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2015年高考理科数学试题汇编(含标准答案):立体几何-小题

2015年高考理科数学试题汇编(含标准答案):立体几何-小题
2015年高考理科数学试题汇编(含标准答案):立体几何-小题

(新课标1)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( )

?A.14斛 B .22斛 C.36斛 D.66斛

【答案】B

考点:圆锥的体积公式

(新课标1)(9)已知A,B 是球O的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为

A .36π B.64π C.144π D.256π

【答案】C

【解析】如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC -的体积最大,设球O 的半径为R ,此时2311136326

O ABC C AOB V V R R R --==??==,故6R =,则球O 的表面积为

24144S R ππ==,故选C.

B

O

A C

(北京)4.设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m α?.“m β∥”是“αβ∥”的

A .充分而不必要条件?

??B.必要而不充分条件 C .充分必要条件

??? D.既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】

试题分析:因为α,β是两个不同的平面,m 是直线且m α?.若“m β∥”,则平面、αβ可能相交也可能平行,不能推出//αβ,反过来若//αβ,m α?,则有m β∥,则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.

考点:1.空间直线与平面的位置关系;2.充要条件.

(福建)7.若,l m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α ,则“l m ⊥ ”是“//l α 的 ( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

考点:空间直线和平面、直线和直线的位置关系.

(湖南)10.某工件的三视图如图3所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )

近三年高考全国卷理科立体几何真题精编版

新课标卷高考真题 1、(2016年全国I 高考)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60. (I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值.

2、(2016年全国II 高考)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O , 5,6AB AC ==,点,E F 分别在,AD CD 上,5 4 AE CF == ,EF 交BD 于点H .将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置,10OD '=. (Ⅰ)证明:D H '⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角B D A C '--的正弦值.

3【2015高考新课标1,理18】 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC; (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB∥平面AEC; (2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积. 图1-3

5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5,三棱柱ABC -A1B1C1中,侧面BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. 图1-5 (1)证明:AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A -A1B1-C1的余弦值.

2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題 一.解答题(共23小题) 1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面MEC; (Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由. 2.如图,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点,侧面A1ACC1为边长为2 的菱形,AC⊥CB,BC=1. (Ⅰ)证明:AC1⊥平面A1BC; (Ⅱ)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.

3.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. (I)求点P到平面ABCD的距离, (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 4.在正三棱锥P﹣ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.

5.如图,正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知. (1)求证:B1C1⊥平面OAH; (2)求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小. 6.如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形. (1)求证:AD⊥BC. (2)求二面角B﹣AC﹣D的大小. (3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .

全国高考理科数学:立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A . 643 π B .8316π π+ C .28π D .8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图,还原直观图,得到一个圆锥和一个圆柱,计算体积,即可. 【详解】 结合三视图,还原直观图,得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+,故选B . 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图,考查了组合体体积计算方法,难度中等. 2.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ,使得1AP D P +取得最小值,则此最小值为( )

A .7 B .3 C .1+3 D .2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上,连接1MD 并求出,就 是最小值. 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上,连接1MD .1MD 就是1||||AP D P +的最小值, Q ||||3AB AD ==,1||1AA =,∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=. 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A . 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征,考查计算能力,空间想象能力,解决此类问题常通过转化,转化为在同一平面内两点之间的距离问题,是中档题. 3.已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍,且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等,则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为( ). A 10 B .3:1 C .2:1 D 102 【答案】A

2015年高考理科数学试题汇编(含答案):立体几何-小题

2015年高考理科数学试题汇编(含答案):立体几何-小题

(新课标1)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为 一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有() A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 考点:圆锥的体积公式 (新课标1)(9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

试题分析:因为α,β是两个不同的平面,m是 直线且mα?.若“mβ∥”,则平面、 αβ可能相交 也可能平行,不能推出// αβ, αβ,反过来若// mα ?,则有mβ∥,则“mβ∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件. 考点:1.空间直线与平面的位置关系;2.充要条件. (福建)7.若,l m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l m⊥”是“//lα的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 考点:空间直线和平面、直线和直线的位置关系.(湖南)10.某工件的三视图如图3所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用

2014高考理科立体几何大题练习

2014高考理科立体几何大题练习

1.如图1,在Rt ABC ?中,90C ∠=?,36BC AC ==,.D 、E 分别是AC AB 、上的点,且//DE BC ,将ADE ?沿DE 折起到1 A DE ?的位置,使1A D CD ⊥,如图2. (Ⅰ)求证: BC ⊥平面1A DC ; (Ⅱ)若2CD =,求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当D 点在何处时,1 A B 的长度最小,并求出最小值. 2.如图,四棱锥ABCD P -中,底面 ABCD 为正方形,PD PA =,⊥PA 平面PDC , E 为棱PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB // 平面EAC ; (Ⅱ)求证:平面PAD ⊥平面ABCD ; (Ⅲ)求二面角B AC E --的余弦值. A B C D E 图图 A B C D E

E C 1 B 1A 1C B A 4. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ∠=?,1 2,AB AC AA ===E 是BC 中点. (I )求证:1//A B 平面1 AEC ; (II )若棱1AA 上存在一点M ,满足11 B M C E ⊥,求AM 的长; (Ⅲ)求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.

