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高中数学第二章《数列》全章教案新人教版必修5

高中数学第二章《数列》全章教案新人教版必修5
高中数学第二章《数列》全章教案新人教版必修5

2.1数列的概念与简单表示法

(第1课时)

●教学目标

知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力.

情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点

数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… Ⅱ.讲授新课

⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.

⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,….

例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“

3

1

”是这个数列的第“3”项,等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系:

项 1 51

413121

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:n

a n 1

=

来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系

⒋ 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公

式就叫做这个数列的通项公式.

注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④;

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式可以是

2

)1(11

+-+=n n a ,也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项

公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 5.数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N *

(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数()n a f n =,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…,f(n),… 6.数列的分类:

1)根据数列项数的多少分:

有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分:

递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。

摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 观察:课本P33的六组数列,哪些是递增数列,递减数列,常数数列,摆动数列? [范例讲解]

课本P34-35例1 Ⅲ.课堂练习

课本P36[练习]3、4、5

[补充练习]:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

(1) 3, 5, 9, 17, 33,……; (2)

32, 154, 356, 638, 99

10, ……; (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……; (5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,…….

解:(1) n a =2n +1; (2) n a =)

12)(12(2+-n n n ; (3) n a =2)1(1n

-+;

(4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ……,

∴n a =n +2

)1(1n

-+;

(5) 将数列变形为1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,……, ∴ n a =(-1)

1

+n n(n +1)

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容:数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。

Ⅴ.课后作业

课本P38习题2.1A组的第1题

●板书设计

●授后记

课题: §2.1数列的概念与简单表示法

授课类型:新授课

(第2课时)

●教学目标

知识与技能:了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的

a的关系

前几项;理解数列的前n项和与

n

过程与方法:经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。

●教学重点

根据数列的递推公式写出数列的前几项

●教学难点

理解递推公式与通项公式的关系

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[复习引入]

数列及有关定义

Ⅱ.讲授新课

数列的表示方法

1、通项公式法

如果数列{}n a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列的通项公式为;

的通项公式为;

的通项公式为;

2、图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标,相应的项 为纵坐标,

即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列 为例,做出一个数列的图

象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在

轴的右侧,而点的个数

取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 3、 递推公式法

知识都来源于实践,最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题. 观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下:

第1层钢管数为4;即:1?4=1+3 第2层钢管数为5;即:2?5=2+3 第3层钢管数为6;即:3?6=3+3 第4层钢管数为7;即:4?7=4+3 第5层钢管数为8;即:5?8=5+3 第6层钢管数为9;即:6?9=6+3 第7层钢管数为10;即:7?10=7+3

若用n a 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且1(3+=n a n ≤n ≤7) 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律) 模型二:上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即41=a ;114512+=+==a a ;115623+=+==a a 依此类推:11+=-n n a a (2≤n ≤7)

对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要。 定义:

递推公式:如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项),且任一项n a 与它的前一项1-n a (或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为:)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n

数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:列表法,图

象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 表示第一项,用

表示第一

项,……,用

表示第

项,依次写出成为

4、列表法

.简记为

[范例讲解]

例3 设数列{}n a 满足1111

1(1).n

n a a n a -=?

?

?=+>??

写出这个数列的前五项。 解:分析:题中已给出{}n a 的第1项即11=a ,递推公式:1

1

1-+

=n n a a 解:据题意可知:3211,211,123121=+==+==a a a a a ,5

8,3511534==+=a a a [补充例题]

例4已知21=a ,n n a a 21=+ 写出前5项,并猜想n a .

法一:21=a 22222=?=a 323222=?=a ,观察可得 n n a 2= 法二:由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即

21

=-n n

a a ∴

11

2322112------=????n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=?=-

Ⅲ.课堂练习

课本P36练习2 [补充练习]

1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) 1a =0, 1+n a =n a +(2n -1) (n ∈N); (2) 1a =1, 1+n a =

2

2+n n

a a (n ∈N);

(3) 1a =3, 1+n a =3n a -2 (n ∈N).

解:(1) 1a =0, 2a =1, 3a =4, 4a =9, 5a =16, ∴ n a =(n -1)2

; (2) 1a =1,2a =

32,3a =4221=, 4a =52, 5a =6

231=, ∴ n a =12+n ; (3) 1a =3=1+20

3?, 2a =7=1+21

3?, 3a =19=1+22

3?,

4a =55=1+233?, 5a =163=1+243?, ∴ n a =1+2·31-n ;

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容:

1.递推公式及其用法;

2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.

