普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座35）—曲线方程及圆锥曲线的
综合问题
一．课标要求：
1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；
2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；
3．了解圆锥曲线的简单应用。
二．命题走向
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；
2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测07年高考：
1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；
2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。三．要点精讲
1．曲线方程
（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：
（2）求曲线方程的常见方法：
直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2．圆锥曲线综合问题
（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。
（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
（3）实际应用题
数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多
与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以
及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：
建立坐标系
（4）知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。 四．典例解析 题型1：求轨迹方程
例1．（1）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（2）双曲线2
219
x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ?的重心M 的轨迹方程。
解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、
2O ，
将圆方程分别配方得：2
2
(3)4x y ++=，2
2
(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ①
当M 与2O 相切时，有2||10O M R =- ②
将①②两式的
两边分别相
加，得21||||12O M O M +=，
即
12= ③
移项再两边分别平方得：
12x =+ ④
两边再平方得：2
2
341080x y +-=，
整理得
22
1
3627
x y
+=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是
22
13627
x y +=，轨迹是椭圆。 12=，
x
y
1O
2O
P
由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，
∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，
∴2
36927b =-=，
∴圆心轨迹方程为
22
13627
x y +=。 （2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中
3,1a b ==
，∴c ==
∴已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ?存在，∴10y ≠
由三角形重心坐标公式有100
3x y y ?=???++?=??
，即1133x x y y =??=? 。
∵10y ≠，∴0y ≠。
已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有2
2(3)(3)1(0)9
x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠。
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。
例2．（2001上海，3）设P 为双曲线-4
2x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线
段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。
解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1 设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）
∴2
,200y
y x x ==
∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴4
42
x －4y 2＝1?x 2－4y 2＝1
点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。 题型2：圆锥曲线中最值和范围问题
例3．（1）设AB 是过椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为
F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）
A. bc
B. ab
C. ac
D. b 2
（2）已知双曲线x a y b
a b 222
2100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双
曲线的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A.
4
3
B.
53
C. 2
D.
72
（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆
x y 22
259
1+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10
B. 105-
C. 105+
D. 1025+
解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为
1
2
cb 。所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。
点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。 （2）解析：由双曲线的定义， 得：||||PF PF a 122-=，
又||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 223
=
由双曲线的第二定义可得
||PF x a c
c
a 22-
=， 所以x a c =532。又x a a c
a ≥≥，即532
，从而e c a =≤53。故选B 。
点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532
a c
a ≥成
立的条件。利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。
（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。连PB ，PF 。由椭圆的定义知：
||||PB PF +=10，
所以||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。 由平面几何知识，
||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，
而||()()AF =
-+-=3420522，
所以(||||)min PA PB +=+105。
点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。
例4．（1）（06全国1文，21）设P 是椭圆()22
211x y a a
+=>短轴的一个端点，Q 为
椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值。
（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ??
???
.
