振动、波动和光学习题精解
第10章 机械振动
10.1 要求
1 了解 简谐振动的能量；
2 理解 旋转矢量法、同方向和同频率简谐振动的合成的规律；
3 掌握 简谐振动的各物理量（?ω,,A ）及各量间的关系、简谐振动的基
本特征、建立简谐振动的微分方程、根据初始条件写出一维简谐振动方程、同方向和同频率简谐振动的合成。
10.2 内容摘要
1 简谐振动运动学方程
)cos(?ω+=t A x
特征量：振幅A ：决定振动的范围和能量；
角频率ω：决定振动重复的快慢，频率ω
πνπων21,2===
T 周期； 初相?：决定起始的时刻的位置和速度。
2 振动的位相 （?ω+t ）简谐振动在t 时刻的位相；
3 简谐振动动力学方程
0222=+x dt x d ω 弹性力：kx F -=，K
m T m K πω2,==
； 4、简谐振动的能量 2222
121)(21kA kx dt dx m E E E k p =+=
+= 5、受迫振动：是在驱动力作用下的振动。稳态的受迫振动的频率等于驱
动力的频率。当驱动力的频率等于系统的频率时，发生共振现象，振幅最大。
6、同方向、同频率简谐振动的合成 )cos(111?ω+=t A x ， )cos(222?ω+=t A x
)cos(21?ω+=+=t A x x x
其中， A =)cos(
212212
221??-++A A A A ， 22112211cos cos sin sin arctan ?????A A A A ++= 相位差12???-=?起了相当重要的作用
（1） 两个谐振的频率相同时，合运动的振幅决定于它们的相位差：
同向时 （ 3,2,1,0,2=±=?k k π?），合振动最大，为两者振幅之和；
反向时 合振动最小[ 3,2,1,0,)12(=+±=?k k πφ]，为两者振幅之差；
（2） 两个谐振的频率不相同时，合运动会产生拍现象，拍的频率为两个
谐振的频率之差。
10.3 解题思路
1 根据给定条件，写简谐振动表达式时，要找出三个特征量ω,A 和?。?要特别注意初始条件，利用初始条件画出向量图是求?的一个方便的方法。由质点的初始位置和速度（特别是注意正和负）就可以画出振幅矢量的位置，确定?的值；
2 从分析力着手判定简谐振动时，基本步骤就是
求质点在给定条件下受的合力，只要得到合力对某一平衡位置的位移正比而反向，就可以判定质点的运动是简谐振动，并可立即由力和位移的比例常数和质点的质量，写出简谐振动的角频率或周期；
3 应用同一直线上两个简谐振动的合成规律时，要特别注意它们的相位差
和合成的振幅的关系；同向时，合振幅最大，反向时，合振幅最小。
10.4 思考题选答
1 弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在简谐驱动力持
续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐运动有什么区别？
答：弹簧振子的无阻尼自由振动是在“无阻尼”，包括没有空气等外界施
加的阻力和弹簧内部的塑性因素引起的阻力的情况下发生的，是一种理想情况。由于外界不能输入能量，所以弹簧振子的机械能守恒。这时振动的频率由弹簧振子自身的因素（m k ,）决定。
在简谐驱动力持续作用下的稳态简谐运动是在驱动力作用下产生的。这时
实际上，弹簧振子受的阻力也起作用，只是在驱动力对弹簧振子做功而且输入弹簧振子的能量等于弹簧振子由于阻力消耗的能量时，振动才达到稳态，这样弹簧振子的能量才保持不变。此时，稳态受迫振动的频率决定于驱动力的频率，而与弹簧振子的固有频率无关。
2 任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？
答：从质量的意义上来说，质量表示物体的惯性，弹簧本身的质量计入时，系统的质量增大，更不易改变运动状态。对不断地周期性改变运动状态的弹簧振 子的简谐运动来说，其进程一定要变慢。这就是说，考虑弹簧的质量时，弹簧振子的振动周期将变大。
10.5 习题解答
10-1 质量为10g 的小球与轻弹簧组成的系统，按m t x )3\8cos(05.0ππ+=的规律而振动，式中t 以s 为单位,试求:
(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值;
(2)t =1s 、2s 、10s 等时刻的相位各为多少?
(3)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
解：(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值：
由已知，112.258-==s πω，s T 25.02==ωπ，3
,05.00π?==m A ；
1127.005.08-?=?==s m A v πω，12226.3105.064-?=?==s m A a πω
(2) t =1s 、2s 、10s 等时刻的相位各为：
πππ?ω3
2538)(,1=+=+=t s t ， πππ?ω3
49316)(,2=+=+=t s t ， πππ?ω3
241380)(,10=+=+=t s t 。 (3) 分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线
10-2 有一个和轻弹簧相联的小球，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，其
表式用余弦函数表示。若t =0 时，球的运动状态为:
(1)x 0=-A ;
(2)过平衡位置向x 正方向运动;
(3)过x =A/2处向 x 负方向运动;
(4)过处2
A 向 x 正方向运动; 试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表式。
解：振动表式：)cos(?ω+=t A x
(1)x 0=-A ，)cos(,,cos πωπ??±=±==-t A x A A ；
(2)过平衡位置向x 正方向运动，)2cos(,2,0,000π
ωπ
?+===t A x v x ；
(3)过x =A/2处向 x 负方向运动，)3
cos(,3,0,200πωπ?+===t A x v A x ；
(4)过处2A
向 x 正方向运动，4,0,200π
?-== v A
x ，
))(4cos(SI t A x π
ω-=。
10-3 某质点振动的x-t 曲线如题图5－7所示.求：
（1）质点的振动方程；
（2）质点到达P 点相位；
（3）质点到达P 点相应位置所需的最短时间.
分析 由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P 点的相位确定最短时间。
00001cos()
0,/2,0
31,3256
50.1cos(
)63
20x A t t x A v t s t x t m P ω?π?ππωπ
ωππ=+==>=-
=-=∴==-解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又
故：（）点的相位为 题图10-3
0500.463
0.4p p p t t t s P s
ππω?∴+=-==即质点到达点相应状态所要的最短时间为 10-17 两同方向简谐振动，其振动方程分别为
)4
110cos(106, )4310cos(1052221ππ+?=+?=--t x t x 式中x 以m 为单位，t 以s 为单位.
(1)求合振动的振幅和初相;
(2)若另有一同方向简谐振动)10cos(10723?+?=-t x ,问 ?为何值时,合振动
31x x +的振幅为最大; 又 ?为何值时,合振动 32x x +的振幅为最小?
(3)用旋转矢量法表示(1)、（2）的结果.
分析 先体会给出的两个振动方程,哪里体现了同方向?哪里体现了同频率?作两个同方向同频率振动合成,最简单的方法是旋转矢量法(不妨也尝试一下解析法),只要画出了合成矢量,简单的几何关系便给出合振动的振幅及初相.本题的另一部分是讨论振动加强减弱条件,这为后面讨论机械波、光波的干涉加强减弱作舖垫.
