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2010年4月西城区抽样测试高三数学(文科)(含答案)

北京市西城区2010年抽样测试

高三数学试卷(文科)

本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,第I 卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷(选择题共40分)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出

符合题目要求的一项.

1.设集合{|1},{|(1)0}P x x Q x x x =>=->,下列结论正确的是 A .P Q = B .P Q R =

C .P Q ?

D .Q P ?

2.下面四个点中,在平面区域4

y x y x <+??>-?

内的点是

A .(0,0)

B .(0,2)

C .(3,2)-

D .(2,0)-

3.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 246a a +=,则5S 等于 A .10 B .12

C .15

D .30 4.若0m n <<,则下列结论正确的是 A .22m

n

>

B .11()()2

2

m

n

<

C .22log log m n >

D .112

2

log log m n >

5.甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,1x ,2x 至z 分别表示甲乙两名

运动员这项测试成绩的平均数,1s ,2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标

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准差,则有 A .,x x s s ><

B .1212,x x s s =<

C .1212,x x s s ==

D .

1212

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,x x s s <>6.阅读右面程度框图,运行相应的程序,输出 的结果为

A .

1321 B .

2113

C .

813 D .

138

7.已知双曲线2

2

13

y x -=的左顶点为1A ,右焦点为2F ,P 为双曲线右支上一点,则12PA PF

的最小值为

A .2-

B .8116

-

C .1

D .0

8.如图,平面α⊥平面β,αβ =直线l ,A ,C 是α内

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不同的两点,,B D 是β内不同的两点,且A ,B ,C D ?直线l ,M ,N 分别是线段AB ,CD 的中点。

下列判断正确的是

A . 当||2CD =||A

B 时,M ,N 两点不可能重合 B . 当||2CD =||AB 时,线段AB ,CD 在平面α上

正投影的长度不可能相等

C .M ,N 两点可能重合,但此时直线AC 与l 不可能相交

D .当AB 与CD 相交,直线AC 平行于l 时,直线BD 可以与l 相交

第II 卷(非选择题 共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。 9.i 是虚数单位,

1

1i i

++= 。 10.在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ,则点P 到点A 的距离小于1的概率为 。

11.已知||2a =,||3b =,,a b 的夹角为o

60,则|2|a b -= 。

12.已知2,0

()12lg ,0

x x x f x x x ?-≤=?+>?,若()2f x =,则x = 。

13.在ABC ?中,C 为钝角,

31

,sin 23

AB A BC ==,则角C= ,sin B = 。 14.设函数()f x 的定义域为D ,若存在非零数l 使得对于任意()x M M D ∈?

有,x l D +∈且()()f x l f x +≥,则称()f x 为M 上的l 高调函数。 现给出下列命题:

①函数1

()()2

x

f x =为R 上的1高调函数; ②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数

③如果定义域为[1,)-+∞的函数2

()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数,那么实数

m 的取值范围是[2,)+∞

其中正确的命题是 。(写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分12分)

一个盒子中装有4张卡片,每张卡片上写有1个数字,数字分别是1、2、3、4。现从盒子中随机抽取卡片.

(I)若一次抽取3张卡片,求3张卡片上数字之和大于7的概率;

(II)若第一次抽1张卡片,放回后再抽取1张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率.

16.(本小题满分12分) 已知α为锐角,且tan()24

π

α+=。

(I)求tan α的值;

(II)求

sin 2cos sin cos 2ααα

α

-的值。

17.(本小题满分14分)

如图1,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,D 为侧棱PC 上一点, 它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示. (I )证明:AD ⊥平面PBC ; (II )求三棱锥D -ABC 的体积;

(III )在∠ACB 的平分线上确定一点Q ,使得PQ ∥平面ABD ,并求此时PQ 的长

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18.(本小题满分14分)

椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,且过(2,0)点。

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(I ) 求椭圆C 的方程;设直线:l y x m =+与椭圆C 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若OAB ?直角三角形,求m 的值。

19.(本小题满分14分)

