第二章 曲面论
§1曲面的概念
1.求正螺面r
={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.
解 u-曲线为r
={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r
={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面r
＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r
={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }
表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;
v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }
表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r
=}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r
=}0,cos cos ,sin cos {????a a -
任意点的切平面方程为00
cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------?
??
?????
?????
?a a a a a a z a y a x
即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为
?
?
????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22
221x y a b
+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此
曲面只有一个切平面 。
解 椭圆柱面22
221x y a b
+=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,
}0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r
。所以切平面方程为：
01
0cos sin sin cos =----????b a t
z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
5．证明曲面},,{3
uv
a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
数。
证 },0,1{23v u a r u -= ，},1,0{23
uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv
a 2
3)。于是，四面体的体积为：
3
329||3||3||361a uv a v u V ==是常数。
§２ 曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面r
＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.
解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==
2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=?=
, ∴
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
=
+++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。
２．求正螺面r
={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12==u r E
，0=?=v u r r F ，
222b u r G v +==
，∴ 错误！未找到引用源。 =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为错误！未找到引用源。 =222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。
解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得
=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的
弧长为|sinh sinh ||cosh |122
1
v v vdv v v -=?。
4．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。 = 2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，
0=v F ，2a G =。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?，则有
cos ?=
22
222211a a v
G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。 5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.
解 曲面的向量表示为r
={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r ={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r ={x ,
0y ,ax 0y }，其切向量x r
={1，0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为?，则
有cos ? = 20
22020
0211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=?
6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的
正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .
7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠0，则所给二次方程可写成为P 2
)(dv
du + 2Q
dv du + R=0 ,设其二根dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ，dv du +v u
δδ=P
Q 2-……错误！未找到引用源。又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ + F(dv du +v
u
δδ)+ G = 0 ……错误！
未找到引用源。
将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .
证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*δu ＝０，*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
2
22
222)()(ds
v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 22)()(+=+。 展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv ,而EG-2F >0，消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .
9．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引
u
v
V=1
u=av o
用源。 = 2222)(dv a u du ++，求曲面上三条曲线u = a ±v, v =1相交所成的三角形的面积。
解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是
S=????+++--1
2
2
1
2
2
a
u a
a
a
u dv du a u dv du a u
=2??+102
2
a
u a dv du a u =2du a u a u
a
?+-0
22)1(
=a
a u u a a u u a u a
02222223
22|)]ln()(32[++++++-
=)]21ln(3
2
2[
2++-a 。 10．求球面r
=}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 的面积。
