人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）
第四章圆与方程
4.1 圆的方程
教案A
第1课时
教学内容：4.1.1 圆的标准方程
教学目标
一、知识与技能
1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；
2.会用待定系数法求圆的标准方程.
二、过程与方法
进一步发展能用解析法研究几何问题的能力，体现数形结合思想，
三、情感、态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
教学重点、难点
教学重点：圆的标准方程.
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
教学关键：根据圆的定义与两点间距离公式推导出圆的标准方程，把握圆的标准方程的结构特点及方程中参数的几何意义.
教学突破方法：求圆的标准方程最关键的是圆心及半径，要根据题目所给的具体条件，采用适当的方法求出圆心和半径，同时特别注意圆的几何性质在求解过程中的应用.教法与学法导航
教学方法：启发诱导法，讲练结合法.教学过程中，教师要引导学生把握圆的标准方程的结构特征，并能从圆的标准方程求出圆心与半径.通过适当的练习，使学生熟练掌握由待定系数法求圆的标准方程.
学习方法：自主讨论与练习穿插进行.
教学准备
教师准备：多媒体课件.
学生准备：圆的定义及性质.
教学过程
详见下页表格.
1
教师备课系统──多媒体教案
2 教学
环节
教学内容师生互动
设计
意图
复习
引入
在直角坐标系中，确定直线的基
本要素是什么？圆作为平面几何中
的基本图形，确定它的要素又是什么
呢？什么叫圆？在平面直角坐标系
中，任何一条直线都可用一个二元一
次方程来表示，那么圆是否也可用一
个方程来表示呢？如果能，这个方程
具有什么特征？
由学生回答，然后
引入课题.
设置
情境
引入
课题.
概念
形成
确定圆的基本条件为圆心和半
径，设圆的圆心坐标为A（a，b），
半径为r （其中a、b、r都是常数，
r＞0）．设M（x，y）为这个圆上任
意一点，那么点M满足的条件是（引
导学生自己列出）P = {M|MA| = r}，
由两点间的距离公式让学生写出点
的坐标适合的条件
22
()()
x a y b r
-+-=，①
化简可得：222
––
x a y b r
+=
（）（）．②
引导学生自己证明（x
–a）2 + （y–b）2 = r2为
圆的方程，得出结论.
方程②就是圆心为A
（a，b）半径为r的圆的
方程，我们把它叫做圆的
标准方程.
通过学
生自己
证明培
养学生
的探究
能力.
6–
–
4–
–
2–
–
–
–2 –
–
–4–
–
–
–55
A
M
O x
y
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3
续上表
应用
举例
例1 写出圆心为A （2，–3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1（5，–7），2(5,1)M --是否在这
个圆上. 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手. 探究：点M （x 0，y 0）与圆(x – a )2 + (y – b )2 = r 2的关系的判断方法： （1）(x 0 – a )2 + (y 0 – b )2＞r 2，点在圆外. （2）(x 0 – a )2 + (y 0 – b )2 = r 2，点在圆上. （3）(x 0 – a )2 + (y 0 – b )2 ＜r 2，点在圆内. 引导学生分析探究:
从计算点到圆心的距离入
手.
例1 【解析】圆心
是A （2，–3），半径长等
于5的圆的标准方程是 (x -2)2 + (y + 3)2 =25.
把M 1 （5，–7），M 2 （5-，–1） 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M 1的坐标适合圆的方程，所以点M 1在这个圆上；把M 2 （5-，–1）的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)2 =25，
左右两边不相等，点M 2
的坐标不适合圆的方程，所以M 2不在这个圆上. 通过实
例引导学生掌握求圆的标准
方程的两种方法. 例2 △ABC 的三个顶点的坐标是A （5，1），B （7，–3），C （2，– 8），求它的外接圆的方程. 【解析】设所求圆的方程是 (x – a )2 + (y – b )2 = r 2. ① 因为A （5，1），B （7，–3），C （2，– 8） 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是
222222
222(5)(1)(7)(3)(2)(8).a b r a b r a b r -+-=-+--=-+--=?????
，，
解此方程组，得22325.a b r ==-=??
???
，，
所以，△ABC 的外接圆的方程是
师生共同分析：从圆的标准方程(x – a )2 + (y – b )2 = r 2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数，（学生自己运算解决）.
教师备课系统──多媒体教案
4 (x– 2)2 + (y +3)2 =25.
续上表
应用举例
例3已知圆心为C的圆C经过
点A（1，1）和B（2，–2），且圆心
在l : x –y + 1 = 0上，求圆心为C的
圆的标准方程.
