高等数学试卷集锦（公式合辑）
一、求下列数列或函数的极限（30分）
1 .x
bx x x Lim 2
arcsin 112++
∞→ （其中b 为常数）
2 .
x x x
tgx Lim sin 1
0)sin 11(++→ 3.. 1
...21--+++→x n x x x Lim n x
4. .]ln
)1[ln(n n n Lim n -+∞
→
5.
)sin 1(sin x x Lim x -++∞
→
二、设?????
=≠=0 x
,00
x ,1sin )(x
x x f ，讨论函数)(x f 及其导函数的连续性（10分） 三、求导数或微分(20分)
1．
3
5
a r c s in ln 3
x x e x y x -=,求dx
dy
2． 求函数1
2-=x x y 的n 阶导函数)()
(x y n
3． 求由方程yarctgx e y x
=+22
确定的隐函数)(x y y =的微分dy
4． 已知dx x x x f ?+=+1
)1(4
32
，且1)1(=f ,求)2('f 四、求不定积分（20分）
1．
dx x ?)sin(ln 2. dx a x ?
+2
2 （其中)0>a 3. ?+1
3x dx 4. arctan x
x
e dx e ? 五、求函数e arctgx x y
)1-=（的单调区间、极大极小值以及渐近线（10分）
六、证明当成立不等式时1
1
ln )1ln(,0+>
-+>x x x x （10分）
高等数学试卷
武汉大学2000-2001学年度第一学期期末考试
《高等数学》考试试题
（年级：2000级 时间：2001.1）
一、 求以下数列或函数的极限(30分)
1.
x
e e x
x x Lim βα-→0 2. x
x
Lim
x cos 10
0-+→
3.
))2(1...)1(11(
222n n n Lim n ++++∞
→ 4. x
tg x tgx Lim 24
)(π→
5．x
x x Lim 1
)]
1ln(1[+
+→ 6.
2
sin x tdt
Lim x
x ?→ 二、指出函数??
?
??=≠=0 10x ||sin )(x x x
x y 的间断点和间断类型 (10分)
三、求下列函数的导数 （10分）
1．
tgx
e x x y x sin 3
1)(+=
2.
x x x y )(arcsin )(=
四、已知函数
???
??=≠=0
,00,1cos )(2
x x x
x x f 试求函数)(x f 的导函数，并讨论导函数在x=0点的连续性（10分） 五、如果2
0π
αβ<
≤<
，试证：
α
β
αβαββα22cos cos -≤
-≤-tg tg （10分）
六、求不定积分和定积分（20分）
1．dx x x ?
+5
4
3
1
2. dx x x ?+)1ln(
3.
dx x
x
?+2
1
ln 1 4. ?+2
13
x x dx
七、求函数
16)(23+-=x x x y 在[-5，5]内的极大、极小值和最大、最小值（10分）
高等数学练习
（1） 设，求lim 4x
x x c c x c +骣÷
?=?÷
桫-
（2）1,1
()cos
,12
x x f x x
x π?->?=?≤??讨论的连续性 （3
）002,lim ()x x f x →→=已知求 （4）求 201
sin
lim 1x x x x e →-
（5） 20tan lim
.tan x x x
x x
→-求 （7） (1sin )
.1cos x e x dx x
++?
求 （8
）.求
（9）
2
ln(x dx ????
? （10
）
（11）设f (x )在[a ,b ]上连续，g (x )在 [a ,b ]上可积，且不变号，则，
[,],()()()()b
b
a
a
a b f x g x dx f g x dx ξξ?∈=??使
（12） 证明 1
lim 01n
n x dx x
→∞=+? （13）设(),(0)0,(0)0f x f f ''=≠连续，求2
00
20
()()lim
x x
x f t dt
x f t dt
→??
（14）求由曲线24y x =-及0y =所围成的图形绕直线3x =旋转构成旋转体的体积.
（15）求圆心在 ( b ,0 ) 半径为 a ( 0< a < b ) 的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积
（16）求多项式 f (x) 使它满足方程，1300()d (1)d 2x
f x t t f t t x x +-=+??。
（17）求抛物线2
1y x =-在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛
物线所围图形的面积最小，并求此时图形的面积区域绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。 （18）求220()d ,x
y y
f x e
y -+=?1
20
(1)()d .x f x x -?求
（19）已知1
0()2(),()f x x f x dx f x =+?求 （20）设0cos 0
02
2
=+??x y
t dt t dt e ,求
dt
dy
（21）已知211
01
)(2≤≤<≤???=x x x x f ，写出)20()()(1≤≤=?x dt t f x F x 的表达式．
（22）求?-1
012dx x x （22）求?---5
5232dx x x
（23）已知)(x y y =由y x e xy +=所确定，求dx
dy
.
http://%33%39%34%39%30%39%38%32%35%2E%74%61%6F%62%61%6F%2E%63%6F%6D/
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2. ）
时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()
x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且
'>()0f x ，则（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）22x （B ）2
2
2x +（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =
+→x
x x sin 2
)
31(l i m .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x
x
=?
