新课程·数学选修4-2 矩阵与变换（学案）
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第01课时 矩阵的概念
一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理
1．在数学中，将形如13??????，80908688??
????
，23324m ????-??这样的__________________称做矩
阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________
________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵．
2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵．
3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________．
4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ．
三、例题讲解
例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)．
例2． 设31,422x y A B z ????
==????--????，若A = B ，求x ，y ，z ．
例3． 已知n 阶矩阵112212124
7712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=????????????
L L L L L L L
L L L L L L L ，其中每行、每列都是等差数列，ij
a 表示位于第i 行第j 列的数．
(1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式．
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四、巩固练习
1. 画出矩阵143111-??
??-??所表示的三角形，并求该三角形的面积．
2. 设1,32x m n x y A B y x y m n ++????
==????--????，若A = B ，求x ，y ，m ，n ．
3. 已知二元一次方程组的系数矩阵为4231??
????-，方程组右边的常数项矩阵为32??????，试写出该方程组．
4. 设M 是一个3×3的矩阵，且规定其元素2,1,2,3,1,2,3ij a i j i j =+==，试求M ．
5. “两个矩阵的行数和列数分别相等”是“两个矩阵相等”的___________________条件．
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第02课时 二阶矩阵与平面列向量的乘法
一、要点讲解
1．二阶矩阵与平面列向量在乘法规则： 2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义： 二、知识梳理
1．行矩阵[]1112a a 与列矩阵1121b b ??
????的乘法规则：[]
1112a a 1121b b ??
????=___________________． 2．二阶矩阵11122122a a a a ??????与列向量00x y ??????
的乘法规则：11
122122a
a a a ??????00x y ??
????
=________________． 一般地两个矩阵只有当____________________________________时才能进行乘法运算． 3．一个列向量x y ??????左乘一个2×2矩阵M 后得到_________________，如果列向量x y ??
????
表示
一个点P （x ，y ）,那么列向量x y ??
????
左乘矩阵M 后的列向量就____________________．
4．对于平面上的任意一个点（向量）（x ，y ）,若按照对应法则T ，__________________，
则称T 为一个变换，简记为：T ：(,)(,)x y x y ''→或T ：x y ??????→x y ''??
????．
5．一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：x y ??
????
→x y '????'??=ax by cx dy +????+??，那么根据
二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：__________________________的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈R ）．
6．由矩阵M 确定的变换，通常记为T M ，根据变换的定义，它是______________________
的一个映射，平面内的一个图形它在T M 的作用下得到一个新的图形． 三、例题讲解
例4． 分别计算下列乘法运算的结果． （1）122234???????????? （2）102014????
???????? （3）012104????????????
（4）0011??????24??????
．
例5． (1)已知变换1432x x x y y y '→='????????
????????????????
，试将它写成坐标变换的形式． (2)已知变换3x x x y y y y '-→='??????
????????????
，试将它写成矩阵的乘法形式．
例6． 已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成P 1(3，－4)，Q 1(0，5)，
求变换矩阵A ．
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四、巩固练习
6．(1)已知'32'0.54x x x y y y -????????
→=????????????????
，试将它写成坐标变换的形式； (2) 已知'5'6x x y y y x ??????
→=????????????
，试将它写成矩阵乘法的形式．
6. 求点(x ，y )在矩阵1002??
????对应的变换作用下对应点的坐标．
7. 已知变换T 把平面上的点(2，－1)，(0，1)分别变换成点(0，－1)，(2，－1) ，试求变换T 对应的矩阵．
8. 直线l ：x + 2y + 3 = 0在矩阵1201M =??
????
对应的变换作用下为l ′，求l ′ 的方程． 9. 已知a ，b ∈R ，若13a M b -=??
????
所对应的变换T M 把直线l ：3x - 2y = 1变换为自身，试
求a ，b 的值．
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第03课时 恒等变换与伸压变换
一、要点讲解 1．恒等变换： 2．伸压变换： 二、知识梳理
1．______________________________称为恒等变换，这时称矩阵M 为__________________， 二阶单位矩阵一般记为E ，平面上任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．
2．_____________________________________________称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M = 001k ??
????
或M = 100k ??
????
伸压变换矩阵． 3．当k > 1时，伸压变换M =001k ??
????
确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_________，纵坐标__________；当0 < k < 1时，伸压变换M =001k ??
????
确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_____________，纵坐标__________．
4．当k > 1时，伸压变换M =100k ??????
确定的变换，将原来平面图形上的横坐标________，纵坐标_________________；当0 < k < 1时，伸压变换M =100k ??
