哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期末考试
高二理科数学试卷
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.下列选项叙述错误的是（ ）
A ． 若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题
B ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”
C ．若命题:p x R ?∈，210x x ++≠，则:p x R ??∈，2
10x x ++=
D ．“2x >”是“2
320x x -+>”的充分不必要条件
2.已知口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，若摸出红球的概率是0.42，若摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是（ ） A ． 0.42 B ． 0.28 C ．0.3 D ． 0.7
3. 已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是 （ ） A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α?，n α?，则l α⊥ B ．若l α⊥，α∥β，m β?，则l m ⊥ C ．若l ∥m ，m α?，则l ∥α D ．若l α⊥，αβ⊥，m β?，则l ∥m
4.有四个面积相等的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖,若想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为16，则输入的自然数n 的最小值等于（ ）
A ． 7
B ．8
C ．9
D ．10
6．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（ ）
[来源:Z#xx#https://www.doczj.com/doc/ca15244922.html,]
A ．23
B ．20
C ．06
D ． 17
7 .已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3
3
，过2F 的直线l 交
椭圆C 于A 、C 两点，若1AF B ?的周长为43，则C 的方程为（ ）
A ．22132x y +=
B ．22
13x y += C ．221128x y += D ．221124
x y +=
8．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）
A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
9.如图，111A B C ABC -是直三棱柱，BCA ∠为直角，点1D 、1F 分别是11A B 、11AC 的中点，若
1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）
A ．22
B ．322
C ．155
D ．30
10
10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
(6)36π+ B ．(8)36π+ C ．(82)36π+ D ．(92)3
6
π+
11．三棱锥ABC P -的四个顶点均在半径为2的球面上，且32===CA BC AB , 平面⊥PAB 平面ABC ，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为（ ） A ． 4 B ． 34 C ． 3 D ． 23
12.双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点为21,F F ，A 是其右顶点，过2F 作x 轴的垂线与双
曲线的一个交点为,P G 是21F PF ?的重心，若021=?F F GA ，则双曲线的离心率是（ ） A ． 2 B ．2 C ．3 D ． 3 二、填空题
13．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为_______________.
14. 双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为________________.
3
1
2
2
正视图
侧视图
俯视图
15.若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个公共点，则双曲线离
心率的取值范围是_____________.
16. 已知ABC ?中，=9AB ，=15AC ，120BAC ∠=
，ABC ?所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是_____________.
三、解答题
17.某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，具体数据如下表所示：
[来源:Z&xx&https://www.doczj.com/doc/ca15244922.html,]
（1）求y 关于x 的回归直线方程；
（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？
（注：线性回归直线方程系数公式^
1
12
2
21
1
()()()n n
i
i
i i
i i n
n
i i i i x x y y x y nx y
b x x x nx
====---?=
=
--∑∑∑∑，^^
a y
b x =-.）
18.某城市
100
户居民的月平均用电量(单位:度),以
[)160,180,[)180,200,[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率
分布直方图如下图: (1)求直方图中的x 的值；
(2)估计月平均用电量的众数和中位数；
(3)从月平均用电量在[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300内的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,求从月平均用电量在
[)220,240内的用户中应抽取多少户?
19. 如图，三棱锥P ABC -中， ,,PC AC BC 两两垂直，1,BC PC ==， 2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.
（1）证明：平面//GEF 平面PCB ； （2）求直线PF 与平面PAB 所成角的正弦值.
20．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1 x cos y sin ?
?=+=???
（?参数)，以O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()
sin 3cos 33ρθθ+=. （1）求C 的极坐标方程； （2）射线11:2OM πθθθθ?
?
=<< ??
?
与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ， 求OP OQ ?的范围.
21.如图所示三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，
CD AD 2=，CD AC ⊥.
（Ⅰ）若AC AA =1,求证：⊥1AC 平面CD B A 11； （Ⅱ）若D A 1与1BB 所成角的余弦值为
7
21
，求二面角
11C D A C --的余弦值.
[来源:https://www.doczj.com/doc/ca15244922.html,]
22.已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率32e =，点2
(2)2
Q , 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 于A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点(1,1)M ，求ABM S ?的最大值.
答案
123456789101112
[来
源:https://www.doczj.com/doc/ca15244922.html,]
13. 6 14. 15. 16. 7
17. (1)经计算可得
,,,,,
故所求的回归直线的方程为
(2)由题可知道2017年时科研投入为2.3百万元,
故可预测该公司所获得的利润约为(百万元)
答: 可预测该公司所获得的利润约为450万元.
18．(1)）由直方图的性质可得
,得
(2) 众数的估计值是,设中位数为由
得
(3)月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量为的用户有(户),
月平均用电量为的用户有(户),抽取比例为,所以从月平均用电量在内的用户中应抽取(户).
19. (1)分别是的中点, 又平面,平面,
所以平面
,
平面
,
,即平面
平面
.
(2) 以
为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
,
,
,,,
则面
的法向量
，设
与面
所成角为,
[来源学+科+网]
则
与面所成角的正弦值为.
20．（1）圆的普通方程是
，又
，
所以圆的极坐标方程是
.
（2）设
，则有
，
设，且直线的方程是，则有
所以
因为，所以
.
21.（1）略
（2）设
为
与
所成的角
以C 为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
面
的法向量
，面
的法向量
二面角的余弦值为
22. (1)设椭圆方程为，由题意知
，…①，…②
联立①②解得，，所以椭圆方程为
(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为
满足，
消去得．
，且，．
因为直线的斜率依次成等差数列，
所以，，即，
又，所以，
即．
联立易得弦AB的长为
又点M到的距离
所以
平方再化简得时S取最大值