第一章习题答案（P26-28）
1． 利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）3811411
02---；（2）b
a c a c
b c
b a ；
（3）222
111
c b a c b
a
；（4）y
x
y
x x y x y y x y x +++.
解：（1）4016408243
81141
1
02
-=-+-++-=---. （2）b a c a c b c
b a =ab
c + abc + abc -c 2-a 2-b 2= 3abc + abc + abc -a 2-b 2-c 2
（3）a c c b b a ab c a bc c b a c b a
2222222
2
21
11
---++=))()((b c a c a b ---= （4）
y
x
y x x y x y y x y
x
+++
333)()()()(y x y x y x xy y x xy y x xy --+-+++++=3322y x --=
2．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 …（2n -1）2 4 …（2n ）； （6）1 3 …（2n -1）（2n ）（2n-2）… 2 解：（1） σ( 1 2 3 4)=0 （2）σ(4 1 3 2) =3+0+1=4 （3）σ(3 4 2 1) =2+2+1=5 （4）σ(2 4 1 3) =1+2+0=3 （5）σ(1 3 …（2n -1）2 4 …（2n ）)=1+2+…+(n -1) 2
)1(n
n -=
（6）σ(1 3 …（2n -1）（2n ）（2n -2）… 2)=1+2+…+(n -1)+ (n -1) +…+2+1=n (n -1) 3．写出四阶行列式中含有a 11a 23的项. 解：由定义知，四阶行列式的一般项为
43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p
已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为
10100=+++或22000=+++，
-a 11a 23a 32a 44和a 11a 23a 34 a 42即为所求 . 4．计算下列各行列式：
（1）
7110025102
0214214；（2）
2
60
5
232112131
412-；（3）ef
cf
bf
de cd
bd
ae ac ab
---； （4）
d c b
a 1001100
1
1001---.
解：（1）
7
1100
25102
0214214 7
110025104
21420212
1-
=?r r 7
1102021504
2702021-----
=
71120215427-----=71185
17045
90-=012成比例
与r r =.
（2）
2
60
5
232112131412-2
60
5
1412121323213
1--=?r r 8
91003
23
5
7702
3211
41312523----------
=---r r r r r r
08
91003230891002
32132=---------=+r r 或者 02
605
23212605
2321260523211213141212==
-+r r .
（3）ef cf bf de cd bd
ae ac ab
---e c b e c b e c b adf ---=111
1111
11---=adfbce =4abcdef . （4）
d
c b
a 100
1100
1
1001---d
c b a ab 10
1100
1
1010---＋＝
d
c ab 10
11
1
1--+＝=abcd +ab +cd +ad +1 5．证明：
（1）3
2
2)(1
1
1
22b a b b a a b ab a -=+；
（2）y
x
z
x z y
z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz
ay bx az bz
ay by ax )(33+=+++++++++ （3）
0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2
2
2222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ；
（4）
))()()()()()((11114
4
4
4
2
2
2
2
c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a d c b a ------+++=；
（5）n n n n n n n a x a x a x a x a x a a a x x x +++++=+------122111
21
1000
00001
. 证明：（1）3
22
1
1
1
22b
b a a b
ab a +001)(22)(2221
21
3a b a b a a b a b a a c c c c ----=--0
01212)(22a a
b a a a b +-=
00
1
01
2)(2222
3a a
b a a a b
c c --=-3323)()(0
01
0121)(b a a b a a a a b -=--=-=
（2）bz ay by ax bx az by ax bx az bz
ay bx az bz
ay by ax +++++++++ bz ay by ax bx by
ax bx az bz bx