比较例2、例3可得出△ABC外
接圆的标准方程的两种求法：
①根据题设条件，列出关于a、b、
r的方程组，解方程组得到a、b、r
的值，写出圆根据确定圆的要素，以
及题设条件，分别求出圆心坐标和半
径大小，然后再写出圆的标准方程.
师生共同分析：如图
确定一个图只需确定圆心
位置与半径大小.圆心为
C的圆经过点A（1，1）
和B（2，–2），由于C与
A、B两点的距离相等，所
以C在线段AB的垂直平
分线l′上，又C在直线l
上，因此C是直线l与直
线l′的交点，半径长等于
|CA|或|CB|.（教师板书解
题过程）
例3 【解析】因为A （1，
1），B （2，– 2），所以线
段AB的中点D的坐标为
（
3
2
，
1
2
-），直线AB的
斜率k AB =
21
21
--
-
= –3，
因为线段AB的垂直
平分线l′的方程是
y +113
()
232
x
=-，
即x –3y–3 = 0.
圆心C的坐标是方程
组
330
10
x y
x y
--=
-+=
?
?
?
，
，
的解.
解此方程组，得
3
2.
x
y
=-
=-
?
?
?
，
，所以圆心C的
坐标是（–3，–2）．
圆心为C的圆的半径
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5
r =|AC |=22
(13)(12)+++= 5. 所以，圆心为C 的圆的标准方程是 (x + 3)2 + (y +2)2 =25.
续上表
归纳总结 1．圆的标准方程.
2．点与圆的位置关系的判断方法. 3．根据已知条件求圆的标准方程的
方法.
教师启发，学生自己比较、归纳.
形成知识体 系.
课堂作业
1. 写出下列方程表示的圆的圆心和半径
（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y –1)2 = a 2 (a≠0).
【解析】（1）圆心为（0，–3），半径为2 ；
（2）圆心为（–2，1），半径为|a |.
2. 圆心在直线x –2y –3 = 0上，且过A （2，–3），B （–2，–5），求圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为(x -a )2 + (y –b )2 = r 2，
由条件知 2222
230(2)(3)(2)(5)a b a b a b --=???-++=+++??，
．
解方程组得a = –1，b = –2.
即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10. 3. 已知三点A （3，2），B （5，–3），C （–1，3），以P （2，–1）为圆心作一个圆，使A 、B 、C 三点中一 点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
【解析】要使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|P A |、|PB |、|PC |的中间值.因为|P A |＜|PB |＜|PC |，所以圆的半径
r =22)31()52(+-+-=13.
故所求的圆的方程为(x –2)2 + (y + 1)2 = 13.
第2课时
教学内容：4.1.2 圆的一般方程 教学目标
一、知识与技能
1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一
教师备课系统──多媒体教案
6
般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0表示圆的条件；
2. 能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程.
二、过程与方法
经历对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0表示圆的条件的探究，提高发现及分析解决问题的实际能力.
三、情感、态度与价值观
感受几何和代数的完美结合，提高学习兴趣. 教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F ．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞
教学关键：引导学生掌握利用待定系数法求确定方程中的系数D 、E 、F ，特别注意应用圆的几何性质确定.
教学突破方法：使学生在理解圆的一般方程与标准方程的基础上，掌握求圆的一般方程的基本方法，强调圆的几何性质的应用. 教法与学法导航
教学方法：问题教学法，讨论法，练习法.通过提出问题，学生思考并体会确定圆的一般方程中系数的方法.
学习方法：自主探究与练习相结合. 教学准备
教师准备：多媒体、实物投影仪王新敞
学生准备：圆的标准方程的相关知识. 教学过程
教学 环节
教学内容 师生互动
设计 意图
复习
引入
问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程. 师生讨论：利用圆的标准方程显然有些麻烦，用直线的
知识解决又有其简单的局限性，那么
有没有其他的解决
方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程. 设置 情境 引入 课题.
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7
续上表
概念 形成 1. 圆的一般方程的由来 圆的标准方程：（x
－a ）2＋（y －b ）2=r 2
，圆心（a ，b ），半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0
反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方，得
222
2
4()()2
2
4
D E D E F
x y +-+
++
=
，
取22222D a E b F a b r =-=-=+-，，， 得2
2
0x y Dx Ey F ++++=， ① 这个方程是圆的一般方程．
（1）当0422>-+F E D 时，方程①表
示以（-2
D ，-2
E ）为圆心，F
E D 4212
2-+为半径的圆；
（2）当0422=-+F E D 时，方程只有
实数解2D x -=，2E
y -=，即只表示一个点
（-2
D ，-2
E ）;
（3）当0422<-+F E D 时，方程没有
实数解，因而它不表示任何图形.
