第六章 刚体的基本运动 习题全解
[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?（?以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：
角速度： 2
394)34(t t t dt d dt
d -=-==?ω 角加速度：t t dt
d
dt
d 18)94(2
-=-==
ωα
速度： )94(2t r r v -==ω
)/(2)094(5.0|2
0s m r v t =?-?===ω )/(5.2)194(5.0|2
1s m v t -=?-?== 切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度：2
22
22
)94()]
94([t r r
t r v
a n -=-=
=ρ
加速度： 4
222
2
2
2
2
2
)94(324]
)94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=
+=
)/(8165.0)094(0324|2
4
2
2
0s m r a t =?=?-+?== )/(405.1581.305.0)194(1324|2
4
2
2
1s m r a t =?=?-+?==
物体改变方向时，速度等于零。即：
0)94(2
=-=t r v )(667.0)(3
2s s t ==
[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以
)/(1.02
s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及
ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解：
t dt
d a t 1.04.02
2
-===?ρα （作减速运动，角加速度为负）
t dt d 25.022
-=? 12
125.0C t dt
d +-=?
2130417.0C t C t ++-=?
12
124.005.0)125.0(4.0C t C t dt
d R
v +-=+-?==?
104.0005.0|12
0=+?-==C v t
图
题46-251=C
0000417.0|213
0=+?+?-==C C t ? 02=C ，故运动方程为：
t t 250417.03
+=?
t t t t R s 100167.0)250417.0(4.03
3+-=+-==?
速度方程：1005.02
+-=t v
)/(8.910205.0|2
2s m v t =+?-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|2
2s m t a t t -=?-=-== 法向加速度：2
22
)25125.0(4.0+-?==t a n ρω
)/(1.240)252125.0(4.0|2
2
2
2s m a t n =+?-?==
[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过５分钟后，转子的角加速度为)/(600s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转？
解：kt dt
d ==
ωα
12
2
C kt +=
ω 0
2
0|12
0=+?=
=C k t ω
01=C
2
2
kt =ω
π
ω6002300
|2
300=?=
=k s t
75
300
60022
π
π=
?=
k
150
2
2
2
t
kt πω=
=
150
2
t
dt
d π?=
23
3
150C t
+=
π? 03
150|23
0=+=
=C t π
?
02=C
450
3
t
π?=
ππ?60000450300
|3
300=?==s t ， 转数)30000260000N r （＝＝
π
π
[习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆m OA 5.1=，在铅垂面内转动，杆
m AB 8.0=，
Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为s m /05.0，ＡＢ杆始终铅垂。设运动开始时，角0=?。求运动过程中角?与时间的关系。并求点Ｂ的轨迹方程。 解： ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。
05.0=?==ωOA v v B A 05.05.1=?ω
30
15.1/05.0=
=ω
30
15.1/05.0==dt
d ?
dt d 301=
?
130
1C t +=?
0030
1
|10=+?==C t ?
01=C 故
t 30
1=
?
30
cos
5.1cos 5.1t x x A B ===?………………….(a)
8.030
sin
5.18.0sin 5.18.0-=-=-=t y y A B ?………(b)
由(a) 、(b)得：
1)
5.18.0(
)5.1(2
2
=++B B y x ，即Ｂ点的轨迹方程为：
1)5
.18
.0(
)5
.1(
2
2
=++y x
（圆）
[习题6-5] 揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座Ａ，Ｂ，Ｃ与支轴ａ，ｂ，ｃ都恰成等边三角形，如题6-3附图所示。三个曲柄长度相等，均为mm l 150=，并以相同的转速m in /45r n =分别绕其支座在图示平面内转动。求揉桶中心点Ｏ的速度和加速度。
解：三根曲柄作定轴转动，揉桶作刚体平动，故a 与O 的速度、加速度相同。
2
3304560
2πππω=?==n
)/(7075.70614.32
3
150s mm l v a ≈=??==ω
)/(707s mm v v a O ≈=
2
4
4
2
1500150ωωωαρ=+?
=+=a
)/(3328)
14.35.1(1502
2
s mm a a =??=
)/(33282
s mm a a a O ==
[习题6-6] 刨床上的曲柄连杆机构如题6-６附图所示，曲柄ＯＡ以匀角速ω０绕Ｏ轴转动，其转动方程为φ＝ω０ｔ。滑块Ａ带动摇杆Ｏ１Ｂ绕轴Ｏ１
转动。设ＯＯ１＝ａ，ＯＡ＝ｒ。求摇杆的转动方程和角速度。 解：
t
r a t r 00cos sin tan ωω?+=
故摇杆的转动方程为：
t r a t
r 00cos sin arctan ωω?+=
2
00000002
00)
cos ()
sin (sin )cos (cos )
cos sin (
11t r a t r t r t r a t r t
r a t r dt
d ωωωωωωωωω?ω+-?-+??++==
t
ar r a t ar r t
r t r t ar a t
r t r t ar 02
2
0002
02
2
02
2
02
0202
02
02
00cos 2cos sin
cos cos 2sin cos cos ωωωωωωωωωωωωωω+++=
+++++=
[习题6-7] 槽杆ＯＡ可绕一端Ｏ转动，槽内嵌有刚连于方块Ｃ的销钉Ｂ，方块Ｃ以匀速率沿水平方向移动。设ｔ＝０时，ＯＡ恰在铅直位置。求槽杆ＯＡ的角速度与角加速度随时间ｔ变化的规律。
解：销钉Ｂ与Ｃ同在一方块上作刚体的平动，故它们的速度 度相同。
b
t v C =
?tan
b
t v C arctan =?