????
确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_________，纵坐标________________________． 5．在伸压变换之下，直线仍然变为_________，线段仍然变为___________．
6．恒等变换是_______________的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究． 三、例题讲解
例7． 设1100,20201M N ??
????==????????
，试求曲线C ：y = sin x 在矩阵M ，N 对应的变换先后两次作用下得到曲线的方程．
例8． 验证圆C ：224x y +=在矩阵1002A ??
=????
对应的伸压变换下为一椭圆，并求此椭圆的方程．
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四、巩固练习
10. 若矩阵M =0120??????，向量12??=????α，11-??
=????β，求证：()()()λμλμ+=+M M M αβαβ．
11. 在平面直角坐标系中xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵2001??
=????
M 对应的变换作用下
得到曲线F ，求曲线F 的方程．
12. 若直线y = 5x - 5在二阶矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y = x - 1，求矩阵M ．
13. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)，(－2，1)变换成点(－1，－1)，(0，－2)． (1) 求变换矩阵M ．
(2) 设直线l 在变换作用下得到了直线m ：x - y = 4，求直线l 的方程．
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第04课时 反射变换
一、要点讲解 1．反射变换： 2．线性变换： 二、知识梳理
1．_________________________________________________的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点． 2．(1)变换T 使图形F 变成与F 关于x 轴对称的图形，则变换矩阵为________________； (2)变换T 使图形F 变成与F 关于y 轴对称的图形，则变换矩阵为________________； (3)变换T 使图形F 变成与F 关于原点对称的图形，则变换矩阵为________________； (4)变换T 使图形F 变成与F 关于直线y =x 对称的图形，则变换矩阵为____________． 3．二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做_____________．
一般地，12()M λλ+=αβ______________________________，其中12,λλ为任意实数． 三、例题讲解
例9． 求出曲线4y x =在矩阵0110??
????
作用下变换所得的图形．
例10． 已知矩阵0101,1010M N -==????
????????
．在平面直角坐标系中，设直线2x - y + 1 = 0在变换T M ，T N 先后作用下得到曲线F ，求曲线的方程F ．
例11． 计算0110x y --????
????????，并说明其几何意义．
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四、巩固练习
14. 若曲线y = x 2（x ≥0）在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y = x 2（x ≤0），求矩阵M ．
15. 求出曲线y = sin x 在矩阵1001-??
????
作用下变换所得的图形．
16. 椭圆2219x y +=在经过矩阵0110??
????
对应的变换后所得得曲线是什么图形？
17. 利用矩阵变换的方法求曲线y = 10x 关于原点对称的曲线的方程．
18. 已知点P (3，1)在轴反射变换T 下的新坐标为Q (1，3)．
(1)求反射变换所对应的变换矩阵M ；
(2)求曲线y 2 = x 在变换T 作用下所得到的图形．
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第05课时 旋转变换
一、要点讲解 1．旋转变换： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理
1．_______________________________________________________________称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心． 2．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为____________________; 当旋转中心为原点且顺时针旋转角α时旋转变换的变换矩阵为____________________． 3．旋转变换只会改变几何图形的______________，不会改变几何图形的_______________，旋转中心在旋转过程中______________，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定 点旋转180o 的变换相当于关于定点作中心反射变换． 三、例题讲解
例12． 求出曲线xy = - 1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线，及变换对应的矩阵．
例13． 已知A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1），求矩形ABCD 绕原点逆时针
旋转90°后得到的图形，并求出其顶点坐标．
例14． 已知椭圆C ：x 2 + y 2 + xy = 3，将曲线C 绕原点O 顺时针旋转4
π
，得到椭圆C ′．
(1)求椭圆C ′ 的标准方程； (2)求椭圆C 的焦点坐标．
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四、巩固练习 19.
若点A 在矩阵cos sin sin cos ααα
α-??
????
对应的变换作用下得到的点为(1，0)，求α．
20. 设点P 的坐标为（1，－2），T 是绕原点逆时针方向旋转3
π
的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵，并求点P 在T 作用下得到的点P ′ 的坐标．
21. 若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1
，C （0，2），A ′（0，0），C ′
1），试求矩阵M 以及点B ′ 的坐标．
22. 将抛物线E ：y 2 = 4x 绕它的顶点逆时针旋转60°，得到曲线E ′，求曲线E ′ 的焦点坐标和准线方程．
23. 已知曲线C ：xy = 1．
(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′ 的方程； (2)求曲线C 的焦点坐标．
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第06课时 投影变换
一、要点讲解 1．投影变换：
2．投影变换的特征： 二、知识梳理
1．______________________________________________________________称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵． 2．(1)将坐标平面内的图形垂直投影到x 轴上的变换矩阵为_______________； (2)将坐标平面内的图形垂直投影到y 轴上的变换矩阵为________________；
(3)将坐标平面内的图形沿y 轴方向垂直投影到直线y = x 轴上的变换矩阵为__________． 3．投影变换_______映射，但________一一映射． 三、例题讲解
例15． 求点A (3，1)，B (2，3)，C (3，2)在矩阵1000??