解 (1)如图10-17,两矢量间夹角为
2π,所以合振动振幅
m 107.81 m
106522222221--?=?+=+=A A A 合振动初相
84844
65 tan arc 0'=+= π? (2) 合振动A 再与第三个振动合成.根据振动叠加条件, π??k 21±=-时合振动有极大值,即 ππ?k 24
3±= (k =0,1,2…) 当π??)12(1+±=-k 时合振动有极小值, 即
ππ?)12(4
3
+±=k (k =0,1,2…)
10-19 当两个同方向的简谐振动合成为一个振动时，其振动表式为： t t A x 0.50cos 1.2cos =
式中t 以s 为单位。求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。
解：已知，t t A x 0.50cos 1.2cos = 拍的标准方程为：t t A x )2cos()2cos(1
21
2ωωωω+-=
两式比较得：
1.52,9.47,502,1.22
211212==∴=+=-ωωωωωω 拍的周期为 s T 5.12
.42212==-=πωωπ。 10.23 一质点沿x 轴作简谐运动振动方程为)3
12cos(1042ππ+?=-t x （SI ），从t=0时刻起到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为
（A ） 1/8秒； （B ） 1/4秒；
（C ） 1/2秒； （D ） 1/3秒、
（E ） 1/6秒 。 [ ]
解：（1） 根据振动方程可知：振幅cm A 4=，角频率πω2=，初相3/π?=，
周期 ω
π2=T =1秒； （2） 分析质点运动情况：从t=0时刻起，2)3/0cos(10420=+?=-πx ；向x 轴负方向运动，直到cm x 41-=,即3/1t 3),/t 2(4cos 411=+-=ππ为止；质点改变运动方向，向x 轴正方向运动到位置P 点。最短时间间隔为：21t t t +=
(3) cm x 22-=处的时刻 。
第11章 机械波基础
11.1 要求
1 了解 波的能量传播特征及能流密度概念、驻波和行波的区别、机械波
的多普勒效应及其产生的原因、电磁波的性质；
2 理解 机械波产生的原因、波形曲线；
3 掌握 由已知质点的简谐振动方程，得出平面简谐波函数的方法及波函
数的物理意义、
11.2 机械波基础摘要
1 波 振动的传播称为波。机械波在介质中传播时，只是振动的传播，介质不移动。质元的运动方向和振动传播的方向垂直，这种波叫做横波，其外形上有波峰和波谷；质元的运动方向和振动传播的方向平行的波称为纵波。
2 简谐波 简谐运动的传播称为简谐波。
数学表达式
)2cos()(2cos )(cos λ
πωλπμωx t A x T t A x t A y ±=±=±=， 式中负号表示沿x 轴正方向传播的波，正号表示沿x 轴负方向传播的波。
3 弹性介质中的波速（式中G 为切变模量，ρ为体密度）
横波波速 ρ
μG =； 纵波波速 ρμE
=，式中E 为扬模量，
液体和气体中纵波波速
ρ
K u =
，式中K 为介质的体积模量，ρ为体密度； 拉紧绳中的横波波速 ρρT
F u ==，式中F 或T 为绳中张力，ρ为体密度；
4 简谐波的能量
任一质元的动能和弹性势能同样地变化。
平均能量密度 222
1A w ρω=， 波的强度 u A u w I 222
1ρω==， 5 惠更斯原理
介质中波传到的各点都可看作开始发射子波的点波源，在以后的任一时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波前。
6 驻波
在同一媒质中，有两列振幅相等、方向相反在同一直线上传播的相干波，叠加时形成的一种特殊的波的干涉现象称为驻波。
其表达式为
t x A ωλ
πξcos 2cos 2= 实际上是稳定的分段振动，有波节和波腹。
7 多普勒效应
接收器收到的频率与接收器（R ）和波源（S ）的运动有关。 波源静止时，S R R u
v u νν+=，接收器向波源运动时R v 取正值，远离时为负； 接收器静止时，S S
R v u u v ν-=，波源向接收器运动时S v 取正值，远离时为负。 11.3 解题思路
1 关于波函数的习题，基本是两类：一类是识别给定的波函数，即由给定的波函数的公式，求波的频率、振幅、波速和波长等。这时将给定的波函数和波函数的标准公式加以对比，即可求得；另一类是已知条件（如某一质元的振动表达式）写出波函数。这时要注意“沿波的传播方向振动逐点延缓”这一基本规律，求出延缓的时间u
x t ?=?，然后改写已知质元的振动表达式，既可写出所求的波函数。
在写反射波函数时，也要先计算从给定的质元到反射波中任一点的时间延迟，这时还要特别注意反射的情况。如果遇到波密介质（或固定点）而反射，需要计入半波损失，即在传播距离上要加（或减去）半个波长，或在波函数的相位的公式加或减π；
2 在计算波的能量或强度时，也要注意质元的振动速度dt
dx 和波的传播速度u 的区别。质元的动能决定于前者，而波的强度和波的速度有关；
3 对驻波波函数，应注意到它是有一个振动因子t ωcos 和一个随坐标周期性变化的因子λ
π2cos 的乘积组成。由此可得到各质元的振动频率、振幅和相位随坐标的分布。
对于两端固定的弦上形成的驻波，应注意波长是“量子化”了的。由波长和弦中的波速，可求得波的频率。
4 在计算由于多普勒效应而产生频率改变时，要注意公式中速度的符号，要注意区别发射的频率、波的频率和接受的频率的区别。
11.4 思考题选答
1 二胡调音时，要拧动上部的旋杆，演奏时手指压触弦线的不同部位，就能发出各种音调不同的声音。这都是什么缘故？
答：拧动上部的旋杆是改变弦线的张力，而改变弦线中的波速，使对应于弦线全长（从千斤到码子）的弦的频率发生变化，以确定二胡标准基音。弦线的张力固定后，手指压触弦线的不同部位，就是改变弦线上的振动部分的长度，也就是改变弦线所发出的基音频率，即发出各种不同音阶的声音。
2 在有北风的情况下，站在南方的人听到在北方的警笛发出的声音和无风的情况下听到的有何不同？你能导出一个公式吗？
答：在警笛是静止的情况下，北风只是改变了声波相对地面的传播速度。对于站在南方的人来说，他听到的警笛发出的声音的频率并无改变，若u 为声波在静止的空气中的声速，v 为北风相对地面的速度；则在有北风的情况下，相对地面的声速为v u +。这时，警笛发出向南的声音的波长为T v u )(+='λ，T 为其的周期。南方的人一个周期内接收到的声波波列的长度为v u +，即波数为 νλ=='+T
v u 1 这就是他接收到的频率。
11.5 习题精解
11-1 一横波在沿绳子传播时的波方程为：))(4210cos(05.0SI x t y ππ-=
(1) 求波的振幅、波速、频率及波长；
(2) 求绳上的质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3) 求s t m x 1,2.0==质点的相位，它是原质点处在哪一时刻的位相?