角速度： 2
22
2
22
22
)
(
11t
v b bv b
v t
v b b
b
v b t v dt
d C
C C C
C C +=
?
+=
?
+==
?ω
角加速度：2
2
22
3
22
2
22
2
22
)
(22)
(1)(
t v b t bv t v t v b bv t
v b bv dt d
dt
d C
C C
C
C C
C
+-
=?+?
-=+=
=
ωα
[习题6-8] 带传动系统如图所示,两轮的半径分别为ｒ１＝７５０ｍｍ,ｒ２＝３００ｍｍ，轮Ｂ由静止开始转动，其角加速度为０.４πｒａｄ／ｓ２
。设带轮与带间无滑动，问经过多少秒后Ａ轮转速为３００ｒ／ｍｉｎ？ 解： πω4.01
=dt
d
dt d πω4.01=
114.0C t +=πω
004.0|101=+?==C t πω 01=C
t πω4.01=
30
60
24.0111πππωn n t =
?
==
30
4.01n t =
t n 121=
传速比：
1
22
1r r n n =
750
300300
12=
t
)(10s t =
[习题6-9] 两轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１００ｍｍ，ｒ２＝１５０ｍｍ，平板ＡＢ放置在两轮上，如图所示。已知轮Ⅰ在某瞬时的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝０.５ｒａｄ／ｓ２
，求此时平板移动的速度和加速度以及轮Ⅱ边缘上一点Ｃ的速度和加速度（设两轮与板接触
处均无滑动）。 解：
平板作平动，其速度、加速度与轮Ｉ的轮缘切向速度与切向加速度分别相同。 )/(200210011s mm r v AB =?==ω
)/(505.01002
11s mm r a AB =?==α
3
2150
1002
11
2=
=
=
r r ωω
)/(3
423
23
212s rad =
?=
=
ωω
AB C v s mm r v ==?==)/(2003
415022ω
)/(502
s mm a a AB t ==
)/(67.266150
2002
2
2
2
s mm r v
a n ==
=
)/(271)/(3.27167
.26650
2
22
2
2
2
s mm s mm a a a n t ≈=+=
+=
[习题6-10] 电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成，鼓轮Ⅲ和带轮Ⅱ刚连在同一轴上。各轮半径分别为ｒ１＝３００ｍｍ，ｒ２＝７５０ｍｍ，ｒ３＝４００ｍｍ。轮Ⅰ的转速为ｎ＝１００ｒ／ｍｉｎ。设带轮与带之间无滑动，试求物块Ｍ上升的速度和带ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ各段上点的加速度的大小。 解： 传速比： )/(47.1030
14.310060
211s rad n =?
=?
=πω
4.05
2750
3002
11
2===
=r r n n
m in)/(401004.04.012r n n =?==
)/(187.430
14.34060
222s rad n =?
=?
=πω
)/(1675187.440023s mm r v M =?==ω 0==CD AB a a （皮带作匀速度运动）
BC 带：
022
===
dt
d r dt
dv a tBC ω
)/(2.13148.13187
.475.02
2
2
222
2
s m r r v a BC nBC ≈=?===
ω
)/(2.132
s m a a nBC BC ==
ＤＡ带：
011
===
dt
d r dt
dv a tDA ω
)/(9.32887.3247
.103.02
2
2
112
2
s m r r v a DA nDA ≈=?===
ω
)/(9.322
s m a a nDA DA ==
[习题6-11] 摩擦传动的主动轮Ⅰ作６００ｒ／ｍｉｎ的转动，其与轮Ⅱ的接触点按箭头所示的方向移动，距离ｄ按规律ｄ＝（１００－５ｔ）ｍｍ变化（ｔ以ｓ计）。求：（１）以距离ｄ的函数表示Ⅱ的角加速度；（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘
上一点的全加速度。已知摩擦轮的半径ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ。 解：
（１）以距离ｄ的函数表示Ⅱ的角加速度 主动轮轮缘速度：
)/(100060
260050s mm r v I I ππω=?
?==
)/(1000)5100(s mm t d v II II II πωω=-==
t
II 51001000-=
πω
)/()
5100(5000)
5100(510002
2
2
s rad t t II -=
--?