设数列{}n a 为等比数列,数列{}n b 满足n b =121(1)...2n n na n a a a -+-+++,

*n N ∈,已知123,2

m

b m b ==

,其中0m ≠。求数列{}n a 的首项和公比; (I ) 当1m =时,求n b ;

(II )

设n S 为数列{}n a 的前n 项和,若对于任意的正整数n ,都有[1,3]n S ∈,求实数m 的取值范围。

20.(本小题满分14分)

已知函数2()(),x f x x mx m e =-+其中m R ∈。 (I ) 若函数()f x 存在零点,求实数m 的取值范围;

(II )

当0m <时,求函数()f x 的单调区间;并确定此时()f x 是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果存在,请说明理由。

参考答案

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.

i 2121+ 10.4π 11.3 12.101或- 13.150°;6

322- 14.②③

注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分. 14题②③选对一个命题得两分,选出错误的命题即得零分.

三、解答题(本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评

分标准给分.) 15.(本小题满分13分) 解:(I )设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”, 任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3),(1、2、4),(1、

3、4),(2、3、4).………………………………………………………………2分 其中数字之和大于7的是(1、3、4),(2、3、4),……………………4分

所以.2

1

)(=

A P ………………………………………………………………6分 (II )设

B 表示事件“至少一次抽到3”,

第一次抽1张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:(1、1)(1、2)(1、3)(1、

4)(2、1)(2、2)(2、3)(2、4)(3、1)(3、2)(3、3)(3、4)(4、1)(4、2)(4、3)(4、4),其16个基本结果.………………………………………………8分 事件B 包含的基本结果有(1、3)(2、3)(3、1)(3、2)(3、3)(3、4)(4、3),

其7个基本结果. …………………………………………………………8分

所以所求事件的概率为.16

1

)(=

B P ……………………………………………12分 16.解:(I ),tan 1tan 1)4

tan(

α

α

απ

-+=

+………………………………………………2分

所以

,tan 22tan 1,2tan 1tan 1ααα

α

-=+=-+

所以.3

1

tan =

α ………………………………………………………………5分

(II )α

α

αααααα2cos sin cos sin 22cos sin cos 2sin 2-=-

.sin 2cos 2cos sin 2cos )1cos 2(sin 2αα

α

αααα==-=……………………8分

因为,1cos sin ,sin 3cos ,3

1

tan 22=+==

ααααα又所以

,10

1

sin 2=

α所以………………………………………………………10分

又α为锐角,所以10

10sin =

α, 所以

.10

10

2cos sin cos 2sin =-αααα……………………………………12分

17.解:(I )因为PA ⊥平面ABC ,所以PA ⊥BC ,

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又AC ⊥BC ,所以BC ⊥平面PAC ,………………2分 所以BC ⊥AD .………………………………………3分 由三视图可得,在△PAC 中,PA=AC =4,D 为PC 中点, 所以AD ⊥PC ,………………………………………2分 所以AD ⊥平面PBC ,……………………………5分 (II )由三视图可得BC =4,

由(I )知∠ADC =90°,BC ⊥平面PAC ,

又三棱锥D —ABC 的体积即为三棱锥B —ADC 的体积,…………7分

所以,所求三棱锥的体积.3

16

444212131=?????=

V …………9分 (III )取AB 的中点O ,连接CO 并延长至Q ,使得CQ =2CO ,点Q 即为所求.

因为O 为CQ 中点,所以PQ ∥OD , 因为PQ ?平面ABD ,OD ?平面ABD ,

所以PQ ∥平面ABD ,……………………………………………………12分 连接AQ ,BQ ,四边形ACBQ 的对角线互相平分,

所以ACBQ 为平行四边形,所以AQ =4,又PA ⊥平面ABC , 所以在直角△PAQ 中,

.2422=+=

AQ AP PQ ……………………………………………14分

18.解:(II )已知

,14

,232

==a a c …………………………………………3分

所以3,2==c a , 又.1,222=+=b c b a 所以

所以椭圆C 的方程为.14

22

=+y x ………………………………5分 (II )联立,1

422

??