(4) 分别画出t=1s 、t=1.25s 和t=1.50s 的波形。
解：（1）用比较法（与标准波动方程），
由 )2cos()410cos(
05.0x t A x t y λπ?ωππ-+=-=得；
（1）写出O 点的振动表达式；
（2）写出该波的波动表达式；
（3）写出A 点的振动表达式；
（4）写出A 点离O 点的距离。
解：由图可知A=0.1m ，λ=0.4m ，由题知T= 2s ，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s 。
波动方程为：y=0.1cos ［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O 点的初始相位。
（1） 由上式可知：O 点的相位也可写成：φ=πt+Ф0
由图形可知： s 3
1=
t 时y ０=-A/2，v ０＜0，∴此时的φ=2π／3， 将此条件代入，所以：03132?ππ+= 所以3
0π?= O 点的振动表达式y=0.1cos ［πt+π/3］m （2）波动方程为：y=0.1cos ［π(t-x/0.2)+π/3］m
（3）A 点的振动表达式确定方法与O 点相似由上式可知：
A 点的相位也可写成：φ=πt+ФA0
由图形可知： s 3
1=t 时y ０=0，v ０>0，∴此时的φ=-π／2， 将此条件代入，所以：0312A ?ππ+=- 所以6
50π?-=A A 点的振动表达式y=0.1cos ［πt-5π/6］m
（4）将A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos ［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos ［πt-5π/6］
可得到： m x A 233.030
7==。 11-5如题11-5所示，一平面波在介质中以波速20/u m s =沿x 轴负方向传播，
已知A 点的振动方程为)(4cos 1032SI t y π-?=.
(1)以A 点为坐标原点写出波方程；
(2)以距A 点5m 处的B 点为坐标原点，写出波方程.
分析 由波相对坐标轴的传播方向和已知点的振动方程
直接写出波方程。
解：(1)坐标为x 处质点的振动相位为
)]20/([4)]/([4x t u x t t +=+=+ππ?ω波的表达式为
))](20/([4cos 1032SI x t y +?=-π (2)以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为
)](20
5[4'SI x t t -+=+π?ω 波的表达式为 )]()20
(4cos[1032SI x t y ππ-+?=-
波动方程：
]2
54.0cos[04.0])(cos[πππ?ω+-=+-=x t u x t A y
u 图11-5
解：平面简谐波的标准表达式为：
])(cos[0?ω+-=u
x t A y ，A=0.05，πω= T T uT 1,2,===νπωλ；将两表达式进行对照2
12,21===πωνu 选(C)。 11-20 同一介质中的两个波源位于A 、B 两点，其振幅相等，频率都是100Hz ，相位差为π。若A 、B 两点相距为30m ，波在介质中的传播速度为40m/s ，试求AB 连线上因干涉而静止的各点位置。
解：选择A 点为坐标原点，对于A 、B 间的任意一点C
A 点波动方程：)](cos[u
x
t A y A -=ω B 点波动方程：])30(cos[πω+--=u
x t A y B πωωπωω?)115010(][])30([+-=--+--=?x u
x t u x t
即：ππ?)12()115010(+=+-=?k x ，产生干涉相消，所以
),2,1(,215 ±±=+=k k x ，
距A 点m x 29,,7,5,3,1 =处产生干涉相消而静止； ππ?k x 2)115010(=+-=?，
位于A 、B 两点以外任一点，不可能产生干涉相消，都是加强。
第14章 波动光学
12.1 要求
1 了解 迈克尔干涉仪的原理、惠更斯-菲涅尔原理和双折射现象；
2 理解 获得相干光的方法、单缝夫琅和费衍射干涉条纹分布规律的方法；
3 掌握 光栅衍射公式、自然光和偏振光和布儒斯特定律和马吕斯定律；
4 熟练掌握 光程、光程差和位相差之关系、分析和确定扬氏双缝干涉条纹以及等厚干涉条纹的位置、分析缝宽和波长对衍射条纹分布的影响、分析光栅常数和波长对衍射条纹分布的影响。
12.2 内容摘要
1 光是电磁波 实验发现光是电磁波，γ,x 射线等都是电磁波。所有电磁
波的本质都是相同的，具有所有波的性质，只是它们的频率和波长不同而已。
2 光的相干现象 两列光波叠加时，产生的光强在空间内有一稳定分布的现象。
相干叠加的条件 振动方向相同、频率相同和有固定的相位差。
3 相干光强
02
04I I ),,2,1,0k (2k ,2
cos 4I I ==±=??= π??， 最亮； ,2,1,0k ,1)k 2(=+±=?π?时， I=0，最暗。 4 光程 光在某一媒质中所经历的几何路程r 与此媒质的折射率n 的乘
积，称为光程。数学表达 Ct nr =，C 为真空中的光速。
光程差 两束光的光程之差，称为光程差，用δ表示。
相位差 λ
δπλπ?λπ?λννλ22,2,==?=?===rn r n n C u n n 光由光疏媒质射向光密媒质，在界面反射时，发生半波损失，等于
2λ的光程。
5 扬氏双缝实验
干涉加强条件 λλλδd
D x d D k x k k D x d
=?±==±==,,2,1,0,或 ； 干涉减弱条件 d D k x k k D x d 2)12(,2,1,0,2)12(λλδ-±==-±==或
6 薄膜干涉
光程差 2)(12λ
δ+-+=AD n BC AB n
当 λδk ±=， k=1，2，3，……明条纹；
当 2
)12(λδ+±=k ， k=0，1，2，3，……暗条纹。 劈尖干涉 空气劈尖（薄膜厚度不均匀时）产生的干涉。
光程差 2
2λδ+=e ，
当 λδk ±=， k=1，2，3，…明条纹； 当 2)
12(λδ+±=k ，k=0，1，2，3，…暗条纹。
牛顿环 光程差 22λ
δ+=e ， 2222λλ
δ+=+=R r e = k λ， k=1，2， ……明环； 2)12(λ
δ+±=k ， k=0，1，2, ……暗环。
干涉明条纹半径 ,2)12(λR k r -=
k=1，2， ……明环； 干涉暗条纹半径 ,2,1,0,==k kR r λ ……暗环。
7 迈克耳干涉仪 利用分振幅法，使两各相互垂直的平面镜形成一等效的空气薄膜。 2λ
??=?N d
式中N 为视场中移过的条纹数，d 为1M 平移的距离。
8 惠更斯-菲涅耳原理
同一波前上的任一点，都可以看作新的“次波源”，并发射次波；在空间某点P 的振动是所有次波在该点的相干叠加。
9 夫琅和费衍射
单缝衍射
用菲涅耳半波带法分析。单色光垂直入射时，衍射暗条纹中心位置满足要求
,3,2,1,sin =±==k k a λ?δ（暗纹）
圆孔衍射
单色光垂直入射时，中心亮斑半角宽度（角半径）为
D λ
θ22.10=
10 光学仪器的分辩本领
最小分辩率 λδ?22.11
D R = 最小分辩角 D
λδ?22.1=，（12??δ?-=）。
11 光栅衍射：在黑暗的背景上，显现窄细明亮的谱线。
光栅方程 ?δsin )(b a += 谱线（主极大）位置满足方法：λ?k b a ±=+sin )(，k=0，1，2，…
谱线强度受单缝的调制，产生缺级现象。
产生缺级现象的条件 k k a d '
= 光栅的分辨率
kN R ==δλ
λ，（δλ=λ2-λ1，N 为光栅总缝数） 12 x 衍射布拉格公式
,3,2,1,sin 2==k k d λ?，d 为两晶面间距离。 13 自然光和偏振光
光是横波。在垂直光的传播方向的平面内，光振动（E ）各个方向振幅都相等的光，称为自然光；只在一个方向有电振动的光称为线偏振光，各个方向都有电振动，但是振幅不同的光叫部分线偏振光。
14 由介质吸收引起的光的偏振
偏振片只允许某一方向的光振动通过，和这一方向垂直的光振动完全被吸
收。偏振片可用作起偏器，也可用作检偏器。
15 马吕斯定律
θ20cos I I =，式中，I 为通过偏振片的光强，0I 为入射光强，θ为光振动
方向与偏振片的通光方向之夹角。
16 布儒斯特定律
自然光在电介质表面反射时，反射光是部分偏振光，但入射角0i 满足
211
20tan n n n i ==时，反射光是线偏振光，其光振动方向与入射面垂直。0i 称为相关介质的布儒斯角。
17 由双折射引起的光的偏振
一束自然光射入某些晶体时，会分为两束，一束遵守折射定律，折射率不
随入射方向改变，叫寻常光；另一束折射率随入射方向改变，称为非常光。寻常光和非常光都是线偏振光，它们相互垂直。
18 由散射引起的光的偏振
自然光在传播路径上遇到小微粒或分子时，会激起粒子中的电子振动向四
周发射光线，这就是散射。垂直于入射光方向的散射光是线偏振光，其他方向的散射光是部分偏振光。
19 旋光现象
线偏振光通过物质时振动面旋转的现象。旋转角度与光通过物质的路径长
度成正比，d α?=，式中，α为旋光常数。
20 椭圆偏振光和圆偏振光
在各向异性晶体内产生的e 光和o 光是振动频率相同，且振动方向相互垂
直的两偏振光；如果在空间某处叠加有固定位相差时，合成光矢量的轨迹可能是椭圆，也可能是圆。轨迹是椭圆称为椭圆偏振光；轨迹是圆称为圆偏振光。
1） 振幅 θθsin ,cos A A A A o e ==
2） 光程差 d n n e )(0-=δ
相位差 d n n e o )(2-=?λπ
?