-=ππα
)/(50002
2
s rad d
II πα=
（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度
505100=-=t d ，即s t 10=时的切向加速度为：
)/(2)
105100(5000|2
2
10s rad t II ππα=?-=
=
)/(3002150|2
10s mm R a II t II t ππα=?===
)/(60000)50
1000(
150)51001000(
)
(|2
222
2
2
10s mm t
R R
R R
v a II II t II n πππω=?=-==
=
=
2
102
10)
|()|(|===+=
t nII t tII r d a a a
)/(400001300)
60000()300(|2
2
2
2
2
s mm a r d π
π
ππ+=+=
=
[习题6-12]轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１５０ｍｍ，ｒ２＝２００ｍｍ，铰连于杆ＡＢ两端。
两轮在半径Ｒ＝４５０ｍｍ的曲面上运动，在图示瞬时，Ａ点的加速度2
/1200s mm a A =，A a 与ＯＡ成６０°角。试求：（１）ＡＢ杆的角速度与角加速度；（２）
Ｂ点的加速度。
解：
（１）求ＡＢ杆的角速度与角加速度
3
130
tan 0
=
=
At
An a a
an At a a 3= 1200232
22
2==+=
+=
An An An An At A a a a a a a
)/(6002
s mm a An =
6001
2
=+r R v A
)/(600)150450(600)(6001s mm r R v A =+=
+=
600)(1=+AB r R ω
)/(1150
4506006001
s rad r R AB =+=
+=ω
)/(3600
32
s mm a a an At ==
3600
)(1=?+AB
r R α
)/(732.13150
4503
6003
6002
1
s rad r R AB ≈=+=
+=
α
（２）求Ｂ点的加速度
)/(3650
3)200450()(2
2s mm r R a AB Bt =+=?+=α
)/(6501)200450()(2
2
2
2s mm r R a AB Bn =?+=?+=ω
)/(130********
)3650(2
2
22
2s mm a a a Bn Bt B =?=+=
+=
[习题6-13] 以匀速率ｖ拉动胶片将电影胶卷解开。当胶卷半径减小时，胶卷转速增加。若胶片厚度为δ，试证明当胶卷半径为ｒ时，胶卷转动的角加速度3
22r
v
πδα=
。
证明：
设开始时，盘径为0r ，则经过时间t 之后，胶卷盘面积变化为：
vt r
r ?=-δππ2
2
0，两边对t 求导得：
v dt
dr r δπ=?-2
r
v
dt
dr πδ2-
=
又因为r v ω=，两边对t 求导得： dt
dr r dt
d ωω+=
0 )2(0r
v
r v r πδα-?+
?=
3
22r
v
πδα=
本题得证。
[习题6-14] 刚体以匀角速度s rad /2=ω作定轴转动。沿转动轴的单位矢
→
→
→
→
++=k j i t 8.03316.05.0，体内一点Ｍ在某瞬时的位置矢→
→
→
→
++=k j i r 200800500
解：
)8.03316.05.0(2→
→
→
→
→
++==k j i t ωω
→
→
→
→
++=k j i 6.16632.0ω
→
→
→
→
→
→
→
→
→
+
-
==
?=k j i k j i r v 800
500
6632.01200
500
6.11200
800
6.16632.0200
800
500
6.16632.01ω
)/(4.46860036.1147s mm k j i v →
→
→
→++-=
0==
dt
d ωα
→
→
→
→
→
?+?=v r a ωα
→
→→?=v a ω
→
→
→
→
→
→
→
→
→
-+
--
=
-=
?=k
j i k j i v a 600
36
.11476632.014
.46836
.11476.114
.468600
6.16632.04
.468600
36
.11476.16632.01ω
→
→
→→+--=k j i a 93.1360176.230436.649
[习题6-15] 刚体绕固定轴按规定ω＝２πｔrad/s 转动，Ｏξ轴与ｘ，ｙ，ｚ轴的夹角分别为
６０°，６０°，４５°。在ｔ＝２ｓ时，刚体上Ｍ点的坐标为（１００ｍｍ，１００ｍｍ，２００ｍｍ）。求该瞬时Ｍ点的速度和加速度。 解： （１）求速度
→
→
→
→
++=k j i r 200100100
沿转动轴的单位矢
→
→
→
→
++=k j i t 0
45cos 60
cos 60
cos
→
→
→
→
++=k j i t 7071.05.05.0
)7071.05.05.0(2→
→
→
→
→
++==k j i t t πωω
→
→
→
→
+
+=k t j t i t πππω2
→
→
→
=→
++=k j i t πππω2222|2
→
→→→
→
+
+==
k j i dt
d πππωα2
→
→
→
→
→
→
→
→→?+
?-
?==?=k j i k j i r v ππππππ
ω2100
100
112200
100
212200
100
21200
100
100
2222
)/(8824.3678824.367s mm j i v →
→
→
-=
)/(368368s mm j i v →
→
→
-≈
（２）求加速度 s t 2=时，
→
→
→
→
+
+=k j i πππα2
→
→
→
→
++=k j i r 200100100
→
→
→
→
++=k j i πππω2222
→
→
→
-=j i v 368368
→
→
→
→
→
?+?=v r a ωα
→
→
→
→
→
→
→
→
→
+
-
==?=k j i k j i r a t πππππ
π
α100
100
11200
100
21200
100
21200
100
100
2
)/(9412.1839412.1832
s mm j i a t →
→
→
-=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
?+
?-
?==?=k j i k j i v a n ππππππ
ω2368
368
1120
368
2120
368
210
368
368
2222
)/(273.3268273.32682
s mm j i a n →
→
→
+-=
)/()273.32689412.183()273.32689412.183(2
s mm j i a →
→
→
+-+-=
)/(332.3084332.30842
s mm j i a →
→
→
+-=
)/(308430842
s mm j i a →
→→
+-≈
第六章刚体的基本运动习题解答 习题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图 6-16所示。图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为ω=5rad/s，角加速度为α=2rad/s2, 试求 三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 v C =v D =O 1A ω=0. 1?5=0. 5m/s a C =a D =O 1A ω τ τ n n 2 =0. 1?5=2. 5m/s 2 22 a C =a D =O 1A α=0. 1?2=0. 2m/s 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm，以等角速度ω=4rad/s绕O 轴转动。设t =0时，求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时，导杆BC 的速度和加速度。?=0， 图6-17 x O 1=2OA cos ?=2R cos ωt =2?0. 1?cos 4t =0. 2cos 4t m O 1=-0. 8sin 4t m/s ?=30?时 x O 1=-0. 4m / s x O 1=-3. 2cos 4t m/s2 O 1=-1. 63m /s 2 x x v =0. 4m /s a =1. 63m /s 2=2. 771m /s 2 6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为α=-b -c ω2, 式中b 、c 均是常数。设运 动开始时飞轮的角速度为ω0，问经过多长时间飞轮停止转动？ α=-b -c ω