解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r
=}0,cos cos ,sin cos {????a a - E =2?r
=2a ,F=?r ?r = 0 , G = 2?r =?22cos a .球面的面积为：
S = 222
222
220
2422
4|sin 2cos 2cos a a d a d a d π?π??π???πππππ
ππ===-
-
-
???.
11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r
={tcos ?,tsin ?,12-t }
(t>1, 0
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射? = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为错误！未找到引用源。=22du +2 dudv+(2u +1)2dv ,
旋转曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。=?d t dt t t 2222
)1
1(+-+ ,在旋转
曲面上作一参数变换? =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:
2
222
222)11)(1(1)11(2dv du u
u du u u u u +++++++ =2222
222)1(211
)11(dv u dudv du u
du u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2dv = 错误！未找到引用源。 .
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ? =arctgu + v , t =12+u .
§3曲面的第二基本形式
1. 计算悬链面r
={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r
={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r
={-sinhusinv,sinhucosv,0},
vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F ?==0,2v r G
==cosh 2u. 所以错误！未找到引用源。 = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .
n =
2F EG r r v u -? =
}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1
2
v u v u v u u
--, L=11
sinh cosh 2
-=+-u , M=0, N=
1
sinh cosh 2
+u =1 .
所以错误！未找到引用源。 = -2du +2dv 。
2. 计算抛物面在原点的2
2212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.
解 曲面的向量表示为}22
5,,{2
2
212121x x x x x x r ++= , }0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r
, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r
, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
错误！未找到引用源。=2221dx dx +, 错误！未找到引用源。=2
22121245dx dx dx dx ++.
3. 证明对于正螺面r
={u v cos ,u v sin ,bv},-∞ 解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}, uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F ， 222b u r G v +== ， L= 0, M = 2 2 b u b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面)(2 1 22by ax z += 在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y ,},0,0{a r xx = ,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率222 2dy dx bdy adx k n ++= . 5. 已知平面π到单位球面(S)的中心距离为d(0 解 设平面π与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d -,即(C)的曲率为 2 11d k -= ,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±21d -,所以 (C)的法曲率为n k k =±21d -=±1 . 6. 利用法曲率公式I II k n = ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基 本量成比例。 证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R 的倒数1/R 。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv R Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1 222 222=++++==或-R 1，所以)1(R G N F M E L ===，即第一、第二类基本量成比例。 7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}， },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}，vv r ={-ucosv,-usinv,0}， L= 2 ),,(F EG r r r uu v u - =0, N= 2 ),,(F EG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线。而u 族曲线是直线，v 族曲线是螺旋线。 8. 求曲面2xy z =的渐近线. 解 曲面的向量表示为},,{2xy y x r = ,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r , 22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===?=++=== . 4 2 2 4 2 2 412,412,0y y x x N y y x y M L ++= ++= =. 渐近线的微分方程为222Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即 1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线. 方法二：任取曲线:()r r s Γ= ，它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+ ， ()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+ ，t ρβ= ，(1)s t t t ρρκακγ?=-+- 在曲线Γ上，t = 0 , s t ρργ?= ,曲面的单位法向量2 s t n EG F ρργ?= =- ，即n γ= ， 所以曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线. 10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网. 证 曲面的向量表示为 r ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。 },0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y .''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g === 因为2 0x y xy r r M r EG F ?=? =- ,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数 构成共轭网。 11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线. 