①求该椭圆的标准方程；
②若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
③过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ?面积的最大值。
（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。
解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2=a 2(1－y 2)， |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2， =(1－a 2)(y －
11－a 2 )2－11－a
2+1+a 2
。 因为|y|≤1,a>1, 若a ≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=1
1－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1 ，
若1 （2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1， 又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14 22 =+y x 。 ②设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0)， 由 x=2 10+x 得 x 0= 2x －1 y= 2 210+ y y 0=2y － 2 1 由,点P 在椭圆上,得 1)2 1 2(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4 1(4)2 1 (2 2 =-+-y x 。 ③当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1。 当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入14 22 =+y x , 解得B( 1 422 +k , 1 422 +k k ),C (－ 1 422 +k ,－ 1 422 +k k )， 则2 24114 k k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d= 2 12 1k k +- ， ∴△ABC 的面积S △ABC =2411221 k k d AB +-=?。 于是S △ABC =1 441141442 22+-=++-k k k k k 。 由 1 442+k k ≥－1,得S △ABC ≤ 2,其中,当k=－21 时,等号成立。 ∴S △ABC 的最大值是2。 （3）解：设椭圆方程为22 221()x y a b c a b +=>> （Ⅰ）由已知得2 222 24b c a c a b c =???=?? ??=+? 2 22211 a b c ?=?=??=?∴所求椭圆方程为2212x y +=。 （Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+ 由22 212 y kx x y =+???+=??，消去y 得关于x 的方程：22(12)860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，2206424(12)0k k ∴>?-+> ， 解得2 3 2 k >。 又由韦达定理得122 122812612k x x k x x k ? +=-??+???=?+?， 12|||AB x x ∴=-= = 原点O 到直线l 的距离d = 1||2AOB S AB d =?== . 解法1 ：对S = 2422244(4)240S k S k S +-++=（*） ， ∵0S ≠，222222 22 16(4)44(24)0,4024 04S S S S S S S ? ?--?+≥? -?>???+>? ?，整理得：2 12S ≤。 又0S >， 0S ∴<≤ AOB S 的最大值为S =， 此时代入方程（*）得 42 428490k k -+= ，2 k ∴=±。 所以，所求直线方程为：240y -+=。 解法2 ：令0)m m = >，则2223k m =+。 2 442S m m m ∴= =≤++ 当且仅当4m m = 即2m = 时，max 2S = ，此时2 k =±。 所以，所求直线方程为240y += 解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零。 设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+， 则直线l 与x 轴的交点2 (,0)D k - ， 由解法一知2 32k >且122122812612k x x k x x k ? +=-??+?? ?=?+? ， 解法1：1212112 |||||||22|22AOB S OD y y kx kx k =?-=?+-- =12||x x - = = 2 12k =+ 下同解法一. 解法2：AOB POB POA S S S =- 2112||||||2x x =??-21||x x =-2 12k +。 下同解法一。 点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。 题型3：证明问题和对称问题 例5．（1）（06浙江理，19）如图，椭圆 b y a x 2 22+＝ 1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e= 2 3 . (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 1的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 （2）（06湖北理，20）设,A B 分别为椭圆22 221(,0)x y a b a b +=>的左、右顶点，椭 圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。 （3）（06上海理，20）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2 y ＝2x 相交于 A 、 B 两点。 ①求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→ --OA → --?OB ＝3”是真命题； ②写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 解析：（1）（I ）过点A 、B 的直线方程为 1.2 x y += 因为由题意得??? ????+-==+12112 2 22x y b y a x 有惟一解， 即2 22 222221()04 b a x a x a a b + -+-=有惟一解， 所以2222(44)0a b a b ?=+-= （0ab ≠），故2 2 440.a b +-= 又因为 e =即 222 3,4a b a -=所以 22 4.a b =从而得 2212,,2a b == 故所求的椭圆方程为2 22 1.2 x y += （II ）由（I ）得 2 c = 故12((22F F - 从而(14M + 由??? ????+-==+1 211222 2x y y x ，解得121,x x ==所以 1(1,).2T 因为1tan 1,AFT ∠= -又1tan ,2TAM ∠ =2tan TMF ∠= 得tan 1ATM ∠= 1,=-因此1.ATM AFT ∠=∠ 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （2）（Ⅰ）依题意得 a ＝2c ，c a 2 ＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3. 故椭圆的方程为 13 42 2=+y x . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 0，y 0）. ∵M 点在椭圆上，∴y 0＝4 3（4－x 02）. ○ 1 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2 由P 、A 、M 三点共线可以得 P （4，2 600 +x y ）. 从而＝（x 0－2，y 0）， ＝（2， 2 600 +x y ）. ∴BM ·BP ＝2x 0－4＋2602 0+x y ＝2 2 0+x （x 02－4＋3y 02）. ○2 将○1代入○2，化简得BM ·BP ＝ 2 5 （2－x 0）. ∵2－x 0>0，∴·>0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内。 