2 d ωb +c ω 2 =-d t ? d ωb +c ω 2 ω0 = ? t -d t arctan(1bc c b ω) |ω=-t arctan( c b ω0) 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为?=4t -3t 3。试求物体内与转轴相距R =0.5m的一点，在t =0及t =1s时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。 2 =4-9t 2 ? =-18t ?=4t -3t ? t =0时 =4 ? =0 ? v =R ω=0. 5?4=2m/s
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题 命题教师:郑永春 试题审核人:张郡亮 一、填空题(每空1分) 1、三个质量均为m 的质点,位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _,对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__ 12 ma 2 _,对通过三角形中心与一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__ 2 1ma 2 。 2、两个质量分布均匀的圆盘A 与B 的密度分别为ρA 与ρB (ρA >ρB ),且两圆盘的总质量与厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 与J B ,则有J A < J B 。 3、 一作定轴转动的物体,对转轴的转动惯量J ＝3、0 kg ·m 2,角速度ω0＝6、0 rad/s.现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m,当物体的角速度减慢到ω＝2、0 rad/s 时,物体已转过了角度?θ＝__ 4、0rad 4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg,均以6、5 m/s 的速率沿相反的方向滑行,滑行路线间的垂直距离为10 m,当彼此交错时,各抓住一10 m 长的绳索的一端,然后相对旋转,则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝__2275 kg·m 2·s 1 _;它们各自收拢绳索,到绳长为5 m 时,各自的速率υ ＝__13 m·s 1_。 5、有一质量均匀的细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置,然后任其下落,则在下落过程中的角速度大小将 变大 ,角加速度大小将 变小 。 二、单项选择题(每小题2分) ( A )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法正确的就是: A 、这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零; B 、这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零; C 、当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定就是零; D 、当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定就是零。 ( C )2、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮的转动惯量为J ,绳下端挂一物体。物体所受重力为P ,滑轮的角加速度为α.若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度α将 A 、不变; B 、变小; C 、变大; D 、如何变化无法判断。 ( C )3、关于刚体的转动惯量,下列说法中正确的就是 A 、只取决于刚体的质量,与质量的空间分布与轴的位置无关; B 、取决于刚体的质量与质量的空间分布,与轴的位置无关; C 、取决于刚体的质量、质量的空间分布与轴的位置; D 、只取决于转轴的位置,与刚体的质量与质量的空间分布无关。 ( C )4、一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离与最小距离分别就是R A 与R B .设卫星对应的角动量分别就是L A 、L B ,动能分别就是E KA 、E KB ,则应有 A 、L B > L A ,E KA = E KB ; B 、L B < L A ,E KA = E KB ; C 、L B = L A ,E KA < E KB ; D 、L B = L A , E KA > E KB . ( C )5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动,如图1射来两个质量 相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内, 则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度ω O M m m
第二章 刚体力学基础 自学练习题 一、选择题 4-1．有两个力作用在有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零； 对上述说法，下述判断正确的是：（ ） （A ）只有（1）是正确的； （B ）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误； （C ）（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误； （D ）（1）、（2）、（3）、（4）都正确。 【提示：（1）如门的重力不能使门转动，平行于轴的力不能提供力矩；（2）垂直于轴的力提供力矩，当两个力提供的力矩大小相等，方向相反时，合力矩就为零】 4-2．关于力矩有以下几种说法： （1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。 对上述说法，下述判断正确的是：（ ） （A ）只有（2）是正确的； （B ）（1）、（2）是正确的； （C ）（2）、（3）是正确的； （D ）（1）、（2）、（3）都是正确的。 【提示：（1）刚体中相邻质元间的一对内力属于作用力和反作用力，作用点相同，则对同一轴的力矩和为零，因而不影响刚体的角加速度和角动量；（2）见上提示；（3）刚体的转动惯量与刚体的质量和大小形状有关，因而在相同力矩的作用下，它们的运动状态可能不同】 3．一个力(35)F i j N =+v v v 作用于某点上，其作用点的矢径为m j i r )34(? ?? -=，则该力对坐标原点的力矩为 （ ） （A ）3kN m -?v ； （B ）29kN m ?v ； （C ）29kN m -?v ； （D ）3kN m ?v 。 【提示：(43)(35)43020929350i j k M r F i j i j k k k =?=-?+=-=+=v v v v v v v v v v v v v 】 4-3．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆 到竖直位置的过程中，下述说法正确的是：（ ） （A ）角速度从小到大，角加速度不变； （B ）角速度从小到大，角加速度从小到大； （C ）角速度从小到大，角加速度从大到小； O A
