北京市各区2012届高三上学期期中、期末末数学分类解析
六、数列
1．（2012年海淀区高三期末考试理3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是( B )
A.6
B.7
C.8
D.9
2．（2012年朝阳区高三期末考试理3）设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于（ A ）
A.
2
78
8
n
n +
B.
2
74
4
n
n +
C.
2
32
4
n
n +
D.2n n +
3．（2012年丰台区高三期末考试理5）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使 用的公式是0(1)(1)n
n P P k k =+>-，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年 内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1 2 2 111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ C ） A.4 B.5 C.24 D.25 5．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理3）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-，则12345a a a a a ----=（ B ） A.15 B.17 C.-15 D.16 6．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习文3）已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =-，则1234a a a a ---=（ D ） A.14- B.9- C.11 D.16 7．（2011年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理4）在各项均为正数的数列{}n a 中，对任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=?．若664a =，则9a 等于（ C ） A.256 B.510 C.512 D. 1024 8．（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示5）等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若205=S ，则142a a +=（ B ） A. 9 B.12 C.15 D.18 9．（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 的值为（ C ） A. 55 B. 60 C.65 D.70 10．（2012年东城区高三期末考试理1）在等差数列{}n a 中，若475=+a a ，286-=+a a ， 则数列{}n a 的公差等于 ； 其前n 项和n S 的最大值为 ． 答案：3-；57。 11．（2012年丰台区高三期末考试理9）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5= a 8+5，S 6= a 7+ a 9-5，则公差d 等于 ． 答案：5. 12．（2012年丰台区高三期末考试文13）设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则公比q 等于 ． 答案： 13 。 13．（2012年西城区高三期末考试理12）已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ； 2 2 2 1 2 111n a a a + ++ = ______． 答案：2，1 (14 )3 n --。 14．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理10）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 。 答案：24。 15．（2011年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理10）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若22a =，158+=a a ，则6S =_ _. 答案：30。 16．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理14）已知数列A ：12,,,(2)n a a a n > ，令 {}n j i a a x x T j i A ≤<≤+==1,|，card()A T 表示集合A T 中元素的个数.①若A ：2,4,8,16，则 c a r d ()A T = ；②若1i i a a c +-=（c 为常数，11-≤≤n i ），则card()A T = 。 答案： 6；???≠-=0 ,320,1c n c 。 17．（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示12）设 )11()3 11)(2 11(2 2 2 n a n - - - = ),3,2( =n ，则4a = ； 10a = . 答案： 8 5； 2011。 18．（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文9）等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若205=S ，则142a a += 。 答案：12。 19．（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)理14）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数 列{}n a 的各项按如下规律排列：1121231234121 ,,,,,,,,,,,,,,,2334445555n n n n - 有如下运算和结论：①243;8 a = ②数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++ 是等比 数列；③数列12345678910,,,,a a a a a a a a a a ++++++ 的前n 项和为2 ;4 n n n T +=④若 存在正整数k ，使1510,10,.7 k k k S S a +<≥=则其中正确的结论有 .（将你认 为正确的结论序号都填上） 答案：①③④。 20．（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是 2a ，4a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2 1log n n n b a a =+，n n b b b S +???++=21，求使 1 247<0n n S +-+ 成立的正整数n 的最小值. 解:（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，[来源: https://www.doczj.com/doc/ce15828846.html,/] 依题意，有???+=+=+).2(2, 32342231a a a a a a 即???+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2 131 121q a q q a q a q a 由 )1(得 0232 =+-q q ，解得1=q 或2=q . 