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南京航空航天大学《高等数学》3.3泰勒(Taylor)公式

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时,12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习,要使学生获得:1、函数与极限;2、一元函数微积分学;3、向量代数与空间解析几何;4、多元函数微积分学; 5、无穷级数(包括傅立叶级数); 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课,分为高等数学A(一)、(二)、(三),总学时为90+72+54,学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明:教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述,要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念,掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念,掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则,了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy),审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理,最大最小值定理,一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质,了解函数可积的充分必要条件。

同济高数上册公式大全

第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)0)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3)) ()(lim x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 这个定理说明:当) ()(lim x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→;当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时,)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(H L 'ospital )法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)∞=→)(lim 0 x f x x ,∞=→)(lim 0 x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则

微积分基础知识总结以及泰勒公式

§3.3 泰勒公式 常用近似公式 ,将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示,这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙(尤其当 较大时),从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进: 1、提高近似程度,其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似,应告诉它的误差,否则,使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化: 对复杂函数 ,想找多项式来近似表示它。自然地,我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 —— 如:在某点处的值与导 数值;我们还关心 的形式如何确定; 近似 所产生的误差 。 【问题一】 设 在含的开区间内具有直到阶的导数,能否找出一个关于 的 次多项式 近似 ? e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小 x f x ()p x n ()p x n () f x ()p x n () p x n () f x ()R x f x p x n n ()()() =-f x ()x 0n +1() x x -0n ) ,,1,0()()() 1()()()()(0)(0) (0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n n n ==-++-+-+=且f x ()

【问题二】 若问题一的解存在,其误差 的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数 。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程,不难归纳出: R x f x p x n n ()()() =-a a a n 01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00() '=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴ ='a p x n 10() ''=??+???-+???-++?-??--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴ ??=''2120a p x n () '''=???+????-+????-++?-?-??--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴???='''32130a p x n ()

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 (一) 函数 1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、 反函数、复合函数、函数的运算; 3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、 函数的连续性与间断点; 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类:左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. (二) 极限 1、 定义 1) 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时,当 左极限:)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限:)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ) a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量. 2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则; 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5) 无穷小代换:(0→x ) a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

同济高等数学公式大全

高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

考研高数:泰勒公式求极限

考研高数:泰勒公式求极限

凯程教育: 凯程考研成立于2005年,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯; 凯程考研的价值观口号:凯旋归来,前程万里; 信念:让每个学员都有好最好的归宿; 使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构; 激情:永不言弃,乐观向上; 敬业:以专业的态度做非凡的事业; 服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学员引路。 如何选择考研辅导班: 在考研准备的过程中,会遇到不少困难,尤其对于跨专业考生的专业课来说,通过报辅导班来弥补自己复习的不足,可以大大提高复习效率,节省复习时间,大家可以通过以下几个方

面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素,考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价,询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力,因为任何一门课程,都不是由一、两个教师包到底的,是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集,李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。 对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解,才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下2015五道口金融学院状元,考取五道口15人,清华经管金融硕士10人,人大金融硕士15个,中财和贸大金融硕士合计20人,北师大教育学7人,会计硕士保录班考取30人,翻译硕士接近20人,中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元,更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜,成功学员经验谈视频特别多,都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩,凯程集训营班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史:机构成立的历史也是一个参考因素,历史越久,积累的人脉资源更多。例如,凯程教育已经成立10年(2005年),一直以来专注于考研,成功率一直遥遥领先,同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区:有些机构比较小,就是一个在写字楼里上课,自习,这种环境是不太好的,一个优秀的机构必须是在教学环境,大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区,有吃住学一体化教学环境,独立卫浴、空调、暖气齐全,这也是一个考研机构实力的体现。此外,最好还要看一下他们的营业执照。

同济高等数学公式大全

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高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: ·诱导公式: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

最新全国数学微积分-泰勒公式

2010年全国数学微积分-泰勒公式

泰勒公式及其应用 [摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问 题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值, 求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词]泰勒公式;极限;不等式;敛散性;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行列式. 1引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. 2预备知识 定义2.1?Skip Record If...?若函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?存在?Skip Record If...?阶导数,则有 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?(1) 这里?Skip Record If...?为佩亚诺型余项,称(1)f在点?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,(1)式变成?Skip Record If...?,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2?Skip Record If...?若函数 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?某邻域内为存在直至 ?Skip Record If...?阶的连续导数,则?Skip Record If...? , (2)这里?Skip Record If...?为拉格朗日余项?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?在?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间,称(2)为?Skip Record If...?在?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,(2)式变成?Skip Record If...? 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式: ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 定理2.1?Skip Record If...?(介值定理) 设函数?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?上连续,且?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?为介于?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间的任何实数,则至少存在一点?Sk ip Record If...??Skip Record If...?,使得 ?Skip Record If...?. 3泰勒公式的应用