理论力学---1 1-1.两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 1-9. 图示A、B两物体，自重不计，分别以光滑面相靠或用铰链C相联接，受两等值、反向且共线的力F1、F2的作用。以下四种由A、B所组成的系统中，哪些是平衡的？
习 题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 m/s 5.051.01=?===ωA O v v D C 2221n n m/s 5.251.0=?===ωA O a a D C 21ττm/s 2.021.0=?===αA O a a D C 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。设t =0时， 0=?， 求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时，导杆BC 的速度和加速度。 图6-17 m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =??===ω? m/s 4sin 8.01t x O -= ?=30?时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O x m /s 4.0=v 2 2m/s 771.2m/s 36.1==a 6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？ 2ωαc b --= t c b d d 2-=+ω ω ??-=+t t c b 002d d 0ωωω t b c bc -=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωb c bc t = 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=?。试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。 234t t -=? 294t -=? t 18-=? t =0时 4=? 0=? m/s 245.0=?==ωR v
第五章 刚体力学参考答案（2014） 一、 选择题 [ C ]1、【基础训练2】一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图5-7所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 【提示】： 逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外,由于m 1＜m 2,实际上滑轮在作减速转动,角加速度方向垂直纸面向内,设滑轮半径为R,受右端绳子向下拉力为T 2，左端绳子向下拉力为T 1，对滑轮由转动定律得:(T 2-T 1)R=J [ D ]2、【基础训练3】如图5-8所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止．杆身与竖直方向成角，则A 端对墙壁的压力大 (A) 为 41mg cos ． (B)为2 1 mg tg ． (C) 为 mg sin ． (D) 不能唯一确定 图5-8 【提示】： 因为细杆处于平衡状态，它所受的合外力为零，以B 为参考点，外力矩也是平衡的，则有： A B N f = A B f N mg += θθθlcon N l f l mg A A +=sin sin 2 三个独立方程有四个未知数，不能唯一确定。 [ C ] 3、基础训练（7）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 (A) 增大． (B) 不变． (C) 减小． (D) 不能确定． 【提示】： 把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒。 m 2 m 1 O 图5-7 O M m m 图5-11
习题5 5-1.如图，一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端 分别挂着质量为2m 和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定 滑轮的转动惯量均为 mr 2 / 2，将由两个定滑轮以及质量为 2m 和m 的重物组成 的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。 解：受力分析如图，可建立方程： 广 2mg T 2 2ma ① T1 mg ma ② J (T 2 T)r J ③ (T T 1)r J ④ 虹 a r , J mr 2/2 ⑤ 联立，解得：a 1g, T 4 上，设开始时杆以角速度 °绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求： （1）作 用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为: d f dmg gd x, 微元摩擦力矩：d M g xd x , （2）根据转动定律 M J J 马, t 有： 0 Mdt Jd dt 1 . -mglt 1 [2 —m l 0, . . t _oL 4 12 3 g 或利用： M t J J 0,考虑到 0, J 1 | 2 一 ml , 12 有：t ol 。 11 a mg 5-2.如图所示，一均匀细杆长为 l ,质量为m ,平放在摩擦系数为 的水平桌面 一小质元dm dx,有微元摩擦力: 考虑对称性, l_ M 2 2 有摩擦力 矩： gxdx 1
5-3.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量 可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为 R，其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中， 下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： r mg T ma ① * TR J ② —, 1 ~2 — k a R , J — mR —-③ 2 2mg Mmg 联立，解得：a ------------ — , T ----------- —, 考虑到a四，.?. v dv 「旦—dt,有：v dt 0 0 M 2m M 2m 5-4.轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M /4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M /4的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量J MR2 /4 ,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解一： 分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 Mg T1Ma A人 T2M 4g M 心 a B物 4 T1R T2R J滑轮 由约束方程：a A a B R 和J MR2/4,解上述方程组 得到a —. 2 解二： 选人、滑轮与重物为系统，设 U为人相对绳的速度，V为重