综上所述，方程
02
2=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．只有当2
2
40D E F +->时，它表示的曲线才是圆，我们把形如
022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称
教师可让同学自己完成从标准方程到一般方程的展开.
（配方过程由学生去完成）这个方程是不是表示圆？ 师：圆的一般方程有什么特点：
（启发学生归纳）
（1）①x 2和y 2的系
数相同，不等于0．
②没有xy 这样的二次项．
（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． （3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较
通过学生自己
推导出圆的一
般方
程，并
观察归
纳出圆的一般
方程的特点.
教师备课系统──多媒体教案
8 为圆的一般方程.明显.
续上表
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9
应用 举例
例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半
径.()()2222
14441290244412110.
x y x y x y x y +-++=+-++=；
例2 求过三点A （0，0），B （1，1），
C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径
长和圆心坐标. 例2 【解析】设所求的圆的方程为： 220x y Dx Ey F ++++=，
(0,0),(11A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的
坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即02042200F D E F D E F =+++=+++=?????，，，
解此方程组，可得0,6,8==-=F E D . ∴所求圆的方程为06822=+-+y x y x .
224, 3.
221452D F r D E F -=-=-=+-=；得圆心坐标为（4，-3）. 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆
的标准方程，25)3()4(22=++-y x ，从而
求出圆的半径5=r ，圆心坐标为（4，-3）．
学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.
②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于
()2214441290x y x y +-++=来说，这里的先把二次项系数化为1.得D =-1，E =3，
F =
4
9
. 例2 师生讨论待定系数法方程的选择
【分析】据已知条件，很难直接写出圆的标准方
程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.
续上表
教师备课系统──多媒体教案
10
例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），
端点A在圆上()22
14
x y
++=运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设点M的坐标是（x，y），点A的坐
标是（x0，y0），由于点B的坐标是（4，3），
且中点M的坐标为
2
4
+
=
x
x，y
2
3
+
=
y
，即
x0=2x+4，y0=2y-3.①
因为点A在圆()22
14
x y
++=上运动，所以点
A的坐标满足方程()22
14
x y
++=，即
()22
00
14
x y
++=，②
把①代入②，得()()
22
241234,
x y
-++-=
22
3
1.
2
y
????
+-=
? ?
????
3
整理，得x-
2
所以，点M的轨迹是以
33
22
??
?
??
，为圆心，1为
半径的圆
学生讨论交流，归
纳得出使用待定
系数法的一般步
骤：
（1）根据题意，
选择标准方程或
一般方程；
（2）根据条件列
出关于a、b、r
或D、E、F的方
程组；
（3）解出a、b、
r或D、E、F，代
入标准方程或一
般方程.
例3师生讨论分
析：如图点A运动
引起点M运动，而
点A在已知圆上
运动，点A的坐标
满足方程
()22
14
x y
++=.
建立点M与点A
坐标之间的关系，
就可以建立点M
的坐标满足的条
件，求出点M的轨
迹方程.
续上表
A
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11
归纳
总结
1．对方程022=++++F Ey Dx y x 的讨论
（什么时候可以表示圆）. 2．与标准方程的互化.
3．用待定系数法求圆的方程. 4．求与圆有关的点的轨迹.
师生互动归纳总结.
形成知识体系.
课堂作业
1. 若圆x 2+y 2-2kx -4=0关于直线2x -y +3=0对称，则k =（ ） A .
2
3
B . 2
3
-
C . 3
D . -3
2. 圆x 2+y 2-2x +6y +8=0的面积为（ ） A . 8π B . 4π C . 2π D . π
3. 方程x 2+y 2+2ax +2by +a 2+b 2=0表示的图形为（ ）．
A . 以点（a ，b ）为圆心的圆
B . 以（a ，-b ）为圆心的圆
C . 以点（-a ，b ）为圆心的圆
D . 以（-a ，-b ）为圆心的圆
4. 当点P 在圆x 2+y 2=1上运动时，它与定点Q （3，0）的连线PQ 的中点的轨迹方程为 .
5. 圆2x 2+2y 2+3x +4y -6=0的圆心坐标为 ，半径为 .
6. 已知圆C 过三点O （0，0）、A （1，0）、B （0，-1），求圆C 的方程. 参考答案：1. B 2. C 3. D 4. 12322
=+??? ?