解 } ,cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ， uu r ={0,0,0}， vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F ， 222b u r G v +== ， L=0, M= 2 2 b u b +- , N=0,曲率线的微分方程为: 00 012 2222 2=+-+-b u b b u du dudv dv ,即du b u dv 2 2 1+±=,积分得两族曲率线方程: 222122)ln()ln(c u b u v c b u u v +-+=+++=和. 12.求双曲面z=axy 上的曲率线. 解 ,1,0,1,,12 2 2 2 2222222y a x a a M L x a G y x a F y a E ++= =+==+=N=0 . 由0 10 112 2 2 222 222 22 2 2 y a x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0得222222)1()1(dy x a dx y a +=+,积分 得两族曲率线为c y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2222. 13.求曲面}2 ),(2),(2{uv v u b v u a r +-= 上的曲率线的方程. 解 ,0,4 ,4,42 2222222=++=++-=++= L u b a G uv b a F v b a E M= 2 2F EG ab -,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: 积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++: c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 . 14.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线. 证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d n κ-=,又沿L 有γ ?n =常数,求微商 得正交与而γγγ r d n d n n n ////,0=?+?,所以0=?n γ,即-τβ ·n =0,则有τ=0,或β ·n =0 . 若τ=0, 则L 是平面曲线；若β ·n =0 ，L 又是曲面的渐近线，则沿L ，n κ=0 ， 这时d n =0 ，n 为常向量，而当L 是渐近线时，γ =±n ，所以γ 为常向量，L 是一 平面曲线. 证法二：若γ ⊥n ，则因n ⊥dr ‖α ，所以n ‖β ，所以d n ‖β ，由伏雷 内公式知d n ‖（κατβ-+ ）而L 是曲率线，所以沿L 有d n ‖α ，所以有τ=0,从 而曲线为平面曲线； 若γ 不垂直于n ， 则有γ ?n =常数,求微商得0,n n γγ?+?= 因为L 是曲率线，所 以沿L 有dn ‖dr ⊥γ ，所以0n γ?= ，所以0=?n γ，即-τβ ·n =0 ，若τ=0，则问题得证；否则β ·n =0 ，则因0n α?= ，有n ‖γ ，dn ‖d γ ‖（-τβ ）‖α ，矛盾。 15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。 16．求正螺面的主曲率。 解 设正螺面的向量表示为r ={u v cos ,u v sin ,bv}. 解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，uu r ={0,0,0}， vv r ={-ucosv,-usinv,0}，uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ，0=?=v u r r F ， 222b u r G v +== ， L= 0, M = 2 2 b u b +- , N = 0,代入主曲率公式 （EG-2 F ）2N κ-（LG-2FM+EN ）N κ+ LN-2 M = 0 得2N κ=2 222 ) (a u a +。 所以主曲率为 2 22221,a u a a u a +-=+= κκ 。 17．确定抛物面z=a(22y x +)在（0，0）点的主曲率. 解 曲面方程即{0,0,2}yy r a = ，22{,,()}r x y a x y =+ ，{1,0,2}x r ax = {0,1,2}y r ay = ，{0,0,2}xx r a = ，{0,0,0},xy r = {0,0,2}yy r a = 。 在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , N=2a .所以2 N κ-4a N κ+42a =0 ，两主曲率分别为 1κ = 2 a , 2κ= 2 a . 18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1κ 、2κ，任给一方向?及与其正交的方向?+2 π ，则这两方向的法曲率分别为?κ?κ?κ2221sin cos )(+=n ， ?κ?κπ?κπ?κπ?κ22212221cos sin )2(sin )2(cos )2(+=+++=+n ，即 +)(?κn 21)2(κκπ?κ+=+n 为常数。 19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由?κ?κκ2221sin cos +=n 得 2 1 2κκ?- =tg ,即渐进方向为 211κκ?- =arctg ,2?=-2 1κκ -arctg .又-2?+1?=21? 为常数,所以为1?为常数,即2 1 κκ为常数. 20. 求证 正螺面的平均曲率为零. 证 由第3题或第16题可知. 21. 求双曲面z=axy 在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H= 0) (222 =-+-F EG NE FM LG , K =2 2F EG M LN --=-2 a . 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证法一： 由H= 2 2 1κκ+=0有1κ=2κ=0或1κ=-2 κ≠0 . 若1κ=2κ=0,则沿任意方向?,?κ?κ?κ2221sin cos )(+=n =0 ,即对于任意的 du:dv , 0222 22 2=++++==Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若1κ=-2 κ≠0,则K=1κ2κ<0 ,即LN-M 2<0,对应的点为双曲点. 证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若2LN M -=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若2LN M -< 0,则曲面上的点是双曲点。 23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网. 证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点. 若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网. 若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向?满足2 1 2κκ?-=tg =1, 即1?=π/4,2?=- π/4, 两渐近线的夹角为2 π ,即渐近曲线网构成正交网. 证法二： 020H LG FM NE =∴-+= 渐近线方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++= 所以2 ( )20d u d u L M N d v d v ++=，所以2,d u u N d u u M d v v L d v v L δδδδ=+=- ，所以 ()[()]du u du u Edu u F du v dv u Gdv v dv v E F G dv v dv v δδδδδδδδδ+++=+++ =2[()]0N M dv v E F G L L δ+-+= ，所以渐近网为正交网。 证法三：0M ≠121 ()02 H κκ= += ，所以高斯曲率120K κκ=≤ ，所以2LN M -≤0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取 曲面上的两族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若 0M ≠ ，则020H LG FM NE =∴-+= ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为正交网。 