az bz ay by bz ay by ax az by ax bx az ay bx az bz ay ax +++++++++++++=
bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz
ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx
az bz
ay x
a +++++++++++++=bz
ay y x by ax x z bx
az z y
b y by ax z x bx
az y z
bz
ay x
a +++++++=22
z y
x y x z
x
z y
b y x
z x z y
z
y x
a bz y x by x z bx
z y
b y ax
z x az
y z
ay x a 3322+=+y
x
z
x z
y
z
y x
b a )(33+=
注：如果只拆为两个行列式是错误的，事实上全部拆开应有8个行列式,只是其中有6个为0。尽管如此，为了表示清楚就必须将8个全部写出，显然会使人眼花缭乱。这种方法不好,最好一步一步运算给出结果。
（3）
2
2
2
2
2
2
2
2
22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 9
644129644129644129644122
2
224
,3,21++++++++++++=
-=d d d d d c c c d b b b a a a a c c j j
06
2126212621262122
22
2
232324=++++=--d d c c
b b a a
c c c c
（4）法1:
2
242
242
242
2
2
4
4
4
4
2
2
2
2
00011111111d a d c a c b a b ad d ac c ab b a d a c a
b d
c b a
d c b a d c b a ---------=
)
()()(1
11
)
)()((222d a d a c c b a b d c b a d a c a b +++---= )
()()()(001
1
1
))()((22b a bd d a d b a bc a c c b d b c a d a c a b +-++-+-----=
)()()()())()((22
b a bd d a d b a b
c a c c b
d b c a d a c a b +-++-+-----= abd
ad d b d abc ac c b c b
d b c a d a c a b -+--+------=2
23223)
)()(( ad
b d d a
c b c c b
d b c a d a c a b ++++-----=)()(1
1)
)()()()((
))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++=
法2: 作行列式（多项式）4
4
4
4
4
3333322222
1
1111
)(x d c b a x d c b a x d c b a x
d c b a
x f =，我们要求的证明的行列式D 正是x 3位置的余子式，因此对该行列式以第五列展开，则
G Cx Bx Dx Ax x f +++-+=+23544)1()(
也即我们要求的D 是多项式f (x )中x 3系数的负值.
另一方面， f (x )是一范得蒙得行列式，
故 ))()()()()()()()()(()(d x c x c d b x b d b c a x a d a c a b x f ----------=
))()()()()()()()()((d x c x b x a x c d b d b c a d a c a b ----------=
f (x )中x 3的系数除(b-a )(c-a )(d-a )(c-b )(d-b )(d-c )之外，还有因子为 (x -a )(x -b )(x -c )(x -d )中出
现x 3（任取三项含x 剩余另一项用常数相乘得到）所对应的系数.即：
(b-a )(c-a )(d-a )(c-b )(d-b )(d-c ) (-a -b -c -d )
∴(b-a )(c-a )(d-a )(c-b )(d-b )(d-c ) (-a -b -c -d ) =－D ∴(b-a )(c-a )(d-a )(c-b )(d-b )(d-c ) (a +b +c +d ) =D
（5）令等式左边得行列式为D n ，则
1
1
1
1
2110
001
01)1(100000001－按第一列展开
n n n n n n n x a xD a x a a a x x x D ----+=
+--=+--
n n a xD +-1n n n a a xD x ++--)(12＝n n n a x a D x ++--122＝=…= n
n n n a x a x a D x ++++--12211 －n
n n n a x a x a a x x +++++--12211)( －＝n n n n n a x a x a x a x +++++=---12211 .
6．设n 阶行列式D =det(a ij ),把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次
得n nn
n a a a a D 111
11
=，11112n nn
n a a a a D
=，11
113a a a a D n n
nn =，证明D 1＝D 2＝
D n n 2
)1()
1(--，D 3＝D .
