课时达标训练（六）
[即时达标对点练]
题组1 椭圆的标准方程
1．已知方程 x 2
k －4＋y 2
10－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )
A ．(4，10)
B ．(7，10)
C ．(4，7)
D ．(4，＋∞)
2．已知椭圆 x 2a 2＋y 22
＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22
＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22
＝1 3．椭圆9x 2＋16y 2＝144的焦点坐标为________．
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．
题组2 与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )
A ．4x 2＋y 2＝1
B ．x 2＋y 214
＝1 C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24
＝1 6．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．
题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题
7．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆
x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin C sin B
＝________． 9．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标．
[能力提升综合练]
1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a
(a >0)，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
2．椭圆x 24
＋y 2
＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P ，则△PF 1F 2的面积等于( ) A.32 B. 3 C.72
D ．4 3．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )
A.x 212＋y 29＝1
B.x 212＋y 29＝1或 x 29＋y 2
12＝1 C.x 29＋y 212
＝1 D.x 248＋y 245＝1或 x 245＋y 2
48＝1 4．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24
＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数
为( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4 5．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为 3 的正三角形，则b 2的值是________．
6．椭圆x 225＋y 29
＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．
7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．
8．已知P 是椭圆x 24＋y 2
＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；
(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选B 由题意知?????k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，
解得7 2. 解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6， 因此椭圆方程为x 26＋y 22 ＝1，故选D. 3. 解析：椭圆的标准方程为 x 216＋y 29＝1， ∴a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，且焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 答案：(－7，0)，(7，0) 4. 解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2 ＝12， b 2＝4，a 2＝16. 又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24 ＝1. 答案：y 216＋x 24 ＝1 5. 解析：选A 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02 ，y ＝y 0. ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ① 将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1. 6. 解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示． 由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)． 由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内 高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8) 高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式 常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 人教版高中数学选修2-1 全册导学案 目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法 §1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结 高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/() 高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 高中数学选修2-1 知识点 第一章：命题与逻辑结构 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?p ，则?q ”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若?q ，则?p ”。 6、四种命题的真假性： 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 四种命题的真假性之间的关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关 系．7、若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p?q，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ． 当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作?p ． 若p 是真命题，则?p 必是假命题；若p 是假命题，则?p 必是真命题． 数学选修2-2知识点总结 导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000()()lim x f x x f x x ?→+?-? 例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位： s)存在函数关系 2() 4.9 6.510h t t t =-++ 运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少？ 解：根据定义 0(2)(2)(2)lim 13.1x h x h v h x ?→+?-'===-? 即该运动员在t=2s 是13.1m/s,符号说明方向向下 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 0000 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. () y f x =的导函数有时也记作y ',即 0()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 1.函数()y f x c ==的导数 2.函数()y f x x ==的导数 3.函数2()y f x x ==的导数 （湘教版）高中数学选修2-2（全册）同步练习汇总 第4章导数及其应用 4．1导数概念 4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度 一、基础达标 1．设物体的运动方程s＝f(t), 在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d () A．d>0 B．d<0 C．d＝0 D．d≠0 答案 D 2．一物体运动的方程是s＝2t2, 则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量爲 () A．8 B．8＋2d C．8d＋2d2D．4d＋2d2 答案 C 解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2. 3．一物体的运动方程爲s＝3＋t2, 则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度爲 () A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1 答案 D 解析v＝3＋2.12－3－22 0.1＝4.1. 4．一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程爲 s＝1 8t 2, 则t＝2时, 此木块水平方向的瞬时速度爲 () A．2 B．1 C.1 2 D. 1 4 答案 C 解析Δs Δt＝ 1 8(2＋Δt) 2－ 1 8×2 2 Δt＝ 1 2＋ 1 8Δt→ 1 2(Δt→0)． 5．质点运动规律s＝2t2＋1, 则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率爲________． 