?-y x 5. ??? ??--1,43，
4
73
6. x 2+y 2-x +y =0
教案 B
第1课时
教学内容：4.1.1 圆的标准方程 教学目标
1．掌握圆的标准方程的形式特点.
2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程. 3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径. 教学重点、难点
教学重点：圆的标准方程.
教学难点：根据条件建立圆的标准方程. 教学过程
教师备课系统──多媒体教案
12
一、设置情境
在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义. 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径. 二、新课教学
按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程. （一）圆的标准方程： （x -a ）2＋（y -b ）2＝r 2， 其中圆心坐标为（a ，b ），半径为r .
方程推导：如右图，设M （x ，y ）是圆上任意一点，根据定义，点M 到圆心C 的距离等于r ，所以圆C 就是集合}.|| {r MC M P ==由两点间的距离公式，点M 适
合的条件可表示为22
()()x a y b r -+-=，
①
把①式两边平方，得（x -a ）2＋（y -b ）2＝r 2， 当圆心在原点，这时圆的方程是：x 2+y 2＝r 2.
小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程. 课堂练习：
1.写出下列各圆的方程 ⑴圆心在原点，半径是3； ⑵圆心在点C （3，4），半径是5； ⑶圆心在点C （8，-3），经过点P （5，1）.
2.说出下列圆的圆心、半径 （1）（x -2）2+（y +3）2＝25； （2）（x +2）2+（y -1）2＝36； （3）x 2+y 2＝4.
3.判断下列各点与圆（x ＋1）2+（y -1）2＝4的位置关系： ①A （1，1）；②B （0，1）；③C （3，1）.
小结：点P （x 0，y 0）与（x -a ）2+（y -b ）2＝r 2的位置关系是 （x 0-a ）2+（y 0-b ）2＝r 2等价于点P 在圆上； （x 0-a ）2+（y 0-b ）2＞r 2等价于点P 在圆外； （x 0-a ）2+（y 0-b ）2＜r 2等价于点P 在圆内. （二）例题讲解
例1 求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x －4y －7=0相切的圆的方程. 回忆初中直线与圆的位置关系：
①设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则d ＞r 等价于直线与圆相离；d ＝r 等价于直线与圆相切；d ＜r 等价于直线与圆相交.
②从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交.
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13
③从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y （或x ）后得到一个一元二
次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0等价于直线与圆相交；Δ＝0等价于直线与圆相切；Δ＜0等价于直线与圆相离.
【解析】因为圆C 和直线3x －4y －7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.
根据点到直线的距离公式，得2
2
31437165
3(4)
r ?-?-=
=
+-，
因此，所求的圆的方程是22
256
(1)(3).25
x y -+-=
说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识.
例2 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M （x 0， y 0）的切线的方程. 【解析】如图，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，因为圆的切线
垂直于过切点的半径，于是1
1
k k -
=， 0
0001,y x k x y k -=∴=
. 经过点M 的切线方程是：0
000
()x y y x x y -=-
-， 整理得：22
0000.x x y y x y +=+
因为点M （x 0，，y 0）在圆上，所以22200
x y r +=， 所求切线方程为：200.x x y y r +=
当点M 在坐标轴上时，上述方程同样适用. 猜测：已知圆的方程是（x －a ）2+（y －b ）2=r 2
，则经过圆上一点M （x 0， y 0）的切线的方程是（x －a ） （x 0－a ）+（y －b ） （y 0－b ）=r 2.
说明：例2结论要求学生熟记，一题多解. 例3 右图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB =20m ，拱高OP =4m ，在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长度（精确到0.01m ）.
【解析】建立直角坐标系如右图所示. 圆心在y 轴上，设圆心的坐标是（0，b ），圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+（y
M (x 0, y 0
)
教师备课系统──多媒体教案
14
－b ）2=r 2.
因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.
222222
0(4)10(0)b r b r ?+-=??+-=??，
，
解得b =－10.5， r 2=14.52. 所以这个圆的方程是：x 2+（y +10.5）2=14.52. 把点P 的横坐标x =－2代入圆方程得
2
2
14.5(2)10.5 3.86(m).y =---=
答：支柱A 2P 2的长度约为m 86.3.
说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路. （三）课堂练习
1. 圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的最小距离是__________.
2. 直线3x －4y +17=0被（x －2）2＋（y －2）2＝25所截得的弦长是_____________. 三、归纳总结 基本知识
1.圆的标准方程的结构特点.
2.点与圆的位置关系的判断方法.
