a2=2，a3=3，则a1+a2+a3+…+a2013+a2014=．14．（5分）已知O为原点，椭圆=1上一点P到左焦点F1的距离为4，M是PF1的中点．则|OM|=．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．
16．（5分）已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}．（1）当a=﹣时，求A∩B；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量=（cosB，sinC），
=（cosC，﹣sinB），且?=．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，△ABC的面积S=，求b+c的值．
19．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．
（1）求a n与b n；
（2）设数列{c n}满足c n=a n?b n，求{c n}的前n项和T n．
20．（12分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km/h，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数；并求出当a=50，b=时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；
（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a=，b=，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．
21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为
2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．若|PA|2+|PB|2的值与点P的位置无关，求k的值．
22．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足
，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；
（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
江西省吉安县中、新余一中联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．a2＞b2D．a|c|＞b|c|
考点：不等关系与不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出．
解答：解：A．∵1＞﹣2，＜不成立，
B．∵c2+1≥1，根据不等式的基本性质，∵a＞b，∴，故B正确
C．∵1＞﹣2，a2＞b2，不成立，
D．c=0时，0=a|c|＞b|c|=0，不成立．
故选B．
点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．
2．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=﹣，则等于（）
A．﹣3 B．﹣C．3D．
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：把要求的代数式的分母提取q，约分后可得答案．
解答：解：∵等比数列{a n}的公比q=﹣，
∴=．
故选：A．
点评：本题考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：解三角形．
分析：利用正弦定理化简已知的等式，得到a2+b2＜c2，利用余弦定理的逆定理即可得出cosC ＜0，C为钝角，从而得出结论．
解答：解：由正弦定理==，化简已知的等式得：a2+b2 ＜c2，
再由余弦定理可得cosC=＜0，∴C为钝角，
则△ABC为钝角三角形．
故选C．
点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理、余弦定理，熟练掌握正弦定理、余弦定理，是解本题的关键，属于中档题．
4．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．.{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}
考点：对数函数的单调性与特殊点．
专题：函数的性质及应用．
分析：由不等式f（x）＞0可得①，或②．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
解答：解：∵函数f（x）=，则由不等式f（x）＞0可得
①，或②．
解①求得0＜x＜1，解②求得﹣1＜x≤0，
综合可得，﹣1＜x＜1，
故选：D．
点评：本题主要对数函数的单调性和特殊点，对数不等式、一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．
5．（5分）在等差数列{a n}中，a9=，则数列{a n}的前11项和S11等于（）
A．24 B．48 C．66 D．132
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：根据数列{a n}为等差数列，a9=，可求得a6，利用等差数列的性质即可求得
数列{a n}的前11项和S11．
解答：解：∵列{a n}为等差数列，设其公差为d，
∵a9=，
∴a1+8d=（a1+11d）+6，
∴a1+5d=12，即a6=12．
∴数列{a n}的前11项和S11=a1+a2+…+a11
=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6
=11a6
=132．
故选D．
点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，求得a6的值是关键，考查综合应用等差数列的性质解决问题的能力，属于中档题．
6．（5分）设定点M1（0，﹣3），M2（0，3），动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+（其中a是正
常数），则点P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．不存在
考点：椭圆的定义．
专题：规律型．
分析：根据基本不等式求得a+的最小值，利用椭圆的定义进行判断可得答案．
解答：解：∵a是正常数，
∴a+≥2=6，
当|PM1|+|PM2|=6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当a+＞6时，点P的轨迹是椭圆，
故选C．
点评：本题考查了椭圆的定义，考查了基本不等式的应用，特别要注意点的轨迹是椭圆的条件．
7．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
考点：正弦定理．
专题：计算题．
分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．
解答：解：由正弦定理得：=，
即sinB==，
则B=arcsin或π﹣arcsin，
即此三角形解的情况是两解．
故选B
点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．
8．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+y，得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．
由，得，
即A（1，1），
此时z的最小值为z=1+1=2，
故选：A．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．9．（5分）“方程=1表示焦点在y轴上的椭圆”是“n＞m＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据椭圆的定义和方程，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解答：解：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆则n2＞m2，则n＞m＞0不一定成立，即充分性不成立，
若n＞m＞0，则n2＞m2＞0，此时方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，必要性成立，故“方程=1表示焦点在y轴上的椭圆”是“n＞m＞0”的必要不充分条件，