证明：n n n n n nn n n a a a a a a a a a D 11211
1211121
1
，，，---=
n
nn
n n n n a a a a a a a a a 222
21
21112111
)
1( --=
D a a a a a a a a a n n nn
n n n
n n 2
)
1()1()
1(21
222
211111111
22()1(--=-++++- ）－＝
121111
,1,21,1212n n n n n nn n n
a a a a a a a a a D ---=
nn
n n
n n a a a a a a a a a n n 212
22
12121112
)1()
1(-=－D
)
1(2
)1(-=n n －
111
,11
1,11,11
,1,13D a a a a a a a a a n n n n n n n n
n
n nn
------＝
1
1
,211
1,121
,1212
)1()1(n n n n n nn
n
n
n n a a a a a a a a a
-----=，
D a a a a a a a a a nn
n n
n n n n n n =--=--
212
22
12121112
)1(2
)
1()
1()
1(
7．计算下列各阶行列式（D k 为k 阶行列式）：
（1）a
a D n
11=，其中对角线上元素都是a ，未写出得元素都是0；
（2）x
a a
a x a a a x
D n =
；（3）1
111)()1()()1(1
1
1
n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- （4）n
n
n n n n n n
n d c d c d c b a b a b a D 0
00000000000000000
01111111
12
----=
（5）D n =det(a ij ),其中a ij ＝|i -j |；
（6）),,2,1,0(11
1
1
1111121
n i a a a a D i n
n
=≠+++=
.
解：（1）
1
1
1
000
100)1(0
00
00-+--+=n n n a a
a
a a
a
第一列展开
22)1(11)1()1(---++-=--+=
n n n n n n a a a a 再展一次
第二个行列式按第一行
注：n=2时，111
2-=a a
a
（2）x a
a
a
a
x a a a a x a a
a
a
x
n
x a
a
n x a x
a n x a a a
n x j c c n j
)1()1()1(1,,2-+-+-++==
1))()1((0
00)1(1,,2---+=---+-==n a x a n x n
a x a x a a a
n x r
i r n
i
（3）从第n +1行开始依次向上对换，第n +1行经过n 次相邻对换，换到第1行；第n 行经n －1次对换换到第2行；….原行列式经2
)
1(1)1(+=
++-+n n n n 次行交换，得 1
1
1
1)()1()()1(1
1
1
n a a a n a a a n a a a n n n n n n ---------n
n n
n n n n a a a n a a a n a a a n n )()1()()1(1111)1(1112)
1(----------+
＝
∏≤<≤----=+n
i j j a i a n n 0)]()[()
1(2
)1(∏≤<≤+-=n
i j i j n n 0)()
1(2
)
1(－
∏≤<≤++--=n
i j j i n n n n 0)()
1()
1(2
)1(2
)1(－!2)!1(!)(0 -=∏≤<≤n n j i n
i j －＝
（4）先按第一列展开，然后对于其中的2n －1阶子式再展开一次，得
n
n
n n n n n n
n d c d c d c b a b a b a D 0
00
000000000000000000
000111111112
----=
n n n n n n d d c d c b a b a a 0000
000000
000
00
11
111111
----=0
000000
0000
000
)1(1
1
11111112----+-+n n n n n n n d c d c b a b a b c
1
1
22111122110
00000000000000000
000--------=n n n n n n n n n
n d c d c d c b a b a b a b a
1
1
22111122111
12120
00000000000000000
000)1()1(--------+-+--+n n n n n n n n n n n n d c d c d c b a b a b a d c
＝
22)(--=n n n n n D d c b a 4
21111))((---=n n n n n n n n n D d c b a d c b a －－－－＝
…
＝
∏≤≤-=
n
i i i i
i
d c b
a 1)(
（5）0
32130
1
2
21011210
------=
n n n n n n D n
n
n n 1
1
1
1
1
111111*********
1
22
10------------=
减去前行
从最后一行开始，后行
n
c c n j n n n n n n j 1
120001220012220
1
324211
.,2,1--------------=
+-=
＝- (-2)n -2(n -1)
（6）n
r r n
i n
a a a a a D i
1111
211
,,21--+=
-=n
n
j a a c c n
j a a a j
j
j
a a 00
001
112,,21,,211
1∑=+=+
+=
)1()1(,,2,11212,,211∑
∑
==+
=+
+=n
j a n n n
j a a j
j
a a a a a a
注：计算行列式的思想：行列式→相同→相减为零→零元素较多→特殊行列式或展开. 8．用克莱默法则解下列方程组：
（1）???????=+++-=----=+-+=+++01123253224254321
4321
43214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；（2）?????????=+=++=++=++=+1
50650650651
65545
4343232121x x x x x x x x x x x x x .