当1=q 时，不合题意舍； 当2=q 时，代入(2)得21=a ，所以，n n n a 2221 =?=- . ……………….……6分 （Ⅱ） 2 2 11log 2log 22 n n n n n n b a n a =+=+=－. ……………….…………7分 所以2 32122232n n S n =-+-+-++- 23(2222)(123)n n =++++-++++ 2 1 2 12 122 2 )1(2 1)21(2n n n n n n - - -=+- --=+ ………………10分 因为0472 1 <+-+n n S ，所以0472 2 12 122 1 2 1 <+-- - -++n n n n ， 即2 900n n +->，解得9n >或10n <-. ……………………12分 因为*∈N n ，故使1 247<0n n S +-+成立的正整数n 的最小值为10 . …………….13分 21．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理16）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，23a =，且5a 是48,a a 的等比中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数 列{}n a 的前n 项和，求使n n a S =成立的所有n 的值. 解：（Ⅰ）因为5a 是48,a a 的等比中项， 所以2 548a a a =. ……………2分 设等差数列{}n a 的公差为d ，则 2 222(3)(2)(6)a d a d a d +=++. …4分 因为23a =， 所以220d d +=. 因为0d 1， 所以2d =-. …………6分 所以27n a n =-+. ………………7分 （Ⅱ）由27n a n =-+可知：15a =. 所以1()2 n n a a n S += …………………9分 2 (572)62 n n n n +-= =-. …………………11分 由n n a S =可得：2276n n n -+=-. 所以1n =或7n =. ……………13分 22．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习文18）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-（*n ∈N ）.（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）数列{}n b 满足1(*)n n n b a b n +=+∈N ，且13b =.若不等式2 23log (2)16n b n t -< +对任意*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围. 解：（Ⅰ）因为21n n S a =-， 所以1121(2)n n S a n --=-≥. ……1分 所以1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12n n a a -=.…………3分 因为1121a a =-，即11a =. 所以0(*)n a n ≠∈N . ………4分 所以 1 2(2)n n a n a -=≥. 所以，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：1 2 n n a -=. ………7分 因为1,(1,2,3,)n n n b a b n +=+= ，且13b =， 所以111221211n n n n n n n n b a b a a b a a a b -------=+=++==++++ 231221322n n n ---=++++=+ . ……………10分 因为不等式2 23log (2)16 n b n t -<+对任意*n ∈N 恒成立， 所以2 3116 t n n >-+-对任意* n ∈N 恒成立. ……………11分 因为2 35116 16 n n - +-≤ ，且3n =时，2 3116 n n - +-取得最大值 516 ， 所以516 t > . 所以t 的取值范围是),16 5( +∞. ………13分 23．（2011年海淀区高三年级第一学期期中练习理19）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（λ为常数，1,2,3,n = ）.（Ⅰ）若2 32a a =，求λ的值；（Ⅱ）是否存在 实数λ，使得数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）当 2λ=时，若数列{}n b 满足1,(1,2,3,)n n n b a b n +=+= ，且132 b = ，令()1n n n n a c a b = +. 求 数列{}n c 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）因为1n n S a λ=-， 所以111a a λ=-，2121a a a λ+=-，32131a a a a λ++=-.………1分 由111a a λ=-可知：1λ1. 所以11 1 a λ= -，22 (1) a λλ= -，2 33 (1) a λ λ= -. 因为2 32 a a =， 所以 2 2 3 4 (1) (1) λ λ λλ= --. 所以0λ=或2λ=. ……3分 （Ⅱ）假设存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列，则2132a a a =+.………4分 由（Ⅰ）可得： 2 2 3 21 (1) 1 (1) λλ λλλ= + ---. 所以 2 2 3 2221(1) (1) λλλλλ-+= --，即10=，矛盾. 所以不存在实数λ，使得数列{}n a 是等差数列.………6分 （Ⅲ）当2λ=时，21n n S a =-. 所以1121(2)n n S a n --=-≥，且11a =. 所以122n n n a a a -=-，即12(2)n n a a n -=≥. 所以0(*)n a n ≠∈N ，且 1 2(2)n n a n a -=≥. 所以，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 所以1 2 (*)n n a n -=∈N . ……………8分 因为1,(1,2,3,)n n n b a b n +=+= ，且132 b = ， 所以111221211n n n n n n n n b a b a a b a a a b -------=+=++==++++ 2 3 321221(2)2 2 n n n n --+=++++ = ≥ . 当1n =时，上式仍然成立. 所以 21(*)2 n n b n += ∈N . ……10分 因为()1n n n n a c a b = +， 所以()()1 1 1 12 22 212 1(21) 212 n n n n n n n c ----×= = ++++ .……11分 因为 ()1 1 1 2 1 12 1 21 2 1(21) n n n n n ---= - ++++， ……………12分 所以12n n T c c c =+++ 2 1 1 111112212()1221 21 21 2 1 21 21 21 n n n n n --=-+-++ - =- = +++++++ .14分 24．（2011年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理17）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n a S n =++()n * ∈N . （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅲ）求数列{}n n a ?