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高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结

高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结

一.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若

2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中要

注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。练习：

1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10

21=+PF PF D ．122

=+PF PF

2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

3.已知点)0,22(Q 及抛物线4

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{

cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时2222b

x a y +＝1（0a b >>）。方程22

Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC

≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。方程

22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）

。（3）抛物线：开口向右时2

2(0)y px p =>，开口向左时2

2(0)y px p =->，开口向上时

22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

练习：

1.已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22--- ）

；

2.若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2）

3.双曲线的离心率等于2

，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______

4.设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的

方程为_______（答：226x y -=）

5.已知方程1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__

三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由x 2,y

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，2

a b c =+，在双曲线中，c 最大，2

c a b =+。

四.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个

焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其

中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2

a x c

=±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，

e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

（2）双曲线（以22

221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实

轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2

x c

=±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线

?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b

y x a

=±。

（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(

,0)2

，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c

e a

=，抛物线?1e =。练习：

1.若椭圆1522=+m y x 的离心率5

e ，则m 的值是__（答：3或325）； 2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__

3.双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______；

4.双曲线221ax by -=:a b =

（答：4或

）； 5.设双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

（答：[

,]32

ππ

）； 6.设R a a ∈≠,0，则抛物线2

4ax y =的焦点坐标为________（答：)161

0(a

）；五、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；

（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?22

221x y a b +<

六．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交

的充分条件，但不是必要条件。如

（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；（3）相离：0?

与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线22

22b

y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公

共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习：

1.若直线y=kx+2与双曲线x 2

-y 2

=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______

2.直线y ―kx ―1=0与椭圆

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ 3.过双曲线12

2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条 4.过点)4,2(作直线与抛物线x y 82

=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；

5.过点(0,2)与双曲线116

2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______

6.过双曲线12

=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____

7.对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足02

04x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；

8.过抛物线x y 42

=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则

=+q

p 1

1_______（答：1）

；

9.设双曲线19

162

2=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于

R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）

； 10.求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x

的最短距离（答：

）； 11.直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB

为直径的圆过坐标原点？（答：①(；②1a =±）；

七、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed =，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。练习：

1.已知椭圆116

2522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：

353）；2.已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； 3.若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；

4.点P 在椭圆19

252

2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______

5.抛物线x y 22

=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______

6.椭圆13

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则

点M 的坐标为_______（答：)1,3

-）

；八、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ?的

面积为S ，则在椭圆12222=+b y a x 中， ①θ＝)12arccos(2

12-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大

为θmax ＝2

22arccos a

c b -；②2

0tan ||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ；对于双曲线22

221x y a b -=的焦点三角形有：①???

? ?

?-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 212

21θθb r r S ==。

练习：

1.短轴长为5，离心率3

e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为________（答：6）；

2.设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=?F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为（答：224x y -=）；

3.椭圆22194

x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ 2PF 1→

<0时，点P 的横坐标的取值范

围是

（答：(55

）

； 4.双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝

，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、

B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（答：；

5.已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=?F PF S ．

求该双曲线的标准方程（答：22

1412

x y -=）；九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反

之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。

十、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，

则AB 12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121

1y y k

，若弦AB 所在

直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的

计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习：

1.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______

2.过抛物线x y 22

=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的

横坐标为_______（答：3）；

十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22

221x y a b -=中，以

00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

2y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦

所在直线的斜率k=

p y 。练习：

1.如果椭圆

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280x y +-=）； 2.已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －

2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

）；

特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！

十二．你了解下列结论吗？

（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02

222

=-b y a x ；

（2）以x a b

y ±=为渐近线（即与双曲线12

222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222

=-b y a x 为参

数，λ≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2

2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）

为2b c

，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；

②2

21212,4

p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点

(2,0)p 13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x

的距离之和

等于4，求P 的轨迹方程．（答：

212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、

B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22y x =）

；

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P 向圆2

21x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600

，则动点P 的轨迹方程为

（答：2

24x

y +=）

；（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨

迹为

（答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，

定点为

)1,0(-A ,点M 分?→

?PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3

62-

=x y ）； ⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。（答：2

2||x

y a y +=）；（2）若点),(11y x P 在圆

122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：2121(||)2

y x x =+≤）；（3）过抛物线y x 42

=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：2

22x

y =-）；

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如

已知椭圆

)0(12

22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外

的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并

且满足

.0||,022≠=?TF TF PT （1）设x 为点

P 的横坐标，证明

x a

c a F +

=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2

b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）2

x y a +=；（3）当2

b a

c >时不存在；当2

b a c

≤时存在，此时∠F 1MF 2＝2） ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1=

或()n m u ,=

；

（2）给出+与

AB 相交,等于已知+过

的中点;

（3）给出0

=+,等于已知P 是MN

的中点;

（4）给出()

+=+

λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数

,AB AC

λλ=

使；③若存在实数

,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+

且使,等于已知C B A ,,三点共线.