3. 求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②代入法. 思想方法：数形结合，解析法，图形法. 四、布置作业
P120-121练习：1，2，3，4.
第2课时
教学内容：4.1.2 圆的一般方程 教学目标
1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化； 2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件； 3．进一步熟悉并掌握待定系数法. 教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程应用. 教学难点：待定系数法. 教学过程
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一、设置情境
1. 求下列各圆的标准方程
（1）圆心在直线y ＝-x 上，且过两点（2，0），（0，-4）；
（2）圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y -1＝0相切于点（2，-1）； （3）圆心在直线5x -3y ＝8上，且与坐标轴相切. 答案：（1）（x -3）2＋（y ＋3）2＝10；（2）（x -1）2＋（y ＋2）2＝2；（3）（x -4）2＋（y -4）2＝16．
2. 已知圆x 2＋y 2＝25，求：
（1）过点A （4，－3）的切线方程；（2）过点B （－5，2）的切线方程. 答案（1）4x －3y －25＝0（2）21x －20y ＋145＝0或x ＝－5． 3. 圆的标准方程及其应用回顾：
（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2其中圆心坐标为（a ，b ），半径为r . 变形圆的标准方程 x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0， 由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0， ①
反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆. 将①的左边配方，整理得
222
2
4()()2
2
4
D E D E F
x y +-+
++
=
， ②
（１）当D 2+E 2－4F ＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以
（－D /2，－E/2）为圆心，半径为
F E D 42
1
22-+的圆. （２）当D 2+E 2－4F ＝0时，方程①只有实数解x ＝－D/2，y ＝－E/2，所以表示一
个点（－D /2，－E /2）.
（３）当D 2+E 2－4F ＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形. 二、解决问题
1. 圆的一般方程：
x 2 + y 2 + D x + Ey + F = 0（D 2+E 2－4F ＞0），其中圆心（―D /2，―E /2），半径为F E D 42
1
22-+. 2. 二元二次方程表示圆的充要条件： 由二元二次方程的一般形式： Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0
和圆的一般方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的系数比较， （1）x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A =C ≠0； （2）没有xy 项，即B=0； （3）D 2+E 2－4AF ＞0. 练习：
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1. 下列方程各表示什么图形？ （1）x 2 + y 2 = 0；
（2）x 2 + y 2 －2x + 4y －6 = 0； （3）x 2 + y 2 + 2ax －b 2 = 0. 2. 求下列各圆的圆心与半径. （1）x 2 + y 2 －6y = 0； ⑵x 2 + y 2 + 2by = 0；
⑶x 2 + y 2 －4x + 6y －12= 0. 三、反思应用
例1 求过三点O （0，0）、M 1（1，1）、M 2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
【解析】设所求圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0， 用待定系数法，根据所给条件来确定D 、E 、F ，
因为O 、M 1、M 2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得
02042200F D E F D E F =+++=+++=?????，，， 解得860D E F =-==??
???
，，， 于是所求圆方程为：x 2+y 2－8x +6y =0. 化成标准方程为：（x －4）2+[y －（－3）]2=52， 所以圆半径r =5，圆心坐标为（4，－3）.
说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.
例2 已知一曲线是与两个定点O （0，0）、A （3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
【解析】在给定的坐标系里，设点M （x ，y ）是曲线上的任意一点，也就是点M 属于集合
}.2
1
|||||{==AM OM M P
由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为
2
1
)3(2
222=
+-+y x y x ， ① 将①式两边平方，得4
1
)3(2222=+-+y x y x
化简得x 2+y 2+2x －3=0， ② 化为标准形式得：（x +1）2+y 2 = 4．
所以方程②表示的曲线是以C （－1，0）为圆心，2
为半径的圆，它的图形如图所
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示.
例3 求过原点及点A （1，1）且在x 轴上截得的线段长为3的圆的方程.
【解析】设所求圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，则
=020F D E F +++=??
?，
，
又圆被x 轴上截得的线段长为3，即|D |＝3 ∴D ＝±3，当D ＝3时，E ＝－5，F ＝0；当D ＝－3时，E ＝1，F ＝0. 故所求的圆的方程为：x 2 + y 2 + 3x －5y = 0或x 2 + y 2 －3x ＋y = 0. 课堂练习：P123练习：1，2，3. 四、课堂小结
1．圆的一般方程的结构特点.
2 用配方法化一般方程为标准方程. 3．用待定系数法求圆的方程王新敞
4．求与圆有关的点的轨迹方程. 五 布置作业
P124习题4.1A 组：1，2，3，4.