24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,)()(2 2 2 a b a z b x =+-,并令其绕轴旋转的圆环 面,参数方程为 r ={(b+acos ?)cos ? , (b+acos ?)sin ? , asin ?},求圆环面上的椭圆 点、双曲点、抛物点。 解 E =2a , F= 0 , G=2)cos (?a b +, L = a, M = 0, N = cos ?(b+acos ?), LN -2M =a cos ?(b+acos ?) , 由于b > a > 0 , b+acos ? > 0,所以LN -2M 的符号 与cos ?的符号一致,当0≤?<2π 和 2 3π 0 ,曲面上的点为椭 圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2π ，曲面上的点为双曲点, 即圆环 面内侧的点为双曲点；当?=2π或 2 3π 时，LN -2M =0，为抛物点，即圆环面上、 下两纬圆上的点为抛物点。 25．若曲面的第一基本形式表示为))(,(222dv du v u I +=λ的形式，则称这个曲 面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ??= 上存在等温 网。 证 旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ??= 的第一基本形式为 ))((2 22 2'2'2 ?d dt g f g t g I ++= ，做参数变换dt g f g u ?+=2'2'，v=?,则在新参数下，),)](([222dv du u t g I +=为等温网。 26．两个曲面1S 、2S 交于一条曲线（C ），而且（C ）是1S 的一条曲率线，则（C ）也是2S 的一条曲率线的充要条件为1S 、2S 沿着（C ）相交成固定角。 证 两个曲面1S 、2S 交于曲线（C ），1n 、2n 分别为1S 、2S 的法向量，则沿交线（C ），1n 与2n 成固定角的充要条件为1n ·2n =常数，这等价于d(1n ·2n )=0,即 d 1n ·2n +1n ·d 2n =0 ,而（C ）是1S 的一条曲率线，因此d 1n 与（C ）的切向量d r 共 线，则与2n 正交，即d 1n ·2n =0，于是1n ·d 2n =0，又d 2n ⊥2n ，所以1n · d 2n = d 1n ·2n =0的充要条件为d 2n // d r ，即（C ）是2S 的曲率线。 27．证明在曲面(S)上的一个双曲点P 处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P 的挠率是K -,另一条在点P 的挠率是-K -，其中K 是(S)在P 点的高斯曲率。 证 曲面在双曲点P 处，有两条渐近线过点P ，沿渐近线有n =±γ ，且II=0，于是有d n =±d γ .则KI KI HII III d n d -=-===222γ ，即,22Kds d -=γ 或 K ds d -=2 )(γ ，所以有K K -±=-==-ττβτ,)(22 。 28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。 证 设给出的曲面(S): r =r (u,v)上的点r (u,v)与(u,v)∈D 内的点一一对应， 其球面像上的点为n =n (u,v),由于)(v u v u r r k n n ?=?,所以||||v u v u r r k n n ?=?= 2 2||F EG M LN -- ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M 2 ≠0,则v u n n ?≠ 。 说明球面像上的点n (u,v)与区域D 内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。 5．在借贷记账法下，有关账户之间形成的应借应贷的相互关系称为账户对应关系。（）第二章会计记账方法 6．总分类账户与明细分类账户进行平行登记时的所谓同时登记，确切地说应该是同一会计期间作业一： 登记。（）一，单项选择题： 7．平行登记的要求中，所谓登记方向一致，是指会计分录中总分类账户和明细分类账户的记账 1．下列科目中属于流动资产的是（） 符号是一致的。（）A预提费用B短期借款C资本公积D应收账款 8．采用借贷记账法，每发生一笔经济业务必定要在两个账户中同时登记。（） 2．企业全部资产减去全部负债后的净额，就是企业的（） 四，名词解释A所有者权益B实收资本C资本公积D盈余公积 平行登记发生额平衡法余额平衡法 3．预付供货单位货款属于企业的一项（） 五，简答题A资产B负债C收入D费用 1．简述借贷复式记账法的内容和特点。 4．经济业务发生后，会计等式的平衡关系（） 2．简述总账和明细账平行登记的要点及两者数量关系核对的公式。 A可能会受影响B不一定受影响C必然不受影响D必然受影响 3．简述借贷记账法的试算平衡。 5．资产与权益的平衡关系是指（） 六，综合题A一项资产金额与一项权益金额的相等关系B几项资产金额与一项权益金额的相等关系 1．计算题C流动资产合计金额与流动负债金额的相等关系D资产总额与权益总额的相等关系 某企业有关会计要素的数据如下： 6．引起资产内部一个项目增加，另一个项目减少，而资产总额不变的经济业务是（） 负债5000万元；所有者权益8000万元；A用银行存款偿还短期借款B收到投资者投入的机器一台C收到外单位前期欠的货款 费用200万元；利润6000万元；D收到国家拨入的特种储备物资 要求： 计算资产总额和收入总额 7．企业用借款直接偿还应付购货款，属于（） 2．某公司设有以下账户： 实收资本、本年利润、现金、银行存款、待摊费用、预提费用、原材A资产项目和权益项目同增B权益项目之间此增彼减C资产项目和权益项目同减 料、固定资产、其他应收款、应收账款、应付账款、预收账款、预付账款、其他应付款、材料采D资产项目之间此增彼减 购、累计折旧、管理费用、财务费用、营业费用、主营业务收入、其他业务收入、营业外收入、 8．只有采用权责发生制原则核算的企业，才需要设置（） 主营业务成本、其他业务支出、应交税金、短期借款、资本公积、制造费用、生产成本、库存商A待摊费用B本年利润C银行存款D库存商品 第二章需求、供给和均衡价格 1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q d＝50－5P，供给函数为Q s＝－10＋5P。 (1)求均衡价格P e和均衡数量Q e，并作出几何图形。 (2)假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Q d＝60－5P。求出相应的均衡价格P e和均衡数量Q e，并作出几何图形。 (3)假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Q s＝－5＋5P。求出相应的均衡价格P e和均衡数量Q e，并作出几何图形。 (4)利用(1)、(2)和(3)，说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。 (5)利用(1)、(2)和(3)，说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响。 解答：(1)将需求函数Q d＝50－5P和供给函数Q s＝－10＋5P代入均衡条件Q d＝Q s，有50－5P＝－10＋5P 得P e＝6 将均衡价格P e＝6代入需求函数Q d＝50－5P，得 Q e＝50－5×6＝20 或者，将均衡价格P e＝6代入供给函数Q s＝－10＋5P，得 Q e＝－10＋5×6＝20 所以，均衡价格和均衡数量分别为P e＝6，Q e＝20。如图2—1所示。 图2—1 (2)将由于消费者收入水平提高而产生的需求函数Q d＝60－5P和原供给函数Q s＝－10＋5P代入均衡条件Q d＝Q s，有 60－5P＝－10＋5P 得P e＝7 将均衡价格P e＝7代入Q d＝60－5P，得 Q e＝60－5×7＝25 或者，将均衡价格P e＝7代入Q s＝－10＋5P，得 Q e＝－10＋5×7＝25 所以，均衡价格和均衡数量分别为P e＝7，Q e＝25。如图2—2所示。 图2—2 (3)将原需求函数Q d＝50－5P和由于技术水平提高而产生的供给函数Q s＝－5＋5P代入均衡条件Q d＝Q s，有 50－5P＝－5＋5P 得P e＝5.5 将均衡价格P e＝5.5代入Q d＝50－5P，得 Q e＝50－5×5.5＝22.5 或者，将均衡价格P e＝5.5代入Q s＝－5＋5P，得 Q e＝－5＋5×5.5＝22.5 所以，均衡价格和均衡数量分别为P e＝5.5，Q e＝22.5。如图2—3所示。 第二章信用、利息与利率 本章重要概念 信用：是以还本付息为条件的，体现着特定的经济关系，是不发生所有权变化的价值单方面的暂时让渡或转移。 