故选：B
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
10．（5分）下列说法错误的是（）
A．若命题p：?x∈R，使得x2﹣x+1=0，则￢p：?x∈R，都有x2﹣x+1≠0
B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为假命题
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．已知p：?x∈R，使得cosx=1，q：?x∈R，都有x2﹣x+1＞0，则“p∧﹣q”为假命题
考点：特称命题．
专题：简易逻辑．
分析：写出选项B中命题的否命题，判定出其真假．
解答：对于选项A，命题p：?x∈R，使得x2﹣x+1=0，则￢p：?x∈R，都有x2﹣x+1≠0，∴A 正确；
对于选项B，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”
∵x=2时，x2﹣3x+2=0
∴命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为假命题
故选B．
点评：本题考查命题真假的判定，考查命题的否定与否命题的区别，属于基础题．11．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设P（m，n ），由得到n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．
把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，
把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，
b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．
又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．
综上，≤≤，
故选：C．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
12．（5分）设a＞1，定义，如果对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log a b＞7log a+1b+7（a＞0且a≠1）恒成立，则实数b的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（0，4）D．（1，+∞）
考点：数列的应用；数列与不等式的综合．
专题：计算题．
分析：由不等式12f（n）+7log a b＞7log a+1b+7恒成立这条件转化化为“f（n）＞t”这个形式，要求t，先求f（n）的最小值，最后就是利用a与b的关系求出b的范围．
解答：解：由知，，
∴=，∴f（n）是递增数列．
∴当n≥2时，f（n）的最小值是f（2）=，
要使对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log a b＞7log a+1b+7恒成立，
则满足12?+7log a b＞7log a+1b+7，
即log a b＞log a+1b，
即，
∴
∵a＞1，∴lgb＞0，即b＞1．
故选D．
点评：此题考查数列的增减性，及不等式恒成立问题的常规解法，一般都是转化为求函数的最值来解决．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24，且a1=1，a2=2，a3=3，则
a1+a2+a3+…+a2013+a2014=5033．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件推导出数列{a n}是以4为周期的周期数列，由此能求出
a1+a2+a3+…+a2013+a2014的值．
解答：解：∵数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24，
∴a1a2a3a4=24，
a4===4，
∵a n a n+1a n+2a n+3=24，
∴a n+1a n+2a n+3a n+4=24，
∴a n+4=a n，
∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，
2014=503×4+2，
∴a1+a2+a3+…+a2013+a2014=503×（1+2+3+4）+1+2
=5033．
故答案为：5033．
点评：本题考查数列的前2014项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性的合理运用．
14．（5分）已知O为原点，椭圆=1上一点P到左焦点F1的距离为4，M是PF1的中点．则|OM|=3．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a﹣|PF1|=6，在△PF1F2中利用中位线定理，即可得到的|OM|值．
解答：解：∵椭圆=1中，a=5，
∴|PF1|+|PF2|=2a=10，
结合|PF1|=4，得|PF2|=2a﹣|PF1|=10﹣4=6，
∵OM是△PF1F2的中位线，
∴|OM|=|PF2|=×6=3．
故答案为：3．
点评：本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查了椭圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．
考点：解三角形．
专题：计算题．
分析：根据正弦定理化简，得到a与c的关系式，由余弦定理表示出b2，把b和cosB以及a与c的关系式的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，进而得到a的值，利用三角形的面积公式，由a，c和sinB的值，即可求出△ABC的面积．解答：解：由，根据正弦定理得：a=c，
由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，
即4=4c2﹣3c2=c2，解得c=2，所以a=2，
则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=．
故答案为：
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
16．（5分）已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：依题意，由正实数x，y满足x+y+3=xy，可求得x+y≥6，由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0
恒成立可求得a≤x+y+恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数a的取值范围．
解答：解：∵正实数x，y满足x+y+3=xy，而xy≤，
∴x+y+3≤，
∴（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，
∴x+y≥6或x+y≤﹣2（舍去），
∴x+y≥6．
又正实数x，y有（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，
∴a≤x+y+恒成立，
∴a≤，
令x+y=t（t≥6，）g（t）=t+，由双钩函数的性质得g（t）在[6，+∞）上单调递增，
∴=g（t）min=g（6）=6+=．
∴a≤．
故答案为：（﹣∞，]．
点评：本题考查基本不等式，考查双钩函数的单调性质，求得x+y≥6是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}．（1）当a=﹣时，求A∩B；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：（1）当a=﹣时求出集合A，B，根据集合的基本运算即可．
（2）然后利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，进行确定范围．解答：解：（1）当a=﹣时，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}={x|＜x＜}，A={x|
＜0}={x|2＜x＜3}，
则A∩B={x|2＜x＜}．
（2）B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}={x|a＜x＜a+4}．
因为￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，