答案4＋2d 解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－1 1＋d－1 ＝4＋2d. 6．已知某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s＝－t2＋1. (1)t＝2到t＝2.1； (2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001. 则三个时间段内的平均速度分别爲________, ________, ________, 估计该物体在t ＝2时的瞬时速度爲________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s 7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数爲: s (t )＝－3t 3＋t 2＋20, 求: (1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度 v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201 ＝－2(m/s)． (2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度爲: v 2＝s (2)－s (1) 2－1 ＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1 ＝－18(m/s)． (3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度爲: v 3＝s (1＋d )－s (1)d ＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d ＝－7d －8d 2－3d 3 d ＝－7－8d －3d 2 →－7(m/s)(d →0) 即t ＝1 s 时的瞬时速度爲－7 m/s. 二、能力提升 8．质点M 的运动方程爲s ＝2t 2－2, 则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度爲 1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 [学习目标] 1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． [知识链接] 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V 4π， (1)当V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r 1 －r 0 1－0 ≈0.62(dm/L)． (2)当V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r 2 －r 1 2－1 ≈0.16(dm/L)． 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． [预习导引] 1．函数的变化率 0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . 要点一 求平均变化率 例1 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10. (1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9 (Δx )2－3.3Δx ，∴ Δy Δx ＝－4.9Δx －3.3. 高中数学选修 2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 |' x x y =，即)(0' x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c = 'y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = (4)x y e = 'x y e = (5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = (6)ln y x = 1'y x = (7)sin y x = 'cos y x = (8)cos y x = 'sin y x =- 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算 []' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算 []' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 特别地：()()''Cf x Cf x =???? 商的导数运算 [] ' ''2 ()()()()() (()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? 特别地：()()2 1'()'g x g x g x ??-=???? 复合函数的导数 x u x y y u '''=? 微积分基本定理 ()b a f x dx =?F(a)--F(b) （其中()()'F x f x =） 和差的积分运算 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ?? 特别地： ()()() b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 积分的区间可加性 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； n 高中数学选修 2-3 知识点 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m ×n 种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。 n 元集合 A={a 1，a 2?，a n }的不同子集有 2n 个。 1.2 排列与组合 1. 2.1 排列 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement)。 从 n 个不同元素中取出 m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号A m 表示。 排列数公式： n 个元素的全排列数 规定：0!=1 1.2.2 组合 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(combination)。 从 n 个不同元素中取出 m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号C m 或( n )表示。 n m 组合数公式： ∵ A m = C m ? A m n n m A m = n n! (n ? m )! = n (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? m + 1) A n = n! n 高中数学选修1-1知识点总结 第一章 简单逻辑用语 ● 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句． ● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ● 原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” ● 四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ● 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若 p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如： 若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件； 若A =B ，则A 是B 的充要条件； ● 逻辑联结词：⑴且：命题形式 p q ∧； ⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ?． ● ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示． 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?． ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?． 第二章 圆锥曲线 ● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． ● 椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< ● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲 线．即：|)|2(,2|||||| 2121F F a a MF MF <=-． 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距 高中数学选修2－1知识点总结及其应用 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若 q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p ，则q ” ，则它的否命题为“若q ?，则p ?”。 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若 p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是 假命题． 用联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立” ，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立” ，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题 p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?。全称命题的否定是特称命题。 