高中数学高考综合复习专题十八含有参数的不等式问题众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。
（1）解不等式，寻求新不等式的解集；
（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。
（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。
一、立足于“直面求解”
解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切入。
例1.设关于x的不等式
（1）解此不等式；
（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围；
（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围
分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为ax>b型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。
解：
（1）由题设，原不等式m（x+2）>m2+(x-3)(m R，m≠0)
(m-1)x>m2-2m-3(1)
∴当m>1时，由（1）解得
当m=1时，由（1）得x R;
当m<1且m≠0时，由（1）解得
∴当m>1时，原不等式的解集为
当m=1时，原不等式的解集为R
当m<1且m≠0时，原不等式的解集为
（2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得
∴此时m的取值范围为{5}
（3）注意到x=3 为不等式的解，将x=3代入（1）得：
3（m-1）>m2-2m-3m2-5m<0 0 ∴此时所求m的取值范围为（0，5） 点评：对于（2），已知含参不等式的解集，要求的是所含参数m的取值范围。对此，我们正是立足于（1）直面求解，由已知解集的特征断定m-1>0以及，m的取值或取值范围由此而产生。 例2．已知关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。 分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x= -2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。 解：不等式x2-x-2>0 (x+1)(x-2)>0x<-1或x>2 ∴不等式x2-x-2>0的解集A=（-∞，-1）∪（2，+ ∞），显然-2∈A 不等式2x2+(2R+5)x+5R<0 (x+R)(2x+5)<0① 设这一不等式的解集为B，则由-2B，得：（-2+R）（-4+5）<0R<2② 注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1= -R，， ∴ (1)当时, 由①得,即此时-2 B (2)当时,由①得 ∵{x|x A∩B,x Z}={-2} ∴③ 于是由②、③得所求实数的取值范围为[-3，2） 点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R<0的解集为B，而后首先由-2 B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。 首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。 二、致力于“化生为熟” 化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的题”。而对 所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。 1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。 二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。 例1.若不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a的取值范围。 分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。 解：不等式 [（a-1）x+1](x-1)<0[（1-a）x-1](x-1)>0① 解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a>0且1-a≠1 以下以①式左边多项式的根与1的大小为主线展开讨论： （1）当0<1-a<1即0 ∴由①得x<1或 ∴由题设条件得 （2）当1-a>1，即a<0时 ∴由①得或x>1这与题设条件不符 于是由（1）、（2）所得a的取值范围为{} 解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知） 原不等式[（1-a）x-1](x-1)>0 又原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞） 注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根 ∴ ∴所求a的取值范围为 点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形” 一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）>0 的解集为（-∞，x1）∪(x2,+∞),则必需 （1）a·c>0 （2）x1为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x2为方程ax+b=0或cx+d=0的实根； 例2.若不等式的解集为(-3,-1) ∪[2,+ ∞）,求实数a的值 分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用. 