12.3 解题思路
1 干涉问题的解答，根本上是依靠两束相干光的相差或光程差的计算。首先要判断是哪两束相干光叠加，然后再看它们的路程差。在光通过媒质时，还要计算出光程差。在有反射时，还要判断是否有半波损失。总的光程差计算出来后，就可以用光程差和（真空中的）波长的关系来判断叠加时明暗条纹的位置了：光程差等于波长的整数倍时，给出明条纹；等于半波长的整数倍时，给出暗条纹；
2 要注意干涉条纹的分布和相干光的波长的关系，白光干涉会出现彩色条纹；
3 光的衍射问题的分析，根本上是依靠两束相干光的相差或光程差的计算，不过此处处理的是连续分布的相干子波波源发出的光的叠加。本章所给出的公式都是入射光垂直于衍射屏的情况。这种情况下，衍射屏上连续分布的子波波源都是同相的。如果是斜入射，则计算光程差时还要计算这些子波波源的相差；
4 细丝和细粒的衍射应和细缝及细孔的衍射一样处理；
5 光栅衍射是结合了各缝之间的干涉和每个条缝中连续波源的衍射所引起的叠加现象。要既能求主极大（谱线）的位置，又能求谱线的宽度，还要能解决缺级现象；
6 对于x 射线的衍射，要能根据具体的入射情况和晶体的晶面间距，列出干涉加强的条件，不可死记公式；
7 了解几种线偏振光产生的条件，在利用马吕斯定律和布儒斯特角定义时，需了解光振动的分解及光强和振幅的平方成正比的规律以及注意光振动方向及偏振片通光方向的正确判断。
12.4 思考题选答
1 用普通的单色光源照射一块两面不平行的玻璃板作劈尖干涉实验，板的两面的夹角很小，但是板比较厚。这时观察不到干涉现象，为什么？
答：普通光源发出的单色光的波列长度很短。同一波列从上下两表面反射后，由于光程差较大，两束反射光不可能叠加在一起，这样，从玻璃板上下表面反射而叠加的两束光就是不相干的。因此，不能观察到干涉条纹。
2 隐形飞机所以很难为敌方雷达发现，可能是由于飞机表面涂敷了一层电介质（如塑料或橡胶薄膜），从而使入射的雷达波反射极微。试说明这层电介质可能是怎样减弱反射波的。
答：可能是利用薄膜干涉原理，使从电介质层两表面反射的雷达波干涉相消了。因而，雷达波反射极微。也可能是电介质的吸收作用，它吸收入射波的能量，因而减小了反射波的强度。
3 如何说明不论多缝的缝数有多少，各主极大的角位置总是和有相同缝宽和缝间距的双缝干涉极大的角位置相同？
答：双缝和等间距、等宽的多缝的主极大都是只由相邻两缝的干涉决定的，都要满足 λθk d ±=sin
所以二者的主极大的角位置相同。
4 一个”杂乱”光栅,每条缝宽度是一样的,但是缝间的距离有大有小,随机分布.单色光垂直入射这种光栅时,其衍射图样会是什么样的?
答:由于各缝间距离杂乱,各缝间透过的光的相干将被破坏而不能出现光栅有主极大那样的谱线.各缝产生的衍射将依然存在,在透镜后面形成单缝的衍射条纹,其强度为各单缝单独产生的强度之和。
12.5 习题解答
12-3 用很薄的云母片(n =1.58)覆盖在双缝实验中的一条缝上，这时屏幕上的零级明条纹移到原来的第七级明条纹的位置上，如果入射光波长为 l =550 nm 。 试问此云母片的厚度为多少?