E D A B C P 5.如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=AB=2, 3BC =,90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ,D 、E 分别为AB 、AC 中点. (Ⅰ)求证:DE‖平面PBC ; (Ⅱ)求证:AB ⊥PE ; (Ⅲ)求二面角A-PB-E 的大小. 6..如图,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

高考中常见的立体几何题型和解题方法

高考中常见的立体几何题型和解题方法 黔江中学高三数学教师:付 超 高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的 逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正 确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多 一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体 的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过 程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与 距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行 与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能, 通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平 行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能 力和空间想象能力. 2. 判定两个平面平行的方法: (1)根据定义——证明两平面没有公共点; (2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知:“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得:“两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面。 ⑶两个平面平行的性质定理:“如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”,但在解题过 程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间角主要研究射影以 及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解 决. 空间角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线 所成的角θ∈(0,2π],直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ,二面角的大小,可用它们的平面角来度量,其平面角θ∈[0,π].对于空间角的计算,总是通过一定 的手段将其转化为一个平面内的角,并把 它置于一个平面图形,而且是一个三

(完整版)高考理科-立体几何高考真题(小题)

1、(2016—6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ,则它的表面积是 (A )π20 (B )π18 (C )π17 (D )π28 2、(2016—11)平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,// α平面11D CB ,I α平面m ABCD =,I α平面n A ABB =11,则m ,n 所成角的正弦值为 (A )3 3 (B ) 2 2 (C ) 2 3 (D ) 3 1 3、(2015—6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体 积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 4、(2015—11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为π2016+,则=r (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 正视图 2r r r 2r

5、(2014—12)如图,网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为() (A ) (B )(C)6(D)4 6、(2013—6 )如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高cm 8,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为cm 6,如果不计容器的厚度,则球的体积为() A.3 3 500 cm π B.3 3 866 cm π C.3 3 1372 cm π D.3 3 2048 cm π 7、(2013—8)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为() A. 168π + B. 88π + C. 1616π + D. 816π + 俯视图 侧视图

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

高考数学15立体几何小题.docx

立体几何 1、平面βα⊥,直线α?b ,m β?,且b m ⊥,则b 与β( ) A .b β⊥ B .b 与β斜交 C .b //β D .位置关系不确定 2、过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线,其中与平面11ABB A 平行的直线共有( )条 A .2 B .4 C .6 D .8 3、一条直线与一个平面所成的角等于3π,另一直线与这个平面所成的角是6 π 。则这两条直线的位置关系( ) A .必定相交 B .平行 C .必定异面 D .不可能平行 4、在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1:3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A . B .1:9 C .1: D .1:1) 5、正方体1111ABCD A B C D -中,,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点.那么,正方体的过,,P Q R 的截面图形是( ) A .三角形 B .四边形 C .五边形 D .六边形 6、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( ) A .75° B .60° C .45° D .30° 7、已知平面α与β所成的二面角为80°,P 为,αβ外一定点,过点P 的一条直线与,αβ所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 8、如图所示,PAB ?所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直,且AD α⊥,BC α⊥,4AD =, 8BC =,6AB =。若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=,则动点P 在平面α内的轨迹是( ) A .椭圆的一部分 B .线段 C .双曲线的一部分 D .以上都不是 9、如图所示,已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球,则平面1ACD 截球O 的截面面积为( ) A . 6 π B . 3 π C D

高考理科立体几何大题(供参考)

一, [2017·山东济南调研]如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB =3,BC =5. (1)求证:AA 1⊥平面ABC ; (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值; (3)在线段BC 1上是否存在点D ,使得AD ⊥A 1B ?若存在,试求出BD BC 1 的值. (1)[证明] 在正方形AA 1C 1C 中,A 1A ⊥AC . 又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C , 且平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ,AA 1?平面AA 1C 1C . ∴AA 1⊥平面ABC . (2)[解] 由(1)知,AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB , 由题意知,在△ABC 中,AC =4,AB =3,BC =5, ∴BC 2 =AC 2 +AB 2 ,∴AB ⊥AC . ∴以A 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系A -xyz . A 1(0,0,4), B (0,3,0), C 1(4,0,4),B 1(0,3,4), 于是A 1C 1→=(4,0,0),A 1B →=(0,3,-4), B 1 C 1→ =(4,-3,0),BB 1→ =(0,0,4). 设平面A 1BC 1的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),