信用制度：信用制度即为约束信用主体行为的一系列规范与准则及其产权结构的合约性安排。信用制度安排可以是正式的，也可以是非正式的。正式的信用制度是约束信用主体行为及其关系的法律法规和市场规则，而非正式的信用制度是约束信用主体行为及其关系的价值观念、意识形态和风俗习惯等。 商业信用：商业信用指工商企业之间相互提供的、与商品交易直接相联系的信用形式。它包括企业之间以赊销、分期付款等形式提供的信用以及在商品交易的基础上以预付定金等形式提供的信用。 银行信用：银行信用指各种金融机构，特别是银行，以存、放款等多种业务形式提供的货币形态的信用。银行信用和商业信用一起构成经济社会信用体系的主体。 国家信用：国家信用又称公共信用制度，伴随着政府财政赤字的发生而产生。它指国家及其附属机构作为债务人或债权人，依据信用原则向社会公众和国外政府举债或向债务国放债的一种形式。 消费信用：消费信用指为消费者提供的、用于满足其消费需求的信用形式。其实质是通过赊销或消费贷款等方式，为消费者提供提前消费的条件，促进商品的销售和刺激人们的消费。 国际信用：国际信用是指国与国之间的企业、经济组织、金融机构及国际经济组织相互提供的与国际贸易密切联系的信用形式。国际信用是进行国际结算、扩大进出口贸易的主要手段之一。 出口信贷：出口信贷是国际贸易中的一种中长期贷款形式，是一国政府为了促进本国出口，增强国际竞争能力，而对本国出口企业给予利息补贴和提供信用担保的信用形式。可分为卖方信贷和买方信贷两种。 卖方信贷：卖方信贷是出口方的银行或金融机构对出口商提供的信贷。 买方信贷：买方信贷是由出口方的银行或金融机构直接向进口商或进口方银行或金融机构提供贷款的方式。 银行信贷：国际间的银行信贷是进口企业或进口方银行直接从外国金融机构借入资金的一种信用形式。这种信用形式一般采用货币贷款方式，并事先指定了贷款货币的用途。它不享受出口信贷优惠，所以贷款利率要比出口信贷高。 国际租赁：国际租赁是国际间以实物租赁方式提供信用的新型融资形式。根据租赁的目的和投资加收方式，可将其分为金融租赁（Financial Lease）和经营租赁（Operating Credit）两种形式。 2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==； 第二章线性表 2.1 填空题 (1)一半插入或删除的位置 (2)静态动态 (3)一定不一定 (4)头指针头结点的next 前一个元素的next 2.2 选择题 (1)A (2) DA GKHDA EL IAF IFA(IDA) (3)D (4)D (5) D 2.3 头指针：在带头结点的链表中，头指针存储头结点的地址；在不带头结点的链表中，头指针存放第一个元素结点的地址； 头结点：为了操作方便，在第一个元素结点前申请一个结点，其指针域存放第一个元素结点的地址，数据域可以什么都不放； 首元素结点：第一个元素的结点。 2.4已知顺序表L递增有序，写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保持线性表的有序性。 void InserList(SeqList *L,ElemType x) { int i=L->last; if(L->last>=MAXSIZE-1) return FALSE; //顺序表已满 while(i>=0 && L->elem[i]>x) { L->elem[i+1]=L->elem[i]; i--; } L->elem[i+1]=x; L->last++; } 2.5 删除顺序表中从i开始的k个元素 int DelList(SeqList *L,int i,int k) { int j,l; if(i<=0||i>L->last) {printf("The Initial Position is Error!"); return 0;} if(k<=0) return 1; /*No Need to Delete*/ if(i+k-2>=L->last) L->last=L->last-k; /*modify the length*/ 第二章练习及答案 一、填空题 1、带动其他构件运动的构件，叫原动件。 2、在原动件的带动下，作确定运动的构件，叫从动件。 3、低副的优点：制造和维修容易，单位面积压力小，承载能力大。 4、低副的缺点：由于是滑动摩擦，摩擦损失比高副大，效率低。 5.低副是两构件通过面接触而构成的运动副；高副是两构件通过点或线接触而构成的运动副。 6、火车车轮在铁轨上的滚动，属于高副。 二、判断题（正确√；错误×） 1、两构件通过面接触组成的运动副是低副。（√） 2.机构的原动件数应等于自由度数，否则机构没有确定运动。（√） 3.在平面机构中一个低副引入两个约束。（√） 4、由于两构件间的联接形式不同，运动副分为低副和高副。（×） 5、点或线接触的运动副称为低副。（×） 6、面接触的运动副称为低副。（√） 7、若机构的自由度数为2，那么该机构共需2个原动件。（√） 8、机构的自由度数应等于原动件数，否则机构不能成立。（√） 9、平面低副引入的约束数为1。（×） 10、当ｍ个构件用复合铰链相联接时，组成的转动副数目也应为ｍ个。（×） 11、局部自由度与机构的运动是有关的。（×） 12、在机构运动简图中运动副和构件都应用规定的符号和线条表示。（√） 三、选择题 1.当机构中主动件数目（2）等于机构自由度数目时，该机构具有确定的运动。 （1）小于；（2）等于；（3）大于；（4）大于或等于。 2.下图中的平面机构由（1）复合铰链组成。 （1）复合铰链；（2）局部自由度；（3）虚约束；（4）凸轮机构； 3.在计算平面机构自由度时，应选用（3）c)图。 （1）a)；（2）b)；（3）c)； a) b) c) 4.机构具有确定运动的条件是（3）自由度数目= 原动件数目。 （1）自由度数目＞原动件数目；（2）自由度数目＜原动件数目； （3）自由度数目= 原动件数目；（4）自由度数目≠原动件数目；5.下图中的平面机构由（3）虚约束组成。 （1）复合铰链；（2）局部自由度；（3）虚约束；（4）凸轮机构； 第二章贸易术语 思考题答案 1. 试述贸易术语的含义、性质及在国际贸易中的作用。 贸易术语（trade terms），也称贸易条件、价格术语（price terms），是在国际贸易的长期实践中逐渐形成的用一个简短的概念或外文缩写来表明商品的价格构成、说明货物交接过程中有关的风险、责任和费用划分问题的专门术语。 贸易术语具有两重性，即一方面表示交货条件，另一方面表示成交价格的构成因素。 贸易术语在国际贸易中起着积极的作用，主要表现在下列几个方面： （1）有利于买卖双方洽商交易和订立合同； （2）有利于买卖双方核算价格和成本； （3）有利于解决买卖双方的争议。 2. 有关国际贸易术语的国际贸易惯例主要有哪几种？分别解释了哪些贸易术语？ 目前，国际上有关贸易术语的国际惯例有三种。 （1）《1932年华沙-牛津规则》 它对CIF合同的性质、特点及买卖双方的权利和义务都作了具体的规定和说明，为那些按CIF贸易术语成交的买卖双方提供了一套易于使用的统一规则。 （2）《1941年美国对外贸易定义修正本》 该定义对以下六种贸易术语作了解释：Ex（Point of Origin）、FOB（Free on Board）、FAS （Free Along Side）、C&F（Cost and Freight）、CIF（Cost，Insurance and freight）和Ex Dock （named port of importation）。 （3）《2000年国际贸易术语解释通则》 它解释了四组13个贸易术语。第一组为“E”组（EX WORKS），第二组为“F”组（FCA、FOB和FAS），第三组为“C”组（CFR、CIF、CPT和CIP），第四组为“D”组（DAF、DES、DEQ、DDU和DDP）。 3. 什么是《INCOTERMS 2000》？试分别指出各组术语的共同点以及13个术语的交货点。 《INCOTERMS 2000》（《2000年国际贸易术语解释通则》）是国际商会为统一对各种贸易术语的解释而制定的一种通用的有关贸易术语的国际贸易惯例。最早的版本制定于1936年，后来经过了多次修改和补充：1953、1967、1976、1980、1990年先后进行过5次修订和补充，最近的一次修订是在2000年，故称为《INCOTERMS 2000》。 它解释了四组13个贸易术语。 E组只有一个贸易术语，即EXW（工厂交货），其特点是卖方在自己的地点把货物备妥或交至买方处置之下。 F组有3个贸易术语（FCA、FAS、FOB），其共同点是卖方须将货物交至买方指定的承运人，不负责运输及保险等事宜。 C组有4个贸易术语（CFR、CIF、CPT、CIP），其共同点是卖方须签订运输合同，支付运费，但货物灭失或损坏的风险及装船和启运后发生意外所产生的费用，卖方不承担责任。 D组有5个贸易术语（DAF、DES、DEQ、DDU、DDP），其特点是卖方须承担把货物交至指定的进口国交货地点的全部费用和风险，且按D组术语成交的贸易合同，称为到货 一、基于自己创建表的操作 1：创建一张学生表student，拥有stuid,stuname,sex,三个字段，其中stuid为主键。 