Ⅴ.课后作业

习题2。1A 组的第4、6题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.2

等差数列

授课类型:新授课

(第1课时)

●教学目标

知识与技能:了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

过程与方法:经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。

情感态度与价值观:通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识。 ●教学重点

等差数列的概念,等差数列的通项公式。 ●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境]

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本P41页的4个例子: ①0,5,10,15,20,25,… ②48,53,58,63

③18,15.5,13,10.5,8,5.5

④10072,10144,10216,10288,10366

观察:请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征?

·共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);(误:每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项),我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课

1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示)。

⑴.公差d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;

⑵.对于数列{n a },若n a -1-n a =d (与n 无关的数或字母),n ≥2,n ∈N +

,则此数列是等差数列,d 为公差。

思考:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 2.等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则据其定

义可得:

d a a =-12即:d a a +=12

d a a =-23即:d a d a a 2123+=+= d a a =-34即:d a d a a 3134+=+=

……

由此归纳等差数列的通项公式可得:d n a a n )1(1-+=

∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项1a 和公差d ,便可求得其通项n a 。 由上述关系还可得:d m a a m )1(1-+= 即:d m a a m )1(1--=

则:=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n

m a a n

m --

[范例讲解]

例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?

解:⑴由35285,81-=-=-==d a n=20,得49)3()120(820-=-?-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为:)1(45---=n a n

由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n ,使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100,即-401是这个数列的第100项

例3 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=,其中p 、q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?

分析:由等差数列的定义,要判定{}n a 是不是等差数列,只要看1--n n a a (n ≥2)是不是一个与n 无关的常数。

解:当n ≥2时, (取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a (n ≥2))

])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数

∴{n a }是等差数列,首项q p a +=1,公差为p 。

注:①若p=0,则{n a }是公差为0的等差数列,即为常数列q ,q ,q ,…

②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,

一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.

③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数),称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 Ⅲ.课堂练习

课本P45练习1、2、3、4 [补充练习]

1.(1)求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项.

分析:根据所给数列的前3项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项.

解:根据题意可知:1a =3,d =7-3=4.∴该数列的通项公式为:n a =3+(n -1)×4,即n a =4n -1(n ≥1,n ∈N *)∴4a =4×4-1=15, 10a =4×10-1=39.

评述:关键是求出通项公式.

(2)求等差数列10,8,6,……的第20项. 解:根据题意可知:1a =10,d =8-10=-2.

∴该数列的通项公式为:n a =10+(n -1)×(-2),即:n a =-2n +12,∴20a =-2×20+12=-28. 评述:要注意解题步骤的规范性与准确性.

(3)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.

分析:要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数n 值,使得n a 等于这一数.

解:根据题意可得:1a =2,d =9-2=7. ∴此数列通项公式为:n a =2+(n -1)×7=7n -5. 令7n -5=100,解得:n =15, ∴100是这个数列的第15项.

(4)-20是不是等差数列0,-3

21

,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 解:由题意可知:1a =0,d =-321 ∴此数列的通项公式为:n a =-27n +2

7

,

令-

27n +27=-20,解得n =7

47 因为-27n +27=-20没有正整数解,所以-20不是这个数列的项. Ⅳ.课时小结

通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +

).其次,要会推导等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=,并掌握其基本应用.最后,还要注意一重要关系式:

=n a d m n a m )(-+和n a =pn+q (p 、q 是常数)的理解与应用.

Ⅴ.课后作业

课本P45习题2.2[A 组]的第1题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.2

等差数列

授课类型:新授课

(第2课时)

●教学目标

知识与技能:明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

过程与方法:通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想。

情感态度与价值观:通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。 ●教学重点

等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上节课所学主要内容:

1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即n a -

1-n a =d ,

(n ≥2,n ∈N +

),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示)

2.等差数列的通项公式:

d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))

3.有几种方法可以计算公差d

① d=n a -1-n a ② d =

1

1--n a a n ③ d =m n a a m

n --

Ⅱ.讲授新课

问题:如果在a 与b 中间插入一个数A ,使a ,A ,b 成等差数列数列,那么A 应满足什么条件?

由定义得A-a =b -A ,即:2

b

a A += 反之,若2

b

a A +=

,则A-a =b -A 由此可可得:,,2

b a b

a A ?+=成等差数列 [补充例题]

例 在等差数列{n a }中,若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .

分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差),本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手…… 解:∵ {a n }是等差数列

∴ 1a +6a =4a +3a =9?3a =9-4a =9-7=2

∴ d=4a -3a =7-2=5

∴ 9a =4a +(9-4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32

[范例讲解]

课本P44的例2 解略 课本P45练习5

已知数列{n a }是等差数列

(1)7532a a a =+是否成立?9512a a a =+呢?为什么? (2)112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立?据此你能得到什么结论? (3)2(0)n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立??你又能得到什么结论? 结论:(性质)在等差数列中,若m+n=p+q ,则,q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )

但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ,②n m n m a a a +=+

探究:等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习

1.在等差数列{}n a 中,已知105=a ,3112=a ,求首项1a 与公差d

2. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a Ⅳ.课时小结

节课学习了以下内容: 1.,,,2

a b

A a A b +=

?成等差数列 2.在等差数列中, m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) Ⅴ.课后作业

课本P46第4、5题 ●板书设计 ●授后记

课题: §3.3

等差数列的前n 项和

授课类型:新授课

(第1课时)

●教学目标

知识与技能:掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题

过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.

情感态度与价值观:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美。 ●教学重点

等差数列n 项和公式的理解、推导及应 ●教学难点

灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事”:

高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5050。 教师问:“你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为1+100=101;

2+99=101;…50+51=101,所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们:

(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规

律性的东西。

(2)该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 Ⅱ.讲授新课

1.等差数列的前n 项和公式1:2

)

(1n n a a n S +=

证明: n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②

①+②:)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得:2

)

(1n n a a n S +=

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2. 等差数列的前n 项和公式2:2

)1(1d

n n na S n -+

= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件:n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得: 2

)1(1d

n n na S n -+

= 此公式要求n S 必须已知三个条件:d a n ,,1 (有时比较有用) [范例讲解]

课本P49-50的例1、例2、例3 由例3得与n a 之间的关系:

由n S 的定义可知,当n=1时,1S =1a ;当n ≥2时,n a =n S -1-n S , 即n a =??

?≥-=-)

2()

1(11n S S n S n n .

Ⅲ.课堂练习

课本P52练习1、2、3、4 Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容:

1.等差数列的前n 项和公式1:2

)

(1n n a a n S +=

2.等差数列的前n 项和公式2:2

)1(1d

n n na S n -+= Ⅴ.课后作业

课本P52-53习题[A 组]2、3题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.3等差数列的前

n 项和

授课类型:新授课

(第2课时)

●教学目标

知识与技能:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式;了解等差数列的一些性质,并会用它

们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究

的最值;

过程与方法:经历公式应用的过程;

情感态度与价值观:通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题。 ●教学重点

熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点

灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等差数列的前n 项和公式1:2

)

(1n n a a n S +=

2.等差数列的前n 项和公式2:2

)1(1d

n n na S n -+= Ⅱ.讲授新课

探究:——课本P51的探究活动

结论:一般地,如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++,其中p 、q 、r 为常数,且0p ≠,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 由2n S pn qn r =++,得11S a p q r ==++

当2n ≥时1n n n a S S -=-=2

2

()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+

1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p

对等差数列的前n 项和公式2:2

)1(1d

n n na S n -+

=可化成式子: n )2

d

a (n 2d S 12n -+=

,当d ≠0,是一个常数项为零的二次式 [范例讲解]

等差数列前项和的最值问题 课本P51的例4 解略 小结:

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用n a :

当n a >0,d<0,前n 项和有最大值可由n a ≥0,且1+n a ≤0,求得n 的值

当n a <0,d>0,前n 项和有最小值可由n a ≤0,且1+n a ≥0,求得n 的值

(2) 利用n S : 由n )2

d

a (n 2d S 12n -+=

利用二次函数配方法求得最值时n 的值 Ⅲ.课堂练习

1.一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式。 2.差数列{n a }中, 4a =-15, 公差d =3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。 Ⅳ.课时小结

1.前n 项和为2n S pn qn r =++,其中p 、q 、r 为常数,且0p ≠,一定是等差数列,该数列的 首项是1a p q r =++ 公差是d=2p 通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=?

=?