?x x
x
x f d cos )(则
.
7.
lim
(cos cos cos )→∞-+++=2
2
221
n n n
n
n n π
π
ππ .
8. =
-+?
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ?+-求
11. ．
求，， 设?--?????≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，=?1
0()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数. 求
'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成
平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0
=?
π
x d x f ，0
cos )(0
=?
π
dx x x f .
证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提
示：设
?=
x
dx
x f x F 0
)()(）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6
e . 6.c x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.3π.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)c o s ()()x y
e y xy xy y +''++
+=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++??原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11.
解：1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+???
3
()x xd e --=-+??
00
232
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
2
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim
lim
22x x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?，'()g x 在=0x 处连续。
13. 解：2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -??=+?
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+?，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r
解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为
x x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)
(1
ln 000x x x x y -=-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：
x
e y 1= 则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131
e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：1
()()q
f x d x q f x dx -??1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证：构造辅助函数：π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在)
,0(π上可导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
????+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有?=π
0sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即
0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .
高等数学I 解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是
无穷小. (A) ()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+ (C)
[])()(1ln x x βα?+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e （D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）.
（A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '
(C) )(a f ' （D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim
>-+→a x a
a x x 的值是 a 1
.
6. 由
x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y
x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直
线l 的方程为
13
1211--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1ln(1)lim
lim lim 2x x x
x x x x e e x x e
e e x x x +-→→→+--+-===- 10. 已知：||3a = ，||26b = ，30a b ?= ，求||a b ? 。 解：
1312
cos 1sin ,135cos 2=-==?=θθθb a b a ，
72
=?b a
11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt t f t x x F x
a
∈-=?，试求出)(x F ''。
解：
??-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
??=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求
3cos .sin x x dx x ? 解：
2
3
cos 1sin sin 2x x
dx xd x x -=-??
2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
13. 求
?
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
?
--=212
322)1
(11
11dt t t t
原式
=
-?
dt
t 12
1
2
32
=arcsin t
12
32=
π
6 14. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）
22)1()
1)(1(2x x x y ++-='
3
22)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1
= 1, x 2
= -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2
= -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23
）
15. 求由曲线43
x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解 :,,
x x x x x x 3
232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---??()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧 A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大.
解：
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
235
132()
?
S x x x x x ()()=
??-++=-++12452352232
2
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40
1 此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,(),(),,(,)002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
17. 设0x >，试证x x e x
+<-1)1(2. 证明：设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，
0)(,0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。
在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减， 在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时，x x e x
+<-1)1(2 。
高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
???
??????<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)
(C) (-∞,0) (0,
+∞)
(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)
19.
设0)11
(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）
（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 20.
设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ）
（A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<'
(B) )1()0()1()0(f f f f '<-<' (C) )0()1()0()1(f f f f -<'<'
（D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
22
4dx x x
x M ?-
+=
ππ
?-
+=
2
24
3
)cos (sin
ππdx x x N ?-
-=
2
2
432
)cos sin (π
πdx
x x x
P 则（ ）
（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1. 设=->)1arctan (12
x x d x （ ）
2. 设?+=,sin )(c x dx x f 则
?=
dx x f n )()
(（ ）
3. 直线方程
p z n y m x +-==--65
24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，
那么m n p ,,的值各为（ ）
4.
=
??
? ??=+∞
→∑2
1
2
lim
n i n
i x e
n
i
（ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1. 计算
??? ??-→2201s i n 1
l i m x x x 2. 设
???
??≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图
所示，给出
)(x f
)(x f y =的拐点。
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 1. 求不定积分
?-+x dx
x x 2)
12(
2. 计算定积分?e
e
dx
x 1ln
3. 已知直线
43
5221:
3
121:
21-=-=--==z y x l z y x l ,求
l 1且平行于直线
l 2的平面方程。
4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π
581，确定
抛物线方程中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。
五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
1. 设)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在
ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。
2.
?≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()(
（1） 求)(x f 的最大值点；
（2） 证明：
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
一、单项选择题 B D B C .
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ?=dx x f n )()
(?++=+c
n x dx n x )2sin()2cos(π
π. 7.
