北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷
高二数学 2014.1
(理科)
试卷满分:150分 考试时间:120分钟
题号
一
二
三
本卷
总分
17
1
8 1
9 2
0 2
1 2
2
分数
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合要求的.
1.圆2
2
21x y y ++=的半径为( ) A. 1
B.
C. 2
D. 4
2.双曲线19
2
2
=-y x 的实轴长为( ) A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3.若(,1,3)x =-a ,(2,,6)y =b ,且//a b ,则( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y == C. 1
,22
x y =
=- D. 1,2x y =-=-
4.命题“x ?∈R ,20x ≥”的否定为( ) A. x ?∈R ,20x < B. x ?∈R ,20x ≤ C. x ?∈R ,20x ≥
D. x ?∈R ,20x <
5. “n m =”是“方程12
2
=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.关于直线,a b 以及平面,M N ,下列命题中正确的是( ) A. 若//a M ,//b M ,则//a b B. 若//a M ,b a ⊥,则b M ⊥ C. 若b M ?,且a b ⊥,则a M ⊥
D. 若a M ⊥,//a N ,则M N ⊥
7.已知12,F F 为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于,A B 两点, 8AB =,则22AF BF +=( ) A. 2
B. 10
C. 12
D. 14
8.某几何体的三视图如图所示,则它的体积等于( ) A. 8
B. 6
C. 4
D.
83
9.已知平面内两个定点(1,0),(1,0)A B -,过动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若
2
MN AN BN =?,则动点M 的轨迹是( )
A. 圆
B. 抛物线
C. 椭圆
D. 双曲线
10. 已知正方体1111D C B A ABCD -,点E ,F ,G 分别 是线段B B 1,AB 和1A C 上的动点,观察直线CE 与
F D 1,CE 与1D
G .给出下列结论:
①对于任意给定的点E ,存在点F ,使得1D F ⊥CE ; ②对于任意给定的点F ,存在点E ,使得⊥CE F D 1; ③对于任意给定的点E ,存在点G ,使得1D G ⊥CE ; ④对于任意给定的点G ,存在点E ,使得⊥CE 1D G .
其中正确结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ,则其标准方程为_______.
俯视图
侧视图
正视图
F D A B
C A 1
B 1
C 1
D 1
E G
12. 命题“若x y >,则x y >”的否命题是:__________________.
13. 双曲线
22
1412
x y -=的离心率为_______;渐近线方程为_______. 14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,则球的表面积与这个正方体的表面积
之比为_______.
15. 如图,长方体1111ABCD A B C D -中,ABCD 是边长
为1的正方形,1D B 与平面ABCD 所成的角为45, 则棱1AA 的长为_______;二面角1B DD C --的 大小为_______. 16. 已知M 为椭圆
22
143
x y +=上一点,N 为椭圆长轴上一点,O 为坐标原点. 给出下列结论:
① 存在点,M N ,使得OMN ?为等边三角形; ② ②不存在点,M N ,使得OMN ?为等边三角形;
③存在点,M N ,使得90OMN ∠=;④不存在点,M N ,使得90OMN ∠=. 其中,所有正确结论的序号是__________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,⊥PA 底面
ABCD ,M 、N 分别是AB 、PC 中点.
(Ⅰ)求证://MN 平面PAD ; (Ⅱ)求证:MN AB ⊥.
18.(本小题满分13分)已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2),且圆心在x 轴上.
(Ⅰ)求圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 经过点(1,2),且l 与圆C 相交所得弦长为32,求直线l 的方程.
A
B
C
D
N
P
M
D
A
B
C
A 1
B 1
C 1
D 1
19.(本小题满分13分)如图,在直三棱柱
111
ABC A B C -中,90ACB ∠=?,
12
AC CB CC ===,E 是AB 中点.
(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A CE ;
(Ⅱ)求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.
20.(本小题满分14分)如图所示,四边形ABCD 为直角梯形,CD AB //,BC AB ⊥,
ABE ?为等边三角形,且平面ABCD ⊥平面ABE ,222AB CD BC ===,P 为CE 中
点.