解:原不等式(x+a)(x2+4x+3) ≥0(x2+4x+3≠0) (x+1)(x+3)(x+a)≥0(x≠-1,且x≠-3) 设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x≠-3且x≠-1) 则原不等式f(x) ≥0 由题设知x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0a=-2 ∴所求实数a=-2 点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。 2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题， 集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。 例1.若对中的一切实数a，满足不等式 分析：注意到各不等式的解组成集合，为将已知的两不等式的“解”之间的关系转化为两个集合之间的关系，首先从化简两个不等式的解集切入 解：设集合A={x| |x-a| 则：A=(a-b,a+b)（1） 设集合 则：（2） 由题设知A≤B， 故由①，②得： 注意到 又 ∴由(3)得(5) 同理由(4)得(6) 再注意到这里b>0,于是由(5)、（6）得b的取值范围为。 点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。 例2.要使满足关于x的不等式2x2-9x+a<0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+3<0和x2-6x+8<0中的一个，求实数a的取值范围。 分析：根据例1的解题经验，我们以求出有关不等式的解集切入，而后利用有关解集之间的关系突破。 解:设A={x|x2-4x+3<0}，则A=（1，3）； B={x|x2-6x+8<0},则B=（2，4）； ∴A∪B=（1，4） 设C={x|2x2-9x+a<0}, 则由题设得C A∪B，即C（1，4） 又设f(x)= 2x2-9x+a 则f(x)的图象是以直线为对称轴且开口向上的抛物线 ∴由C（1，4）得{x|f(x）<0}(1,4) 于是可知实数a的取值范围为 点评：上述解答进行了两次转化：第一次是转化为集合间的关系：C A∪B；第二次是注意到2x2-9x+a<0为二次 不等式，于是在C A∪B=（1，4）的基础上，进一步将问题转化为已知一元二次不等式的解集，而这样的问题恰是我们所熟悉的，于是解题胜利在望。 配伍练习： 已知三个不等式： （1）|2x-4|<5-x; （2） （3）2x2+mx-1<0 ， 若同时满足不等式（1）、（2）的x也满足（3），求m的取值范围。 点拨：此题的题面与例2颇为相似，若设不等式（1）、（2）、（3）的解集分别为A、B、C，则转化为有关集合间的关系，也颇为顺畅；只是在立足于A∩B C实施第二次转化时会遇到新的情况，如何完成第二次转化？请同学们实践中品味和感知。 3、化生为熟之三：转化为二次不等式 在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件乃是我们正面解决含参不等式问题的唯一的理论依据: ax2+bx+c>0对任何x R恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0; ax2+bx+c<0对任何x R恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0; 而与上述不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的,是在其基础上滋生出的关于最值的命题： μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值或μ≤f(x)的下确界 μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值或μ≥f(x)的上确界 例1. （1）若对于任意X R恒有,求m的值 （2）已知不等式|x+1|+|x-2|>m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 解： （1）注意到对任意x R，总有x2+x+1>0 ∴对任意x R 恒成立 对任意x R 恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）成立 对任意x R 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)>0成立 注意到m N*，∴m=1 （2）设f(x)=|x+1|+|x-2|,则f(x)>m对一切实数x恒成立 m ∵f(x)=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3(当且仅当-1≤x≤2时等号成立) ∴f(x)的最小值为3（当且仅当x[-1，2]时所得）（2） 于是由（1）（2）得m<3，即所求的取值范围为。 例2.若不等式对一切x R恒成立，求实数的取值范围。 分析：为化生为熟，首先考虑在不等式的等价变形过程中去掉绝对值，而后再转化为二次三项式大于0（或小于0恒成立问题）。 解：不等式 注意到 ∴原不等式对一切x R恒成立-5(3x2-2x+3) 对一切x R恒成立 ∴所求m的取值范围为（-11，9） 点评：在原不等式等价变形过程中，化整为零，使各个部分都归结为二次型不等式恒成立的问题，这也是在应用解决数学问题通用的化整为零，灵活机动的战略战术. 例3.已知三个关于x的不等式： (1)|2x-4|<5-x; (2) ; (3)2x2+mx-1<0 若同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），试求m的取值范围。 分析：本例的条件与结论与例2颇为相似，于是考虑由例2的解题思路切入并延伸。 