解： (1)1121351324
1
2
1
1111
----=
D 8
12073503
2
1
1111------=
14500813003
2
1
01111---=
142142
000541003
2
101111-=---=
；
1121051324
1
2
2
11151------=
D 1121051329
5
1115----=
112102331309
5
9151------=
233130905011
2
1
9151------=
120
230
46100011
2
109151-----=
14200
038100112109151----=142-=；
1120351224
1
2111512-----=
D 8
1150731203
2
70
1151-------=
31
390
1123002
3
101151-=
284284
00
191002
3
101151-=----=
；
4261101352324
22115113-=----=
D ；142021321322
12151114=-----=
D .
1,3,2,14
43
32
21
1-==
==
==
==
∴
D
D x D
D x D
D x D
D x . （2）（以下若展开，都以第一列进行）：
34445655
106510
65655
100
6
510
651
006
55
10006
5100065100
06510
0065D D D D D -=-=-
==，
2111505
16
519
30196)65(56512212234=-=-=--=-=D D D D D D D D ， 65305
16
55
65123=-=-=D D D ，665656211565345=?-?=-==D D D D . 150765
100165100065100
06500
0061441=+==D D ；
5
1016
5100
6500
001510165100650006055
10106
5100065000
06010
00152-
==D 11456533-=-?-=D ；
5
1106
5000
6010
016511065000601000555
11006
5000060100
00510
01653-
==D 5
116500
015116500
6065116500
6025+-=＝703；
5
1006
0100
0510
106510060100051006555
10006
010*******
06510
10654-
==D 3955
106010
1051060100565
16051655-=+-=；
1
1000510065110061
100
0510
0651
0065
5
1
10000
5100065100
06511
00655-
==D
2121100511
001100510
65653=+-=D ，
.665
212
,665395,665703,6651145,665150754321=-==-==
x x x x x 9．问λ、μ为何值时，齐次方程组???
??=++=++=++0
200
321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
解：由定理5′知，若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0.
μλμμλ
)1(1
21
11
1
1-==D ，若D=0，则λ＝1或μ＝0 (1) μ＝0时，方程组为??
?
?
?=+=+=++0003131321x x x x x x x λ，x 1=-1, x 2=λ-1, x 3=1为该方程组的非零解. （2）同样可验证当λ=1时，方程组有非零解（略）.
10．问λ为何值时，齐次方程组()???
??=-++=+-+=+--0
)1(0)3(20421321
321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？
解：λ
λλ
----=
111132421D λ
λλλ--+--=10
1
112431 )3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ
齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或
不难验证，当3,2,0===λλλ时，该齐次线性方程组确有非零解.
第二章习题答案(P53—56)
1．已知两个线性变换???
??++=++=++=3213321232113235322y
y y x y y y x y y y x ，求从x 1,x 2,x 3到y 1, y 2, y 3的线性变换.
解：,323513122321321????? ??????? ?
?=????? ??y y y x x x ????? ??????? ??=????? ??-3211
321323513122x x x y y y ???
??
??????? ??----=321423736
947x x x ， ???
??-+=-+=+--=3213
32123
211423736947x
x x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换???
??++=++-=+=3213
32123
1152322y y y x y y y x y y x ，323312211323z z y z z y z z y +-=+=+-=，求从z 1,z 2,z 3到x 1,x 2,x 3
的线性变换.
解：?
??
??
??????? ??--=????? ??????? ??????? ??-=????? ??321321321321310102
013,514232102z z z y y y y y y x x x ?