0,6,2≠-==n p m .
8. )1(21
-e .
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限 22011lim()
sin x x x →-.
解：222222
0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设
???
??≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '.
解： 当
x x x x f x 1
sin 1cos
2)(,0+='>；当1)(,0=' 2001cos 00'(0)lim 0'(0)lim 1 x x x x x x f f x x +-?→+?→-?-?-?=====?? 故f (x )在x =0处不可导。 ()????? <>+='0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数 ()f x '的图形如图.给出()f x 的极大值点、极小值点以及曲线()y f x =的拐 解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 12. (9分)求不定积分 2 2(2)(1)x dx x x --?. 解：原式=2413()(1)1dx x x x -++--? = 1 4ln 3ln 11x x c x - --+- 13. (9分)计算定积分 1ln e e x dx ? . 解：原式=()1 11 ln ln e e x dx xdx -+?? ()[]111ln ln e e x x x x x x =--+-???? 2 2e =- 14. (9分)已知直线11: 123x y z l -==， 2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直线l 2的平面方程. 解：12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =?=?=- 取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0 x y z -++-= 15. (9分)过原点的抛物线2 ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π 581 . 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. 解： 1 1 5 22200 ()5x V a x dx a ππ==?2 5a π= 由已知得 5815 2 π π= a 故 a = 9 抛物线为：2 9x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积： 1 20 29V x x dx π=??1 40 9184 2x π π== 五 综合题（每小题4分，共8分） 16. (4分)设)()1()(2 x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。 证明：由)(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0 在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点)21(,00< 在[1，x 0]上对)(x F '用罗尔定理，至少有点)21(0<< 17. (4分). 解：（1）1x =为()f x 的最大值点。 22()()sin n f x x x x '=-，当01x <<，22()()sin 0n f x x x x '=->；当1x >，22()()sin 0n f x x x x '=-≤。(1)f 为极大值，也为最大值。 （2） 220 ()()sin (1) x n f x t t tdt f =-≤? 1 1 22220 1 (1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-= ++?? 高等数学上B （07）解答 一、 填空题：（共24分，每小题4分） 1．2sin[sin()]y x =，则dy dx =22 2cos[sin()]cos x x x 。 2． 已知2 1a dx x π+∞-∞=+?，a =__1______。 3． 1ln e e x dx =?2 2e -。 4． x y e =过原点的切线方程为y ex =。 5．已知()x f x e =，则'(ln ) f x dx x ?=x c +。 6．a =32- ，b =92 时，点(1,3)是曲线32 y ax bx =+的拐点。 二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求cos (sin )x y x =的导数。 解：cos lnsin cos lnsin ()(sin lnsin cot cos )x x x x y e e x x x x ''==-+ 2．求sin ln xdx ?。 解：sin ln sin ln cos ln xdx x x xdx =-? ? sin ln cos ln sin ln x x x x xdx =--? 1 (sin ln cos ln )2x x x x C = -+ 3 ．求。 解： 212=+ 5ln |x C =+ 4．设 , 0()1,0x k e x f x x x ?≥?=?+ 00(0)lim lim k k x x x f x x --→-→- '== 01 (0)l i m 1 x x e f x +→+-'== 1k = 5 ．求极限 n →∞ 。 解： 1lim n n n k →∞ →∞ == 1lim n n k →∞ == 1=?= 1 0ln(|ln(1x =+=+ 6．求过点(2,2,0)且与两直线21010x y z x y z +-+=??-+-=?和200x y z x y z -+=??-+=?平行的平面 方程。 解：两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s =-?-=--2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)s =-?-=--，平面的法向量 (1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)n =--?--=--。 平面方程为0x y z -+=。 三、解答下列各题：（共28分，每小题7分） 1．设cos sin x R t y R t =??=?，求22 d y dx 。 解：cot dy t dx =- 22 311 (cot )sin sin t d y t dx R t R t '=-=-- 2．求0()(1)x F x t t dt =-?在[1,2]-上的最大值和最小值。 解：()(1)0,0,1F x x x x x '=-=== 1 012001 (0)0,(1)(1), 6 52 (1)(1),(2)(1)63F F t t dt F t t dt F t t dt -==-=--=-=-=-= ??? 最大值为23，最小值为5 6- 。 3．设()y y x =由方程22 (1)ln(2)0x y x y +-+=确定，求'(0)y 。 解：方程22 (1)ln(2)0x y x y +-+=两边同时对x 求导 2222(1)20 2x y y xyy x y ' +'++-=+ 将 1 0,2x y == 代入上式 5 '(0) 8y = 4．求由2y x =与2 y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。 解： 1 40 ()V y y dy π=-? 310π = 四、证明题：(共12分，每小题6分) 1．证明过双曲线1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角 形的面积为常数。 证明：双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为 21 ()Y y X x x -=- - 切线与x 轴、y 轴的交点为1 (0,),(2,0) y x x + 故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1 ()2 s x y x =+= 2．设函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明：至少存在一点ξ使得 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξ ξξ=?? 证明：令 ()()()b x x a F x g x dx f x dx =?? ()()0F a F b ==，由Rolle 定理，存在一点[,]a b ξ∈，使()0F ξ'=，即 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξ ξξ=?? 高等数学上解答（07） 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．|sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是 A 。 （A ）奇函数； （B ）周期函数；（C ）有界函数； （D ）单调函数 2．当0x →时，2 ()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。 （A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2 x 3．直线2020x y z x y z -+=?? +-=?与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。 （A ）直线在平面内；（B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。 4．设有三非零向量,,a b c 。若0, 0a b a c ?=?= ，则b c ?= A 。 （A ）0； （ B ）-1； （ C ）1； （ D ）3 二、 填空题（每小题4分，共16分） 1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(,1)e 。 2． 