第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教师用书 理 苏教版
1.抛物线的概念
平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质
【知识拓展】
1.抛物线y 2
＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ? ??
??p 2，0的距离PF ＝x 0＋p
2，也称为抛物线的
焦半径.
2.y 2
＝ax 的焦点坐标为? ??
??a 4，0，准线方程为x ＝－a
4.
3.设AB 是过抛物线y 2
＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
(1)x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2
.
(2)弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝
2p
sin 2
α
(α为弦AB 的倾斜角). (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2
(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a
4，0)，准线
方程是x ＝－a
4
.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )
(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4
，
y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )
1.(2016·四川改编)抛物线y 2
＝4x 的焦点坐标是______. 答案 (1,0)
解析 ∵对于抛物线y 2
＝ax ，其焦点坐标为? ??
??a
4，0，
∴对于y 2
＝4x ，焦点坐标为(1,0).
2.过抛物线y 2
＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________. 答案 8
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.
3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2
＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________. 答案 －34
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0，
设其直线方程为x ＝ky ＋1
2，
则由???
??
x ＝ky ＋12，y 2＝2x ，
得y 2
－2ky －1＝0，
y 1y 2＝－1，OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝
y 1y 2
2
4
＋y 1y 2＝14－1＝－3
4
.
4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2
＝－8x 或x 2
＝－y
解析 设抛物线方程为y 2
＝2px (p ≠0)或x 2
＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为
y 2＝－8x 或x 2＝－y .
5.(2017·南京月考)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与圆x 2
＋y 2
－6x －7＝0相切，则p 的值为________. 答案 2
解析 抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线为x ＝－p
2， 圆x 2
＋y 2
－6x －7＝0，即(x －3)2
＋y 2
＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.
又因为抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与圆x 2
＋y 2
－6x －7＝0相切， 所以3＋p
2
＝4，解得p ＝2.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 设P 是抛物线y 2
＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 4
解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，
则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4. 即PB ＋PF 的最小值为4.
引申探究
1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值.
解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.
因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，
所以PB＋PF≥BF＝42＋22
＝16＋4＝25，
即PB＋PF的最小值为2 5.
2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.
解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1＝PF－1，
所以d1＋d2＝d2＋PF－1.
易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为
|1＋5|
12＋－2
＝32，
所以d1＋d2的最小值为32－1.
思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
答案 5
解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为[1－－2＋－2＝ 5.
题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程
例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦点
到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________. 答案 x 2
＝16y
解析 ∵x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为2，
∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，b
a
＝ 3. x 2
＝2py (p >0)的焦点坐标为? ????0，p 2，x 2
a 2－y
2
b
2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题
意得
p
21＋
3
2
＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2
＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4；
(2)1AF ＋1
BF
为定值；
(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p
2，0).
由题意可设直线方程为x ＝my ＋p
2，代入y 2
＝2px ，
得y 2
＝2p ? ?
???
my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2
＝0.(*)
则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2
. 因为y 2
1＝2px 1，y 2
2＝2px 2，所以y 21y 2
2＝4p 2
x 1x 2，
所以x 1x 2＝y 21y 2
2
4p 2＝p 44p 2＝p 24
.
(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋
p
2
＝
x 1＋x 2＋p
x 1x 2＋p 2
x 1＋x 2＋
p 2
4
.
因为x 1x 2＝p 2
4，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，
得1AF ＋1BF ＝
AB
p
2
4
＋
p
2
AB －p ＋
p
2
4
＝2
p
(定值).
(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝1
2
(
AC ＋BD )
＝12(AF ＋BF )＝12
AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程
.
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
(1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交
C 的准线于
D ，
E 两点.已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________.
(2)抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB
的最大值为______. 答案 (1)4 (2)
3
3
解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)，如图，
又可设A (x 0,22)，
D ? ??
??－p 2
，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2
＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0,22)在圆x 2
＋y 2
＝r 2
上，∴x 2
0＋8＝r 2
，
②
点D ? ??
??－p
2，5在圆x 2＋y 2＝r 2
上，
∴5＋? ??
??p 22
＝r 2
， ③
联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为4. (2)设AF ＝a ，BF ＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线， 垂足分别为Q 、P .
由抛物线的定义知，AF ＝AQ ，BF ＝BP ， 在梯形ABPQ 中，2MN ＝AQ ＋BP ＝a ＋b .
AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab .
又ab ≤(
a ＋b
2
)2
，
所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2
，
得AB ≥
3
2(a ＋b )， 所以MN AB
≤
1
2a ＋b 3
2
a ＋
b ＝
33
， 即MN AB
的最大值为33
.
题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题
例4 已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →
＝0，则k ＝________. 答案 2
解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2
－(4k 2
＋8)x ＋4k 2
＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
则x 1＋x 2＝4＋8
k
2，x 1x 2＝4.
所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8
k
，
y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.
因为MA →·MB →
＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k 2
－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题
例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2
＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.
(1)证明 由题意知，F ? ????12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，
且A ? ????a 2
2，a ，B ? ????b 2
2，b ，P ? ????－12，a ，Q ? ????－12，b ， R ? ??
??－12
，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则
k 1＝
a －
b 1＋a 2＝a －b a 2
－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0
－12－
1
2
＝k 2. 所以AR ∥FQ .
(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |?
?????x 1－12， S △PQF ＝
|a －b |
2
. 由题意可得|b －a |??????x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去). 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得
2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2
＝y ，所以y 2
＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，
所以所求轨迹方程为y 2
＝x －1(x ≠1).
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
(2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x
2
＝4y 的焦点为F ，定点A (22，0)，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶3
解析 由题意得F (0,1)， ∴直线AF 的方程为x 22＋y
1
＝1，
将它与抛物线方程联立解得?????
x ＝2，
y ＝1
2
或??
?
x ＝－22，y ＝2，
又交点在第一象限，
∴M (2，1
2)，准线方程为y ＝－1.
故易求得N (42，－1).
∴由三角形相似性质得FM MN ＝
1－121
2
－－
＝13
.
7.直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例 (16分)已知抛物线C ：y ＝mx 2
(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；
(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不
存在，请说明理由.
思维点拨 (3)中证明QA →·QB →
＝0. 规范解答
解 (1)∵抛物线C ：x 2
＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).
[2分] (2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝1
4
.
[4分]
(3)存在实数m ，使△ABQ 定以Q 为直角顶点的直角三角形.
联立方程?
??
??
y ＝mx 2
，
2x －y ＋2＝0，
消去y ，得mx 2
－2x －2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2
－4×m ×(－2)>0?m >－12.
[7分]
设A (x 1
，mx 2
1
)，B (x 2
，mx 22
)，则?????
x 1
＋x 2
＝2
m
，x 1
·x 2
＝－2
m
. (*)
∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22
，
mx 21＋mx 2
2
2
)，
即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).
[9分]
得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m
)，QB →＝(x 2－1m ，mx 2
2－1m
)，
若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →
＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 2
2－1m
)＝0，
[12分]
结合(*)化简得－4m 2－6
m
＋4＝0，
即2m 2
－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，
而2∈(－12，＋∞)，－12?(－1
2
，＋∞).
∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形. [16分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)；
第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.
1.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、
B 两点，如果OA →·OB →
＝－12，那么抛物线C 的方程为____________.
答案 y 2
＝8x
解析 由题意，设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p
2
，
联立?
????
y 2
＝2px ，x ＝my ＋p
2，消去x 得y 2－2pmy －p 2
＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2
，
得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2
y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 2
4＋y 1y 2＝－34
p 2＝－12
?p ＝4，
即抛物线C 的方程为y 2
＝8x .
2.已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________. 答案 x ＝－1
解析 ∵y 2
＝2px (p >0)的焦点坐标为(p
2，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p
2，
即x ＝y ＋p
2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2
，
即y 2
－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴
y 1＋y 2
2
＝p ＝2，
∴抛物线的方程为y 2
＝4x ，其准线方程为x ＝－1.
3.(2016·苏北四市联考)设抛物线C ：y 2
＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以
MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为____________.
答案 y 2
＝4x 或y 2
＝16x
解析 ∵抛物线C ：y 2
＝3px (p >0)的焦点为F (3p 4，0)，
∴OF ＝3p 4
，
∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连结AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt△AOF 中，AF ＝
4＋9p 2
16
，
∴sin∠OAF ＝OF AF
＝
3p 44＋
9p 2
16
，
根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，
∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt△AMF 中，sin∠AMF ＝AF MF
＝
3p 44＋
9p 2
16
，
∵MF ＝5，AF ＝
4＋9p 2
16，
∴
4＋
9p 2
165
＝3p 44＋
9p 2
16
，
整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝16
3，
∴C 的方程为y 2
＝4x 或y 2
＝16x .