-=-+≥?当时

当时

2.差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)当n a >0,d<0,前n 项和有最大值可由n a ≥0,且1+n a ≤0,求得n 的值。

当n a <0,d>0,前n 项和有最小值可由n a ≤0,且1+n a ≥0,求得n 的值。

(2)由n )2

d

a (n 2d S 12n -+=

利用二次函数配方法求得最值时n 的值 Ⅴ.课后作业

课本P53习题[A 组]的5、6题 ●板书设计

●授后记

课题: §2.4等比数列

授课类型:新授课

(第1课时)

●教学目标

知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导;

过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点

等比数列的定义及通项公式 ●教学难点

灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

复习:等差数列的定义: n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +

等差数列是一类特殊的数列,在现实生活中,除了等差数列,我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子: ①1,2,4,8,16, (1)

12,14,18,116

,… ③1,20,2

20,3

20,4

20,…

④10000 1.0198?,2

10000 1.0198?,3

10000 1.0198?,4

10000 1.0198?,5

10000 1.0198?,…… 观察:请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征? 共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课

1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(q ≠0),即:

1

-n n

a a =q (q ≠0) 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) {n a }成等比数列?

n

n a a 1+=q (+

∈N n ,q ≠0) 2? 隐含:任一项00≠≠q a n 且

“n a ≠0”是数列{n a }成等比数列的必要非充分条件. 3? q= 1时,{a n }为常数。

2.等比数列的通项公式1: )0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义,有:

q a a 12=;

21123)(q a q q a q a a ===; 312134)(q a q q a q a a ===;

… … … … … … …

0(1111≠??==--q a q a q a a n n n

3.等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列

探究:课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系:

等比数列{n a }的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x

a y q q

=(q>0)上的一些孤立的点。

当10a >,q >1时,等比数列{n a }是递增数列; 当10a <,01q <<,等比数列{n a }是递增数列; 当10a >,01q <<时,等比数列{n a }是递减数列; 当10a <,q >1时,等比数列{n a }是递减数列;

当0q <时,等比数列{n a }是摆动数列;当1q =时,等比数列{n a }是常数列。 [范例讲解]

课本P57例1、例2、P58例3 解略。 Ⅲ.课堂练习

课本P59练习1、2 [补充练习]

2.(1) 一个等比数列的第9项是

94,公比是-3

1

,求它的第1项(答案:1a =2916) (2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项(答案:1a =

q

a 2

=5, 4a =3a q =40)

Ⅳ.课时小结

本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式. Ⅴ.课后作业

课本P60习题A 组1、2题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.4等比数列

授课类型:新授课

(第2课时)

●教学目标

知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点

等比中项的理解与应用 ●教学难点

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容:

1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(q ≠0),即:

1

-n n

a a =q (q ≠0) 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n , )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3.{n a }成等比数列?n

n a a 1+=q (+

∈N n ,q ≠0) “n a ≠0”是数列{n a }成等比数列的必要非充分条件

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 Ⅱ.讲授新课

1.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab (a ,b 同号)

如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则

ab G ab G G

b

a G ±=?=?=2,

反之,若G 2

=ab ,则G

b a G =,即a ,G ,b 成等比数列。∴a ,G ,b 成等比数列?G 2

=ab (a ·b ≠0) [范例讲解]

课本P58例 4 证明:设数列{}n a 的首项是1a ,公比为1q ;{}n b 的首项为1b ,公比为2q ,那么数列

{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为:

n

n n

n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(21111211121111211

1

1与即为与---??????.)

()(211

2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==??-++ 它是一个与n 无关的常数,所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列 拓展探究:

对于例4中的等比数列{n a }与{n b },数列{

n

n

a b }也一定是等比数列吗? 探究:设数列{n a }与{n b }的公比分别为12q q 和,令n n n a c b =

,则111

n n n a c b +++= 1

111112()()n n n n n n n n n n

a c

b a b q

a c a

b q b +++++∴

=== ,所以,数列{n n

a b }也一定是等比数列。

课本P59的练习4

已知数列{n a }是等比数列,(1)2537a a a =是否成立?2

519a a a =成立吗?为什么?

(2)2

11(1)n n n a a a n -+=>是否成立?你据此能得到什么结论?

2

(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立?你又能得到什么结论?

结论:2.等比数列的性质:若m+n=p+k ,则k p n m a a a a = 在等比数列中,m+n=p+q ,k p n m a a a a ,,,有什么关系呢? 由定义得:11n 11 --==n m m q a a q a a 1

1k 1

1 --?==k p p q

a a q

a a 22

1-+=?n m n m q a a a ,22

1-+=?k p k p q a a a 则k p n m a a a a =

Ⅲ.课堂练习

课本P59-60的练习3、5 Ⅳ.课时小结

1、若m+n=p+q ,q p n m a a a a ?=?