???+==+m x y y x

消去y 得,0448522=-++m mx x ………………………………6分

,8016)1(8064222+-=--=?m m m

.55,08016,02<<->+->?m m 解得即令………………7分

设A ,B 两点的坐标分别为),,(),,(2211y x y x

(i )当∠AOB 为直角时, 则5

4

4,5822121-=-=+m x x m x x ,…………………………8分

因为∠AOB 为直角,所以0,02121=+=?y y x x OB OA 即,…………9分 所以,0)(222121=+++m x x m x x

所以

.105

2,058588222±==+--m m m m 解得……………………11分 (ii )当∠OAB 或∠OBA 为直角时,不妨设∠OAB 为直角,

由直线l 的斜率为1,可得直线OA 的斜率为-1,

所以

111

1

,1x y x y -=-=即,………………………………………………12分

又,14

22

=+y x …………………………………………………………13分

所以

,55

2,145121±==x x

,55

4

2111±

=-=-=x x y m ………………………………14分 依题意,0,55≠<<-m m 且

经检验,所求m 值均符合题意,综上,.55

41052和的值为±

m 19.解:(I )由已知.,111m a a b ==所以…………………………2分

,2

,232,2221212m

a m a a a a

b -==

++=解得所以…………4分

所以数列.2

1

}{-=q a n 的公比……………………………………5分

(II )当,)2

1(,11

--==n n a m 时

n n n n a a a n na b +++-+=-122)1( ………………………①,

1322)1(2

1

++++-+=-n n n a a a n na b ……………………②,…………6分

②-①得1322

3

++++++-=-

n n n a a a a n b ,…………………………7分

所以],)2

1(1[31)

2

11(1]

)21(1[2123n n n n n b ----=-----+-=-

.9

)2(26)21(9292321n

n n n n b --++=--+=……………………9分

(III )],)21(1[32)

2

1(1]

)21

(1[n n n m m S --?=----=……………………10分

因为n

n

n n m

S )2

1(133

2)2

1(11]3,1[,,0)2

1(1--≤≤

--∈>--得

由所以

注意到,当n 为奇数时),1,4

3[)2

1(1],23,1()2

1(1∈--∈--n

n

n 为偶数时当

所以n

)2

1(1--最大值为

23,最小值为.4

3

……………………12分 对于任意的正整数n 都有

n

n

m

)2

1(133

2)2

1(11--≤≤

--,

所以

.32,23

234≤≤≤≤m m

即所求实数m 的取值范围是}.32|{≤≤m m …………………………14分

20.解:(I )设m mx x x g x f +-=2)(,)(即函数有零点有零点,

所以.04,042

≤≥≥-m m m m 或解得…………………………3分

(II ),)2()()2()(2

x

x

x

e m x x e m mx x e m x x

f +-=?+-+?-='…………5分 令,20,0)(-==='m x x x f 或得 因为,02,0<-

;

)(,0)(,)0,2(;)(,0)(,)2,(单调递减函数时当单调递增函数时当x f x f m x x f x f m x <'-∈>'--∞∈

.)(,0)(,),0(单调递增函数时当x f x f x >'+∞∈……………………7分

此时,)(x f 存在最小值.………………………………………………8分

)(x f 的极小值为.0)0(<=m f ……………………………………9分

根据)(x f 的单调性,)(x f 在区间),2(+∞-m 上的最小值为m ,…………10分

解)(x f =0,得)(x f 的零点为2

4242221m m m x m m m x -+=

--=和,

结合x e m mx x x f ?+-=)()(2,

可得在区间.0)(,),(),(21>+∞-∞x f x x 上和…………………………11分

因为,0,021x x m <<<所以

并且244224)2(221m

m m m m m m m x --+-=

+---=-- ,012

)

2(42|2|424442>=--+-=--+-=+--+->m m m m m m m

即,21->m x ………………………………………………………………13分

综上,在区间),2()(,0)(,),(),(21+∞->+∞-∞m x f x f x x 在区间上和上的最小值为m ,m <0,

所以,当m <0时)(x f 存在最小值,最小值为m .…………………………14分