4.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于________. 答案 －4
解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 2
4， ∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2
， ∴
y 1y 2
x 1x 2
＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，
可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p
2)，
联立y 2
＝2px ，得k 2x 2
－(k 2
p ＋2p )x ＋p 2k 2
4
＝0，
则x 1x 2＝p 2
4，x 1＋x 2＝p ＋2p
k 2，
∴y 1y 2＝－p 2
.故
y 1y 2
x 1x 2
＝－4. 5.如图，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若
BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为____________.
答案 y 2
＝3x
解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝
BB 1，
∵BC ＝2BF ，
∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，
∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2
＝3x .
6.抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则PF PA
的最小值是______. 答案
2
2
解析 抛物线y 2
＝4x 的准线方程为x ＝－1，
如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ， 由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝
PN PA
， 当PN PA ＝PF PA
最小时，sin∠PAN 最小， 即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，
此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，
联立?
????
y ＝k x ＋，
y 2
＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2
＝0，
所以Δ＝(2k 2
－4)2
－4k 4
＝0，
解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，
PF PA ＝PN PA ＝cos∠NPA ＝22
. 7.设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 12
解析 焦点F 的坐标为? ??
??34，0.
方法一 直线AB 的斜率为33
， 所以直线AB 的方程为y ＝33? ??
??x －34， 即y ＝
33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋3
16
＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝21
2，
所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋3
2＝12.
方法二 由抛物线焦点弦的性质可得
AB ＝
2p sin 2
θ＝3
sin 230°
＝12. 8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y 2
＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝________. 答案 1∶2
解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22(x －p
2)，
联立方程?
???
?
y 2
＝2px ，y ＝22x －p
2，
得4x 2－5px ＋p 2
＝0，∴N (p 4，－22p )，
∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，MF ＝p ＋p 2＝3
2
p ，
∴NF ∶FM ＝1∶2.
9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F 是抛物线y 2
＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________. 答案 43
解析 抛物线y 2
＝4x 的准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，
设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0＋1＝5，所以x 0＝4，所以y 2
0＝4x 0＝16，y 0＝4，从而点A (4,4)，直线AF 的斜率为k ＝4－04－1＝4
3
.
10.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12
，E 的右焦点与抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点重合，
A ，
B 是
C 的准线与E 的两个交点，则AB ＝________.
答案 6
解析 抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.
设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
由题意，c ＝2，c a ＝1
2
，
可得a ＝4，b 2
＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1.
把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而AB ＝6.
11.已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)
解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，
得AF ＝AM ，
∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴
S △AMF
S △AOF
＝1
2·AF ·AM ·sin∠MAF 1
2
·OF ·AF π－∠MAF
＝3，
∴AF ＝AM ＝3，设A ? ??
??y 2
04，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 20
4＝2，y 0＝±22，
∴点A 的坐标是(2，±22).
*12.设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相切于点M ，且
M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________.
答案 (2,4) 解析 如图，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，
则?????
y 2
1＝4x 1，y 2
2＝4x 2，
两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).
当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有
y 1＋y 22·y 1－y 2
x 1－x 2
＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.
由CM ⊥AB ，得k ·
y 0－0
x 0－5
＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2
＝4x ， 得y 2
＝12，则有－23 因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2 ＋y 2 0＝r 2 ， 故r 2 ＝y 2 0＋4<12＋4＝16. 又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4 <16，即2 13.(2016·江苏苏北四市期中)已知抛物线C ：x 2 ＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B . (1)求抛物线C 的标准方程； (2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程得2p ＝4， 解得p ＝2，∴抛物线C 的标准方程为x 2 ＝4y . (2)若直线l 斜率不存在，则显然不成立，则直线l 的斜率k 一定存在. 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ′(－x 1，y 1).由????? y ＝14 x 2， y ＝kx －1， 得x 2 －4kx ＋4＝0， 则Δ＝16k 2 －16>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ， ∴k A ′B ＝y 2－y 1 x 2－－x 1＝x 22 4－ x 2 14x 1＋x 2＝x 2－x 14， 于是直线A ′B 的方程为y －x 22 4＝ x 2－x 14(x －x 2)， ∴y ＝ x 2－x 1 4 (x －x 2)＋x 22 4 ＝x 2－x 14 x ＋1， 当x ＝0时，y ＝1，∴直线A ′B 过定点(0,1). 14.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2 ＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且 AF ＝3. (1)求抛物线E 的方程； (2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切. 方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p 2. 因为AF ＝3，即2＋p 2＝3，解得p ＝2， 所以抛物线E 的方程为y 2 ＝4x . (2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2 ＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由??? y ＝22x －， y 2 ＝4x 得2x 2 －5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ? ????12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝22 3 ， k GB ＝ －2－0 1 2 －－＝－223 . 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一. (2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2 ＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由?? ? y ＝22x －， y 2＝4x 得2x 2 －5x ＋2＝0. 解得x ＝2或x ＝12，从而B ? ????12，－2. 又G (－1,0)， 故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝42 17 . 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离 d ＝ |22＋22| 8＋9 ＝ 42 17 ＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 2018年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设z=+2i，则|z|=（） A．0 B．