2、若{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列,则{}n n b a ?、{n

n

a b }也是等比数列 Ⅴ.课后作业

课本P60习题2.4A 组的3、5题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.5等比数列的前

n 项和

授课类型:新授课

(2课时)

●教学目标

知识与技能:掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法:经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点

等比数列的前n 项和公式推导 ●教学难点

灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境]

[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。 1、 等比数列的前n 项和公式:

当1≠q 时,q

q a S n n --=1)

1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②

当q=1时,1na S n =

当已知1a , q, n 时用公式①;当已知1a , q, n a 时,用公式②.

公式的推导方法一:

一般地,设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是

=n S n a a a a +++321

由???=+++=-1

1321n n n n q

a a a a a a S 得?????++++=++++=---n

n n n n n q

a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 111312111

1212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴

∴当1≠q 时,q

q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②

当q=1时,1na S n =

公式的推导方法二:

有等比数列的定义,

q a a a a a a n n ====-1

23

12 根据等比的性质,有

q a S a S a a a a a a n

n n n n =--=++++++-1

12132

q a S a S n

n n =--1

?q a a S q n n -=-1)1((结论同上)

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

=n S n a a a a +++321=)(13211-++++n a a a a q a =11-+n qS a =)(1n n a S q a -+

?q a a S q n n -=-1)1((结论同上)

[解决问题]

有了等比数列的前n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由11,2,64a q n ===可得

1(1)1n n a q S q

-=

-=641(12)12?--=64

21-。 6421-这个数很大,超过了191.8410?。国王不能实现他的诺言。

[例题讲解]

课本P65-66的例1、例2 例3解略

高中数学必修五全套教案(非常好的)

(第1课时) 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:n a n 1 = 来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系

高中数学必修五综合测试题

高中数学必修五综合测 试题 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)

高中数学必修五综合测试题 1、已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1-a n +1=0,(n ∈N),则此数列的通项a n 等于 ( ) A .n 2+1 B .n+1 C .1-n D .3-n 2、三个数a ,b ,c 既是等差数列,又是等比数列,则a ,b ,c 间的关系为( ) A .b-a=c-b B .b 2=ac C .a=b=c D .a=b=c ≠0 3、若b<0 C .a +cb -d 4、若a 、b 为实数, 且a +b=2, 则3a +3b 的最小值为( ) A .18 B .6 C .23 D .243 5、不等式0)86)(1(22≥+--x x x 的解集是( ) C }21{}1{≤≤-≤x x x x D 1{-≤x x 或21≤≤x 或}4≥x 6、已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-,第k 项满足58k a <<,则k =( ) A .9 B .8 C. 7 D .6 7、等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和是( ) A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 8、目标函数y x z +=2,变量y x ,满足?? ???≥<+≤+-12553034x y x y x ,则有( ) A .3,12min max ==z z B .,12max =z z 无最小值 C .z z ,3min =无最大值 D .z 既无最大值,也无最小值 9、不等式1 2222++--x x x x <2的解集是( ) A.{x|x≠-2} C.? D.{x|x <-2,或x >2} 10、不在 3x + 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是( ) A (0,0) B (1,1) C (0,2) D (2,0) 11、若0,0b a d c <<<<,则 ( ) A bd ac < B d b c a > C a c b d +>+ D a c b d ->- 12、不等式2320x x --≤的解集是 , 13、在ABC ?中,45,60,6B C c ===,则最短边的长是 , 14、约束条件2232 4x y x y π?≤?-≤≤??+≥? 构成的区域的面积是 平方单位, 15、在△ABC 中,sin A =2cos B sin C ,则三角形为

鄂州二中高一数学必修五第二章数列测试题

高一数学必修5第二章数列测试卷 2010-3-26 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,) 1.如图,这是一个正六边形的序列,则第(n)个图形的边数为(). A. 5n-1 B. 6n C. 5n+1 D.4n+2 2.在等比数列{}n a中T n表示前n项的积,若T5 =1,则() A.1 3 = a B.1 1 = a C.1 4 = a D.1 5 = a 3. 如果 128 ,,, a a a为各项都大于零的等差数列,公差0 d≠,则 ( ) A、 5 4 8 1 a a a a>B、 5 4 8 1 a a a a=C、 1845 a a a a +>+D、5 4 8 1 a a a a< 4.一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于() A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 5.数列{a n}中, 1 a=1 ,对于所有的n≥2,n∈N*都有2 123n a a a a n ????=,则 35 a a +等于( ) A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 6.设} {n a) (N n∈是等差数列,n S是其前n项的和,且6 5 S S<,8 7 6 S S S> =,则下列结论错误的是() A.0 < d B.5 9 S S> C.0 7 = a D.6S与7S是n S的最大值 7.等差数列} { n a共有1 2+ n项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为(). A. 28 B. 29 C. 30 D.31 8、在等比数列{}n a中,12 a=,前n项和为 n S,若数列{}1 n a+也是等比数列,则 n S等于 A.1 22 n+- B.3n C.2n D.31 n- 9、设S n是等差数列{a n}的前n项和,若 S3 S6= 1 3,则 S6 S12=( ) (A) 3 10(B) 1 3(C) 1 8(D) 1 9