1.图示结构中的各构件自重不计。已知P =5 kN ，M=5 kN. m，q = 2.5kN/m 。 试求固定端A及滚动支座B处的约束反力。 2、一重W的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f， 且tgα 大学物理刚体力学基 础习题思考题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 习题5 5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： ma T mg 222=-┄① ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④ βr a = ，2/2J mr =┄⑤ 联立，解得：g a 41=，mg T 8 11= 。 5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：l m =λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦 力： d f dmg gd x μμλ==， 微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=， 考虑对称性，有摩擦力矩： 20124 l M g xd x mgl μλμ==?； （2）根据转动定律d M J J dt ωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=??， T 3 2011412mglt m l μω-=-，∴03l t g ωμ=。 或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，2112J ml = ， 有：03l t g ωμ=。 5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳 子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。 假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2MR ， 试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的 关系。 解：受力分析如图，可建立方程： m g T ma -=┄① βJ TR =┄② a R β= ，212 J mR =┄③ 联立，解得：22mg a M m =+，2Mmg T M m =+， 考虑到dv a dt =，∴0022v t mg dv dt M m =+??，有：22mg t v M m =+。 5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 4/M ，均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的 人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的 重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =， 设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无 相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一： 《理论力学》试题库 第一部分 填空题： 第一类： 1，已知某质点运动方程为x=2bcoskt,y=2bsinkt,其中b 、k 均为常量，则其运动轨迹方程为————————————，速度的大小为————————————，加速度的大小为————————————。 2、已知某质点运动方程为x=2cos3t,y=2sin3t,z=4t 则其运动速度的大小为 ，加速度的大小为 。 3、已知某质点运动方程为r=e ct ,θ=bt,其中b 、c 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 4、已知某质点的运动方程为x=2bcos 2kt ，y=bsin2kt ，则其运动轨道方程为 ；速度大小为 ；加速度大小为 。 5、已知质点运动的参数方程为y=bt ，θ=at ，其中a 、b 为常数，则此质点在极坐标系中的轨道方程式为 ，在直角坐标系中的轨道方程式为 。 6、已知某质点的运动方程为r=at,θ=bt,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 7、已知某质点运动方程为r=at,θ=b/t,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为———————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为—————————。 8、已知某质点的运动方程为x=at,y=a(e t －e －t )/2,其中a 为常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，曲率半径为——————————。 第二类： 9、质点在有心力作用下，其————————————————————均守恒，其运动轨道的微 分方程为——————————————————————，通常称此轨道微分方程为比耐公式。 10、柯尼希定理的表达式为————————————————————，其中等式右边第一项和第 理论力学部分 第一章 静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ ） 2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ ） 3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 （ ） 4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （ ） 5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ ） 6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ ） 二、选择题 线但方向相反。 1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直则其合力可以表示为 。 ① 1F －2F ； ② 2F －1F ； ③ 1F ＋2F ； 2．三力平衡定理是 。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。 ① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则； ③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理； ⑤ 作用与反作用定理。 4．图示系统只受F 作用而平衡。欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30?角，则斜面的倾角应为 ________。 ① 0?； ② 30?； ③ 45?； ④ 60?。 5．二力A F 、B F 作用在刚体上且 0=+B A F F ，则此刚体________。 ①一定平衡； ② 一定不平衡； ③ 平衡与否不能判断。 三、填空题 1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是 。 2．已知力F 沿直线AB 作用，其中一个分力的作用与AB 成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为 度。 3．