??
?? ??????? ??---=????? ??????? ??--????? ?
?-=????? ??32132132116110941231
6310102
013514232102z z z z z z x x x ???
??+-=+--=++-=3213
32123
2111610941236z
z z x y z z x y y z x
3．设???
?? ??--=????? ??--=150421321
,111111111B A ，求3AB －2A 及A T B
解：)(,092650850150421321111111111A A B A AB T
T ==????? ??????? ??????? ??=－＝－－－－
???
?
? ??----????? ??-????? ??=2294201722213211111111
12092650850323＝－－－－A AB
4．计算下列乘积：
（1）????? ??????? ??-127075321134；（2）()???
?? ??123321；（3）()21312-????? ?? ；
（4）??
???
?
? ??---???? ??-20413121013
143110412；（5） ()????
? ??????? ??3213323
13
232212
131211
32
1
x x x a a a a a a a a a x x x .
解：（1）????? ??????? ??-127075321134＝???
?
?
??49635.
(2) 10)10()132231(123)3,2,1(==?+?+?=???
??
??.
(3) ????
? ??---=-????? ??632122)2,1(312.
（4）?????
?
? ??---???? ??-20413121013
143110412＝???? ?
?---6520876
（5）????
? ???????
??3213332
31
232221
131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x
+++=2121122
111)(x x a a x a 23333232232222313113)()(x a x x a a x a x x a a +++++.
当ji ij a a =时，上式可以合并为
2
33332232222311321122111222x a x x a x a x x a x x a x a +++++
5．设???
?
??=????
??=2101,3121B A ，问： （1）AB ＝BA 吗？（2）(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗？
（3） (A +B ) (A －B)=A 2－B 2吗？ 解： (1) ???? ?
?=64
43AB ???
?
??=8321BA BA AB ≠∴ (2) ???? ?????? ??=+52225222)(2
B A ???
?
??=2914148
但=++2
22B AB A ????
??+???? ??+???? ??430112886
11483???
?
??=27151610 故2
2
2
2)(B AB A B A ++≠+
(3) =-+))((B A B A =???? ?????? ??10205222???
?
??9060
而 =-2
2
B A =???? ??-???? ??43
0111483
???
?
??7182 故 2
2
))((B A B A B A -≠-+
6．举反例说明下列命题是错误的：
（1）若A 2＝O ，则A ＝O ；（2）若A 2＝A ，则A ＝O 或A ＝E ； （3）若AX ＝AY ，且A ≠O ，则X ＝Y . 解 (1) 取???
?
??=0010A O A =2
,但O A ≠ (2) 取???
?
??=0011A A A =2,但O A ≠且E A ≠
(3) 取???? ??=0001A ???
? ??-=1111X ???? ??=1011Y AY AX =且O A ≠ 但Y X ≠
7，???
?
?
?=???? ?????? ??=???? ?????? ??=???? ??101101,,12011011011012
λλλ
λλλn n
8．设???
?
?
?
?=λλ
λ
010
01
A ，求A k . 解： 首先观察 ????? ??????? ??=λλ
λλλ
λ
1001
010
01
2
A ????
?
??=22
2
20
12λλλλ
λ ????
?
??=?=323
2
32
30
30
33λλλλλλA A A 由此推出 ??????
?
?
?-=---k
k k k k k
k
k k k k A λλλλλλ0
00
2)1(121
)2(≥k
9．设A 、B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 为对称矩阵.
证明：对称对称，
AB B AB B B A B AB B A A A T
T T T T T T T T ∴==∴=∴,)()(, 10．设A 、B 为n 阶对称矩阵，证明AB 为对称矩阵的充要条件是AB ＝BA .
证明： .)(,,BA A B AB B B A A B A T
T T T T ===∴＝对称，
， BA AB AB AB AB T =??＝对称)(
11．求下列矩阵的逆矩阵：
（1）?