(Ⅰ)求证:AB ⊥DE ;
(Ⅱ)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在ABE ?内是否存在一点Q ,使PQ ⊥平
A
B
E
C
D
P
·
A
B
C
A 1
B 1
C 1
E
面CDE ,如果存在,求PQ 的长;如果不存在,说明理由.
21.(本小题满分13分)已知抛物线2
:12C y x =,点(1,0)M -,过M 的直线l 交抛物线C
于,A B 两点.
(Ⅰ)若线段AB 中点的横坐标等于2,求直线l 的斜率; (Ⅱ)设点A 关于x 轴的对称点为A ',求证:直线A B '过定点.
22.(本小题满分14分)已知,,A B C 为椭圆2
2
:22W x y +=上的三个点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若,A C 所在的直线方程为1y x =+,求AC 的长;
(Ⅱ)设P 为线段OB 上一点,且3OB OP =,当AC 中点恰为点P 时,判断OAC ?的面积是否为常数,并说明理由.
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷
高二数学(理科)参考答案及评分标准
2014.1
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.
1.B
2.C
3.A
4.D
5.B
6.D
7.C
8.C
9.D 10. B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
11. x y 42
= 12. 若x y ≤,则x y ≤. 13. 2
,y =
14. π:2 15.
45 16. ①④
注:一题两空的试题,第一空3分,第二空2分;
16题,仅选出①或④得3分;错选得0分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分. 17. 证明:(Ⅰ)取PD 中点Q ,连结AQ,NQ .
因为 N 是PC 中点, 所以 1
//
2
NQ DC . ………………2分 又M 是AB 中点,1
//2
AM DC , 所以 //AM NQ ,
四边形AQNM 是平行四边形. ………4分 所以 //MN AQ . ………………5分 因为 MN ?平面PAD ,AQ ì平面PAD , 所以 //MN 平面PAD . ………………7分
(Ⅱ)因为 PA ^平面ABCD ,所以 PA AB ^. ………………8分
又 ABCD 是矩形,
所以 AB AD ^. (9)
A
B
C
D
N
P
M Q
分
所以 AB ^平面PAD , ………………10分 所以 AB AQ ^. ………………11分
又 //AQ MN ,
所以 AB MN ^. ………………13分
18. 解:(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为(,0)a ,
依题意,有a =
, ………………2分
即2
2
48a a a =-+,解得2a =, ………………4分 所以圆C 的方程为2
2
(2)4x y -+=. ………………6分 (Ⅱ)依题意,圆C 的圆心到直线l 的距离为1, ………………8分
所以直线1x =符合题意. ………………9分 另,设直线l 方程为2(1)y k x -=-,即20kx y k --+=,
1=, ………………11分
解得3
4
k =-
, ………………12分 所以直线l 的方程为3
2(1)4
y x -=--,即34110x y +-=. ………………13分
综上,直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.(Ⅰ)证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱, 所以11CC AC ,CC BC ^^,
又90ACB
?o ,
即AC BC ^. ………………2分 如图所示,建立空间直角坐标系C xyz -.
(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,, 所以 1=(222)AB ,,-uuu r ,=(110)CE ,,u u r , 1=(202)CA ,,uuu r
. ………………4分
又因为 10AB CE ?uuu r uu r ,110AB CA ?uuu r uuu r
, ………………6分
所以 1AB CE ^,11AB CA ^,1AB ^平面1A CE . ………………7分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,1=(222)AB ,,-uuu r
是平面1A CE 的法向量, ………………9分
11==(200)C A CA ,,uuu r uu r
, ………………10分
则 111
11111
1
cos C A AB C A ,AB C A AB
×狁=uuu u r uuu r
uuu u r uuu r uuu u r uuu r 3=
. ………………12分 设直线11A C
与平面1A CE 所成的角为q , 则111sin =cos C A ,AB
狁
uuu u r uuu r
q 3
=. 所以直线11AC 与平面1A CE 所成角的正弦值为
3
. ………………13分 20. (Ⅰ)证明:取AB 中点O ,连结OD,OE , ………………1分
因为△ABE 是正三角形,所以AB OE ^. 因为 四边形ABCD 是直角梯形,1
2
DC AB =
,AB //CD , 所以 四边形OBCD 是平行四边形,OD //BC , 又 AB BC ^,所以 AB OD ^. 所以 AB ^平面ODE ,………………3分 所以 AB DE ^. ………………4分 (Ⅱ)解:因为平面ABCD ⊥平面ABE ,
AB OE ^,所以OE ^平面ABCD ,
所以 OE OD ⊥. ………………5分 如图所示,以O 为原点建立空间直角坐标系
则 (100)A ,,,(100)B ,,-,(001)D ,,,(101)C ,,-,(00)E .