解：设云母片的厚度为e ，无云母片时：)1(012 =-r r
放置云母片后 )2(7)(12 λ=-+-r ne e r
联立（1）和（2）：mm n e 39
1064.61
58.110550717--?=-??=-=λ 12-4 一射电望远镜的天线设在湖岸上，距湖面高度为h 对岸地平线上方有一恒星刚在升起，恒星发出波长为l 的电磁波。试求当天线测得第一级干涉极大时恒星所在的角位置(提示:作为洛埃镜干涉分析)。
解：洛埃镜干涉分析： λθδ=+-=22cos a a
即 ,2sin 2,sin 212cos 22λθαα=
∴-=a 故 h
h a 4sin ,sin λ
θθθ=≈=。
12-8 在Si 的平表面上氧化了一层厚度均匀的SiO 2薄膜．为了测量薄膜厚度，将它的一部分磨成劈形(示意图中的AB 段，平面图)．现用波长为632.8nm 的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹．在图中AB 段共有8条暗纹，且B 处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度．(Si 折射率为3.42，SiO 2折射率为1.50)
分析：上下表面反射都有相位突变π，计算光程差时不必考虑附加的半波长. 解：设膜厚为e ， A 处为明纹， B 处为暗纹，
2ne ＝2λ(2k ＋1)，(k ＝0，1，2，…)， 第8个暗纹对应上式k ＝7,()n
k e 412λ+=＝1.58×10-3mm 12-12 人造水晶珏钻戒是用玻璃（折射率为50.1）做材料，表面镀上一氧化硅（折射率为0.2）以增强反射。要增强nm 560=λ垂直入射光的反射，求镀膜厚度。
解：由反射干涉相长公式有
2ne+λ/2=k λ (k=1,2,…) 当k=1时，为膜的最小厚度。
得 m μλ07.02
4105604n e 9
=??==-。 12-15 一单色平行光束垂直照射在宽为 1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为20m 的会其透镜，已知位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.5mm 。求入射光波长。 解：nm f x a x a f x 625202105.20.12,21600=???=?=?=≈?-λλ。 12-25 波长600nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大在
20.0sin =θ处，第四级缺级，试问：
（1）光栅上相邻两缝的间距)(b a +有多大？
（2）光栅上狭缝可能的最小宽度a 有多大？
（3）按上述选定的a 、b 值，试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少？ 分析：（1）将已知条件代入光栅方程λθk b a =+sin )(可求出光栅常数即光栅上相邻两缝的间距；
（2）用缺级公式'
k k a b a =+，1'=k ，可求出光栅上狭缝可能的最小宽度a ； （3）以o 90为限先确定干涉条纹的级数，等于o 90时对应的级次看不见，扣除缺级，最后算出条纹数。
解：（1）由光栅方程λθk b a =+sin )( （k=2）
得 cm k b a 4106sin )(-?==+θ
λ
（2）根据缺级条件，有
'k k a b a =+ 取1'=k ,得 cm b a a 4105.14-?=+=
（3）由光栅方程 ,2,1,0,sin )(±±==+k k b a λθ
令1sin =θ,解得: 10=+=λ
b a k 即9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k 时出现主极大，8,4±±缺级,10±级主极大在090=θ处,实际不可见,光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条。
12.38 在双缝干涉实验中，设缝是水平的。若双缝所在的平板稍微向上平移，其它条件不变，则屏幕上的干涉条纹：
（A ） 向下平移，且间距不变；
（B ） 向上平移，且间距不变；
（C ） 不移动，但间距改变；
（D ） 向上平移，且间距改变。 [ ]
解：如图14.1所示，当MG 平板稍微向上平移，显然屏幕上的干涉条纹向上平移，且间距不变。（B ）为正确答案。
图14.1
波动光学 一、选择题 1．如图，折射率为2n ，厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为1n 和3n ，且3221,n n n n ><，1λ为入射光在1n 中的波长，当单色平行光1λ垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束的光程差是： （A ）e n 22； （B ）11222n e n λ- ； （C ）112212λn e n -； （D ）122212λn e n - 2．单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，若薄膜厚度为e ，且321n n n ><，1λ为入射光在1n 中的波长，则两束反射光在相遇点的位相差为 （A ）1 122λπn e n ； （B ）πλπ+1214n e n ； （C ）πλπ+1124n e n ； （D ）1124λπn e n 。 3．在双缝干涉实验中，入射光的波长为λ，用玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大λ5.2，则屏上原来的明纹处 （A ）仍为明条纹。 （B ）变为暗条纹。 （C ）既非明纹也非暗纹。 （D ）无法确定是明纹，还是暗纹。 4．如图所示，用波长为λ的单色光照射双缝干涉实验装置，若将一折射率为n 、劈角为α的透明劈尖b 插入光线2中，则当劈尖b 缓慢地向上移动时（只遮住2S ），屏C 上的干涉条纹 （A ）间隔变大，向下移动。 （B ）间隔变小，向上移动。 （C ）间隔不变，向下移动。 （D ）间隔不变，向上移动。 λS 1S 2S O C 1 2 b 图 3 3
5．在杨氏双缝干涉实验中，如果在上方的缝后面贴一片薄的透明云母片，中央明纹会 （A ）向上移动； （B ）向下移动； （C ）不移动； （D ）向从中间向上、下两边移动。 6．白光垂直照射到空气中一厚度为nm 450的肥皂膜上。设肥皂的折射率为1.32，试问该膜的正面呈什么颜色： （A ）紫光（nm 401）（B ）红光（nm 668）（C ）蓝光（nm 475）（D ）黄光（nm 570） 7．如图示两个直径有微小差别的彼此平行的滚柱之间的距离为L ，夹在两块平晶的中间，形成空气劈尖，当单色光垂直入射时，产生等厚干涉条纹，如果滚柱之间的距离变小，则在L 范围内干涉条纹的 （A ）数目减少，间距变大；（B ）数目不变，间距变小； （C ）数目增加，间距变小； （D ）数目减少，间距不变。 8纹 （A ）向劈尖平移，条纹间隔变小； （B ）向劈尖平移， 条纹间隔不变； （C ）反劈尖方向平移，条纹间隔变小；（D ）反劈尖方向平移，条纹间隔不变。 9．波长为λ的平行单色光垂直照射到劈尖薄膜上，劈尖薄膜的折射率为n ，则第2级明纹与第5级明纹所对应的薄膜厚度之差为： （A ）n 2λ ； （B ）23λ； （C ）n 23λ； （D ）n 4λ。 10．根据惠更斯—菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S ，则S 的前方某点P 的光强度决定于波阵面S 上所有面积元发出的子波各自传到P 点的 （A ）振动振幅之和； （B ）光强之和； （C ）振动振幅之和的平方； （D ）振动的相干叠加。 11．在单缝夫琅和费衍射实验中，若减小缝宽，其他条件不变，则中央明条纹 （A ）宽度变小； （B ）宽度变大； （C ）宽度不变，且中心强度也不变； （D ）宽度不变，但中心强度变小。 12．用平行单色光垂直照射在单缝上时，可观察夫琅禾费衍射。若屏上点P 处为第二级明纹，则相应的单缝波阵面可分成的半波带数目为： （A ）3个； （B ）4个； （C ）5个； （D ）6个。
波动光学习题解答 1-1 在氏实验装置中，两孔间的距离等于通过光孔的光波长的100倍，接收屏与 双孔屏相距50cm 。求第1 级和第3级亮纹在屏上的位置以及它们之间的距离。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，光波波长为λ，则有=100d λ. (1)第1级和第3级亮条纹在屏上的位置分别为 -5150==510m 100D x d λ=?? -42503==1.510m 100 D x d λ=?? (2)两干涉条纹的间距为 -42=1.010m D x d λ?=?? 1-2 在氏双缝干涉实验中，用0 6328A =λ的氦氖激光束垂直照射两小孔，两小孔的间距为1.14mm ，小孔至屏幕的垂直距离为1.5m 。求在下列两种情况下屏幕上干涉条纹的间距。 （1）整个装置放在空气中； （2）整个装置放在n=1.33的水中。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，装置所处介质的折射率为n ，则两小孔出射的光到屏幕的光程差为 21()x n r r nd D δ=-= 所以相邻干涉条纹的间距为 D x d n λ?=? （1）在空气中时，n ＝1。于是条纹间距为 943 1.5 632.8108.3210(m)1.1410 D x d λ---?==??=?? （2）在水中时，n ＝1.33。条纹间距为 9 43 1.563 2.810 6.2610(m)1.1410 1.33 D x d n λ---???=?==??? 1-3 如图所示，1S 、2S 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为1r 和2r 。路径1S P 垂直穿过一块厚度
为1t 、折射率为1n 的介质板，路径2S P 垂直穿过厚度为2t ，折射率为2n 的另一块介质板，其余部分可看做真空。这两条路径的光程差是多少？ 解：光程差为 222111[r (n 1)t ][r (n 1)t ]+--+- 1-4 如图所示为一种利用干涉现象测定气体折射率的原理性结构，在1S 孔后面放 置一长度为l 的透明容器，当待测气体注入容器而将空气排出的过程中幕上的干涉条纹就会移动。由移过条纹的根数即可推知气体的折射率。 （1）设待测气体的折射率大于空气折射率，干涉条纹如何移动？ （2）设 2.0l cm =，条纹移过20根，光波长为 589.3nm ，空气折射率为1.000276，求待测气体（氯气）的折射率。 1-5 用波长为500 nm 的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上。在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边1=1.56 cm 的A 处是从棱边算起的第四条暗条纹中心。 （1）求此空气劈尖的劈尖角θ； （2）改用600 nm 的单色光垂直照射到此劈尖上，仍观察反射光的干涉条纹，A 处是明条纹还是暗条纹？ （3）在第（2）问的情形从棱边到A 处的围共有几条明纹，几条暗纹？