北师大版高中数学必修五教学案

数列 1.1数列的概念 预习课本P3~6,思考并完成以下问题 (1)什么是数列?数列的项指什么? (2)数列的一般表示形式是什么? (3)按项数的多少,数列可分为哪两类? (4)数列的通项公式是什么?数列的通项公式与函数解析式有什么关系? [新知初探] 1.数列的概念 (1)定义:按一定次序排列的一列数叫作数列. (2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项. (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n…,简记为数列{a n}.数列的第1项a1,也称首项;a n是数列的第n项,也叫数列的通项. [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定次序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定次序”排列的,即确定的数在确定的位置. (2)项a n与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位次. (3){a n}与a n是不同概念:{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,…;而a n表示数列{a n}中的第n 项. 2.数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列.

3.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n ),那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式. [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N +或它的有限子集{1,2,3,…,n }为定义域的函数解析式. (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式. 4.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种:列表法、图像法、解析法. [小试身手] 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同.( ) (2)数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列.( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.已知数列{a n }的通项公式为a n =1-(-1)n +1 2,则该数列的前4项依次为( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1 C.12,0,1 2 ,0 D .2,0,2,0 解析:选B 把n =1,2,3,4分别代入a n =1-(-1)n + 12中,依次得到0,1,0,1. 3.已知数列{a n }中,a n =2n +1,那么a 2n =( ) A .2n +1 B .4n -1 C .4n +1 D .4n 解析:选C ∵a n =2n +1,∴a 2n =2(2n )+1=4n +1. 4.数列1,3,6,10,x,21,…中,x 的值是( ) A .12 B .13 C .15 D .16 解析:选C ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4, ∴? ???? x -10=5,21-x =6,∴x =15. [典例] (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3;(3)0,1,2,3,4,…; (4)1,-1,1,-1,1,-1,…;(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合,不是数列;

高中数学必修五综合测试题(卷) 含答案解析

绝密★启用前 高中数学必修五综合考试卷 第I卷(选择题) 一、单选题 1.数列的一个通项公式是() A.B. C.D. 2.不等式的解集是() A.B.C.D. 3.若变量满足,则的最小值是() A.B.C.D.4 4.在实数等比数列{a n}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于( ) A.8B.-8C.±8D.以上都不对 5.己知数列为正项等比数列,且,则()A.1B.2C.3D.4 6.数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为() A. 2 1 22 n n n + +B. 2 1 1 22 n n n + -++C. 2 1 22 n n n + -+D. 2 1 1 22 n n n + - -+ 7.若的三边长成公差为的等差数列,最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为() A.B.C.D. 8.在△ABC中,已知,则B等于( ) A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120° 9.下列命题中正确的是( ) A.a>b?ac2>bc2B.a>b?a2>b2 C.a>b?a3>b3D.a2>b2?a>b 10.满足条件,的的个数是( ) A.1个B.2个C.无数个D.不存在

11.已知函数满足:则应满足()A.B.C.D. 12.已知数列{a n}是公差为2的等差数列,且成等比数列,则为()A.-2B.-3C.2D.3 13.等差数列的前10项和,则等于() A.3 B.6 C.9 D.10 14.等差数列的前项和分别为,若,则的值为()A.B.C.D. 第II卷(非选择题) 二、填空题 15.已知为等差数列,且-2=-1,=0,则公差= 16.在中,,,面积为,则边长=_________. 17.已知中,,,,则面积为_________. 18.若数列的前n项和,则的通项公式____________ 19.直线下方的平面区域用不等式表示为________________. 20.函数的最小值是_____________. 21.已知,且,则的最小值是______. 三、解答题 22.解一元二次不等式 (1)(2) 23.△的角、、的对边分别是、、。 (1)求边上的中线的长;