的前n 项和n T . 解：（I ）由题意，当1n =时，得1123a a =+，解得13a =. 当2n =时，得2122()5a a a =++，解得28a =. 当3n =时，得31232()7a a a a =+++，解得318a =. 所以13a =，28a =，318a =为所求. …3分 (Ⅱ) 因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立. 两式相减得：11222n n n a a a ++-=+. 所以122n n a a +=+()n * ∈N ，即122(2)n n a a ++=+. ……5分 所以数列{}2n a +是以125a +=为首项，公比为2的等比数列. ………7分 （Ⅲ）由(Ⅱ) 得：1 252 n n a -+=?，即1 52 2n n a -=?-()n * ∈N . 则1 52 2n n na n n -=?-()n * ∈N . ……8分 设数列{}152n n -?的前n 项和为n P , 则0 1 2 2 1 512522532...5(1)2 52 n n n P n n --=??+??+??++?-?+??， 所以1 2 3 1 2512522532...5(1)252n n n P n n -=??+??+??++-?+?， 所以1 2 1 5(122 (2) )52n n n P n --=++++-?， 即(55)25n n P n =-?+()n *∈N . …11分 所以数列{}n n a ?的前n 项和n T =(1)(55)2522 n n n n +-?+-? ， 整理得，2 (55)25n n T n n n =-?--+()n *∈N . ……13分 25．（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文16）等比数列{}n a 中，142,16a a ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，试求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q , 由已知得3162q =，解得2q =. ……………………3分 又12a =，所以111222n n n n a a q --==?=. …………………………………………6分 （Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则48b =，1632b =. 设{}n b 的公差为d ，则有1138,1532, b d b d +=?? +=? 解得12,2. b d =??=? …………………10分 则数列{}n b 的前n 项和1(1)2 n n n S nb d -=+ 2 (1)22.2 n n n n n -=+ ?=+ …… 13分 26．（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示17）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1a 1=，)1(--=n n na S n n （)n +∈N （Ⅰ）求n a 的表达式； （Ⅱ）若数列}1{1 +n n a a 的前n 项和为 n T ，问：满足209 100> n T 的最小正整数n 是多少？ 解：（Ⅰ）当2n ≥时，11(1)2(1)n n n n n a S S na n a n --=-=---- ……2分 ? 122)n n a a n --= (≥ ? 数列}{n a 是以11=a 为首项，以2为公差的等差数列 ∴21n a n =- …6分 （Ⅱ）数列}1{ 1 +n n a a 的前n 项和为n T 1223 1 111111 13 35 (21)(21) 111111111[()()()()]2133557212111(1)2 21 21 n n n T a a a a a a n n n n n n n +=+ +??????+ = + +??????+ ??-?+ =-+-+-+??????+--+ = - = ++……10分 ? 10021 209 n n > + ? 1009 n > ?满足209 100> n T 的最小正整数n 是12. …13分 27．（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)理19）已知数列{}n a 满足4 11=a ， () ),2(2 111 N ∈≥--= --n n a a a n n n n ． （Ⅰ）试判断数列()? ?? ???-+n n a 11是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）设2 )12(sin π -=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，3 2< n T ． 解：（1）() ()()1 1 111 212 112 1------ -=--= --= n n n n n n n n n n a a a a a a a 得由已知, ()()() ]112[ 212111 1 1 ----+-=- -?=-+n n n n n n a a a .又 04 3111 ≠- =-a ， 故()? ?? ???-+n n a 11为公比为-2的等比数列. …………7分 （2）由（1）得 ()1 1 ) 2(3) 2()14(11---?=-?-=-+n n n n a . 所以 ()n n n a 1) 2(311 ---?=-，() n n n a 1) 2(31 1 ---?= -， () 1 1 1 1 2 311 2 31)1(1) 2(31 2 )12(sin ----?< +?= -?---?= -=n n n n n n n n a c π . 所以32])21(1[322 11] )21(1[31 <-=- - n T . ……14分 28．（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）已知函数()3221 x F x x -= -，1.2x ? ? ≠ ?? ? （Ⅰ）求122010201120112011F F F ?????? +++ ? ? ??????? ； （Ⅱ）已知数列{}n a 满足12a =，()1n n a F a +=，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求证：123...n a a a a >． 解：（Ⅰ）因为()()()()312321321 211 x x F x F x x x ---+-= +=---. ………….…2分 设122010=201120112011S F F F ? ?????+++ ? ? ? ?? ?? ?? ① 201020091=201120112011S F F F ?????? +++ ? ? ??????? ② ①+②得： 1201022009201012...201120112011201120112011S F F F F F F ?? ?? ?? ????????????=++ +++ +?????? ? ? ? ? ? ??? ???? ??????????? ? 320106030=?=， 所以S =3015．…….…………….…………….…………….4分 （Ⅱ）由()1n n a F a +=两边同减去1，得13211121 21 n n n n n a a a a a +---= -= --， 所以 ()1211 211121 1 1 1 n n n n n n a a a a a a +-+-= ==+ ----，所以 11121 1 n n a a +-=--. 