平面B 1BC 1的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2). ∴????? A 1C 1 →·n 1 =0,A 1 B →·n 1 =0 ????? ? 4x 1=0,3y 1-4z 1=0, ∴取向量n 1=(0,4,3). 由????? B 1 C 1 → ·n 2 =0,BB 1→·n 2 =0 ?? ?? ?? 4x 2-3y 2=0, 4z 2=0, ∴取向量n 2=(3,4,0). ∴cos θ= n 1·n 2|n 1||n 2|=165×5=16 25 . 由题图可判断二面角A 1-BC 1-B 1为锐角, 故二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为16 25 . (3)[解] 假设存在点D (x ,y ,z )是线段BC 1上一点,使AD ⊥A 1B ,且BD → =λBC 1→ , ∴(x ,y -3,z )=λ(4,-3,4), 解得x =4λ,y =3-3λ,z =4λ, ∴AD → =(4λ,3-3λ,4λ). 又AD ⊥A 1B ,∴0+3(3-3λ)-16λ=0, 解得λ=9 25, ∵9 25 ∈[0,1], ∴在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B , 此时 BD BC 1=925 . 二, 如图,在四棱锥P -ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC =∠BAD =π 2 ,PA =AD =2,AB =BC =1.

2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A 版 一、选择题 1.空间中四点可确定的平面有( ) A .1个 B .3个 C .4个 D .1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面. 2.一个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图,如图所示,则这个几何体的体积为( ) A .8 B .4 C .2 D .1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱;它的底面三角形的面积为S 底面=1 2×2×1=1,棱柱高为h =2,∴棱柱的体积为S 棱柱=S 底面·h =1×2=2. 3.下列命题中,错误的是( ) A .三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面 B .平面α∥平面β,a ?α,过β内的一点B 有唯一的一条直线b ,使b ∥a C .α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d D .一条直线与两个平面成等角,则这两个平面平行

答案D 解析A正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,而它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B正确,两平面平行,一面中的线必平行于另一个平面,平面内的一点与这条线可以确定一个平面,这个平面与已知平面交于一条直线,过该点在这个平面内只有这条直线与a平行;C正确,利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的;D错误,一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面,故应选D. 4.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不能确定 答案B 解析作AE⊥BD,交BD于E, ∵平面ABD⊥平面BCD, ∴AE⊥平面BCD,BC?平面BCD,∴AE⊥BC, 而DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴DA⊥BC, 又∵AE∩AD=A,∴BC⊥平面ABD, 而AB?平面ABD,∴BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.故选B. 5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()

A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0

最新高考数学立体几何试题分析及备考建议

高考数学立体几何试题分析及备考建议 一、高考命题分析 立体几何是高中数学领域的重要模块,是高考考查考生的空间感、图 形感、语言转化能力、几何直观能力、逻辑推理能力的主要载体。主要包 括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,三视图,点、直线、平面 的位置关系等。通过研究近年高考试卷,不难发现有关立体几何的命题较 稳定,难易适中,基本体现出“两小一大”或“一小一大”的特点.即1--2道小题,1道大题,占17--22分,小题灵活多变且有一定的难度,其中常有组 合体三视图问题和开放型试题,大多考查概念辨析,位置关系探究,空间 几何量的简单计算求解等,考查画图、识图、用图的能力;而解答题大多 属中档题, 一般设计成几个小问题,此类考题往往以简单几何体为载体, 考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,综合考查空间想 象能力、推理论证能力和运算求解能力,也关注对条件和结论不完备情形 下开放性问题的探究。其解题思路也主要是“作——证——求”,强调作图、证明和计算相结合。命题既注意“知识的重新组合”,又采用“小题目综合化,大题分步设问”的命题思路,朝着“重基础、直观感、空间感、探究与创新”的方向发展。 二、高考命题规律 (一)客观题方面

1.以三视图为载体考查空间想象能力 空间几何体的结构与三视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象 能力,识别三视图所表示的空间几何体,柱、锥、台、球体及其简单组合 体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查,从新课标地区的高考 题来看,三视图是出题的热点,题型多以选择题、填空题为主,属中等偏 易题。随着新课标的推广和深入,难度逐渐有所增加。主要考查以下两个 方面:①几何体的三视图与直观图的认识;②通过三视图和几何体的结合,考查几何体的表面积和体积。 例1 (新课标2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为 A B C D 注意:必修2中的空间直角坐标系容易被文科忽视。 例2 (新课标2)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A.6 B.9 C.12 D.18 注意:简单组合体的表面积和体积的问题为常考题目。 例3 (四川理)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以

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