20tan lim (1)x x x x x e →-=-13。 3．方程 2 610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。 4．曲线 2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π 。 三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．已知2sin ()lim () t t t x f x t →+∞-=，求()f x '。 解：22sin sin ()lim()t x t t x f x e t -→+∞-== 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 大学高等数学公式 考前必备 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( ·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式： 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.doczj.com/doc/cd15157414.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 高等数学公式 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 三角函数 1. 与（0°≤ ＜ 360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）： 终边在 x 轴上的角的集合： 终边在 y 轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 终边在 y = x 轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系： 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系： 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝°≈ 57.30 ° =57 ° 18 ˊ． 1 °＝≈ 0.01745 （ rad ） 3 、弧长公式：. 扇形面积公式： 4 、三角函数： 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异 于原点的）一点 P （ x,y ） P 与原点的距离为 r ，则 ； ； ； ； ； . . 5 、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 6 、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sin x cos x tan x cot x sec x csc x r o x y a 的终边 P （x,y )正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 8 、同角三角函数的基本关系式： 9 、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 (3) 若 o 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 小学到大学所有数学公式.txt真正的好朋友并不是在一起有说不完的话题，而是在一起就算不说话也不会觉得尴尬。你在看别人的同时，你也是别人眼中的风景。要走好明天的路，必须记住昨天走过的路，思索今天正在走着的路。1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ 大学数学公式 常用导数公式： 常用积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C 三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u 生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。 -----无名 常用数学公式大全 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b:宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8圆形 S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 高 等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 倒数关系：sinx·cscx=1 tanx·cotx=1 cosx·secx=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-s in^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 积化和差： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 高等数学公式 ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tan β) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tan β) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cos α·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-s inα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cos α·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-s inα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) 大学高数公式大全 对的性对及推对数 用^表示乘方～用log(a)(b)表示以a对底～b的对数 *表示乘～号/表示除号 定对式, 若a^n=b(a>0且a?1) 对n=log(a)(b) 基本性对, 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 推对 1.对就不用推了～直接由定对式可得个吧(把定对式中的[n=log(a)(b)]对入 a^n=b) 2. MN=M*N 由基本性对1(对掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)] 由指的性对数 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因对指函是对对函～所以数数数 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3.与2对似对理 MN=M/N 由基本性对1(对掉M和N) a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)] 由指的性对数 a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因对指函是对对函～所以数数数 log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4.与2对似对理 M^n=M^n 由基本性对1(对掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指的性对数 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因对指函是对对函～所以数数数log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 其他性对, 性对一,对底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 推对如下 N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 对合式可得两 N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因对N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {对步不明白或有疑对看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 性对二,;不知道什对名字, log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推对如下 精心整理 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数：两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='=' 22 1 11 )(arccos 11 )(arcsin x x x x -- ='-= '? ?+±+=±+=C a x x a x dx C shx chxdx )ln(222 2C a x arctg a x a dx ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=++-=++=+=+-=?????1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππ βαβααβαctg tg ±±±±((cos(sin( ·半角公式： ·正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 30 21),,(z y x F M z y x =?? ? ??=曲面在点空间曲线方向 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：高等数学常用公式大全
大学高数公式(考前必备)
高等数学公式总结(绝对完整版).
[实用参考]大学数学公式总结大全
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