一、选择题(每题4分，共20分) 1．如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为2n 的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉。若薄膜厚度为e ，而且321n n n >>，则两束反射光在相遇点的位相差为（B （A ） 22πn e λ ； （B ） 24πn e λ ； （C ） 24πn e πλ -； （D ） 24πn e πλ +。 2．如图示，用波长600λ=nm 的单色光做双缝实验，在屏P 处产生第五级明纹，现将折射率n =1.5的薄透明玻璃片盖在其中一条缝上，此时P （A ）5.0×10-4cm ；（B ）6.0×10-4cm ； （C ）7.0×10-4cm ；（D ）8.0×10-4cm 。 3．在单缝衍射实验中，缝宽a =0.2mm ，透镜焦距f =0.4m ，入射光波长λ=500nm 位置2mm 处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？（ D ） (A) 亮纹，3个半波带； (B) 亮纹，4个半波带；(C) 暗纹，3个半波带； (D) 暗纹，4个半波带。 4．波长为600nm 的单色光垂直入射到光栅常数为2.5×10-3mm 的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为（B ） (A) 0、1±、2±、3±、4±； (B) 0、1±、3±；(C) 1±、3±； (D) 0、2±、4±。 5． 自然光以60°的入射角照射到某一透明介质表面时，反射光为线偏振光，则（ B ） (A) 折射光为线偏振光，折射角为30°； (B) 折射光为部分偏振光，折射角为30°； (C) 折射光为线偏振光，折射角不能确定； (D) 折射光为部分偏振光，折射角不能确定。 二、填空题(每小题4分，共20分) 6．波长为λ的单色光垂直照射在空气劈尖上，劈尖的折射率为n ，劈尖角为θ，则第k 级明纹和第3k +级明纹的间距l = 32s i n λn θ 。 7．用550λ=nm 的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为 1.1 μm 。 8．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小。若1600nm λ=为入射光，中央明纹宽度为 3m m ；若以2400nm λ=为入射光，则中央明纹宽度为 2 mm 。 9．设白天人的眼瞳直径为3mm ，入射光波长为550nm ，窗纱上两根细丝之间的距离为3mm ，人眼睛可以距离 13.4 m 时，恰能分辨。 10.费马原理指出，光总是沿着光程为 极值 的路径传播的。 三、计算题(共60分) 11.（10分）在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m ，试求：(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ，计算此单色光的波长；(2)相邻两明条纹间的距离． 解：(1)由λk d D x = 明知，23 0.26002110 x nm λ= =??， 3 n e
精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。
振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ）（3 cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ） （32cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－ 2cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－ 2cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－ 2cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－ 2cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点 的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0
振动与波动 选择题 0580.一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示）， 作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量23 1 ml J =，此摆作微小振 动的周期为 (A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π . (D) g l 3π. ［ C ］ 3001. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π． (B) π/2． (C) 0 ． (D) θ． ［ C ］ 3003.轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2 的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 (A) g m x m T 122?π= ． (B) g m x m T 212?π=． (C) g m x m T 2121?π= ． (D) g m m x m T )(2212+π=?． ［ B ］ 3004.劲度系数分别为k 1和k 2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 (A) 21212)(2k k k k m T +π =． (B) ) (221k k m T +π= ． (C) 2121)(2k k k k m T +π=． (D) 2 122k k m T +π=． ［ C ］ 3255.如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质 量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶2 1 ∶2 ．
一、选择题：（每题3分） 1、在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ，若 A 、 B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为 (A) 1.5 λ． (B) 1.5 λ/ n ． (C) 1.5 n λ． (D) 3 λ． ［ ］ 2、在相同的时间内，一束波长为λ的单色光在空气中和在玻璃中 (A) 传播的路程相等，走过的光程相等． (B) 传播的路程相等，走过的光程不相等． (C) 传播的路程不相等，走过的光程相等． (D) 传播的路程不相等，走过的光程不相等． ［ ］ 3、如图，S 1、S 2是两个相干光源，它们到P 点的距离分 别为r 1和r 2．路径S 1P 垂直穿过一块厚度为t 1，折射率为n 1 的介质板，路径S 2P 垂直穿过厚度为t 2，折射率为n 2的另一 介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于 (A) )()(111222t n r t n r +-+ (B) ])1([])1([211222t n r t n r -+--+ (C) )()(111222t n r t n r --- (D) 1122t n t n - ［ ］ 4、真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的均匀透明媒质中，从A 点沿某一路径 传播到B 点，路径的长度为l ．A 、B 两点光振动相位差记为?φ，则 (A) l ＝3 λ / 2，?φ＝3π． (B) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3n π． (C) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3π． (D) l ＝3n λ / 2，?φ＝3n π． ［ ］ 5、如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为n 2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉．若薄膜厚度为e ，而且n 1＞n 2＞n 3，则两束反射光在相遇点的相位差为 (A) 4πn 2 e / λ． (B) 2πn 2 e / λ． (C) (4πn 2 e / λ) +π． (D) (2πn 2 e / λ) -π． ［ ］ 6、如图所示，折射率为n 2、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知n 1 ＜n 2＜n 3．若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束①与②的光程差是 (A) 2n 2 e ． (B) 2n 2 e －λ / 2 . (C) 2n 2 e －λ． (D) 2n 2 e －λ / (2n 2)． ［ ］ 7、如图所示，折射率为n 2、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知n 1< n 2> n 3．若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束(用①与②示意)的光程差是 (A) 2n 2 e ． (B) 2n 2 e －λ / 2. (C) 2n 2 e －λ ． (D) 2n 2 e －λ / (2n 2)． P S 1S 2 r 1 n 1 n 2 t 2 r 2 t 1 n 1 3λ n 3 n 3
第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d () d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 2 2 2d ()d cos x a A t t ωω?= =-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 2 12k E m v = · 弹簧的势能为 2 12p E kx = · 振子总能量为 P 2 2 2 2 2 211()+()22 1=2 sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+=++ 3. 阻尼振动
· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 2 2 2d d 20d d x x x t t β ω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 2 2 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m β ωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A =
大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和 T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为'T 1和'T 2。则有 ( B ) A ．'T T >11且 'T T >22 B ．'T T =11且 'T T >22 C ．'T T <11且 'T T <22 D ．'T T =11且 'T T =22 2．一物体作简谐振动，振动方程为cos 4x A t ?? =+ ?? ? πω，在4 T t = （T 为周期）时刻，物体的加速度为 ( B ) A. 2ω 2ω C. 2ω 2ω 3．一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A -，且向x 轴的正方向 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ( D ) A A A A A A C) A x x A A x A B C D 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 )cos(1αω+=t A x ．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二 个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 ( B ) A. )π21cos( 2++=αωt A x B. )π21 cos(2-+=αωt A x ． C. )π2 3 cos( 2-+=αωt A x D. )cos(2π++=αωt A x ．
5．波源作简谐运动，其运动方程为t y π240cos 10 0.43 -?=，式中y 的单位为m ，t 的单 位为s ，它所形成的波形以s m /30的速度沿一直线传播，则该波的波长为 ( A ) A ．m 25.0 B ．m 60.0 C ．m 50.0 D ．m 32.0 6．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： ( B ) A ．cos x t ππ??=+ ???2 2233 B ．cos x t ππ??=+ ??? 42233 C ．cos x t ππ??=- ???22233 D ．cos x t ππ??=- ??? 42233 二． 填空题（每空2分） 1． 简谐运动方程为)4 20cos(1.0π π+ =t y （t 以s 计，y 以m 计） ，则其振幅为 0.1 m,周期为 0.1 s ；当t=2s 时位移的大小为205.0m. 2．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动 的初相为4 0π ?=，振动方程为_)4 cos(2π π+ =t y 。 3. 平面简谐波的波动方程为()x t y ππ24cos 08.0-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s ，则该波的振幅A= 0.08 ，波长=λ 1 ，离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差=?? -Л 。 4. 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s 时刻质点的位移为___0 ___，速度为：πω3=A ． t
大学物理光学练习题及 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
光学练习题 一、 选择题 11. 如图所示，用厚度为d 、折射率分别为n 1和n 2 (n 1＜n 2)的两片透明介质分别盖住杨氏双缝实验中的上下两缝, 若入射光的波长为, 此时屏上原来的中央明纹处被第三级明纹所占据, 则该介质的厚度为 [ ] (A) λ3 (B) 1 23n n -λ (C) λ2 (D) 1 22n n -λ 17. 如图所示，在杨氏双缝实验中, 若用一片厚度为d 1 的透光云母片将双缝装置中的上面一个缝挡住; 再用一 片厚度为d 2的透光云母片将下面一个缝挡住, 两云母片 的折射率均为n , d 1＞d 2, 干涉条纹的变化情况是 [ ] (A) 条纹间距减小 (B) 条纹间距 增大 (C) 整个条纹向上移动 (D) 整个条纹向下移动 18. 如图所示，在杨氏双缝实验中, 若用一片能透光的 云母片将双缝装置中的上面一个缝盖住, 干涉条纹的变 化情况是 [ ] (A) 条纹间距增大 (B) 整个干涉条纹将 向上移动 (C) 条纹间距减小 (D) 整个干涉条纹将向下移动 26. 如图(a)所示，一光学平板玻璃A 与待测工件B 之间形成空气劈尖，用波长λ＝500nm(1nm = 10-9m)(b)所示．有些条纹弯曲部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分的切线相切．则工件的上表面缺 陷是 [ ] (A) 不平处为凸起纹，最大高度为500 nm (B) 不平处为凸起纹，最大高度为250 nm (C) 不平处为凹槽，最大深度为500 nm (D) 不平处为凹槽，最大深度为250 nm 43. 光波的衍射现象没有声波显著, 这是由于 [ ] (A) 光波是电磁波, 声波是机械波 (B) 光波传播速度比声波大 (C) 光是有颜色的 (D) 光的波长比声波小得多 53. 在图所示的单缝夫琅禾费衍射实验中，将单缝K 沿垂直光的入射光(x )方向稍微平移，则 x a E
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π2 1cos(2- +=αωt A x (C) ) π23cos(2- +=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(10 42 π+ π?=-t x (SI)。 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 8 1 (B) s 6 1 (C) s 4 1 (D) s 3 1 (E) s 2 1 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21 /cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos + =t k m A x (D) )21/cos(π- =t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 v v 2 1
第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。
【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。
1在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1、S2距离相等，则观察屏上中央明纹位于O处，现将光源S向下移动到S′位置，则[ ]?A、中央明纹向上移动，且条纹间距增大 ?B、中央明纹向上移动，且条纹间距不变 ?C、中央明纹向下移动，且条纹间距增大 ?D、中央明纹向下移动，且条纹间距不变 正确答案：B 2在杨氏双缝干涉实验中，设双缝之间的距离为d = 0.2 mm，屏与双缝间的距离D＝1.00 m。（1）当波长λ = 589.0 nm的单色光垂直入射时，求10 条干涉条纹之间的距离；（2）若以白光入射，将出现彩色条纹，求第二级光谱的宽度。 正确答案： 解（1）在杨氏双缝干涉的图样中，其干涉条纹为等距分布的明暗相间的直条纹。相邻条纹之间的距离为 10 条干涉条纹之间有9 个间距，所以10 条干涉条纹之间的距离为 （2）第二级彩色条纹光谱宽度是指第二级紫光明纹中心位置到第二级红光明纹中心位置之间的距离。杨氏双缝干涉明纹的位置为
所以第二级光谱的宽度为 在双缝干涉实验中，用波长λ=546.1nm的单色光照射，双缝与屏的距离300mm。测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离。 正确答案： 解：条纹间距，考虑到中央明纹，两个第五级明条纹间有11条条纹，共有10个条纹间距，因此12.2/10 = 1.22mm，利用公式，代入数据，得双缝间的距离。 4 在双缝干涉实验中，两缝间距为0.3mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm。问所用光的波长为多少，是什么颜色的光？正确答案： 解：双缝干涉暗纹位置，第5条暗纹，k = 4，中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为 22.78mm，即2x = 22.78mm，得x = 11.39 mm，因此λ=632.8nm，是红光。
《大学物理》习题册题目及答案第18单元波动光学-副 本