（6）给出λ

λ++=

1OB

OA ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即λ=

（7）给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB

∠是直角,给出0<=

?m ,等于已知AMB

∠是钝角, 给出0>=

?m ,等于已知AMB

∠是锐角,

（8）

给出MP =?

? ?+λ,等于已知MP

是AMB ∠的平分线/

（9）在平行四边形

ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;

（10）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-

，等于已知ABCD 是矩形;

（11）在ABC ?中，给出2

==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的

外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三

角形三条高的交点）；

（14）在ABC ?中，给出+=()||||

AB AC AB AC λ+

)(+∈R λ等于已知通过ABC ?的内心；（15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在ABC ?中，给出()12

AD AB AC =+

,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线;

求解圆锥曲线问题的几种措施

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2

1-=，P 为双曲线上一点。求||||PA PF +1

的最小值。

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知

||PF 即点P 到准线距离。 ∴

+=+≥=||||||||PA PF PA PE AM 125

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

，而c t

∴==

b p

c pt

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

x c t

y b pt

消去t，得轨迹方程y px

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知x y R

,∈，且满足方程x y y

2230

+=≥

()，又m

，求m范围。

解析： m

的几何意义为，曲线x y y

2230

+=≥

()上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示

k m k

PA PB

≤≤

∴

≤≤

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆()

x y

-+=

22和直线y mx

=的交点为P、Q，则||||

OP OQ

?的值为________。

解： ??

OMP OQN

||||||||

OP OQ OM ON

?=?=5

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：

x y 22

2416

1+=，直线l ：x y 1281+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足||||||OQ OP OR ?=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

解：如图，OQ OR OP →→→，，共线，设OR OQ →=→λ，OP OQ →=→μ，OQ x y →=()，，则OR x y →=()λλ，，

OP x y →

=()μμ，

||||||OQ OP OR →?→=→2 ∴→=→μλ||||OQ OQ 22

∴=μ

λ2

点R 在椭圆上，P 点在直线l 上 ∴

=λλ22

1x y ，

μμx

即

x y x y 222416128

+=+ 化简整理得点Q 的轨迹方程为：

()()x y -+-=152153

122

（直线y x =-23上方部分）

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例6. 求经过两圆x

y x 2

2640++-=和x y y 226280++-=的交点，

且圆心在直线x y --=40上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x y x x y y 2222646280++-+++-=λ()

()()()1166284022

+++++-+=λλλλx y x y

则圆心为(

)-+-+3131λλ

，，在直线x y --=40上 ∴解得λ=-7

故所求的方程为x y x y 22

7320+-+-=

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

例7. 过点A （2，1）的直线与双曲线x y 2

1-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中点的轨迹方程。解：设P x y 111()，，P x y 222()，，则

x y x y 1212

2222

211212-=<>

-=<>

?????

<2>－<1>得

()()()()

x x x x y y y y 211221122

-+=

即y y x x x x y y 21211212

2--=

++() 设P 1P 2的中点为M x y ()00，，则

k y y x x x y P P 12

21210

02=--= 又k y x AM =--001

，而P 1、A 、M 、P 2共线

∴=k k P P AM 12

，即y x x y 000

122--= ∴P P 12中点M 的轨迹方程是2402

2x y x y --+=

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右.

其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0

使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线

B A ''的方程；（2）计算出点P 、Q 的坐标；

（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出'

,B A 点的坐标. (1 ) 显然()t A

-1,1'

, ()，

，‘

t B +-11 于是直线B A '' 的方程为1+-=tx y ；

（2）由方程组???+-==+,

1,122tx y y x 解出),(10P 、),(2

21112t t t t Q +-+；

（3）t

t k PT 1

001-=--=

, t t t t t

t t t t k QT

11112011222

=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2 已知直线l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以线段SR

为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,

由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程 .02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a 于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=? 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ① 在直线方程

m kx y +=中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(m S k

R -

令顶点P 的坐标为（x ，y ），由已知，得???

????=-=??????

?=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得代入①式并整理，得 12

=+y

b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．

方程12

22=+y

b x a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

例3已知双曲线12222=-b

y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23

（1）求双曲线的方程；（2）已知直线

)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.