解：将（1）（2）联立，得： 0≤x<1或2 设不等式（1）的解集为A，（2）的解集为B（3）的解集为C 则有A∩B=[0，1）∪（2，3） 由题设知，即[0，1）∪（2，3） C ∴再由题设知，当x[0，1）∪（2，3）时，不等式（3）恒成立 当x[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-1<0恒成立 注意到当x=0时，2x2+mx-1<0显然成立， ∴当x[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-1<0恒成立 设 则由1）得m m 注意到g(x)在（0，1）∪(2,3)内为减函数 ∴g（x） 又 g(x)的下确界为 ∴由（2）（3）得，即所求m的取值范围为 点评：题面与第一步的转化都与前面的例2“有着惊人的相似之处”，但是第二步的转化却有着明显的差异：前者是转化为已知二次函数f(x)<0的解区间（1，4）的充要条件，后者是转化为含参不等式的恒成立问题，大家在解题与总结时要注意比较品悟，这些“形似”但“神不似”的问题 三、借重于“变量转换” 当我们面对生疏复杂的无理函数或复合函数问题时，循着哲学中“量变促质变”的原理，可借重“变量替换”这一量的变换，促使有关问题向其对立的方向转化，转化为我们所熟悉的有理函数或比较简单的问题，以“量变”促发“质变”，乃是我们解决比较复杂问题的基本策略之一. 例1.若不等式的解集为（4，b），求a,b的值 分析：此类问题在一元二次不等式板块中经常出现。 注意到我们对一元二次不等式的认知： ax2+bx+c>0的解集为（x1, x2）a<0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。 ax2+bx+c>0的解集为（-∞, x1）∪（x2,+∞）a>0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。 于是由此不等式所含的数和ax想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。 解：设t=，则t≥0 且原不等式 ∴由题设知关于t的不等式(t≥0)的解集为（2，） ∴一元二次方程的两根为2， ∴由韦达定理得 由此解得 ∴ 点评：这里“化生为熟”的手段是“换元”，变量转换，是使问题完成从“无理”向“有理”的质的转变的重要手段. 例2．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是减函数，当x[0，]时，f（sin2x-msinx+m）+f(-2)>0恒成立，求m的取值范围. 分析：注意到这里含有抽象的函数符号“f”，故首先想到通过“反用”单调性的定义脱去“f”，将所给问题转化为普通的不等式恒成立的问题；又注意到“f ”之下是关于sinx的二次三项式，为使有关不等式以及解题过程双双简明，考虑第二次转化时运用变量转换. 解：由f(x)为奇函数得-f(-2)=f(2) ∴f(sin2x-msinx+m)>-f(-2)当x[0，]时恒成立 f(sin2x-ms inx+m)>f(2)当x[0，]时恒成立① 令sinx=t,则由x[0，]得0≤t≤1 ∴由①得f(t2-mt+m)>f(2) 当t[0，1]时恒成立② 又∵f(x)在R上为减函数， ∴由②得t2-mt+m<2当t[0，1]时恒成立 m（1-t）<2-t2当t[0，1]时恒成立③ 当t=1时，对任意m R都有m(1-t)<2-t2成立④ 当t≠1时，令g(x)=(0≤t<1) 则由③得m m ∵g(t)= = 易知g(t)在[0,1）内递增，∴g(t)有最小值g(0)=2 ∴由⑤得m<2⑥ 于是由④，⑥得所求m的取值范围为（-∞，2） 点评：回顾上述解题过程，在脱去符号“f“之后，首先借助换元，促使关于sinx的二次不等式恒成立的问题，转化为关于t的二次不等式恒成立的问题，完成化繁为简的第一次转化；在此基础上进而由对③式的“主元转换”切入，使问题进 一步转化为g(x)= （0≤t<1）的值域问题，从而完成了化生为熟的第二次转化. 解决比较复杂的函数问题，问题转化往往不能一步到位，此例的解法，为我们提供了一个两次转化，自然顺畅的解题示范，请大家细细品悟. 四、尝试于“主元转换” 在数学问题中，主要变量之外的其它变数都称为参数（参量），然而，“主要”与“次要”是辩证的统一：它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通，因此，在数学的解题研究中，当我们以熟悉的“主元”切入而面临繁难的境地时，则可考虑利用“主元”与“参数”之间的辩证关系实施“主元转换”；尝试以原来的参数作为“主元”进行考察，从而以全新的角度审视和分析问题，解题由此而引入新的境地，获得简明的解题思路与解题过程便在情理之中了. 例1.如果不等式2x-1>m（x2-1）对于m[-2，2]成立，求x的取值范围 分析：注意到这里限定m的范围，所以若将已知不等式视为关于m的一次型不等式，则所给问题便转化为：已知关于m的一次型不等式在m[-2，2]上恒成立，求其系数中所含x的取值范围，于是，利用一次函数的单调性便可轻易破解 解：原不等式（1-x2）m+(2x-1)>0 f(m)=(1-x2)m+2x-1 则f(m)为m的一次函数或常数函数，其几何意义为直线， 于是原不等式对任意m [-2，2]成立 ∴x∈ 点评：上述解法的详细过程为分类讨论: （i）当1-x2>0-1 ∴由f(m)>0(-2≤m≤2)得f(-2)>0 (ii)当1-x2<0x<-1或x>1时,f(m)在[-2,2]上为减函数 ∴由f(m)>0(-2≤m≤2)得 (iii)当1-x2=0x=±1时 当x=1时f(m)=1>0 当x=-1时f(m)=-3>0不成立, 综上(i)(ii)(iii)得所求的x的取值范围为 例2. 已知对于满足p=16sin3α,且α[-,]的所有实数p,不等式log22x+plog2x+1>2log2x+p恒成立,求实数x的取值范围. 分析:由题设易得p[-2,2],所给不等式为log2x的二次不等式,也可视为P的一次型不等式,由此想到以P为主元考察并转化问题. 