(完整版)高中数学必修五第二章数列测试题

高中数学必修5 第二章数列测试题 一、选择题(每题5分,共50分) 1、{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A 、667 B 、668 C 、669 D 、670 2、在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A 、33 B 、72 C 、84 D 、189 3、如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ) A 、a 1a 8>a 4a 5 B 、a 1a 8<a 4a 5 C 、a 1+a 8<a 4+a 5 D 、a 1a 8=a 4a 5 4、已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为 41的等差数列,则|m -n |等于( ) A 、1 B 、43 C 、2 1 D 、83 5、等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A 、81 B 、120 C 、168 D 、192 6、若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) A 、4 005 B 、4 006 C 、4 007 D 、4 008 7、已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A 、-4 B 、-6 C 、-8 D 、-10 8、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若35a a =9 5,则59S S =( ). A 、1 B 、-1 C 、2 D 、2 1 9、已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则 212b a a -的值是( ). A 、21 B 、-21 C 、-21或2 1 D 、41 10、在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ). A 、38 B 、20 C 、10 D 、9 二、填空题(每题6分,12题15分,16题10分,共49分) 11、设f (x )=221 +x ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f (-5)+f (-4)+…+f (0) +…+f (5)+f (6)的值为 .

高中数学必修五-不等关系与不等式-教案

第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程. 二、教学重点: 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点: 使用不等式(组)正确表示出不等关系. 四、教学过程: (一)导入课题 现实世界和生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系我们知道,两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,大与小,不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系.

提问: 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系?(大于、等于、小于). 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢?(用不等式描述) 引入知识点: 1.不等式的定义:用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”,其含义是指“或者a >b ,或者a =b ”,等价于“a 不小于b ,即若a >b 或a =b 之中有一个正确,则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. (1)如果a b -是正数,那么a b >;如果a b -等于零,那么a b =;如果a b -是负数,那么a b <.反之也成立,就是(a b ->0?a >b ;a b -=0?a =b ;a b -<0?a

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若 222a b c +<,则90C >. 注:正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

数列知识点总结 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 定义 1+n a -n a =d n n a a 1 +=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +(n-1)d n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d n a =1-n a q n a =m a m n q - 中项 A=2b a + 推广:A=2a k n k n a +-+(n,k ∈N + ;n>k>0) ab G =2。推广:G=k n k n a a +-±(n,k ∈N + ;n>k>0) 。任意两数a 、c 不一定有等比中项,除非有ac >0,则等比中 项一定有两个 前n 项和 n S =2 n (1a +n a ) n S =n 1a + 2 ) 1(n -n d n S = q q a n --11() 1 n S =q q a a n --11 性质 (1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; (2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; (3)若三个成等差数列,可设为 a d a a d -+,, (4)若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则 21 21 m m m m a S b T --= (5){}n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数) (6)d= n m a n m --a (m ≠n) (7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列 (1)若m n p q +=+,则 m n p q a a a a =·· (2)232n n n n n S S S S S --,,……仍 为等比数列,公比为n q 二、求数列通项公式的方法 1、通项公式法:等差数列、等比数列 2、涉及前n项和S n 求通项公式,利用a n 与S n 的基本关系式来求。即 例1、在数列{n a }中,n S 表示其前n项和,且2 n n S =,求通项n a . 例2、在数列{n a }中,n S 表示其前n项和,且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式,求通项公式。 (1)叠加法:递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型 ???≥-===-) 2() 1(111n s s n a s a n n n

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理: 2.正弦定理的证明: (1)向量法证明 (2)平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点: (1) (2) (3) 知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题: 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点: (1) (2) (3) (4) 知识点2 余弦定理的的证明 证法1: 证法2: 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题: (1)已知三边求三角; (2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角。 例1(山东高考)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,tanC=73. (1) 求C cos ; (2) 若 =2 5 ,且a+b=9,求c.

1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 (1)仰角和俯角: (2)方位角: 知识点2 解三角形应用题的一般思路 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称,如仰角、俯角、视角、方位角等,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)合理选择正弦定理和余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 (1)首先要准备皮尺、测角仪器,然后选定测量的现场(或模拟现场),再收集测量数据,最后解决问题,完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确,为此可多测量几次,取平均值。要有创新意识,创造性地设计实施方案,用不同的方法收集数据,整理信息。 (2)实习作业中的选取问题,一般有:○1距离问题,如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离,或两个不可到达点之间的距离;②高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