create table student( stuid int primary key, stuname VARCHAR(20), sex VARCHAR(20) ) 2：为该表增加一个新列score。 alter table student add(score varchar(10)); 3：修改该表score列名为stuscore。 alter table student rename column score to stuscoree; 4：为student表插入5条记录。 insert into student values(1,'张三丰','男',80); insert into student values(2,'阿悄','女',70); insert into student values(3,'陈龙','男',90); insert into student values(4,'章子怡','女',50); insert into student values(5,'张卫健','男',60); 5：查询student表中的全部数据，其中列名为中文。 select STUID as 学号,STUNAME as 姓名,SEX as 性别,STUSCOREE as 分数from student; 6：查询学生姓名和分数，并是查询结果按照学生成绩降序排列。 select STUNAME,STUSCOREE from student order by STUSCOREE desc; 7：修改所有性别为“男”的学生信息为性别为“male”。 update student set SEX='male' where SEX='男'; 8：删除所有记录。 delete from student; 9：删除student表。 drop table student; 二、基于emp表的操作 1：创建一张新表emp1，和emp表结构和记录完全一样。 create table emp1 as select*from Scott.Emp; 基于emp1表的操作： 1：选择部门30中的雇员。 select*from emp1 where DEPTNO=30 and JOB='CLERK'; 第二章需求、供给和均衡价格 1.解: （1）将需求函数Q d= 50-5P和供给函数Q s=-10+5P代入均衡条件Q d=Q s ,有:50- 5P= -10+5P 得: Pe=6 以均衡价格Pe =6代入需求函数Q d=50-5p ,得: Qe=50-5×6 或者,以均衡价格 Pe =6 代入供给函数Q s =-10+5P ,得:Qe=-10+5×6 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 图略. （2）将由于消费者收入提高而产生的需求函数Q d=60-5p和原供给函数Q s=-10+5P, 代入均 衡条件Q d=Q s有: 60-5P=-10+5P 解得Pe =7 以均衡价格Pe =7代入Q d=60-5p ,得 Qe=25 或者,以均衡价格Pe =7代入Qs =-10+5P, 得Qe=25 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7，Qe=25 （3）将原需求函数Q d=50-5p 和由于技术水平提高而产生的供给函数Q s=-5+5p ,代入均衡条件Q d=Q s,有: 50-5P=-5+5P得 P e=5.5 以均衡价格Pe=5.5代入Q d=50-5p, 得Qe=50-5×5.5=22.5 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5，Qe=22.5图略。 （4）（5）略 2.解： (1)根据中点公式计算，e d=1.5 (2)由于当P=2时，Q d=500-100*2=300, 所以，有： 22 .(100)3003 d dQ P dP Q e =- =--*= （3）作图，在a 点P=2时的需求的价格点弹性为：e d =GB/OG=2/3或者e d =FO/AF=2/3 显然，利用几何方法求出P=2时的需求的价格弹性系数和（2）中根据定义公式求出结果是相同的，都是e d =2/3 3解: (1) 根据中点公式 求得：4 3 s e = (2) 由于当P=3时，Qs=-2+2×3=4，所以 3 .2 1.54 s dQ P dP Q e = =?= (3) 作图，在a 点即P=3时的供给的价格点弹性为：e s =AB/OB=1.5 显然，在此利用几何方法求出的P=3时的供给的价格点弹性系数和（2）中根据定义公式求出的结果是相同的，都是e s =1.5 4.解： (1)根据需求的价格点弹性的几何方法,可以很方便地推知:分别处于不同的线性需求曲线上的a 、b 、e 三点的需求的价格点弹性是相等的,其理由在于,在这三点上都有: e d =FO/AF （2）根据求需求的价格点弹性的几何方法,同样可以很方便地推知:分别处于三条线性需求曲线上的a 、e 、f 三点的需求的价格点弹性是不相等的,且有e da 第2章人工智能与知识工程初步 1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s (1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。 解：定义谓词d P(x)：x是人 L(x,y)：x喜欢y 其中，y的个体域是{梅花，菊花}。 将知识用谓词表示为： (?x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花)) (2) 有人每天下午都去打篮球。 解：定义谓词 P(x)：x是人 B(x)：x打篮球 A(y)：y是下午 将知识用谓词表示为：a (?x )(?y) (A(y)→B(x)∧P(x)) (3)新型计算机速度又快，存储容量又大。 解：定义谓词 NC(x)：x是新型计算机 F(x)：x速度快 B(x)：x容量大 将知识用谓词表示为： (?x) (NC(x)→F(x)∧B(x)) (4) 不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。 解：定义谓词 S(x)：x是计算机系学生 L(x, pragramming)：x喜欢编程序 U(x,computer)：x使用计算机 将知识用谓词表示为： ? (?x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer)) (5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。 解：定义谓词 P(x)：x是人 L(x, y)：x喜欢y 将知识用谓词表示为： (?x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer)) 2 请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。 解： (2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。 解： (3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。 解：参例2.14 (4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。 解：参例2.10 (5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。 解： 思考与练习 一、单项选择题 1.下列各项中属于产品成本项目的有 ( ) A. 制造费用 B. 外购材料 C. 折旧费 D. 外购动力 2.下列各项中不应计入产品成本的是( ) A. 生产工人薪酬 B. 车间、分厂管理人员薪酬 C. 厂部管理人员薪酬 D. 车间一般耗用材料 3．下列各项中应计入产品成本的是( ) A. 因筹资支付给银行的手续费 B. 职工教育经费 C. 专设销售机构人员的薪酬 D. 车间一般耗用材料 4．下列各项中，属于直接生产费用的是( ) A. 机物料消耗 B. 辅助生产工人工资 C. 基本生产工人工资 D. 厂房折旧费用 5．下列各项中，属于间接生产费用的是( ) A. 原料费用 B. 主要材料费用 C. 车间折旧费用 D. 基本生产工人工资 6．下列各项中属于期间费用的是( ) A. 直接材料 B. 机物料消耗 C. 机修费用 D. 直接人工 7．“生产成本”账户借方登记( ) A．完工入库产品成本 B．生产过程中发生的各项生产费用 C．分配转出的劳务费用 D．尚未完工的在产品成本 8．基本生产成本应该按( )分设专栏或专行进行登记。 A.产品名称 B.成本项目 C.费用要素 D.费用项目 二、多项选择题 1. 下列各项中不应计入成本费用的支出有( ) A. 对外投资的支出 B. 购置无形资产、其他资产的支 出 C. 滞纳金、罚款、违约金 D. 