附录D 判断题答案
线性规划
1.× 不一定有最优解
2.√
3.× 不一定
4.√
5.√
6.× 是非线性规划模型，但可以转化为线性规划模型
7.× 可行解集非空有界时结论正确
8.√
9.× 不一定是可行基，基本可行解对应的基是可行基
10.√
11.√
12.√
13.√
14.× 原问题可能具有无界解
15.√
16.√
17.√
18.√
19. √
20.× 存在为零的基变量时,最优解是退化的；或者存在非基变量的检验数为零时，线性规划具有多重最优解
线性规划的对偶理论
21.√
22.√
23.× 不一定
24.√
25.× 对偶问题也可能无界
26.（1）× 应为CX*≥Y*b （2）√ （3）√ （4）√ （5）√ （6）√
27.√
28.× 应为对偶问题不可行
29.× 应为最优值相等
30.× 不一定
31.× 影子价格是单位资源对目标函数的贡献
32.× 用单纯形法计算；或原问题不可行对偶问题可行时用对偶单纯形法计算
33.× 原问题无可行解
34.× 求解原问题
35.× 应为 ?
?????<-≤?≤??????>-0|m i n 0|m a x ir ir i i r ir ir i i b b b ββββ 36.√
37.√
38.× 不一定
39.√
40.× 同时变化时最优解可能发生变化
整数规划
41.× 取整后不一定是原问题的最优解
42.× 称为混和整数规划
43.√
44.√
45.√
46.√
47.×
48.√
49.× 应是1n ij
j i i j a x b My =≥∑－
50.√
目标规划
51.× 正负偏差变量全部非负
52.√
53.√
54.× 至少一个等于零
55.√
56.× 应为-=d Z min
57.√
58.× 一定有满意解
59.√
60.√
运输与指派问题
61.× 唯一
62.× 变量应为6个
63.× 一定有最优解
64.√
65. √
66.×有可能变量组中其它变量构成闭回路
67.√
68.× 有mn 个约束
69.√
70.× r(A)＝m+n －1
71.√
72.√
73.× 应为存在整数最优解，但最优解不一定是整数
74.× 效率应非负。正确的方法是用一个大M 减去效率矩阵每一个元素
75.× 变化后与原问题的目标函数不是一个倍数关系或相差一个常数关系
76.√
77.√
78.× 纯整数规划
79.√
80.× 参看第75题
网络模型
81.× 取图G 的边和G 的所有点组成的树
82.√
83.× 没有限制
84.× 容量之和为割量
85.× 最小割量等于最大流量
86.√
87.√
88.× 最大流量唯一
89.× 可以通过多条路线
90.× 单位时间内最大通过能力
91.√
92.√
93.× 不超过最小割量
94.× 等于发点流出的合流或流入收点的合流
95.×是求最短路的一种算法
96.×直到有n－1条边
97.√
98.×满足流量f ＞0
99.×最大流量与最大流是两个概念
100.×遍历每一个点。
附录E 选择题答案线性规划
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.C,D
7.B,D
8.A,C,E
9.B,E
10.B,C,E
对偶理论
11.D
12.B
13.C,D
14.A,B
15.A,D
16.B,C
17.D
18.C
19.C
20.D
整数规划
21.A
22.D
23.A,B,C,D
24.B,D
25.D
目标规划
26.B
27.D,E
28.A,C,D,E
29.A,B,C
30.D
运输与指派问题
31.A,D
32.A,D,E
33.A,B
34.B,C,D,E
35.A,B,C,D
36.B,D,E
37.A,D
38.A,B,C
39.B,C,D,E
40.A,B,E
网络模型
41.B,D
42.C
43.C
44.A,B
45.D
46.C
47.A,C,E
48.A
49.C
50.B
填空题答案
线性规划
1.（决策变量、目标函数和约束条件；目标函数是决策变量的线性函数并且求最大值或最小值、约束条件是决策变量的线性不等式组）
2.（-2）
3.（-4/3）
4.(7,3)
5.(6,2),(26)
6.(-M),(M)
7.(-4,12)
8.(0,11/3,5)
9.(MR x x x Z -+-=3212max ), (2+M,-1+2M,1+M,0,-M,0)
10.(R w =min ),(-1，-2，-1，0，1，0)
11.（非基变量） （0）
12.（1）3,0,021-<≥≥a b b （2）120,0,3,(2,0,0,0)b b a λ≥≥=-=-
13．某个λk >0且a ik ≤０（i =1，2,…,m ）
14．目标函数值大于零