讲解：∵（1）,3

32=a c 原点到直线AB ：1=-b y a x 的距离.

3,1.23

22==∴==+=a b c ab

b a ab d .

故所求双曲线方程为 .13

=-y x

（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k .

设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则

0120

00220115515,.2

1313BE

y x x k x y kx k k k x k

++==?=+===---

,000=++∴k ky x 即

7,0,0315311522

2=∴≠=+-+-k k k k

k k 又故所求k=±

为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.

例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12．（1）求椭圆C 的离心率；（2）求椭圆C 的方程．讲解：（1）设112

212||,||,||2PF r PF r F F c ===, 对,21F PF ? 由余弦定理, 得

1)2

(2441244242)(24cos 2

212

12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F 0212=-=e ，

解出 .2

e （2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k 存在时，设l 的方程为

)(c x k y +=………………①

椭圆方程为),(),,(,12

21122

22y x B y x A b y a x =+ 由.2

2=e 得 2222,2c b c a ==. 于是椭圆方程可转化为 222220x y c +-=………………②

将①代入②，消去

y 得 02)(22222=-++c c x k x ,

整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k .

则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||k k c x x ++=-，2

21)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=，

AB 边上的高,1||2sin ||2

121k k c F BF F F h +?=∠=

c k k k k c S 21||)211(2221222+++= 2

2.===

ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得2,||,2y AB S =±

== 由①②知S 的最大值为

22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a

故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为：

.12

1222=+y x

||||2

12121y y F F S -?=

||||21x x k c -??=

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：c my x

-=…………①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

椭圆的方程为：),(),,(,122112

22y x B y x A b

y a x =+

由.

e 得：,,22222

c b c a ==于是椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m 于是21,y y 是上述方程的两根

21|||AB y y ==-2)

2(441222222

++++=

m m c c m m

)1(2222++=

m m c , AB 边上的高2

12m c h +=

从而2222

)2(122122)1(2221||21++=+?++?==m m c m c m m c h AB S .

221

2222

c m m c ≤+++

当且仅当m=0取等号，即.22max

c S =

由题意知1222=c , 于是 212,26222===a c b . 故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为：

.12

1222=+y x

例

5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于

A 、

B 两点，且线段AB 的中点在直线

02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率；

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422

=+y x

上，求此椭圆的方程.

讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为???

??=++-=1

1).,(),,(22

222211b y a x x y y x B y x A ，

则由得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,

根据韦达定理，得

,22)(,22

212122221b

a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（2

22,b a b b a a ++）.

由已知得2

222222

222222)(22,02c

a c a

b a b a b b a a =∴-==∴=+-+，故椭圆的离心率为22=e .

（2）由（1）知

c b =从而椭圆的右焦点坐标为

),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为

,02

221210),,(000000=?-+-=?--y b x b x y y x 且则

解得 b y b x 54

5300==且

由已知得

4,4)54()53(,42

222

=∴=+∴=+b b b y x ，故所求的椭圆方程为14

822=+y x .

例6 已知⊙M ：x Q y x

是,1)2(22

=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，

（1）如果3

24||=

AB ，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方

程.

讲解:（1）由3

24||=

AB ，可得

)322(1)2||(

||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得

,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得在Rt △MOQ 中，

523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或，

所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或

（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得

(*),2

y a -=- 由射影定理得|,||||

MQ MP MB ?=即(**),14)2(222=+?-+a y x

把（*）及（**）消去a ，并注意到2

)47(22≠=-+y y x

适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=2

。DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线E 过C

点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；

（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设λ=DN

，试确定实数λ的取值范围．

讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |

①

② ③

22)2

2(22222

=++∴动点P

的轨迹是椭圆∵1,1a b c ===∴曲线E 的方程是 1222=+y x . （2）设直线L 的方程为 2+=kx y , 代入曲线E 的方程2222=+y x ，得068)12(22=+++kx x k 设M 1

（),(),

221,1y x N y x , 则

???

+=+-=+>?+-=?.126,128,06)12(4)8(2

212

212k x x k k x x k k i) L 与y 轴重合时，3

||||==

DN DM λ

ii) L 与y 轴不重合时，由①得

.232>k 又∵2

x x x x x x DN DM N D M

D =--==λ,

∵,012<>x x ∴0＜λ＜1 ,

∴21

2)(122121221++=++=?+λλx x x x x x x x ∵)12(332)12(664)(22

22122k

k k x x x x +=+=?+ 而,232

∴.8)1

2(362<+

∴ ,316)2(33242

16214<++<λλ,

31012<+<λλ,.131,3101,

,10<

????