2017-2018学年高中数学人教B版选修1-2全册同步学案 目录 1.1.1命题 1.1.21.1.2 量词 1.2.1“且”与“或” 1.2.2“非”（否定） 1.3.1 推出与充分条件、必要条件 1.3.2 命题的四种形式 1疑难规律方法：第一章常用逻辑用语 1章末复习课 2.1.1 曲线与方程的概念 2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 2.2.1 椭圆的标准方程（一） 2.2.1 椭圆的标准方程（二） 2.2.2椭圆的几何性质（一） 2.2.2椭圆的几何性质（二） 2.3.1 双曲线的标准方程 2.3.2 双曲线的几何性质 2.4.1 抛物线的标准方程 2.4.2 抛物线的几何性质 2.5直线与圆锥曲线 2疑难规律方法：第二章圆锥曲线与方程 2章末复习课 3.1.1 空间向量的线性运算 3.1.2 空间向量的基本定理 3.1.3 两个向量的数量积 3.1.4空间向量的直角坐标运算 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 3.2.3 直线与平面的夹角--3.2.4 二面角及其度量3.2.5距离（选学） 3疑难规律方法：第三章空间向量与立体几何3章末复习课 1.1 命题与量词 1．1.1 命 题 学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式． 知识点一 命题的概念 思考1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？ 思考2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题． ①三角形外角和为360°； ②连接A 、B 两点； ③计算3－2的值； ④过点A 作直线l 的垂线； ⑤在三角形中，大边对的角一定也大吗？ 梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以____________的__________叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以______________”和“__________”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类 命题? ???? 真命题：判断为 的语句，假命题：判断为 的语句. 知识点二 命题的结构 思考1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？ 思考2 完成下列题目： (1)命题“等角的补角相等”：题设是________，结论是________． (2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果________，那么________”． 梳理 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的________，q 叫做命题的________． （湘教版）高中数学选修2-2（全册）课堂练习汇总 第4章导数及其应用 4．1导数概念 4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度 1．一质点的运动方程是s＝4－2 t2, 则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度爲 () A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案 D 解析v(1, d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12 d＝－ 4d＋2d2 d＝－2d－4. 2．已知物体位移s与时间t的函数关系爲s＝f(t)．下列叙述正确的是 () A．在时间段[t0, t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度 B．在t1＝1.1, t2＝1.01, t3＝1.001, t4＝1.000 1, 这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等 C．在时间段[t0－d, t0]与[t0, t0＋d](d>0)内当d趋于0时, 两时间段的平均速度相等 D．以上三种说法都不正确 答案 C 解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度． 3．已知s＝1 2gt 2, 从3秒到3.1秒的平均速度v＝________. 答案 3.05g 解析v＝1 2g·3.1 2－ 1 2g·3 2 3.1－3 ＝3.05g. 4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2, 则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________． 答案8＋2d 解析v(2, d)＝s(2＋d)－s(2) d＝8＋2d. 1．平均速度与瞬时速度的区别与联系 平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值, 即用时间除位移得到, 而瞬时速度是物体在某一时间点的速度, 当时间段越来越小的过程中, 平均速度就越来越接近一个数值, 这个数值就是瞬时速度, 可以说, 瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”． 2．求瞬时速度的一般步骤 设物体运动方程爲s ＝f (t ), 则求物体在t 时刻瞬时速度的步骤爲: (1)从t 到t ＋d 这段时间内的平均速度爲f (t ＋d )－f (t ) d , 其中f (t ＋d )－f (t )称爲位 移的增量； (2)对上式化简, 并令d 趋于0, 得到极限数值即爲物体在t 时刻的瞬时速度. 4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线 1．一物体作匀速圆周运动, 其运动到圆周A 处时 ( ) A ．运动方向指向圆心O B ．运动方向所在直线与OA 垂直 C ．速度与在圆周其他点处相同 D ．不确定 答案 B 2．若已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy ), 则Δy d 等于 ( ) A ．1 B ．2＋d C ．4＋2d D ．4＋d 答案 C 选修2－１基础知识梳理（参阅圆锥曲线定义在解题中的应用） 一、常用逻辑用语 1．p q ??是的充分不必要条件p q ?是的______条件 p q ??是的必要不充分条件p q ?是的______条件 1,2x ≠≠且y 是3x y +≠的 条件． 1,2x ≠≠或y 是3x y +≠的 条件 2．命题01 :<-x x p ，则p ?是______________. 命题 若p 则q 的否命题是___________. 3. p q ∨何时为真？p q ∧何时为真？ 4．a b a b +=+的充要条件是__________________. 5.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布问题： 注意：区间的开闭；思考问题的顺序：从大到小 ①两个正根 ②一根大于m ，另一根小于m ③两根都大于m ④两根都在区间[],c d 内 ⑤在区间[],c d 内有根．． 6．恒成立问题 注意：在哪个范围内；图象法与分离参数法 ①21016 ax x a -+>恒成立，求参数a 的取值范围． 1ax <+对一切正实数恒成立，求参数a 的取值范围． 二、圆锥曲线 1．定义：平面内的定点1F ，2F ，一个动点Ｐ： 12121222a PF PF F F PF PF a =-≤≤+= 何时表示一个椭圆？线段？射线？直线？双曲线？双曲线的左支？ 注意：对称联想 2．焦点三角形的性质： ①记12F PF θ∠=，则12F PF V 的面积为____________；12r r =____________. ②弦AB 过右焦点2F ，则1F AB V 的周长为________；面积为________. 3.求离心率范围，构造不等式的方法： ①焦半径的范围 ②x 的范围 ③对椭圆：122r r c -≤，对双曲线：122r r c +≥ 4．方程与形式： ①定义法和待定系数法求方程；注意条件是关于形状的量还是关于位置的量，即方程是有一个还是两个，是互换吗？ ②已知方程确定其中的参数的值或其范围：先化为标准方程！明确基本量． ③已知双曲线如何求渐近线方程?已知渐近线方程如何设双曲线方程? 22 221(0)x y a b a b =>－，的离心率e ?∈?,则两条渐近线夹角的取值范围是__________. 练习一： 1．抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是（ ） 2．若曲线22 141x y k k +=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。 3．椭圆22189x y k +=+的离心率为12 ，则k 的值为______________。 4．若双曲线142 2=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 5．定点到圆锥曲线上点的距离的最值问题：二次函数 圆锥曲线上点到定直线的距离的最值问题：平行切线法或参数法（圆例外） 6．直线与圆锥曲线的位置关系 ①只有一个交点是否是相切？你能从方程与几何两个角度理解吗？ ②中点弦所在直线方程或弦中点轨迹问题 ③对称问题 ④最值问题：构造目标函数或构造不等式 ⑤定值问题：先找后证 7．简化运算的技巧： ①抛物线中联立消元时如何设直线的方程？1212,x x y y 相互确定时用点积法． 选修2-1知识点 选修2-1 第一章 常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”：p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、p 是q 的充要条件：p q ? p 是q 的充分不必要条件：q p ?，p q ≠> p 是q 的必要不充分条件：p q q p ?≠>, p 是q 的既不充分不必要条件：,q p ≠>p q ≠> 8、逻辑联结词： （1）用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。 （2）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假则假，有真则真。 （2）对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．真假性相反 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题． 第二章 圆锥曲线与方程 1、椭圆定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析
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