作用在刚体上的两个力等效的条件是 第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=， 其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =， 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是 《理论力学》试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《理论力学》试题库 第一部分填空题： 第一类： 1，已知某质点运动方程为x=2bcoskt,y=2bsinkt,其中b、k均为常量，则其 运动轨迹方程为 ————————————，速度的大小为 ———————————— ，加速度的大小为 ———— ———————— 。 2、已知某质点运动方程为x=2cos3t,y=2sin3t,z=4t则其运动速度的大小为，加速度的大小为。 3、已知某质点运动方程为r=e ct,θ=bt,其中b、c是常数，则其运动轨道方程 为 ——————————————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 — ——————————— 。 4、已知某质点的运动方程为x=2bcos2kt，y=bsin2kt，则其运动轨道方程 为 ；速度大小为；加速度大小为。 5、已知质点运动的参数方程为y=bt，θ=at，其中a、b为常数，则此质点在极坐标系中的轨道方程式为，在直角坐标系中的轨道方程式为。 6、已知某质点的运动方程为r=at,θ=bt,其中a、b是常数，则其运动轨道方 程为 ——————————————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 ———————————— 。 7、已知某质点运动方程为r=at,θ=b/t,其中a、b是常数，则其运动轨道方 程为 ———————————————，其运动速度的大小为 —————————— ，加速度的大小为 —————— ——— 。 8、已知某质点的运动方程为x=at,y=a(e t－e－t)/2,其中a为常数，则其运动 轨道方程为 ——————————————————————，曲率半径为 —————————— 。 第二类： 9、质点在有心力作用下，其 ———————————————————— 均守恒，其运动轨道的微 本部理论力学复习资料 计算各题中构件的动量、对转轴的转动惯量，对转轴的动量矩、动能。图a-d 中未标注杆长L ，质量m ，圆盘半径R ，质量M ，均为均质构件,转动角速度均为w 。 填空题 1.平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的（ ）（ ）为零。 2.力系向一点简化得到的主矢与简化中心位置（ ）关，主矩矢一般与简化中心位置（ ）关。平面一般力系向一点简化可能得到的结果为力系简化为（ ）、（ ）或力系平衡。 4.平面汇交力系独立的平衡方程有（ ）个，空间汇交力系有（ ）个独立 平衡方程。 5.动点作曲线运动时的全加速度等于（ ）与（ ）两者矢量和。 6．已知质点运动方程为22,x t t y t =-+=，式中单位均为国际单位，则2t =秒时质点速度在,x y 轴投影分别为（ ）（ ）；质点速度大小为（ ）；加速度在,x y 轴投影大小分别为（ ）（ ）。 8. 力F 在x 轴上投影Fx=0和力F 对x 轴之矩Mx(F)=0，那么力F 应与（ ）轴（ ）并且（ ）。 9. 力偶矩矢的三个基本要素是（ ）（ ）和（ ）。 10. 直角刚杆AO=2m ，BO=3m ，已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s,而B 点加速度与BO 成?=α60角。则该瞬时刚杆的角速度ω=（ ）rad/s ，角加速度ε=（ ）rad/s 2。 (a)(b) (c) e f 11.物体保持原有的（ ）（ ）状态的性质称为惯性。 12.平面一般力系向一点简化可能得到的结果为力系简化为（ ）、（ ）或力系平衡。 13.质心运动定理在空间直角坐标系下的三个投影方程为：（ ）；（ ）；（ ）。 14.摩擦角是指临界平衡时（ ）与（ ）夹角。 15.瞬时平动刚体上各点的速度（ ）；各点加速度一般（ ）。（填相等、不相等）。 选择题 斜面倾角为30α= ，物块质量为m ，与斜面间的摩擦系数0.5s f =，动滑动摩擦系数 d f = （A ） （B ） （C ） (D)质量为m 压力大小为(A) mg （C ） 点 （t 以厘米计），则点（ ） (C)6cm,8cm/s 2 (D) 16cm,8cm/s 2 点的合成运动中的速度合成定理a e r v v v =+ ,适用于哪种类型的牵连运动? (A) 只适用于牵连运动为平动的情况 (B) (C) (D) 楔形块A ,B 自重不计,大小相等,方向相反,(A) A ,B 都不平衡(C) A 平衡, B 不平衡 作业5 刚体力学 ?刚体：在力的作用下不发生形变的物体 ?=-?= 21 0t t dt dt d ωθθθ ω角速度 ?=-?=21 0t t dt dt d βωωω β角加速度 1、基础训练（8）绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad s ω=，t ＝20s 时角速度为00.8ωω=，则飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2 ，t ＝0到 t ＝100 s 时间飞 轮所转过的角度θ= 250rad ． 【解答】 飞轮作匀变速转动，据0t ωωβ=+，可得出：20 0.05rad s t ωωβ-==- 据2 012 t t θωβ=+ 可得结果。 ?定轴转动的转动定律： 定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比. βJ M = 质点运动与刚体定轴转动对照 [C ] 1、基础训练（2）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边． (C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 【解答】 逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外, 由于(m 1＜m 2)，实际上滑轮在作减速转动,角加速度方向垂直纸面向,所以,由转动定律21()T T R J β-=可得：21T T > m 2 m 1 O [ C ] 2、自测提高（2）将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将 (A) 小于． (B) 大于，小于2． (C) 大于2． (D) 等于2． 【解答】 设飞轮的半径为R ,质量为m ，根据刚体定轴转动定律M J β=，当挂质量为m 的重物是： mg T ma TR J a R ββ -=== 所以2 mgR J mR β= +,当以2F mg =的拉力代替重物拉绳时，有： '2mgR J β=，2'mgR J β=，比较二者可得出结论。 3、基础训练（9）一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图5-12所示．现将杆由水平位置无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度β0= g/l ，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度β= g/2l ． 【解答】 由转动定律:M J β= (1)开始时杆处于水平位置: 0mgl J β= 其中 2 J ml =为小球相对于转轴的转动惯量,得：0g l β= (2) cos mgl J θβ=, 2g l β= 的质量分别为m A 、m B 和m C ，滑轮的半径为R ，滑轮对轴的转动惯量J ＝ 2 1 m C R 2．滑块A 与桌面间、滑轮与轴承之间均无摩擦，绳的质量可不计，绳与滑轮之间无相对滑动．