所以 =(101)AD ,,-uuu r ,=(01)DE -u u u r
, ………………6分
设平面ADE 的法向量为1n 111=()x ,y ,z ,则
110
0DE AD
ì???í?????uuu r uuu r n n 11110
z x z ì?-=??í?-+=??, ………………7分 令11z =,则11x =,13y =
.所以1n =(11)3
,. ………………8分 同理求得平面BCE 的法向量为2n =(10),-
, ………………9分
设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ,则
cos θ12
12
×=
n n n n 7=.
所以平面ADE 与平面BCE
所成的锐二面角的余弦值为
7
. ………………10分 (Ⅲ)解:设22(0)Q x ,y ,
,因为11()22
P -
,
所以2211
()22
PQ x ,y =+--uu u r ,=(100)CD ,,uu u r
,=(01)DE -uu u r . 依题意00PQ CD PQ DE
ì???í?????uu u r uu u r
uu u r uuu r ,,
即22102
102x ,y ,ì??+=???í
??-+=????
………………11分 解得 21
2
x =-
,2y = ………………12分
符合点Q 在三角形ABE 内的条件. ………………13分
所以,存在点1(0)23Q ,-
,使PQ ^平面CDE
,此时3
PQ =.…………14分 21.解:(Ⅰ)设过点(1,0)M -的直线方程为(1)y k x =+,
由 2
(1),
12,
y k x y x =+??
=? 得2222(212)0k x k x k +-+=. ………………2分
因为 20k ≠,且2242
(212)4144480k k k ?=--=->,
所以,((0,3)k ∈. ………………3分
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2
122
122k x x k -+=,121x x =. ………………5分 因为线段AB 中点的横坐标等于2,所以2
122
622x x k k
+-==, ………………6分
解得k =符合题意. ………………7分 (Ⅱ)依题意11(,)A x y '-,直线21
2221
:()y y A B y y x x x x +'-=
--, ………………8分
又 21112y x =,2
2212y x =,
所以 2221
12
()y x x y y y =
-+-, ………………9分
122121
12
y y x y y y y =--- (10)
分
因为 22
1212144144y y x x ==, 且12,y y 同号,所以1212y y =, (11)
分
所以 21
12
(1)y x y y =
--, ………………12分
所以,直线A B '恒过定点(1,0). ………………13分
22. 解:(Ⅰ)由2222,1
x y y x ?+=?=+? 得2
340x x +=,
解得0x =或4
3
x =-
, ………………2分 所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41
(,)33
--, ………………4分
所以AC =………………5分
(Ⅱ)①若B 是椭圆的右顶点(左顶点一样)
,则B , 因为3OB OP =,P 在线段OB
上,所以3
P
,求得AC =6分 所以OAC ?
的面积等于
4
=2339
1?. ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点,设:(0)AC y kx m m =+≠,1122(,),(,)A x y C x y , 由22
,
22
y kx m x y =+??
+=? 得222
(21)4220k x kmx m +++-=, ………………8分
122
421
km
x x k +=-+,2122
2221m x x k -=+, 所以,AC 的中点P 的坐标为222(,)2121
km m
k k -++, ………………9分
所以22
63(,)2121
km m B k k -
++,代入椭圆方程,化简得22
219k m +=. ……………10分
计算
AC =
=…………11分
=9m
. ………………12分
因为点O 到AC 的距离O AC d -
=
. ………………13分
所以,OAC ?的面积2OAC O AC S AC d ?-1
=
?4299
m 1=?
=. 综上,OAC ?面积为常数4
9
. ………………14分
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高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是
( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)
【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