??
? ??5221；（2）????
??-θθθθcos sin sin cos ；（3）?
???
?
??---145243121； （4）)0(,212
1
≠????
??
?
?
?n n a a a a a a
.
解：（1） 15
22
1=
=???
?
??-1
5221 ???
?
??--1225 （2） ????
??-=???
?
?
?--θθθθ
θθ
θθcos sin sin cos cos sin sin cos 1
(3) 024312111==-=A A A 1613322212-==-=A A A 214
32
332313-==-=A A A
故 *-=A A A 11
?
????
?
??-----=1716213213012
（4）由对角矩阵的性质知1
2
1-?????
? ?
?n a O O
a a ????????
? ?
?=n a O O a a 1112
1
12．解下列矩阵方程：
（1）????
??-=???? ??12643152X ；
（2） ???? ?
?-=????
? ??--234311*********X ； （3） ?
??
?
??-=???? ??-????
??-101311022141X ； （4）???
?
? ??---=????? ??????? ??02110
2341010100001100001010X . 解：（1） ???? ??-???? ??=-126431521
X ???? ??-???? ??--=12642153????
??-=80232 （2） ?
???
?
??---????? ??-=????? ??--???? ??-=-033232101312343111110121122343111
X
????
? ??---???? ??-=03323210123431131
???? ??---=32385122 （3）????
??????? ??-???? ???=???
? ??-???? ??-???? ??-=--21012110131142611102101321411
1－X ???
?
?????? ?????? ?????? ??=
0110312121212101036612141＝＝ （4） 1
1
01010000102110
2341100001010--???
?
?
??????? ??---????? ??=X ????? ??????? ??---????? ??=010100001021102341100001010????
? ??---=201431012 13．利用逆阵解下列线性方程组
（1）???
??=++=++=++3
532522132321321321x x x x x x x x x ；（2）
???
??
=-+=--=--0
5231322321
321321x x x x x x x x x . 解：（1） 方程组可表示为 ???
?
?
??=????? ??????? ??321153522321321x x x
故 ?
??
??
??=????? ??????? ?
?=????? ??-0013211535223211
321x x x
从而有 ???
??===001
3
21x x x
（2） 方程组可表示为 ???
?
? ??=????? ??????? ??-----012523312111321x x x
故 ????
? ??=????? ???
?
?
?? ?
?-----=????? ??-3050125233121111
321x x x
从而有 ???
??===3053
21x x x
14．设A k =O ，证明(E －A )－
1=E +A +A 2+…+A k －
1.
证明：))((,12-++++-∴=k k A A A E A E O A
E A E A A A A A E k k =-=+-+-+-= 22
121)(--++++=-∴k A A A E A E
15．设方阵A 满足关系式A 2－A －2E ＝O , 试证A 及A +2E 均可逆,求出其逆阵. 证明： 由O E A A =--22
得E E A A 2)(=-，E A A 22+=
E E A A =-?∴)(21，所以A 可逆,且)(21
1E A A -=-，从而A ＋2E 也可逆，且.
121)()2(--=+∴A E A 21)(-=A )2(412E A A +-=
＝)3(4
1
A E -= 16．设A 为三阶阵，|A|＝2－
1，求|(2A)－
1－5A*|.
∵A * =|A| A －1，∴|(2A)－1－5A*|＝|2－1A －1－5×2－1A －1|＝（－2）3| A －
1|＝－4
17．设矩阵A 可逆，证明其伴随矩阵A *也可逆，且（A *）－1＝（A －
1) *.
证明：∵A 可逆，∴0≠A ，∵E A AA =*
，∴E A A A
=*)1
(
.∴A *可逆，且A A A 1
1)(--*=.
又∵E A E A
A A 11
11
)(--*
--==， ∴11
1)()(-*-*-==A A A A .