解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则－2 2 21x x +，22 1y y +）， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差 2 BQ － 2 41MN ＝(2 21x x +－2）2＋（221y y +）2－41[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ○3 又直线AP 的方程为y ＝ )2(211++x x y ，直线BP 的方程为y ＝)2(2 22--x x y ， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上， ∴ 26262211-= +x y x y ，即y 2＝2 )2311 2+-x y x （ ○4 又点M 在椭圆上，则13 42 12 1=+y x ，即)4(432 121x y -= ○5 于是将○4、○5代入○3，化简后可得2 BQ － 2 41MN ＝0)2)(24 521<-x x －（. 从而，点B 在以MN 为直径的圆内。 点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 （3）证明：①设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2). 当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴?=3。 当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y=k(x －3),其中k≠0. 当 y 2=2x 得ky 2－2y －6k=0,则y 1y 2=－6. y=k(x －3) 又∵x 1= 21y 21, x 2=2 1y 2 2, ∴?=x 1x 2+y 1y 2=212 21)(4 1y y y y +=3. 综上所述, 命题“如果直线l 过点T(3,0),那么OB OA ?=3”是真命题. ②逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ?=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(2 1 ,1),此时?=3, 直线AB 的方程为Y= 3 2 (X+1),而T(3,0)不在直线AB 上. 点评：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2)满足?=3,可得y 1y 2=－6。或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2, 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0)。 例6．（1）（06北京文，19）椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414 ,||,||.33 PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。 （2）（06江苏，17）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。 （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。 解析：（1）解法一： (Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522 1 2221=-= PF PF F F 故 椭圆的半焦距c =5，从而b 2=a 2 －c 2=4，所以椭圆C 的方 程为4 92 2y x +＝1。 (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）。 已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称. 所以.29491822 221-=++-=+k k k x x 解得9 8= k ， 所以直线l 的方程为,1)2(9 8 ++= x y 即8x -9y +25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且 ,1492 121=+y x ① ,14 92 22 2=+y x ② 由①－②得： .04 ) )((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③ 因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4，y 1+ y 2=2。 代入③得 2 121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2）， 即8x －9y +25=0。 (经检验，所求直线方程符合题意.) （2）①由题意可设所求椭圆的标准方程为22 221x y a b +=(a>b>0),其半焦距 c=6,122a PF PF =+==a =2=a 2-c 2 =9。 所以所求椭圆的标准方程为 22 1459 x y += ②点P(5,2)、F 1(-6,0)、F 2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P ， (2，5)、F 1， (0，-6)、F 2， (0，6)。 设所求双曲线的标准方程为22 112211 1(0,0)x y a b a b -=>>。 由题意知，半焦距c 1=6，1122a P F P F ''''=+= = 1a =12 =c 12 -a 12 =36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为22 12016 x y -=。 点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。 题型4：知识交汇题 例7．（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0) y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=- .设圆C 的方程为 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= (I) 证明线段AB 是圆C 的直径; (II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为 5 时，求p 的值。 解析：(I)证明1: 22 ,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?= 12120x x y y ∴?+?= 设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 证明2: 22 ,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?= 12120x x y y ∴?+?= (1) 设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则 即 21 1221 1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 证明3: 22 ,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?= 12120x x y y ∴?+?= (1) 以线段AB 为直径的圆的方程为 2222121212121 ()()[()()]224 x x y y x y x x y y ++- +-=-+- 展开并将(1)代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 (II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则 12122 2 x x x y y y +?=??? +?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==> 22 12122 4y y x x p ∴= 又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22 12122 4y y y y p ∴-?= 12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=- 2222121212121211 ()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p += =+=++- 2 21(2)y p p = + 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则 2 2221| (2)2| y p y d +-=== 22= 当y=p 时,d = 2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则 121 22 2 x x x y y y +? =??? +?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==> 22 12122 4y y x x p ∴= 又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22 12122 4y y y y p ∴-?