专设销售机构人员的薪酬 2．下列各项属于工业企业费用要素的有( ) A. 折旧费 B. 职工薪酬 C. 直接人工 D. 税金 3．下列各项中应列入“财务费用”账户的有( ) A. 利息支出 B. 汇兑损失 C. 利息收入 D. 金融机构手续费 4．工业企业生产费用按其计入产品成本的方法进行分类，可以分为（） A. 直接生产费用 B. 直接计入费用 C. 间接生产费用 D. 间接计入费用 5．下列各项中，应该列入直接生产费用的( ) A. 原料费用 B. 机物料消耗 C. 基本生产工人工资 D. 主要材料费用 6．为了进行成本的审核和控制，必须做好的基础工作包括（） A. 制定先进可行的消耗定额 B. 建立健全原始记录制度 C. 建立健全财产物资的盘点验收制度 D. 制定企业内部结算价格7．在划分各种产品的费用界限时，应特别注意（）之间费用界限的划分。 A.盈利产品和亏损产品 B.生产费用和经营费用 C.可比产品和不可比产品 D.完工产品和在产品 8．以下税金中，属于工业企业要素费用的是( ) A．增值税 B．房产税 C．土地使用税 D．车船使用税 三、判断题 1．产品成本项目是指生产费用按其经济内容所进行的分类。 （） 2．企业为了形成和扩大生产能力，购建固定资产和无形资产等，使企业在较长的时期（多个会计年度）内受益的支出，均属收益性支出。（） 3．直接生产费用大多是直接计入费用。( ) 4．“制造费用”账户属于损益类账户。 ( ) 5．机物料消耗和辅助生产车间工人工资等, 均属间接生产费用。 ( ) 四、综合题 1．某企业2010年3月份的支出情况如下： ⑴本月生产甲、乙两种产品。其中，甲产品发生直接费用77 000元，乙产品发生直接费用33 000元，共计110 000元。 ⑵本月车间一般消耗用材料5 200元，车间管理人员薪酬3 400元，车间管理人员办公费等1 400元，共计10 000元。 ⑶购买某项固定资产，支付3 700元。 ⑷预付车间经营性租入固定资产的改良支出6 000元。（摊销期为20 定性数据分析第二章 课后答案 第二章课后作业 【第1题】 解：由题可知消费者对糖果颜色的偏好情况（即糖果颜色的概率分布），调查 者取500块糖果作为研究对象，则以消费者对糖果颜色的偏好作为依据，500块糖果的颜色分布如下表1.1所示： 表1.1 理论上糖果的各颜色数 由题知r=6，n=500，我们假设这些数据与消费者对糖果颜色的偏好分布是相符，所以我们进行以下假设: 原假设：:0H 类i A 所占的比例为)6,...,1(0==i p p i i 其中i A 为对应的糖果颜色，)6,...,1(0=i p i 已知，16 10=∑=i i p 则2χ检验的计算过程如下表所示： 在这里6=r 。检验的p 值等于自由度为5的2χ变量大于等于18.0567的概率。在Excel 中输入“)5,0567.18(chidist =”，得出对应的p 值为 05.00028762.0<<=p ，故拒绝原假设，即这些数据与消费者对糖果颜色的偏好 分布不相符。 【第2题】 解：由题可知 ，r=3，n=200，假设顾客对这三种肉食的喜好程度相同，即顾 客选择这三种肉食的概率是相同的。所以我们可以进行以下假设： 原假设 )3,2,1(3 1 :0==i p H i 则2χ检验的计算过程如下表所示： 在这里3=r 。检验的p 值等于自由度为2的2χ变量大于等于15.72921的概率。在Excel 中输入“)2,72921.15(chidist =”，得出对应的p 值为 05.00003841.0<<=p ，故拒绝原假设，即认为顾客对这三种肉食的喜好程度是 不相同的。 【第3题】 解：由题可知 ，r=10，n=800，假设学生对这些课程的选择没有倾向性，即选 各门课的人数的比例相同,则十门课程每门课程被选择的概率都相等。所以我们可以进行以下假设： 原假设)10,...,2,1(1.0:0==i p H i 则2χ检验的计算过程如下表所示： 第二章 货币资金 一、单选题 1. 我国会计惯例中使用的现金概念是（） A .狭义的现金概念 B .广义的现金概念 C .在日常会计处理中使用库存现金概念，在财务报告及金融资产中使用广义的现金概念 D ．与国际惯例一致 2. 不包括在现金使用范围的业务有 A .支付给职工家庭困难补助 B ．支付银行借款利息 C. 结算起点1000元以下的零量支出 D. 向个人收购农副产品 3. 职能分开不包括（） A. 管钱的不管账 B .印鉴分管制度 C. 出纳不得兼职收入、费用、债权、债务等账簿登记工作 D. 出纳不得登记固定资产明细账 4．确定库存现金限额时最高不准超过 A ．5 天 B ．6 天 C. 8天 D. 15 天 5.在企业开立的诸多账户中，可以提取现金发放职工工资的账户是（） A ．一般存款账户 B ．基本存款账户 C. 临时存款账户 D ?专用存款账户 实行定额备用金制度，报销时的会计分录是 （） 借记"管理费用 "贷记"库存现金" 借记"备用金 ",贷记"库存现金 " 借记 "管理费用 ",贷记 "备用金 " D. 借记"库存现金 ",贷记"备用金" 7.企业现金清查中，经检查仍无法查明原因的现金短缺，经批准后应计入（） A ．管理费用 B .财务费用 C .冲减营业外收入 D ?营业外支出 9. 银行汇票的提示付款期限为自出票日起 A . 10 天 B. 1 个月 6. A. B. C. 8.企业在进行现金清查时，查出现金溢余，并将溢余数记入“待处理财产损溢科目” 进一步核查，无法查明原因，经批准后，对该现金溢余正确的会计处理方法是（） A ．借：待处理财产损溢科目 B .借：待处理财产损溢科目 C .借：营业外收入 D .借：待处理财产损溢科目 ，后经 贷： 贷： 贷： 贷： 财务费用 销售费用 待处理财产损溢科目 营业外 收入 简答题 什么是伽利略相对性原理什么是狭义相对性原理 答：伽利略相对性原理又称力学相对性原理，是指一切彼此作匀速直线运动的惯性系，对于描述机械运动的力学规律来说完全等价。 狭义相对性原理包括狭义相对性原理和光速不变原理。狭义相对性原理是指物理学定律在所有的惯性系中都具有相同的数学表达形式。光速不变原理是指在所有惯性系中，真空中光沿各方向的传播速率都等于同一个恒量。 同时的相对性是什么意思如果光速是无限大，是否还会有同时的相对性 答：同时的相对性是：在某一惯性系中同时发生的两个事件，在相对于此惯性系运动的另一个惯性系中观察，并不一定同时。 如果光速是无限的，破坏了狭义相对论的基础，就不会再涉及同时的相对性。 什么是钟慢效应 什么是尺缩效应 答：在某一参考系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫固有时。固有时最短。固有时和在其它参考系中测得的时间的关系，如果用钟走的快慢来说明，就是运动的钟的一秒对应于这静止的同步的钟的好几秒。这个效应叫运动的钟时间延缓。 尺子静止时测得的长度叫它的固有长度，固有长度是最长的。在相对于其运动的参考系中测量其长度要收缩。这个效应叫尺缩效应。 狭义相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同 有何联系 答：牛顿力学的时间和空间概念即绝对时空观的基本出发点是：任何过程所经历的时间不因参考系而差异；任何物体的长度测量不因参考系而不同。狭义相对论认为时间测量和空间测量都是相对的，并且二者的测量互相不能分离而成为一个整体。 牛顿力学的绝对时空观是相对论时间和空间概念在低速世界的特例，是狭义相对论在低速情况下忽略相对论效应的很好近似。 能把一个粒子加速到光速c 吗为什么 答：真空中光速C 是一切物体运动的极限速度，不可能把一个粒子加速到光速C 。从质速关系可看到，当速度趋近光速C 时，质量趋近于无穷。粒子的能量为2 mc ，在实验室中不存在这无穷大的能量。 什么叫质量亏损 它和原子能的释放有何关系 答：粒子反应中，反应前后如存在粒子总的静质量的减少0m ?，则0m ?叫质量亏损。原子能的释放指核反应中所释 放的能量，是反应前后粒子总动能的增量k E ?，它可通过质量亏损算出20k E m c ?=?。 在相对论的时空观中，以下的判断哪一个是对的 （ C ） （A ）在一个惯性系中，两个同时的事件，在另一个惯性系中一定不同时； 第二章热力学第一定律 1.热力学能就是热量吗? 答：不是，热是能量的一种，而热力学能包括内位能，内动能，化学能，原子能，电磁能，热力学能是状态参数，与过程无关，热与过程有关。 2.若在研究飞机发动机中工质的能量转换规律时把参考坐标建在飞 机上，工质的总能中是否包括外部储能？在以氢氧为燃料的电池系统中系统的热力学能是否包括氢氧的化学能？ 答：不包括，相对飞机坐标系，外部储能为0； 以氢氧为燃料的电池系统的热力学能要包括化学能，因为系统中有化学反应 3.能否由基本能量方程得出功、热量和热力学能是相同性质的参数 结论？ 答：不会，Q U W ?为热力学能的差值，非热力学能，热=?+可知，公式中的U 力学能为状态参数，与过程无关。 4.刚性绝热容器中间用隔板分为两部分，A 中存有高压空气，B 中保持真空，如图2-1 所示。若将隔板抽去，分析容器中空气的热力学能如何变化？