线性规划的对偶理论
15.（4，-1）
16.（0，0）
17.（无可行解）
18.（80），（3，0，1）
19.(-∞，-λj +c j )
20.[2,4],[8,16]
21.B -1的第i 列
22.（10，15）
23．≤，≤
整数规划
24. ?????????==≥++-+≤+-+≤---≥+3
,2,1101)1(305)1(184)1(52221
321221121j y y y y M y x x M y x x M y x x j ，或
25. ?????????=--≥+≤-->+≤1
0)1(54)1(662
211或y M y x yM x M y x yM x
26.（分枝定界法和割平面法）
27.（x 1≤3），（x 1≥4）
28.（s -5x 4-5x 5＝-1）或（s -5/8x 4-5/8x 5＝-1/8）
29．（1，1）
目标规划
30.(不低于目标值)，（恰好等于目标值） 31. -
+-++=22111)(min d p d d p Z
32.（0，3）及（1，2）
33.（9，0，2，0）
34.（G 4＞G 1＞G 3＞G 2＞G 5）
运输与指派问题
35.（1，2，3，2，6），（4，1，2，2）
36.（1）550,010********=????
??????=Z X (2) 580,101010510152=????
??????=Z X (3) 550,010********=????
??????=Z X (4) X 1,X 3最接近最优解
37.（闭回路法），（位势法）
38.（mn ），(m+n)，(m+n －1)
39. (不包含任何闭回路)
40.（线性规划）
41.（求最小值、效率非负、工作数等于人数）
42.（B ）
43.（最少直线数等于m ）
44. (m+n －1)
45．11，30
网络模型
46.（连通）
47.（所有点）
48.（破圈法和加边法）
49.（发点v i 到点v j 的最短路长），（b (j )+w ij ）
50.（Floyd 算法）
51.（使最大服务距离达到最小、使总运量最小）
52.（单位时间内弧的最大通过能力）
53.（最大流）
54.（f ij
55.（费用）
《运筹学》课程教学大纲 课程代码：090532003 课程英文名称：Operational Research 课程总学时：40 讲课：32 实验：8 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是应用统计学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生掌握运筹学各主要分支的基本模型及其求解原理和方法技巧；通过原理介绍、算法讲解、案例分析等，使学生建立起整体优化的观念和系统分析的能力；使学生初步掌握将实际问题抽象成运筹学模型并进行模拟、预测方案和分析结果的方法，提高学生解决实际问题的能力；通过运用运筹学软件（如LINDO、LINGO等），使学生具备能用计算机软件对各类运筹学模型进行求解和对求解结果进行简单分析的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握运筹学整体优化思想及课程中各基本模型的基本概念及基本原理；线性规划、目标规划等基本模型的功能特点以及运输、分配等问题的求解方法。 2.基本能力：培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；根据实际问题抽象出适当的运筹学模型的能力；运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力和创新思维与应用能力。 3.基本技能：使学生获得运筹学的基本运算技能；运用计算机软件求解基本模型和分析结果的技能。 （三）实施说明 1. 本大纲主要依据应用统计学专业2017版教学计划、应用统计学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《运筹学教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的； 2. 教师在授课过程中可以根据实际情况酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考； 3. 教师在授课过程中对内容不相关的部分可以自行安排讲授顺序； 4. 本课程建议采用课堂讲授、讨论、多媒体教学和实际问题的分析解决相结合的多种手段开展教学。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有：数学分析、高等代数及计算机基础方面的课程。 （五）对习题课、实验环节的要求 习题的选取应体现相应的教学内容的基本概念、基本计算方法及应用，以教材上习题为主，实验环节见运筹学实验教学大纲。 （六）课程考核方式 1．考核方式：考试 2．考核目标：在考核学生对课程中各基本模型的基本概念及基本原理的基础上，重点考核学生的分析能力、模型求解能力及方法的运用和分析结果的能力。 3．成绩构成：本课程的总成绩主要由三部分组成：平时成绩（包括作业情况、出勤情况、课堂提问及小测验等）占20%，实验占10%，期末考试成绩占70%。 （七）参考书目: 《运筹学》，胡运权主编，哈尔滨工业大学出版社，2003年。