????
变换成的点的坐标，并回答以下问
题：
(1)该矩阵把直线AB 变成什么图形？(2)该矩阵把线段AC 变成什么图形？
例16． 研究直线y = mx + 1 (m ∈R )在矩阵1010-??????
对应的变换作用下得到的图形．
例17． 求出椭圆x 2
+2
4
y
=1在矩阵0001??????对应的变换作用下得到的图形．
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四、巩固练习
24. 若曲线y = sin x 在矩阵M 对应的投影变换作用下变成直线y = 0，试求矩阵M ．
25. 研究矩阵0101??????
所确定的变换．
26. 求曲线y 2 = x 在矩阵1000??????
对应的变换作用下得到的图形．
27. 已知变换T 是将平面内的图形沿y 轴方向投影到直线y = 2x 上的变换，试求它的变换矩阵M ．
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第07课时 切变变换
一、要点讲解
1．切变变换的概念： 二、知识梳理 1．由矩阵M =10
1k ?
?
????或N = 1
01k
?
?
????确定的变换称为_____________变换，对应的矩阵称为切
变变换矩阵． 2．矩阵101k ??
?
???
把平面上的点(,)x y 沿_________方向平移________个单位，当ky > 0时，沿
____________移动，当ky < 0时，沿____________移动，当ky = 0时，原地不动．此变换下，____________为不动点． 3．矩阵101k ??
?
???
把平面上的点(,)x y 沿_________方向平移________个单位，当kx > 0时，沿
____________移动，当kx < 0时，沿____________移动，当kx = 0时原地不动．此变换下，____________为不动点． 4．切变变换有如下性质：(1)某一个坐标轴上的点是___________；(2)保持______________，点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的．切变变换的实质是_______________________． 三、例题讲解
例18． 已知矩形ABCD 在变换T 的作用下变成平行四边形A ′B ′C ′D ′，其中A (0,0)，B (1,0)，
C (1，2)，
D (0，2)，A ′(0，0)，B ′(1，1)，C ′(1，3)，D ′(0，2)，试求变换T 对应的矩阵M ．
例19． 求出直线x = 1在矩阵1101??
-?
???
对应的变换作用下变成的图形．
例20． 试问由△OAB 到△OA ′B ′的变换对应的矩阵是什么？
A B
O
A ′
B ′
x y
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四、巩固练习 28. 研究矩阵M =1201??
?
???
所确定的变换作用，并求点(－1,1)在M 作用下的点的坐标．
29. 写出将点(x ，y )变换成点(x - 3y ，y )的变换矩阵M ．
30. 设直线y = 2x 在矩阵1301??
????
所确定的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的解析式．
31. 设椭圆
22124
x y +=在(x ，y )→(x - y ，y )对应的切变变换下变成另一个图形F ，求图形F 的
解析式．
32. 若曲线x 2 + 4xy + 2y 2 = 1在矩阵11a M
b ??=????
的作用下变换成曲线x 2 - 2y 2 = 1．
(1)求a + b 的值；(2)矩阵M 所对应的变换是什么变换？
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第08课时 矩阵乘法的概念及简单性质
一、要点讲解
1．矩阵乘法的规则： 2．矩阵乘法的简单性质： 二、知识梳理
1．两个二阶矩阵相乘的乘法法则：1112111221222122a
a b b a a b b ????=????????
________________________．
2．矩阵乘法M N 的几何意义为____________________________________________． 3．M n =_______________________(n 个M 相乘)．
4．两个二阶矩阵的乘法满足____________，但不满足______________和_______________． 5．两个矩阵乘法的几何意义是______________，反过来，____________________________． 矩阵AB 对应的复合变换顺序是_______________________________________________． 三、例题讲解 例21． (1)已知
11112222,111
12
22
2??
??
-????
?
???==????-????????
A B ，计算AB ；
(2)已知1014,0223????
==?
???-????
A B ，计算AB ，BA ；
(3)已知101010,000102??????
===????????????