18．设矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明
（1）若|A |＝0，则|A *|＝0；（2）|A *|＝|A |n －
1. 证明：（1） 用反证法证明．
假设0≠*
A ，则有E A A =-**
1
)
(
由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*
这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时，有0=*
A
(2) 由于E A AA =*，取行列式得n
A A A =*
若0≠A 则1
-*
=n A
A ；
若0=A ，由（1）知0=*
A ，此时命题也成立.
故有1
-*
=n A
A .
19．设???
?
? ??-=321011330A ，且AB ＝A ＋2B ，求B .
解：.)2(,2A B E A B A AB =-∴+=
,021
210113
322≠=---=-E A
A E A
B 1
)2(--=∴?????
??-=????? ??-????? ??---=01132133032101133011131133121
20．设???
?
? ??=101020101A ，且AB ＋E ＝A 2＋B ，求B.
解: ∵AB ＋E ＝A 2＋B ，∴A 2－E ＝AB －B ，∴（A －E ）（A ＋E ）＝(A －E)B
∵,010
01010
1
00≠==-E A ∴B ＝A ＋E ???
?
? ??=201030102
21．设A=diag(1,-2,1), A*BA=2BA -8E, 求B.
∵A*BA=2BA －8E ，∴AA*BA=2ABA －8AE. ∵A 可逆， AA*=|A|E=－2E ，∴ －2B=2AB －8E
∴ (A+E)B=4E ，∴ B=4 (A+E)－1= 4（diag(2,-1,2) ）－
1＝diag(2,-4,2).
22．已知A 的伴随矩阵为A*＝???
???
?
?
?-80300101001
00001，且ABA －1＝BA －1
＋3E ，求B. 解：∵ABA －
1＝BA －
1 ＋3E ，∴A*ABA －
1A= A*BA －
1A ＋A*3EA.
∴|A |B= A*B ＋3|A |E.
∵|A*|=8= |A |3
, ∴|A |= 2.
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何？ 解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都 改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项， 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ， 故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的
值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ， 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解 ： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=
2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
高数选讲线性代数部分作业 1．已知n阶方阵满足A2+2A-3I＝O，则(A+4I)-1为 . 2．设n阶方阵满足 的代数余子式，则为（）。 3．已知n阶方阵 ，则A中所有元素的代数余子式之和为（）。 4．设有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数，则方程组必有一个特解是（） 5．设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组＝0与＝0有相同的基础解系，则在下列方程组中以为基础解系的是（） (A) (B) (C) (D) 6．设A、B为四阶方阵，( ) （A）1．（B）2. （C）3. （D）4 7．设n阶矩阵A与B等价，则（）成立。 (A)detA=detB (B) detAdetB (C)若detA0，则必有detB0(D) detA=－detB 8．设是四维非零向量组，是的伴随矩阵，已知方程组 的基础解系为k（1，0，2，0）T,则方程组的基础解系为（） (A) (B) (C) (D) 9．设A是矩阵，则下列命题正确的是：（） （A）若R(A)＝m，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （B）若R(A)＝n，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （C）若m 11．四元非齐次线性方程组的通解为 x＝（1，－1，0，1）T＋k（2，－1，1，0）T,k为任意常数，记 则以下命题错误的是 （A） (B) (C) (D) 12．知线性方程有无穷多解，求的取值并求通解。 13．设A是阶方阵，是A的两个不同的特征值，是A的对应于的线性无关特征向量，是A的对应于的线性无关特征向量，证明线性无关。14．已知矩阵的秩为1，且是的一个特征向量，（1）求参数; （2）求可逆矩阵和对角矩阵，使得 15．设5阶实对称矩阵满足，其中是5阶单位矩阵，已知的秩为2，（1）求行列式的值；（2）判断是否为正定矩阵？证明你的结论。 （2）的特征值全为正数，所以是正定矩阵。 16．． 17． 18． 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解. 第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+ 2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
线性代数课后习题答案 1.3
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
相关主题
文本预览