11n a ?? ??-?? 是以2为公差以1为首项的等差数列 . …….…………….…6分 所以 ()1112211 n n n a =+-?=--12121 21n n a n n ?=+ = --．…….…………….8分 （Ⅲ） ∵()()()()22 2212121n n n n >-=-+，∴22121 2n n n n +> -，∴2 2212212122121n n n n n n n n ++?? >?= ? ---?? ， 则221 n n a n = > -，…….………12分 所以123n a a a a > = …….…………….…………14分 29．（2012年昌平区高三期末考试文16）已知数列}{n a 是等差数列,22 , 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是n S ，且13 1=+n n b S .（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求证：数列}{n b 是等比数列； 解：（1）由已知???=+=+.225, 10211d a d a 解得 .4,21==d a .244)1(2-=?-+=∴n n a n ………………6分 （2）由于n n b S 3 11-=， ① 令n =1，得.3 1 111b b -= 解得4 31=b ，当2≥n 时，113 11---=n n b S ② ① －②得n n n b b b 313 11-=- ， 141-=∴n n b b 又04 31≠= b , .411 = ∴-n n b b ∴数列}{n b 是以4 3为首项， 4 1为公比的等比数列.… …13分 30．（2012年东城区高三期末考试文16）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的 各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 2 2b S q = ．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足n n S c 1= ， 求{}n c 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ， 因为?? ???==+, ,122222b S q S b 所以??? ??+==++．， q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ． 故33(1)3n a n n =+-= ，1 3 -=n n b ． ……8分 （Ⅱ）因为2 ) 33(n n S n += ， 所以n c = )1 1 1(32) 33(2 1+-= += n n n n S n ． …11分 故= n T 211111212(1)()()(1)32231313(1) n n n n n ??-+-++-=-=??+++?? ． 13分 31．（2012年昌平区高三期末考试理18）已知数列}{n a 是等差数列,22 , 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是n T ，且13 1=+ n n b T . （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：数列}{n b 是等比数列；（III ）记n n n b a c ?=，求证：n n c c <+1. 解：（1）由已知???=+=+.225, 10211d a d a 解得 .4,21==d a .244)1(2-=?-+=∴n n a n ………………4分 （2）由于n n b T 31 1- =， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，1131 1---=n n b T ② ② －②得n n n b b b 31311-=- ， 14 1 -=∴n n b b 又04 31≠= b , .4 11 = ∴ -n n b b ∴数列}{n b 是以 4 3为首项， 4 1为公比的等比数列.………9分 （3）由（2）可得.43 n n b =……9分 n n n n n b a c 4 ) 24(3-=?=……10分 .4 36304) 24(34] 2)1(4[31 1 1+++-= -- -+= -n n n n n n n n c c 1≥n ，故.01 <-+n n c c .1n n c c <∴+……………………13分 32．（2012年东城区高三期末考试理16）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 2 2b S q = ． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）证明：3 1≤ 3 21112 1 <+ ++ n S S S ． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ， 因为?? ???==+, ,122222b S q S b 所以??? ??+==++．， q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ． 故33(1)3n a n n =+-= ，1 3 -=n n b ． ……6分 （Ⅱ）因为2 ) 33(n n S n += ， 所以 )1 1 1(32) 33(21+-= += n n n n S n ． …9分 故 1 2 111n S S S +++ 21111111(1)()()()3223341n n ??= -+-+-++-??+?? )1 11(3 2+- = n ． ………11分 因为n ≥1，所以11 0+ 2 1 ，于是 2 1≤11 11<+- n ， 所以31≤3 2 )111(32<+-n ． 即 3 1≤ 3 21112 1 < + ++ n S S S ． ……13分 33.（2012年丰台区高三期末考试文20）函数()f x 的定义域为R ，数列{}n a 满足1=()n n a f a -（*n N ∈且2n ≥） ． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，12a a ≠，且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-(k 为非零常 数， *n N ∈且2n ≥)，求k 的值； （Ⅱ）若()(1)f x kx k =>，12a =，* ln ()n n b a n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，对于给定的正整数m ，如果 (1)m n m n S S +的值与n 无关，求k 的值． 解：（Ⅰ）当2n ≥时， 因为 1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-， 所以 111()()()n n n n n n a a f a f a k a a +---=-=-． 因为数列{}n a 是等差数列，所以 11n n n n a a a a +--=-． 因为 11()n n n n a a k a a +--=-， 所以1=k ． …6分 （Ⅱ）因为()(1)f x kx k =>，12a =，且1()n n a f a +=， 所以 1n n a ka +=． 所以数列{}n a 是首项为2，公比为k 的等比数列， 所以1 2n n a k -=． 所以ln ln 2(1)ln n n b a n k ==+-． 因为1ln n n b b k --=， 所以{}n b 是首项为ln 2，公差为ln k 的等差数列． 