???

<+>+<<λλλλ

λλ∴λ的取值范围是??

???1,31 . 值得读者注意的是，直线L 与y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8 直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点.

（1）求证：22

14p x x =;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线.

讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2

(P F . 若l ⊥x 轴，则l 的方程为4,22

1P x x P x ==显然.若l 不垂直于x 轴，可设

)

2(P x k y -=,代入抛物线方程整理得4,04)21(221222

P x x P x k

P P x ==++-则. 综上可知 2214p x x =.

（2）设d c d p

d D c p

c C ≠且),2(),,2(2

2，则CD 的垂直平分线l '的方程为)4(2222p

d c x p

d c d c y +-+-=+-

假设l '过F ，则)42(2202

d c p p d c d c +-+-=+-整理得 0)2)((222=+++d c p d c 0≠p

02222≠++∴d c p ，0=+∴d c . 这时l '的方程为y=0，从而l '与抛物线px y 22

=只相交于原点. 而l 与抛物线

有两个不同的交点，因此l '与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线. 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

例9 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

讲解: 以直线l 为x 轴，线段AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A 到P 和经B 到P 路程相等的点，设这样的点为M ，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

750||=AB ,∴M 在双曲线16

25252222=?-y x 的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B 沿BP 运往P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿AP 运往P 处，按这种方法运土石最省工.

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

圆锥曲线常见题型与答案

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （答：11(3,)(,2)22---U ）；（5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,,

圆锥曲线基本题型总结

锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用：一、定义的应用： 1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）

1?设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（） 1/1 C.圆 D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】 2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为() A.5J+= 1 (yH0) - B.+ ? f ( X2,9)=1 (yH 0 ) C错误!-错误!=1 G?≠ 0) °D?错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】 3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为() A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣?射线，注意一支与两支的判断】 4?已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是() A↑?PF i?-?PF2 I |=5 B.∣ I PFll-I PF2? I =6 C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7 D.∣ I PF1?-?PF2? I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】 5?平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是() A.? f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) " B.错误!?=l(xW?3)

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题0８解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点．过点且斜率不为０的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)证明：在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标．【答案】（1)(２）【解析】试题分析：(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；(Ⅱ）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足，解得可得定点坐标。解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明: 由题意设直线的方程为, 由消去ｙ整理得, 设,,

要使其为定值，需满足, 解得．故定点的坐标为．点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (１)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学201７－２0１8学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =（0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时，弦MN 的长为15（1)求抛物线C 的标准方程; （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点,请说明理由．【答案】(1）24y x =；(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+，则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1）; 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．

直线和圆锥曲线题型总结

姓名年级性别学校学科教师上课日期上课时间课题直线和圆锥曲线总结题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22 194 x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取值范围。

(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)

）直接法：直接利用条件建立之间的关系；和直线的距离之和等于），端点向圆作两条切线

的距离比它到直线的距离小于：和⊙：都外切，则动圆圆心代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。过抛物线的焦点作直线交抛物线于

?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。（3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。（3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇高考解析几何万能解题套路解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。第一部分：基础知识 1.概念特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

圆锥曲线基本题型总结

4、韦达定理的应用：一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线

D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

圆锥曲线大题题型归纳3

圆锥曲线大题题型归纳基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且

直线与圆锥曲线题型总结

直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

直线和圆锥曲线基本题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆 22 :14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。由2 (1) y k x y x =+?? =?消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122 x k = -，则211( ,0)22 E k -

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12 222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x 2 ,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由x 2 ,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 3．与双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为 k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|

高中数学圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用：一、定义的应用： 1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )

A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段【注：2a>|F 1 F 2|是椭圆，2a=|F 1 F 2|是线段】 2.设B －4,0)，C 4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为 ) A.x 225＋y 29 ＝1 y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 y ≠0) D.y 216＋x 2 9＝1 y ≠0) 【注：检验去点】 3.已知A 0，－5)、B 0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】 4.已知两定点F 1－3,0)，F 23,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是 ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7 D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】 5.平面内有两个定点F 1－5,0)和F 25,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是 ) A.x 216－y 29＝1x ≤－4) B.x 29－y 216＝1x ≤－3) C.x 216－y 29＝1x ≥4) D.x 29－y 2 16＝1x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程. 7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法，通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率．点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．

高考圆锥曲线题型归类总结

圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）双曲线（3）抛物线 2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的轨迹方程。例2、方程() () 2 2 22668x y x y -+- ++=表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用典型例题例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，求21PF F ?的面积。例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞

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