= 12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=- 2222121212121211 ()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p += =+=++- 2 21(2)y p p = + 所以圆心的轨迹方程为2 2 2y px p =- 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0 的距离为 5 则 2m =± 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题 【题型综述】 三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 【典例指引】 类型一 向量法证三点共线 例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线C :22 (5)(2)8m x m y -+-=（m R ∈） (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； (Ⅱ)设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线. MB方程为： 6 2 M M kx y x x + =-，则 3 1 6 M M x G kx ?? ? + ?? ，， ∴ 3 1 6 M M x AG x k ?? =- ? + ?? ，，()2 N N AN x x k =+ ，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG，AN共线 即 3 (2) 6 M N N M x x k x x k +=- + 成立，化简得：(3)6() M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。 类型二斜率法证三点共线 例2.（2017?上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N． （1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小； （2）求证：点B、O、C三点共线． 数学专题复习系列 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0 两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点? f 2(x 0,y 0) =0 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2+y 2=r 2 (2)一般方程 当D 2+E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是2 4F -E D 22+.配方，将方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 求曲线的方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.动点P到点(-1,2)的距离是3,则动点P的轨迹方程为( ) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=9 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=3 2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 3.等腰三角形ABC底边两端点是A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0),顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A.9π B.8π C.4π D.π 5.在平面直角坐标系中,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!未找到引用源。=α错误!未找到引用源。+β错误!未找到引用源。,其中α,β∈R,且α+β=1,O 为坐标原点,则点C的轨迹为( ) A.射线 B.直线 C.圆 D.线段 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足错误!未找到引用 源。·错误!未找到引用源。=4,则点P的轨迹方程是. 7.(2013·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0)连线的斜率的积为定值-错误!未找到引用源。,则动点P的轨迹方程为. 8.(2013·揭阳高二检测)已知直线l:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P 是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么? 10.已知A,B分别是直线y=错误!未找到引用源。x和y=-错误!未找到引用源。x 上的两个动点,线段AB的长为2错误!未找到引用源。,P是AB的中点.求动点P 的轨迹C的方程. 11.(能力挑战题)在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程. 答案解析 1.【解析】选A.由条件可知,点P的轨迹是以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆, 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH = 有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 2.1.2求曲线的方程 一、教学目标： 1.知识技能目标： （1）理解坐标法的作用和意义. （2）掌握求曲线方程的常用方法和步骤,能根据条件，选择适当的坐标系和方法求 （1 （2 （3. （1 （2 难点：（1）如何根据条件建立恰当坐标系； （2）如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系. （3）如何选择恰当的方法将几何等量关系转化为曲线的方程. 三、教学方法：探究发现教学法和多媒体辅助教学 四、课型：新授课. 五、教学过程： Ⅰ.复习回顾： 师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方 例1设 x+2y－7=0① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即x+2y1－7=0x1=7－2y1 点M1到A、B的距离分别是 （1 方程. 练习：已知点M与x轴的距离和点M与点F(0，4)的距离相等，求点M的轨迹方程. 师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤. 例2已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程. 解：如图所示，设点M （x,y ）是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点 M 属于集合}.2|||| {=-=MB MA M P 由距离公式，点M 适合的条件可表示为： 2)2(22=--+y y x ① 将①式移项后再两边平方，得 22221AM 与 4例 3.略. 练习： 思考题：课本第37页：练习第3题. 本题有多种思路，可让学生先分组讨论，然后每组派代表发言，可以学生点评，教 师补充. Y (). ,0,3122的轨迹方程求连线的中点为和定点上移动，在曲线动点M M A M y x B =+ 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞ 高中数学解题策略专题--圆锥曲线 直线与圆锥曲线的问题是解析几何解答题的主要题型，是历年高考的重点和热点。欲更快地解题，需要解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。 一、条件或目标的认知与转化 解题过程是一系列转化过程，解题就是要将所解题转化为已经解过的题。转化的基础是——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可化生为熟或化繁为简。 1、化生为熟 化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。 （1）向弦中点转化 例1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程； （2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。 略解：（1）所求双曲线方程为 （2）由消去y得： 由题意知，当时，① 设中点 则C、D均在以A为圆为的同一圆上 又 ∴② 于是由②得③ 由②代入①得，解得m<0或m>4 ④ 于是综合③、④得所求m的范围为 （2）向弦长转化 例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足 （1）求点P的轨迹C2的方程； （2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l 的方程。 