解：由P=16sin3α, ① 又不等式log22x+plog2x+1>2log2x+p log22x+(P-2) log2x+(1-P)>0(以x为主元) （log2x-1）P+（log22x- 2log2x+1）>0 (以P为主元)② 设f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2③ 注意到当log2x=1即x=2时原不等式不成立 故f(p)为p的一次函数，并且由①②得所给问题等价于f(p)在区间[-2，2]上恒大于0 ∴所求实数x的取值范围为 点评：在这里不可忽略考察（3）中P的关系log2x-1=-0的料情形，事实上，当log2x-1=0即x=2时原不等不成立，故这里x≠2，即这里的f(p)不存在为常数求的情形 若a,b[-11]且a≠b，则有 （1）判断f(x)在区间[-1，1]的单调性； （2）解不等式 （3）若f(x)≤m2-2am+1对所有x[-1，1]，a[-1,1]恒成立，求m的取值范围。 分析：注意到这里f(x)为轴象数，故（1）的数解只能运用数的单调性定义，而f(x)的单调性一经确定，便为（2）的推理以及（3）的转化奠定理论基础。 解： （1）设x1, x2[-1,1]且x1 并且由题设得 ∴f(x1)-f(x2)<0 ,即f(x1) ∴f(x)在区间[-1，1]上的增区数。 （2）注意到f(x1)定义域为[-1，1]，且f(x)在用区间[-1，1]递增， ∴利用增数定义为 ∴原不等式的解集为 (3)由(1)知f(x)在闭区间[-1,1]上为增函数① ∴f(x) ≤m2-2am+1在x[-1,1], [-1,1]上恒成立② m2-2am+1(-1≤a≤1)≥f(x)(-1 ≤x≤1)③ m2-2am+1≥f(1)在a[-1,1]上恒成立 m2-2am+1≥0在a[-1,1]上恒成立(以m为主元④ (-2m)a+m2≥0在a[-1,1]上恒成立(以m为主元⑤ 当g(a)=(-2m)a+m2，则g(a)为a的一次函数⑥ ∴由（5）（6）得g(a)≥0在a[-1,1]上恒成立 g(1) ≥0且g(-1) ≥0 m≤-2 或m≥2 ∴所求m的取值范围为（-∞,-m）∪[2,+ ∞] 点评：这里的解题经历三次视角的转化：第一次是由①到②，将f(x)在给定区间上递增，视为相关不等式在给定区间上恒成立；第二次是以②到③，将不等式与f(x)的最大值建立联系；第三次是从④到⑤，将关于m的二次不等式视为关于a的一次型不等式，由此，解题一步步转化，一步步走向熟悉与简明. 五、练习（高考真题） 1、（2005-辽宁卷）在R上定义运算×：x × y=x(1-y),若不等式（x-a）× (x+a)<1对任意实数x成立，则（） A．-1 2、（2005-天津卷）已知m R，设P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|≥|x1- x2|对任意实数 a[-1，1]恒成立；Q：函数在（-∞，+∞）上有极值，求使P正确且Q正确的m的取值范围。 3、（2005—辽宁卷）函数y=f(x)在区间（0,+ ∞）内可导，导函数f′(x)是减函数，且f′(x)>0，设 x0（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f(x)在点（x0 f(x0)）处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m （1）用x0 f(x0),f′(x0)表示m； （2）证明：当x（0，+∞）时，g（x）≥f(x)； （3）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a与b 所满足的关系。 分析与解答： 1、 分析：注意到我们对上面定义的陌生，故首先想到从本题对运算的定义切入，将有关不等式转化为普通不等式：由所给定义（x-a）× (x+a)<1对任意x R成立 （x-a）(1-x-a)<1对x R恒成立 x2-x+(1-a2+a)>0对x R恒成立 Δ=1-4（1-a2+a）<0 4a2-4a-3<0 故应选C 2、 分析：由P正确且Q正确推出m的范围 首先需要寻找命题P与命题Q成立时，变量m所满足的等价条件，故从命题P、Q的转化切入。 解：由x1, x2为方程x2-ax-2=0的两个实根，得 x1+x2=a，x1x2=-2 ∴命题P正确不等式对任意实数a[-1，1]成立（1） ∵-1≤a≤1,∴8≤a2+8≤9, ∴由（1）得命题P正确|m2-5m-3|≥3 m2-5m-3≤-3或m2-5m-3≥3 m≤-1或0≤m≤5或m≥6 即当m（-∞，-1]∪[0，5] ∪[6，+∞]时，命题P正确（2） 又 f′(x)的图象是开口向上的抛物线 ∴要使f(x)在（-∞，+∞）上有极值，只需f′(x)的最小值小于零 m<-1或m>4 即当m（-∞，-1）∪（4,+ ∞）时,命题Q正确（3） 于是由（2）、（3）知，当命题P、Q同时正确时， m的取值范围由（-∞，-1）∪（4,5] ∪[6，+∞）。 点评：在这里命题Q的转化：注意到f(x)在R上可导，所以f（x）在R上存在极值，只需f＇(x)可取正值、负数与零值，又f＇（x）是二次项系数为正数的二次函数，且在R上连续，故只f＇(x)的最小值小于0，这一步步化隐为明的转 化,值得我们品悟与借鉴. 3、 分析： （1）注意到导数的几何意义，考虑从写出曲线y=f(x)在（x0,f(x0)）处的切线方程切入； （2）注意到利用（1）的结果，有关函数的极值易于解决，故考虑设h（x）=g(x)-f(x)(x>0)，而后证明h(x)的最小值为0；对于（3）中的连号不等式，容易想到对其“一分为二”考察，而后“合二为一”结论. 