滑块A 的加速度C B A B m m m g m a ++= )(22 【解答】 由转动定律得: B A T R T R J β-= (1) B B B G T m a -= (2) A A T m a = (3) a R β= (4) 4个方程,共有4个未知量: A T 、B T 、a 和β。可求：()22B A B c a m g m m m =++???? m m r r 盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯 量为9mr 2 /2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，求盘的角加速度 l m C A B G B T B T A 1.物体重P=20KN,用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞D上，如图所示，转动绞，物体便能升起。设滑轮的大小，AB与CD杆自重及摩擦忽略不算，A,B,C三处均为铰链链接。当物体平衡时，求拉杆AB和支杆CB所受的力。 2.在图示刚架的点B作用一水平力F尺寸如图，钢架重量忽略不计，求支座A,D的约束力 Fa和Fd。 3.已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为L，梁重不计，求在图a,b,c三种情况下， 支座A,B的约束力。 4.无重水平梁的支撑和载荷如图a,b所示，已知力F，力偶矩M的力偶和强度为q的均布载荷，求支座A,B处的约束力。 5.由AC和CD构成的组合梁通过铰链C链接，它的支撑和受力如图所示，已知均布载荷强度q=10kN/m，力偶矩M=40kN·m，不计梁重，求支座A,B,D的约束力和铰链C处的所受的力。 6.在图示构架中，各杆单位长度的重量为300N/m，载荷P=10kN,A处为固定端，B,C,D,处为铰链，求固定端A处及B,C铰链处的约束力。 7..杆OA长L,有推杆推动而在图面内绕点O转动，如图所示，假定推杆的速度为v，其弯头高为a。求杆端A的速度大小（表示为x的函数）。 8.平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB课沿导槽上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC=e，凸轮绕轴O 转动的角速度为w，OC与水平线成夹角φ。当φ=0°时，顶杆的速度。 9.图示铰接四边形机构中，O1A=O2B=100mm，又O1O2=AB,杆O1A以等角速度w=2rad/s绕轴O1转动。杆AB上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接。机构的各部件都在同一铅直面内。求φ=60°时，杆CD的速度和加速度。 第七章机械振动 刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系 刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律 刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理 掌握刚体的概念和刚体的基本运动 理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量 掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法 了解进动现象和基本描述 §6.1 刚体和自由度的概念 一. 力矩 力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体 运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因. 将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于 不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即 力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零. 讨论: (1)力对点的力矩. (2) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定. (3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩. 例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图) 求摩擦力对y 轴的力矩. 解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如 图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为 则该线元的摩擦力对y轴的力矩为 积分得摩擦力对y轴的力矩为 注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如 . 理论力学---1 1-1. 两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 第6章 刚体的基本运动习题 1.是非题（对画√，错画×） 6-1.平移刚体上各点的轨迹一定是直线。（ ） 6-2.在每一瞬时刚体上各点的速度相等，刚体作平移运动。（ ） 6-3.某瞬时刚体有两点的速度相等，刚体作平移运动。（ ） 6-4.研究刚体的平移运动用点的运动学知识即可。（ ） 6-5.平移刚体上各点的轨迹形状相同，同一瞬时刚体上各点的速度相等，各点的速度相等。（ ） 6-6.刚体在运动的过程中，存在一条不动的直线，则刚体作定轴转动。 6-7.刚体作定轴转动时各点的速度大小与到转轴的距离成正比，各点的加速度大小与到转轴的距离成反比。 6-8.刚体作定轴转动时法向加速度ωr a n 2=。（ ） 6-9.齿轮传递时其角速度的比等于半径的正比。（ ） 6-10.刚体作定轴转动时角速度与角加速度同号时，刚体作加速转动。（ ） 2.简答题 6-11.刚体作匀速转动时，各点的加速度等于零吗？为什么？ 6-12.齿轮传递时，如图6-12所示，接触点的速度相等，加速度也相等吗？为什么？ 6-13.下列刚体作平移还是作定轴转动： （1）在直线轨道行驶的车箱。 （2）在弯道行驶的车箱。 （3）车床上旋转的飞轮。 （4）在地面滚动的圆轮。 6-14.如图所示，直角刚杆AO=1m ，BO=2m ，已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s ，而B 点的加速度与BO 成α=45°，则该瞬时刚杆的角加速度α为多少？。 6-15.如图所示，鼓轮的角速度由下式 题6-14图 题6-15图 r x tan 1 -=? 求得， (dt d dt d ω==?r x tan 1-） 问此解法对吗？为什么？ 3.计算题 6-16.如图所示的机构中，已知O 1A=O 2B=AM=r=0.2m ，O 1O 2=AB ，轮O 1的运动方程为t π15=?（rad ），试求当s 50.t =时，杆AB 上的点M 的速度和加速度。 6-17.揉茶机的揉桶有三个曲柄支持，曲柄支座A 、B 、C 与支轴a 、b 、c 恰好组成等边三角形，如图所示。三个曲柄长相等，长为cm 15=l ，并以相同的转速r/min 45=n 分别绕其支座转动，试求揉桶中心点O 的速度和加速度。 题6-16图 题6-17图 6-18.如图所示，带有水平滑槽的套杆可沿固定板的铅锤导轨运动，从而带动销钉B 沿半径R =100mm 的圆弧滑槽运动。已知套杆以匀速度2=o v m/s 铅直向上运动，试求当y =100mm 时，线段OB 的角速度。大学物理刚体力学基础习题思考题及答案
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