分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦AD、 BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。 略解：椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。 （1）点P的轨迹C2的方程为 （2）设直线l的方程为① ①代入椭圆C1的方程得， 故有故弦AD中点O1坐标为 ②①代入椭圆C2的方程得，又有故弦BC中点O2坐标为， ③∴由②、③得④ 注意到⑤ 于是将②、③、④代入⑤并化简得：由此解得。 因此，所求直线l的方程为 2．化繁为简 解析几何是用代数方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题有这样的感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能 《圆锥曲线解题十招全归纳》 招式一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 招式二：动弦过定点的问题 例题2、已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>， 且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程； (II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。 招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围. 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2 14 y x =的焦点，离心率 为 5 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-. 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14 6 ( ,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。 类型1——求待定字母的值 例1设双曲线C ：)0(12 22>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交 于点P ，且PA=PB 12 5 ，求a 的值 高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。 两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线: 2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计） 教学目标： 知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点. 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标: 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标： 1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点 1. 寻找“几何关系”. 2. 转化为“动点坐标”关系. 教学方法 启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程 一、复习回顾： 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{} ()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂). 说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法： 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程； (2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0． 圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<= 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 专题：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则 有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0) 圆锥曲线综合--求轨迹方程 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 圆锥曲线综合--求轨迹方程 求轨迹的常用方法： （1）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （2）代入求轨法（坐标平移法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化，并且Q(x 1,y 1) 又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （3）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可 （5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均 用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 1、（1）一动圆过定点)0,1(A 且与定圆16)1(2 2 =++y x 相切，求动圆圆心的轨迹方程； （2）又若定点)0,2(A 定圆为4)2(22 =++y x 呢？ 2、△ABC 中，B （－3，8）、C （－1，－6），另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动，求此三角形重心G 的轨迹方程. 3、在平面直角坐标系中，若}2,{},2,{-=+=y x y x 8=+。求动点),(y x M 的轨迹C 的方程； 一、填空： 1．平面内到点A （0，1）、B （1，0）距离之和为2的点的轨迹为 2．已知M （－2，0）、N （2，0），动点P 满足|PM |－|PN |=4，则动点P 的轨迹方程是____________ 3．已知lg(2),lg |2|,lg(16)x y x -成等差数列，则点(,)P x y 的轨迹方程 __ 4．P 是椭圆15 92 2=+y x 上一点，过P 作其长轴垂线，M 是垂足，则PM 中点轨迹方程为______ 5．点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是 6．动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是 。 7、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 8、倾斜角为 4 π 的直线交椭圆42 x +y 2=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 9、理）两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 二、选择： 10、,a b 为任意实数，若(,)a b 在曲线(,)0f x y =上，则(,)b a 也在曲线(,)0f x y =上，那么曲线(,)0f x y =的几何特征是（ ） （A ）关于x 轴对（B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x －y =0对称 11、方程2 2 2 2 (1)0x x y ++-=的图象是（ ） （A ）y 轴或圆（B ）两点（0，1）与（0，－1）（C ）y 轴或直线y =1±（D ）答案均不对 12、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 三、解答 17、已知动点p 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p 点的轨迹方程。 18、抛物线y 2=x ＋1，定点A （3，1），B 是抛物线上任意一点，点P 在AB 上满足 BP ：P A =1：2，当点B 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程并指出轨迹是什么曲线？ 19、理）过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程。圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
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