高等数学等价替换公式泰勒公式

应用高等数学等价替换公式 1、无穷小量: 设0)x (g lim )x (f lim 0 x x x x ==→→ *1)若0) x (g ) x (f lim x x =→,f (x )是g (x )的 高阶 无穷小 *2)若∞=→) x (g ) x (f lim x x ,f (x )是g (x )的 低阶 无穷小 *3)若c ) x (g ) x (f lim x x =→,f (x )是g (x )的 同阶 无穷小 *4)若1) x (g ) x (f lim x x =→,f (x )是g (x )的 等价 无穷小 *5)若0) x (g ) x (f lim k x x 0 =→,f (x )是g (x )的 k 阶 无穷小 2、等价替换: 若x →x 0,f (x )~ f 1(x ),g (x )~ g 1(x ) 则=→)x (g ) x (f lim x x ) x (g )x (f lim 11x x 0→ 6、常用等价形式: 当f (x )→0时 *1)sinf (x )~ f (x ) *2)arc sinf (x )~ f (x ) *3)tanf (x )~ f (x )

*4)arc tanf (x )~ f (x ) *5)In (1+f (x ))~ f (x ) *6)e f (x )-1~ f (x ) *7)1-cosf (x )~ 2 ) x (f 2 *8)(1+f (x ))α-1~ αf (x ) 二、函数的连续: 1、间断点: *1)第一类间断点:f -(x 0)、f +(x 0)均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点: f -(x 0)≠f +(x 0) ⑵可去间断点: f -(x 0)=f +(x 0) *2)第二类间断点:f -(x 0)、f +(x 0)至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点: f -(x 0)、f +(x 0)中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点: f -(x 0)、f +(x 0)中至少有一个 振荡不存在 三、导数: 1、定义:)x (f '= x △) x (f -)x △x (f lim 000 x △+→ 2、导数的常见形式: *1) 0 0x x 0x -x ) x (f -)x (f lim )x (f 0 →='

同济高等数学公式大全

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高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)0)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3))()(lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 这个定理说明:当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→;当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(H L 'ospital )法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)∞=→)(lim 0 x f x x ,∞=→)(lim 0 x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3)) () (lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 注:上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点: (1)洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则;) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

同济高等数学公式大全

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高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

同济高等数学1归纳

高等数学归纳(第一章~第三章) 2010126137 彭伟奕 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一 、 集合 ●集合概念:集合(集)是指具有某种特定性质的事物的总体。 ●元素(元):组成某个集合的事物称为该集合的元素(元)。 (a 属于A,记作a ∈A ; a 不属于A ,记作a ?A 。) ●表示集合的方法: (1) 列举法:把集合的全体元素一一列举出来,例:A={}123n a a a a ,, (2) 描述法:集合M={} x x ︱具有性质P ,例:M={} 210x -=︱x ●集合间关系:A 包含于B (A ?B ),A 不包含于B (A ?B ) A 是B 的真子集( A B ?) ,A 等于B (A=B ),空集?是任何非空集合的真子集。 ●集合的运算:并,交,差 {}A B |x x A x B =∈∈或 {}A B |x x A x B =?∈且 A\B={}|x x A x B ∈?且 I\A 为A 的余集或补集,亦记c A ●集合运算法则: 交换律:A ∪B=B ∪A,A ∩B=B ∩A 结合律:(A ∪B )∪C=A ∪(B ∪C) A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 分配律:(A ∪B )∩C=(A ∩C) ∪(B ∩C) (A ∩B) ∪C=(A ∪C) ∩(B ∪C) 对偶律:c c (A B)A B c = ccc (AB)=AB 直积(笛卡尔乘积):A ?B={(x,y )|x ∈A 且x ∈B},例:R ×R={(x,y)|x ∈R,y ∈B}为XOY 面上全体点的集合,R ×R 记作2 R。 ● 区间与邻域: (1)区间 开区间:(a,b ),a,b 为开区间(a,b )的端点。 闭区间:[a,b] 半开区间:[a,b ﹚, ﹙a,b] (2)邻域:以a 为中心的任何开区间称以点a 为邻域,记作U (a ) 点a 的δ邻域,记U(a, δ),其中δ为任一正数, U(a, δ)={x|a-δ<x <a+δ}={x| |x-a|<δ} 点a 为邻域的中心,δ为邻域半径。

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高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=, , ,  a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ

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