高中数学必修五综合练习

高中数学必修五综合练习3 文 班 考号 姓 名 A 卷 一.选择题(本大题共11小题,每小题5分,共55分). 1.如果R b a ∈,,并且b a >,那么下列不等式中不一定能成立的是( ) A.b a -<- B.21->-b a C.a b b a ->- D.ab a >2 2.等比数列{}n a 中,5145=a a ,则111098a a a a =( ) A.10 B.25 C.50 D.75 3.在ABC ?中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A .30? B .45? C .60? D .120? 4.已知数列{}n a 中,11=a ,31+=+n n a a ,若2008=n a ,则n =( ) A.667 B.668 C.669 D.670 5.等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若,100,302==n n S S 则=n S 3( ) A.130 B.170 C.210 D.260 6.在⊿ABC 中,A =45°,B =60°,a=2,则b 等于( ) A.6 B.2 C.3 D. 62 7.若将20,50,100都分别加上同一个常数,所得三个数依原顺序成等比数列,则此等比数列的公比是( ) A. 21 B. 23 C. 34 D. 3 5 8.关于x 的不等式x x x 352 >--的解集是( ) A.}1x 5{-≤≥或x x B.}1x 5{-<>或x x C.}5x 1{<<-x D.}5x 1{≤≤-x 9.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为060,塔基的俯角为0 45,那么这座塔吊的高是( ) A.)3 3 1(10+ B.)31(10+ C.)26(5+ D.)26(2+ 10.已知+ ∈R b a ,且 11 1=+b a ,则 b a +的最小值为( ) A.2 B.8 C. 4 D. 1

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题:§1.1 集合 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方 面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于” 关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新 的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能 意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也简称集。 ——————————————第 1 页(共 70页)——————————————

高中数学必修五全套教案

第一章解三角形 章节总体设计 (一)要求 本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习,学生应当达到以下学习目标: (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 (2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 (二)编写意图与特色 1.数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”,“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题:“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学。 2.注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好准备,能使整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样,从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知

人教版高中数学必修5第二章数列测试题及答案(AB卷)

数学5(必修)第二章:数列(A 卷) 一、选择题 1.在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中,x 等于( ) A .11 B .12 C .13 D .14 2.等差数列9}{,7,3,}{51第则数列中n n a a a a ==项等于( ) A .9 B .10 C .11 D .12 3.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的第4项为( ) A .81 B .243 C .27 D .192 4.12+与12-,两数的等比中项是( ) A .1 B .1- C .1± D . 2 1 5.已知一等差数列的前三项依次为34,22,++x x x ,那么21是此数列的第( )项 A . 2 B .4 C .6 D .8 6.在公比为整数的等比数列{}n a 中,若,12,64231=+=+a a a a 则该数列的第3项为( ) A . 56 B .512 C .524 D .5 48 7. 如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 8.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,,10,141==s a ,则S 5为 ( ) A .14 B .15 C .21 D .28 9. 数列{}n a 的通项公式n n a n -+= 1,则该数列的前9项之和等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10. 设{a n }是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a 1a 3 =24 ,则a 1a 2a 3a 4a 5等于( ) A.210 B.220 C.215 D.216 二、填空题 11.数列{n a }是等差数列,47a =,则7s =_________ 12.在等差数列{a n }中,a 2=-5,a 6=a 4+6,则a 1等于______________ 13.在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则15a =___________. 14.在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232 =--x x 的两根,则47a a ?=___________.

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧,少年,拼一次,无怨无悔! 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习过程 一、课前准备 试验:固定?ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动. 思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt?ABC中,设BC=a, AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,

有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B = sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ). A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

(完整版)高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1.1.1正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 , 有 sin a A c =, sin b B c =,又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

北师大版高中数学必修5综合测试题及答案

高中数学必修5 命题人:魏有柱 时间:100分钟 一、选择题 1.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是() (A )a n =n 2-(n-1) (B )a n =n 2-1 (C )a n =2)1(+n n (D )a n =2 )1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的() (A )第12项 (B )第13项 (C )第14项 (D )第15项 3.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 () A . B . C . D . 4.等差数列{a n }共有2n+1项,其中奇数项之和为4,偶数项之和为3,则n 的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 5.△ABC 中,cos cos A a B b =,则△ABC 一定是() A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 6.已知△ABC 中,a =4,b =43,∠A =30°,则∠B 等于() A .30° B .30°或150° C .60° D .60°或120° 7.在△ABC 中,∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8.若110a b <<,则下列不等式中,正确的不等式有 () ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.下列不等式中,对任意x ∈R 都成立的是 () A .2111x <+ B .x 2+1>2x C .lg(x 2+1)≥lg2x D .244 x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x>2 11.不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥??≤≤?表示的平面区域是 ( )

高一数学必修一第二章知识点总结

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或 )]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

高中数学必修五教案-应用举例

课题: §2.2解三角形应用举例 第一课时 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语 过程与方法:首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论,开放多种思路,引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型,画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形? 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问:前面引言第一章“解三角形”中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理

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