解： （1）由导数的几何意义得： 曲线y=f(x)在（x0,f(x0)）处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)（x-x0） 即y=xf′(x0)+ f(x0)- x0f′(x0) ∴m= f(x0)- x0f′(x0) (2)证明：令h（x）=g (x)- f(x) 则h′(x)= f′(x0)- f′(x),h′(x0)=0 ∵f′(x)递减，∴h′(x)递增 ∴当x>x0时，h′(x)> h′(x0)=0 当0 ∴x0是h（x）唯一的极值点，且是最小值点 又h(x0)=g(x0)-f(x0)=0 ∴当x R+时总有h(x) ≥h(x0)=0 即当x（0，+∞）时，总有g(x)≥f(x) （3）解： 注意到不等式在[0，+∞）上恒成立，易知a>0且0≤b≤1是所给不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。 （i）关于x的不等式x2+1≥ax+b对任意x[0, +∞）恒成立(1） 设g(x)=x2-ax+(1-b)，则g′(x)=2x-a (ii) 设, 关于x的不等式,对任意x[0，+∞）恒成立 p(x) ≥0对任意x[0，+∞）成立（4） 令p′（x）=0得x=a-3 ∴当0 当x>a-3时p′（x）>0 ∴当x=a-3时，p(x)取得最小值P（a-3）(5) ∴p(x) ≥0对任意x[0，+∞）成立p(a-3) ≥0 于是综合(i),(ii)不等式的充要条件是： 易见存在a,b使成立的充要条件是 不等式 解此不等式得： ∴所求b的取值范围为 a与b所满足的关系式为 点评：循着由“粗略”到“精细”的顺序，首先考察所给连号不等式的某一局部成立的情形，从中寻出这一不等式成立的必要条件，于是，下面的讨论便可在这一条件下进行.如此，有效地减少了讨论的头绪，从而简化了整个解题过程 . 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-> 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 2020年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】 专题四数列与不等式 考向一等差数列与等比数列的计算问题 【高考改编☆回顾基础】 1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2018年新课标I卷改编】设为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【解析】 设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以. 2. 【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3，则a4 = ___________. 【答案】8- 3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列{}n a的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{}n a前6项的和为 . - 【答案】24 【解析】 【命题预测☆看准方向】 等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中 项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合. 预测2019年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2018年全国卷II 理】记为等差数列的前项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【趁热打铁】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2， a 3＋ b 3＝5，则{b n }的通项公式为 ________．【答案】b n ＝2n －1 【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，① 由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.② 联立①②，解得?????d ＝3，q ＝0 (舍去)或? ????d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 【例2】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63 4，则a 8＝________. 【答案】32 【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列{}n a 满足243a a +=， 351a a =，则公比q =_________， n a =_________． 【答案】 2 2 222n - 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 高考不等式问题专题复习 一、不等式基础题 1、不等式x 2+1＞2x 的解集是 ( ) A.{x|x ≠1,x ∈R} B.{x|x ＞1,x ∈R} C.{x|x ≠-1 ,x ∈R } D. {x|x ≠0,x ∈R} (00年成人) 2、不等式|x+3|＞5的解集为 ( ) A.{x|x ＞2|} B.｛x|x ＜-8或x ＞2｝ C.{x|x ＞0} D.{x|x ＞3} (01年成人) 3、二次不等式x 2 -3x+2<0的解集为 ( ) A.{x ︱x ≠0} B.{x ︱1 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0， ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1， 所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ， 因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5， 即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当 其他不等式综合问题 例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证： （1） 分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。 