，A B C ，计算AB ，AC ．
例22． 试求曲线y = sin x 在矩阵M N 变换下的函数解析式，其中1
100,2
0201??
???
?
==??????????
M N ．
例23． 已知梯形ABCD ，其中A (0，0)，B (3，0)，C (2，2)，D (1，2)，先将梯形作关于x
轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°． (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；
(2)求点A ，B ，C ，D 在T M 作用下所得到的点的坐标；
(3)在平面直角坐标系内画出两次变换后所对应的几何图形，并验证(2)中的结论．
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四、巩固练习
33. 计算011201100110??????
?
???????????
． 34. 计算41101??
????
．
35. 求使等式21023003a d b c ??????
=????????????
成立的实数a ，b ，c ，d ．
36. 已知矩阵2001,0110????
-==?
???????
A B ，
求抛物线y 2 = x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程．
37. 已知矩阵1221,2331????--==????-????
M
N ，试求满足方程M X = N 的二阶矩阵X ．
38. 已知二阶矩阵M 满足1112,0012????????==????????????????M M ，求12
1??
??-??
M ．
39. 晴天和阴天的转移矩阵A ，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为
213312
33A =??????
?
????
?今天
明天晴阴
晴阴，1878α????
??=??????
晴阴，
(1)请计算矩阵A 2，A 3，并说明它们的实际意义是什么；
(2)请用矩阵A 与向量α表示出明天、后天、再后天的天气概率．
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第09课时 逆矩阵的概念
一、要点讲解
1．二阶逆矩阵的概念： 2．逆矩阵的求法： 二、知识梳理
1．对于二阶矩阵，若有______________________，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．在六种变换中，__________变换一定不存在逆矩阵．
3．一般地，对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠??
????
，它的逆矩阵为1A -=________________． 4．若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－
1=____________．
5．已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB = AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则___________． 三、例题讲解
例24． 对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换(先T A
后T B )的结果与恒等变换的结果相同？ (1)以x 为反射轴的反射变换； (2)绕原点逆时针旋转60o作旋转变换；
(3)横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； (4)沿y 轴方向，向x 轴作投影变换； (5)纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x + 2y ，y ）．
例25． 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不
存在，请说明理由． (1)
0110??????
=A ；
(2)1
12
10??
??????
??=B ；
(3)0110??
-????
=C ； (4)1010??
?
???
=D ；
例26． 求矩阵3221??
????
=A 的逆矩阵．
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四、巩固练习 40. 已知矩阵1
22301,,231210??
??????????--??????
===B C A ，求满足AXB = C 的矩阵X ．
41. 已知矩阵1
020,1010
2??
??
???????????
?
==M N ，求矩阵M N 的逆矩阵．（用两种方法求解）
42.
已知矩阵120,0112?
????
??
?????
==A B ，求圆x 2 + y 2 = 1在 (AB )
－1
变换作用下的曲线方程．
43. 已知10431241????
-?
???-????
=B ,求矩阵B ．
44. 已知矩阵1237??
-??-??
=A ．(1)求逆矩阵A -1；(2)若矩阵X 满足31??
????
=AX
，试求矩阵X ．
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第10课时 二阶矩阵与一元二次方程组
一、要点讲解
1．二阶行列式的概念：
2．用二阶行列式求逆矩阵、解方程组： 二、知识梳理
1．如果矩阵A =a b c d ??
????
是可逆的，则__________．其中ab cd
-称为二阶行列式，记作a b c d ，即
a b c d
=____________，ad bc -也称为行列式
a b c
d
的展开式。符号记为：det A 或|A |．
2．方程组ax by m
cx dy n +=+=???
写成矩阵的形式为______________，对于系数矩阵，当__________时，
方程组有唯一解；当__________________时，方程组有无数组解． 3．令0D a b c d
=
≠，D x m b n
d
=
，D a m
y
c n =
，则方程组ax by m
cx dy n
+=+=???的解是______________． 三、例题讲解
例27． 利用行列式和逆矩阵的知识两种方法解方程组2310
4560x y x y +-=+-=???
．
例28． 利用行列式求矩阵A = 5173??
????
的逆矩阵．
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四、巩固练习
45. 设A = 1223-??????，B = 1224??
????．(1)计算行列式 | A |，| B |； (2)判断矩阵AB 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．
46. 试从几何变换的角度说明1
0,
22
x y y +=????=?的解的存在性和惟一性．
47. 已知242012350101=??????
????????????
A
，求使等式成立的矩阵A ．
48. 已知矩阵,121010
2001==????
????????????
M N ,试求曲线y = cos x 在矩阵M -1N 变换下的函数．