所以 n S 1()(1)[ln 2ln ]2 2 n b b n n n k +-==+ ． 因为 (1)[(1)1](1){ln 2ln } (1)[(1)ln 2ln 2ln ] 2(1) [ln 2ln 2ln ] [ln 2ln ] 2 m n m n m n m n k S m m n k k m n S m m n k k m n k ++-+++++-= = -+-+ ， 又因为 (1)m n m n S S +的值是一个与n 无关的量， 所以 2ln 2ln 2ln 2ln ln (1)ln k k m n k m n k --= +， 解得4k =． …13分 34.（2012年丰台区高三期末考试理20）若有穷数列{a n }满足：（1）首项a 1=1，末项a m =k ，（2）a n+1= a n +1或a n+1=2a n ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{a n }为k 的m 阶数列． （Ⅰ）请写出一个10的6阶数列； （Ⅱ）设数列{b n }是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈ ，且2)l ≥，求m 的最小值． 解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． 2分 （Ⅱ）由已知在数列{a n }中 a n+1= a n +1或a n+1=2a n ， 当m a 为偶数时，1(2)2 m m m a a a -=≥，或11m m a a -=-． 因为 12 m m a a -≤ (2)m a ≥， 所以在数列{a n }中 12 m i a a ≤≤ 中i 的个数不多于11j m a a -≤≤中 j 的个数， 要使项数m 最小，只需 1(2)2 m m m a a a -=≥． ……5分 当a m 为奇数时，必然有 11(2)m m m a a a -=-≥ ，1m a -是偶数，可继续重复上面的操作． 所以要使项数m 最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1． 因为3 1 2 22 2 +2l b b b b m a k ==+++ ，且1230l b b b b <<<< ≤， 只需除以1b 次2，得到31 1 21 12 2 +2 l b b b b b b ---+++ 为奇数；减1，得到31 1 21 2 2 +2 l b b b b b b ---++ 为偶数， 再除以21b b -次2，得到32 2 122l b b b b --+++ ； 再减1，得到32 2 22 l b b b b --++ 为偶数，…………， 最后得到1 2 l l b b --为偶数， 除以1l l b b --次2，得到1，即为1a ． 所以121321()()+()(1)1l l m b b b b b b b l -=+-+-+-+-+ =l b l +． …13分 35. （2012年朝阳区高三期末考试理20）数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n = ）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,2 1 1--+= k k k b a b ；当011<+--k k b a 时， 2 1 1--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，写出234,,a a a ，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示 k b },,2,1{s k ∈； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足2 11=c ，0n c ≠， 22 12 m n n n m c c c ma -+=- +(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1 （Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02 1 12=+= b a b . 因为0122<-=+b a ,所以2 12 2 23- =+=b a a ,023==b b . 因为33102 a b +=- <,所以33 412 4 a b a += =- ,430b b ==. 所以1234111,1,,24 a a a a =-=-=- =- . ……………… 2分 由此猜想，当2≥k 时,011<+--k k b a ，则2 2 11 1---= += k k k k a b a a ，10k k b b -==. 3分 下面用数学归纳法证明： ①当2k =时，已证成立. ②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立， 即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<. 当1k l =+时，由102 l l a a -= <， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，102 2l l l l a b a a ++= =<. 综上所述，猜想成立. 所以2 2 22 1111(2)222 n n n n a a n ---?? ??=?=-?=- ≥ ? ? ???? . 故211,1 2. 2 n n n a n --=?? =?-≥??. …………………… 6分 （Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ， 与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， … 7分 所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. 当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，2 1 1--+=k k k b a b , 所以11 1111()2 2 k k k k k k k a b b a a b a -----+-= -= -; ……… 8分 当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立. 又110b a -≠， 所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为1 2的等比数列, 1 1121)(-? ? ? ??-=-k k k a b a b ， 1,2,,k s = , 又因为1a a k =，所以11 1121)(a a b b k k +? ? ? ??-=-. …………… 10分 （Ⅲ）证明：由题意得22 12 m n n n m c c c ma -+=-+ n n c c m += 2 1. 因为2 11n n n c c c m += +，所以2 110n n n c c c m +-= >. 所以数列{}n c 是单调递增数列. ………………… 11分 因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1 c += +2 11< n n n c c c m ++11，即 1111n n c c m +- >- .…… 12分 因此1 12 2 1 1 1 )11( )1 1( )11(1c c c c c c c c m m m m m + - ++- +-=--- m m m m 121+= +-- >. 所以11 m m c m < <+. 故当m n ≤,恒有1
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