思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*） 知（1）的左端 这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。 （1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？ 以下为行文方便，记（1）的左端为 ，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证： 。（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**） （**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。 事实上，由高中数学课本上熟知的不等 式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样 （**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证： 。（3） 有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明 考点48 基本不等式(练习) 【题组一 直接型】 1．若，都是正数，且，则 的最大值为 。 a b 2a b +=()()11a b ++ 2．已知数列是等差数列，且，若，则的最大值_____. {}n a 0n a >12100500a a a ++?+=5051a a ? 3．若，则的最大值是 。 102a << ()12a a - 【题组二 换1型】 1．正实数 满足：，则的最小值为_____. ,x y 21x y +=21x y + 2．已知，，则的最小值为_______________； 0,0a b >>122a b +=a b + 3.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则 ＋的最小值是________． 4a ＋11b ＋c 4．已知，则的最小值为 。 1,0,2a b a b >>+=1112a b +- 【题组三 配凑型】 1．已知，求函数的最小值是 。 1x >-11y x x =+ + 2．若，则的最小值是 。 1a >11a a + - 3．已知实数，， ，则的最小值是 。 0a >0b >11111a b +=++2+a b 【题组四 消元型】 1．若正实数，满足，则的最小值为______. x y 2210y xy +-=2x y + 2．已知，则的最小值是_______． 22451(,)x y y x y R +=∈22x y + 3．已知实数满足，则的最小值为 。 ,x y 22455--=x xy y 222x y + 4．已知、为正实数，满足，则的最小值为______. x y 427x y xy ++=2x y + 【题组五 求参数】 1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为______。 , x y 1,12x y >>224121 x y m y x +≥--m 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 3.已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。 0m >0xy >2x y +=24m x y +≥m 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1； 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空： a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a － b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A 、ab ＞0 B 、a b > C 、a －b ＞0 D 、a ＋b ＞ 0 1.与2x <6不同解的不等式是（ ） A.2x +1<7 B.4x <12 C.－4x >－12 D.－2x <－6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1 x x +?-???--???-≥?? : 此类试题易错知识辨析 （1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 5 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______． 6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜ 3-a b ，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x － 41141+ 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结：(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
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2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用
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