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第18单元 波动光学（一） 学号 姓名 专业、班级 课程班序号 一 选择题 [ A ]1. 如图所示，折射率为2n 、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质折射率分别为1n 和3n ，已知321n n n <<。若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束①与②的光程差是 (A) 22n e (B) 2e n 2λ-21 (C) 22n e λ- (D) 22n e 2 2n λ - [ A ]2. 双缝干涉的实验中，两缝间距为d ，双缝与屏幕之间的距离为D （D >>d ），单色光波长为λ，屏幕上相邻的明条纹之间的距离为 (A) d D λ (B) D d λ (C) d D 2λ (D) D d 2λ [ B ]3. 如图，1S 、2S 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为 1r 和2r 。路径1S P 垂直穿过一块厚度为1t 、折射率为1n 的介质板，路径P S 2垂直穿过厚度为2t 、折射率为2n 的另一块介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于 (A) )()(111222t n r t n r +-+ (B) ])1([])1([111222t n r t n r -+--+ (C) )()(111222t n r t n r --- (D) 1122t n t n - [ C ]4. 如图所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e ，并且321n n n ><, 1λ 为入射光在折射率为n 1的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的相位 差为 (A) 1122λπn e n (B) πλπ+1212n e n (C) πλπ+1124n e n (D) 1124λπn e n 。 1 λe 1 n 2n 3 λe 1 n 2n 3n ① ② S 1 S 2 1 r 2 r 1 n 2n 1t 2 t P
大学物理复习题答案（振动与波动）
大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1. 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T i和T2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T i'和T2。则有（B ） A. T i' T i且T T2 B. T i' T i 且T2 T2 C. T i' T i且T2T2 D. T i' T i且T2T2 2.一?物体作简谐振动，振动方程为x A cos t-，在t T（T为周 期） 44 时刻,物体的加速度为( B ) A.i,2A2 B.i &A 2c. i、3A2D.T A2 2 2 22 3. —质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为 A 的正方向 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同.第一个质点的振动 方程为 A/2，且向x轴运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为( C D
X i Acos（ t ）.当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处?则第二个质点的振动方程为 （B ） A. X2 Acos( t 1 1 一冗) B. X2 Acos( t 一冗). 2 2 C. x2Acos( t 3 冗) D. x2Acos( t ). 5. 波源作简谐运动，其运动方程为y 4.0 10 3cos240 t，式中y的单位为 m，t的单位为s,它所形成的波形以30m/s的速度沿一直线传播，则该波的波 长为（A ） A. 0.25m B. 0.60m C. 0.50m D. 0.32m 6.已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为：( B ) c 22 2cos 42 A. x 2cos — t B. x-t i x (cm) 3333 O严） 小22 2cos 42-1JY/ C. x 2cos — t 33D. x-t 33 -2 填空题（每空2分） 1. 简谐运动方程为y 0.1cos（20 t -）（t以s计，y以m计），则其振幅为0.1 m,周期为0.1 s ;当t=2s时位移的大小为0.05. 2 m. 2. 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长 的初相为0—，振动方程为_y 2cos（ t 一） 4 4
光学练习题 一、 选择题 11、 如图所示,用厚度为d 、折射率分别为n 1与n 2 (n 1＜n 2)的两片透明介质分别盖住杨氏双缝实验中的上下两缝, 若入射光的波长为, 此时屏上原来的中央明纹处被第三级明纹所占 据, 则该介质的厚度为 [ ] (A) λ3 (B) 1 23n n -λ (C) λ2 (D) 1 22n n -λ 17、 如图所示,在杨氏双缝实验中, 若用一片厚度为d 1的透光云母片将双缝装置中的上面一个缝挡住; 再用一片厚度为d 2的透光云母片将下面一个缝挡住, 两云母片的折射率均为n , d 1＞d 2, 干涉条纹的变化情况就是 [ ] (A) 条纹间距减小 (B) 条纹间距增大 (C) 整个条纹向上移动 (D) 整个条纹向下移动 18、 如图所示,在杨氏双缝实验中, 若用一片能透光的云母片将双缝装置中的上面一个缝盖住, 干涉条纹的变化情况就是 [ ] (A) 条纹间距增大 (B) 整个干涉条纹将向上移动 (C) 条纹间距减小 (D) 整个干涉条纹将向 下移动 26、 如图(a)所示,一光学平板玻璃A 与待测工件B 之间形成空气劈尖,用波长λ＝500nm(1nm = 10-9m)的单色光垂直照射.部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分的切线相切.则工件的上表面缺陷就是 [ ] (A) 不平处为凸起纹,最大高度为500 nm (B) 不平处为凸起纹,最大高度为250 nm (C) 不平处为凹槽,最大深度为500 nm (D) 不平处为凹槽,最大深度为250 nm 43、 光波的衍射现象没有声波显著, 这就是由于 [ ] (A) 光波就是电磁波, 声波就是机械波 (B) 光波传播速度比声波大 (C) 光就是有颜色的 (D) 光的波长比声波小得多 53、 在图所示的单缝夫琅禾费衍射实验中,将单缝K 沿垂直光的入射光(x 轴)方向稍微 平移,则 [ ] (A) 衍射条纹移动,条纹宽度不变 (B) 衍射条纹移动,条纹宽度变动 (C) 衍射条纹中心不动,条纹变宽 (D) 衍射条纹不动,条纹宽度不变 K S 1 L L x a E f
光学习题和解答 习题十六 16.1 从一狭缝透出的单色光经过两个平行狭缝而照射到120cm 远的幕上，若此两狭缝相距为0.20mm ，幕上所产生干涉条纹中两相邻亮线间距离为3.60mm ，则此单色光的波长以mm 为单位，其数值为 (A) 41050.5-?; (B) 41000.6-?; (C) 41020.6-?; (D) 4 1085.4-?。 答案：(B) 16.2 用波长为650nm 之红色光作氏双缝干涉实验，已知狭缝相距4 10-m ，从屏幕上量得相邻亮条纹间距为1cm ，如狭缝到屏幕间距以m 为单位，则其大小为 (A) 2; (B) 1.5; (C) 3.2; (D) 1.8。 答案：(B) 16.3 波长λ为4 106-?mm 单色光垂直地照到尖角α很小、折射率n 为1.5的玻璃尖劈上。在长度l 为1cm 可观察到10条干涉条纹，则玻璃尖劈的尖角α为 (A) 24''; (B) 4.42''; (C) 3.40''; (D) 2.41''。 答案：(D) 16.4 在一个折射率为1.50的厚玻璃板上，覆盖着一层折射率为1.25的丙酮薄膜。当波长可变的平面光波垂直入射到薄膜上时，发现波长为6000nm 的光产生相消干涉。而700nm 波长的光产生相长干涉，若此丙酮薄膜厚度是用nm 为计量单位，则为 (A) 840; (B) 900; (C) 800; (D) 720。 答案：(A) 16.5 当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间充以液体时，则第十个亮环的直径由1.40cm 变为1.27cm ，故这种液体的折射率为 (A) 1.32; (B) 1.10; (C) 1.21; (D) 1.43。 参考答案：(C) 16.6 借助于玻璃表面上所涂的折射率为n=1.38的2MgF 透明薄膜，可以减少折射率为60.1='n 的玻璃表面的反射，若波长为50000 A 的单色光垂直入射时，为了实现最小的反射，问此透明薄膜的厚度至少为多少0 A ？ (A) 50; (B) 300; (C) 906; (D)2500; (E) 10500。 答案：(C) 16.7 在双缝干涉实验装置中，用一块透明簿膜(2.1=n )覆盖其中的一条狭缝，这时屏幕上的第四级明条纹移到原来的原零级明纹的位置。如果入射光的波长为500nm ，试求透明簿膜的厚度。
1．有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8 10－2 m。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0 10－2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60 m/s的速度向上运动，求运动方程。 题1分析： 求运动方程，也就是要确定振动 的三个特征物理量A、ω，和?。其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即ω，k可根据物体受力平衡时弹簧的= k/ m
伸长来计算；振幅A 和初相?需要根据初始 条件确定。 解： 物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大 小相等，即F = mg 。 而此时 弹簧的伸长量m l 2108.9-?=?。 则 弹簧的劲度系数l mg l F k ?=?=//。 系统作简谐运动的角频率为 1s 10//-=?==l g m k ω （1）设系统平衡时，物体所在处为坐标 原点，向下为x 轴正向。 由初始条件t = 0时，m x 210100.8-?=，010=v 可得振幅
m 100.8)/(2210102-?=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相π?=1。则运动方程为 ])s 10cos[()m 100.8(121π+?=--t x （2）t = 0时，020=x ， 120s m 6.0-?=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-?=+=ωv x A ， 2/2π?=；则运动方程为 ]5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+?=--t x 2．某振动质点的x －t 曲线如图所示， 试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位； （3）到达点P 相应位置所需要的时间。 题2分析： 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲 线求运动方程是振动中常见的两类问题。