若隔板上有一小孔，气体泄漏入 B 中，分析A、B 两部分压力相同时A、B 两部分气体的热力学能如何变化？ 答：将隔板抽去，根据热力学第一定律q u w w=所以容 =?+其中0 q=0 器中空气的热力学能不变。若有一小孔，以B 为热力系进行分析 2 1 2 2 222111()()22f f cv j C C Q dE h gz m h gz m W δδδδ=+++-+++ 只有流体的流入没有流出，0,0j Q W δδ==忽略动能、势能c v l l d E h m δ=l l dU h m δ=l l U h m δ?=。B 部分气体的热力学能增量为U ? ，A 部分气体的热力学能减少量为U ? 5.热力学第一定律能量方程式是否可以写成下列两种形式： 212121()()q q u u w w -=-+-，q u w =?+的形式，为什么？ 答:热力学第一定律能量方程式不可以写成题中所述的形式。对于 q u w =?+只有在特殊情况下，功w 可以写成pv 。热力学第一定律是一个针对任何情况的定律，不具有w =pv 这样一个必需条件。对于公式212121()()q q u u w w -=-+-，功和热量不是状态参数所以不能写成该式的形式。 6.热力学第一定律解析式有时写成下列两种形式： q u w =?+ 2 1 q u pdV =?+? 分别讨论上述两式的适用范围. 答： q u w =?+适用于任何过程，任何工质。 2 1 q u pdV =?+? 可逆过程，任何工质 7.为什么推动功出现在开口系能量方程式中，而不出现在闭口系能量 1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q =50-5P ，供给函数为Qs=-10+5p。（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。 （2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5p。 求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。 （4）利用（1）（2 ）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。（5）利用（1）（2 ）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响. 解答: (1)将需求函数Qd = 50-5P和供给函数Qs =-10+5P 代入均衡条件Qd = Qs ,有: 50- 5P= -10+5P 得: Pe=6 以均衡价格Pe =6 代入需求函数Qd =50-5p ,得: Qe=20 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 (图略) (2)将由于消费者收入提高而产生的需求函数Qd=60-5p 和原供给函数 Qs=-10+5P, 代入均衡条件Q d= Qs ,有: 60-5P=-10+5P 得Pe=7 以均衡价格Pe=7代入Qd方程，得Qe=25 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7 , Qe=25 (图略) (3) 将原需求函数Qd =50-5p和由于技术水平提高而产生的供给函数Q =-5+5p , 代入均衡条件Qd =Qe ,有: 50-5P=-5+5P得Pe= 5.5 以均衡价格Pe= 5.5 代入Qd =50-5p ,得22.5 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5 Qe=22.5 (4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说,静态分析是在一个经济模型中根据所给的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例,在图中,均衡点 E 就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此,给定的供求力量分别用给定的供给函数Q=-10+5P 和需求函数Q=50-5P表示，均衡点具有的特征是:均衡价格P=6 且当P =6 时,有Q= Q d= Qe =20 ，同时, 化工原理练习题 五.计算题 1. 密度为1200kg.m 的盐水，以25m3.h-1的流量流过内径为75mm的无缝钢管。两液面间的垂直距离为25m，钢管总长为120m，管件、阀门等的局部阻力为钢管阻力的25％。试求泵的轴功率。假设：（1）摩擦系数λ＝0.03；（2）泵的效率η＝0.6 1.答案***** Z1＋ｕ2/2ｇ＋P1/ρｇ＋He＝Z2＋ｕ2/2ｇ＋P2/ρg+∑H f Z ＝0，Z ＝25m，ｕ ≈0，ｕ ≈0，P ＝P ∴H ＝Z ＋∑H ＝25＋∑H ∑H ＝（λ×ｌ/d×ｕ /2ｇ）×1.25 ｕ＝Ｖ/A＝25/（3600×0.785×（0.07 5） ） ＝1.573m.s ∑H ＝（0.03×120/0.075×1.573 /（2×9.81）×1.25 ＝7.567m盐水柱 H ＝25＋7.567＝32.567m N ＝Q H ρ/102＝25×32.567×120 0/（3600×102） ＝2.66kw N轴＝N /η＝2.66/0.6＝4.43kw 2.(16分) 如图的输水系统。已知管内径为d=50mm, 在阀门全开时输送系统的Σ(l+le ) =50m,摩擦系数可取λ=0.03,泵的性能曲线,在流量为 6 m3.h-1至15 m3.h-1范围内可用下式描述: H=18.92-0.82Q2. ，此处H为泵的扬程m,Q为泵的流量m3.h-1,问: (1)如要求流量为10 m3.h-1，单位质量的水所需外加功为多少? 单位重量的水所需外加功为多少?此泵能否完成任务? (2)如要求输送量减至8 m3.h-1 (通过关小阀门来达到)，泵的轴功率减少百分之多少?(设泵的效率变化忽略不计) 答案***** ⑴u=10/(3600×0.785×0.05 )=1.415[m.s-1] Σhf =λ[Σ(l+le )/d](u2/2) =0.03×(50/0.05)(1.4152/2)=30.03 Pa/ρ+W=Pa/ρ+Z g+Σhf 1 - 2 W=Z2g+Σhf 1 - 2 =10×9.81+30.03=128.13 [J.kg ] H需要=W/g=128.13/9.81=13.06[m] 而H 泵 =18.92-0.82(10) =13.746[m] H泵>H需故泵可用 ⑵N=H 泵Q 泵 ρg/η ρg/η=常数 ∴N∝H 泵Q 泵 N 前 ∝13.746×10 H泵后=18.92-0.82(8)0 . 8 =14.59 N后∝14.59×8 N后/N前=14.59×8/(13.746×10)=0.849 第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 2.1 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n 误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解： 得： 2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。 证明： 其中： ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ211 1 2 )?()?(i n i i n i i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-= 01????i i i i i Y X e Y Y ββ=+=- 即： ∑e i =0 ，∑e i X i =0 2.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什 么条件下等价?给出证明。 答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数： 使得Ln （L ）最大的0 ?β，1?β就是β0，β1的最大似然估计值。 同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小， 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, σ2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi ~N(0, σ2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。 ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ0 1 00??Q Q β β ??==? ?《基础会计学》第二章课后习题及参考答案
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