C．1 D． 2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?R A=（） A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 2018年普通高等学校招生全国统一考试（III卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A．B．C．D． 2． A．B．C．D． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若，则 A．B．C．D． 5．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线分别与轴，轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A．B．C．D． 7．函数的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．B．C．D． 9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A．B．C．D． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D． 11．设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A．B．2 C．D． 12．设，，则 A．B．C．D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，．若，则________． 14．曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15．函数在的零点个数为________． 16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若 ，则________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 等比数列中，． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D ．2 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．} {}{|1|2x x x x <-> D ．} {}{|1|2x x x x ≤-≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ． 31 44 AB AC - B ． 13 44 AB AC - C ． 31 44 AB AC + D ． 13 44 AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷Ⅱ）理科试卷 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1、答题前，考试现将自己的姓名，准考证号填写清楚，将条形 码准确粘贴在条形码区域内 2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照题号顺序在答题卡 各题目的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4、作图可先试用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、1212i i +=- A 、4355i -- B 、4355i -+ C 、3455i -- D 3455 i -+ 2、已知集合(){}22,|3,,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈则A 中元素的个数为（） A 、9 B 、8 C 、5 D4 3、函数 ()2x x e e f x x --=的图象大致是（） x x 4、已知向量() ,1,1,2a b a a b a a b =?=--=满足则（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、0 5、双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 则其渐近线方程为（） A 、 y = B 、 y = C 、2 y x =± D y x = 6、在△ABC 中，cos 2C = ，BC=1,AC=5,则AB=( ) A 、 B C D 7、为计算11111123499100S =-+-+ +-，设计了右侧的程序框图，则空白框中应填入 A 、i=i+1 B 、i=i+2 C 、i=i+3 D 、i=i+4 2018年普通高等学校招生全国统一考试(卷) 数学Ⅰ 1． 已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么_____=B A I 2． 若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_____ 3． 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位 裁判打出的分数的平均数为_____ 4． 一个算式的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______ 5． 函数1log )(2-=x x f 的定义域为______ 6． 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中选2名学生去参加， 则恰好有2名女生的概率为_______ 7． 已知函数)22)(2sin(π?π?<<-+=x y 的图象关于直线3 π =x 对称，则?的值是______ 8． 在平面直角坐标系xOy 中．若双曲线0)b 0(122 22>>=-，a b y a x 的右焦点F(c ，0)到一 条渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是_____ 9． 函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R)，且在区间]2,2(-上，??? ??? ?≤<-+≤<=,02,21 ,20,2cos )(x x x x x f π则))15((f f 的值为______ 10． 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面 体的体积为_______ 11． 若函数)(12)(2 3 R a ax x x f ∈+-=在),0(+∞有且只有一个 零点，则)(x f 在[－1，1]上的最大值与最小值的和为_______ 12． 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限的点，B (5，0)，以 8 99 9 011 (第3题) I ←1 S ←1 While I<6 I ←I+2 S ←2S End While Pnint S (第4题) 第十三章概率与统计本章知识结构图 第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ. ()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的 专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理[高考领航]————————————摸清规律预测考情 考点一 集合、常用逻辑用语 1．设有限集合A ，card(A )＝n (n ∈N *)，则 (1)A 的子集个数是2n ； (2)A 的真子集个数是2n －1； (3)A 的非空子集个数是2n －1； (4)A 的非空真子集个数是2n －2； (5)card(A ∪B )＝card A ＋card B －card(A ∩B )． 2．(1)(?R A )∩B ＝B ?B ??R A ； (2)A ∪B ＝B ?A ?B ?A ∩B ＝A ； (3)?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )； (4)?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )． 3．若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为： (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 类型一 集合的概念及运算 [典例1] (2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.? ????－3，－32 B.? ? ? ??－3，32 C.? ????1，32 D.? ?? ??32，3 解析：通解：(直接法)解x 2－4x ＋3＜0，即(x －1)(x －3)＜0，得1＜x ＜3，故A ＝{x |1＜x ＜3}； 2018年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩ B= ． 2．（5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为． 3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 1 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对 称，则φ 的值为． 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为． 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为． 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为． 2 第三节 统计与统计案例 考纲解读 1. 理解随机抽样的必要性和重要性。 2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。 3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。 4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。 5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。 6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。 7. 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。 8. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 9. 了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。 (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用。 (2)回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。 命题趋势探究 1. 本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主。 2. 命题内容为：(1)三种抽样(以分层抽样为主)；(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。(1)(2)有结合趋势，考题难度中下。 3. 统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。 知识点精讲 一、抽样方法 三种抽样方式的对比，如表13-7所示。 类型 共同点 各自特点 相互关系 使用范围 简单随机抽样 抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N ，样本容量n ，每个个体被抽到的概率n P N = 从总体中随机逐个抽取 总体容量较小 系统抽样 总体均分几段，每段T 个， 第一段取a 1， 第二段取a 1+T ， 第三段取a 1+2T ， …… 第一段简单随机抽样 总体中的个体个数较多 分层抽样 将总体分成n 层，每层按比例抽取 每层按简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 二、样本分析 (1)样本平均值：1 1n i i x x n ==∑。 (2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。 (3)样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =， ，，则A B =I （ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012， ， 2．()()12i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i + 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ） 4．若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89 - 5．5 22x x ??+ ???的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是（ ） A ．[]26， B ．[]48， C ．232????， D ．2232???? ， 7．函数422y x x =-++的图像大致为（ ） 8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6 π 理科数学试题 第1页（共9页） 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R e A ．{|12}x x -<< B ．{|12}x x -≤≤ C ．{|1}{|2}x x x x <->U D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 理科数学试题 第2页（共9页） 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu r A ．3144A B A C -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344 AB AC +uu u r uuu r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ． B ．C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=?>? ≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+ 2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变 化情况,统计了该地区系农村建设前 后农村的经济收入构成比例。得到 如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视 图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面 上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数 字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值 2018年高考数学总复习讲座 分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设z=+2i，则|z|=（） A．0 B．C．1 D． 2．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）（2018?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 6．（5分）（2018?新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 7．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A．2B．2 C．3 D．2 8．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则?=（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（） A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞） 10．（5分）（2018?新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（） 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ． [答案]{1，8} 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． [答案]2 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． [答案]90 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． [答案]8 5 ．函数()f x =的定义域为 ▲ ． [答案][)∞+， 2 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． [答案]10 3 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+- <<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． [答案]6-π 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ． [答案]2 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π? [答案]2 2 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ． [答案]3 4 11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． [答案]-3 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为 ▲ ． [答案]3 13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． [答案]9 14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． [答案]27 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． [答案] 16．已知,αβ为锐角，4tan 3 α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． [答案] 17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． 见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020届备考 青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020年备考 2018试题分类汇编---------解析几何 一、填空题 (1)直线与圆 1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 1.2220x y x +-= 2.（全国卷I 文15）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.22 3.（全国卷III 理6改）．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是__________． 3.[]26， 4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为 C ，直线2 1, 2232 x t y t ? =-+ ??? ?=-?? (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 4.1 2 5.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变 化时，d 的最大值为__________． 5.3 6.（北京文7改）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如 图），点P 在其中一 段上，角α以OA 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是__________． 6.EF 7.（江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点， (5,0)B ，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为__________． 7.3 8.（上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y +=，则 11221 1 2 2 x y x y +-+-+ 的最大值为_________. 8.32+ （2）椭圆抛物线双曲线基本量 9.（浙江2 改）双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是__________． 9.(?2，0)，(2，0) 10.（上海2）双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 10.12 y x =± 11.（上海13）设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为__________． 11.25 12.（北京文12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为5 2 ，则a =_________. 12．4 13.（北京文10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截 得的线段长为4，则抛物线 的焦点坐标为_________. 13．(1,0) 14.(全国卷II 理5 改)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程 为_________. 14．2y x =± （3）圆锥曲线离心率 2018年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B= （A）{0，1} （B）{–1，0，1} （C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2} （2）在复平面内，复数 1 1i 的共轭复数对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）1 2 （B） 5 6 （C）7 6 （D） 7 12 （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都 等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f （D ）1272f （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当 θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2，1）A ? （C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ? （D ）当且仅当3 2 a ≤ 时，（2，1）A ? 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． （10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2018年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)
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