运筹学试题研究生|运筹学研究生 中国矿业大学2010～2011学年第一学期研究生 《运筹学》试卷 一、（20分）某服装厂制造大、中、小三种尺寸的防寒服，所用资源有尼龙绸、尼龙棉、劳动力和缝纫设 备，不考虑固定费用，则每件防寒服售出一件所得利润分别为10、12、13元，可用资源分别为: 尼龙绸1500米、尼龙棉1000米、劳动力4000和缝纫设备3000小时。此外，每种防寒服不管缝制多少件，只要做都要支付一定的固定费用：大号200元、中号150元、小号100元。现欲制定一生产计划使获得的利润为最大，试写出其数学模型（不求解）。 二、(20分) 已知下述线性规划问题： max z =5x 1-x 2-x 3 ?-3x 1+x 2+x 3≤11 ? -x +x +x ≥3?123 ?x ≥0, i =1, 2, 3 i ? ①用大M 法求其最优解。②写出其对偶问题。 ③用三种方法求出其对偶问题的最优解。④求使最优解不变的c 2的取值范围。 三、（20分）某公司有资金10万元，若投资于项目i (i =1,2,3) 的投资额为x i 时，其收益函数分别为g 1(x 1)=4x 1， g 2(x 2)=9x 2，g 3(x 3)=x 32，又知其中项目1投资额不
能少于2万元，项目3投资额不能超过5万元，现需要分配投资额是总收益最大。为此① 试建立该问题的动态规划模型（指出阶段的划分、状态变量、决策变量、状态转移方程、指标函数、递推关系式）。七、（10分）某公司有资金10万元，若投资于项目i (i =1,2,3) 的投资额为x i 时，其收益函数分别为g 1(x 1)=4x 1，g 2(x 2)=9x 2，g 3(x 3)=x 32，又知其中项目1投资额不能少于2万元，项目3投资额不能超过5万元，现需要分配投资额是总收益最大。为此 ①试建立该问题的动态规划模型（指出阶段的划分、状态变量、决策变量、状态转移方程、指标函数、递推关系式）。② 用逆序法求出该问题的最优解。 四、（20分）对于如下生产计划问题： 某厂生产I ，II ，III 三种产品，都分别经A ，B 两道工序。设A 工序可分别在设备A 1和A 2上完成，有B 1，B 2，B 3三种设备可用于完成B 工序。已知产品I 可在A ，B 任何一种设备上加工，产品II 可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在B 设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其它各项数据见下表： 1 该工厂计划期经营目标如下：①利润尽可能多； ②产品II 的产量要尽可能与产品I 的产量达到1:2的比例；③设备A 1和A 2的负荷（指加工产品时间）尽量保
第七章决策论 1.某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是 三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型 （1）悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3； （2）乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1； （3）折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下： S1折中收益值=0.6?50+0.4?(-5)=28 S2折中收益值=0.6?30+0.4?0=18 S3折中收益值=0.6?10+0.4?10=10 显然，应选取经营策略s1为决策方案。 （4）平均法：计算平均收益如下： S1:x_1=（50+10-5）/3=55/3 S2:x_2=(30+25)/3=55/3 S3:x_3=(10+10)/3=10 故选择策略s1,s2为决策方案。 （5）最小遗憾法：分三步 第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示； 第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示； 第三，大中取小，进行决策。