则A?B，
则，
即，
解得﹣1≤a≤2．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件，是解决本题的关键．
18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量=（cosB，sinC），
=（cosC，﹣sinB），且?=．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，△ABC的面积S=，求b+c的值．
考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
专题：计算题．
分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算化简?=，再利用两角和与差
的余弦函数公式及诱导公式化简，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc
的值，利用余弦定得到a2=b2+c2﹣2bccosA，将cosA的值代入，利用完全平方公式整理后，将a与bc的值代入即可求出b+c的值．
解答：解：（1）∵?=，向量=（cosB，sinC），=（cosC，﹣sinB），
∴cosBcosC﹣sinBsinC=，即cos（B+C）=，
又cos（B+C）=cos（π﹣A）=﹣cosA=，
∴cosA=﹣，
又A为三角形的内角，
则A=；
（2）∵△ABC的面积S=，sinA=sin=，
∴S△ABC=bcsinA=bc=，
∴bc=4，又a=2，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，
即12=（b+c）2﹣4，整理得：（b+c）2=16，
则b+c=4．
点评：此题考查了平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．
（1）求a n与b n；
（2）设数列{c n}满足c n=a n?b n，求{c n}的前n项和T n．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列方程求出等差数列的公差和等比数列的公比，则a n与b n可求；
（2）把a n与b n代入c n=a n?b n，然后利用错位相减法求{c n}的前n项和T n．
解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
∵，
∴，解得q=3或q=﹣4（舍），d=3．
∴a n=3+3（n﹣1）=3n，；
（2）由（1）知，，
∴，
，
作差得：=，
∴．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．
20．（12分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km/h，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数；并求出当a=50，b=时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；
（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a=，b=，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，全程成本为y=（bv2+a）?=120（bv+），v∈（0，120]；代入a=50，b=，利用基本不等式求解；
（2）注意到y=120（v+）时，利用基本不等式取不到等号，故转而应用函数的单调性求最值．
解答：解：（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，
全程成本为y=（bv2+a）?=120（bv+），v∈（0，120]；
当a=50，b=时，
y=120（v+）≥240?=120（当且仅当v=100时取等号）．
所以汽车应以100km/h的速度行驶，能使得全程运输成本最小．
（2）当a=，b=时，y=120（v+），
由双勾函数的单调性可知v=120时，y有最小值．
所以汽车应以120km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小．
点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．
21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为
2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．若|PA|2+|PB|2的值与点P的位置无关，求k的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由题意知，a=2，e==，故c=，b=1；从而写出椭圆方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得（4k2+1）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，利用韦达定理及两点间的距离公式可化简|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22
=，从而由|PA|2+|PB|2的值与点P的位置无关得﹣8k4﹣6k2+2=0，从而求解．
解答：解：（1）由题意知，a=2，e==，
故c=，b=1；
故椭圆的方程为=1．
（2）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与椭圆C的方程，
化简可得（4k2+1）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，
则x1+x2=，x1x2=，
y1+y2=，y1y2=，
则|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22
=（x1+x2）2﹣x1x2﹣2m（x1+x2）+2m2+2
=①，
∵|PA|2+|PB|2的值与点P的位置无关，
∴即①式取值与m无关，
∴﹣8k4﹣6k2+2=0，
解得k=，
故k的值是．
点评：本题考查了圆锥曲线的求解及与直线的位置关系应用，属于难题．
22．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足
，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；
（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n
项和T n；
（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．
（3）由（1）中T n的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1＜m＜n及m，n均为整数，可得答案．
解答：解：（1）在a n2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，
得，即（2分）
解得a1=1，d=2，（3分）
∴a n=2n﹣1．
∵==（﹣），
∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=．（5分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λT n＜n+8?（﹣1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λT n＜n+8?（﹣1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n﹣﹣15恒成立．（8分）
∵2n﹣是随n的增大而增大，
∴n=1时，2n﹣取得最小值﹣6．
∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）
（3）T1=，Tm=，Tn=，
若T1，T m，T n成等比数列，则（）2=（），
即=．（11分）
由=，可得=＞0，
即﹣2m2+4m+1＞0，（12分）
∴1﹣＜m＜1+．（13分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T n}中的T1，T m，T n成等比数列．（14分）
点评：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力