故选取S1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。 （1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下： 故选取决策S2时目标收益最大。 （2）用决策树方法，画决策树如下： 3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3）， 估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。根据过去的经验，地质构造与出油量间的关系如下表所示： P (I j|θi) 构造差(I1) 构造一般(I2) 构造好(I3) 无油(θ1) 0.6 0.3 0.1 贫油(θ2) 0.3 0.4 0.3 富油(θ3) 0.1 0.4 0.5 假定勘探费用为1万元, 试确定：
习题参考答案 第二章 习 题 1.线性规划模型为： ?????? ?≥≤++≤++≤++++0 ,,1800231200214002..453max 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x t s x x x 2. 标准形式为： ?????? ?≥=-++-=++=++---+-0 ,,,,,,1002333800120035.15.1..322min 87654328325473262543 254x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x 3.（1） 最优解为（2,2），最优值为8. （2）根据等式约束得： 213--6x x x = 代入规划等价于： ??? ??≥≥+≤+++0,3-6 ..62max 2 1212121x x x x x x t s x x 先用图解法求线性规划 ??? ??≥≥+≤++0,3-6 ..2max 2 1212121x x x x x x t s x x 得最优解为（0,6）代入原规划可得最优解为（0,6,0）最优值为18.
4.（1）以21,x x 为基变量可得基可行解（3,1,0），对应的基阵为： ??? ? ??1101 以31,x x 为基变量可得基可行解（2,0,1），对应的基阵为： ??? ? ??2111 （2）规划转化为标准形式： ??? ??≥=++=++--0,,,556 23..34min 4 3214213212 1x x x x x x x x x x t s x x 以32,x x 为基变量可得基可行解（0,1,4,0），对应的基阵为： ??? ? ??0512 5. 以432,,x x x 为基变量可得基可行解（0,2,3,9），对应的典式为： 32 1 92231412=+=+=x x x x x 非基变量1x 的检验数为2 1- 。 6. (1) a=0,b=3,c=1,d=0; (2) 基可行解为(0,0,1,6,2) （3）最优值为3. 7.（1）最优解为（1.6,0,1.2），最优值为-4.4； （2）令11-=x y ，则0≥y ，11+=y x ，在规划中用1+y 替代1x ，并化标准形式。 最优解为（1,0,1），最优值为3； （3）无最优解 （4）最优解为（0,3,1）最优值为7. 8.（1）最优解为（2,0,0），最优值为4； （2）无最优解 （3）最优解为（0,0,4），最优值为4； （4）没可行解。 9.（1）最优解为（3,0,0），最优值为-15；
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：
我对管理运筹学的认识 运筹学（Operation Research—“OR”） Operation Research原意是操作研究、作业研究、运用研究、作战研究，译作运筹学。“运筹”一词出自《汉书*高帝纪》中的一段话，“上（指汉高祖刘邦）曰：‘夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外，吾不如子房’（子房是刘邦的得力辅佐大臣张良的字）。”运筹这个词具有运用筹划、运谋筹策、规划调度、运营研究等内涵。“运筹学作为一门现代科学，是在第二次世界大战期间首先在英美两国发展起来的，有的学者把运筹学描述为就组织系统的各种经营作出决策的科学手段。使用运筹学是为了应用数量化的科学方法。对要解决的问题作出最优决策，因此运筹学解决问题的核心——建立模型在经济建设中得到了极大的应用，如运输问题，动态规划等。运筹学的应用使仅凭主观作决定的时代成为过去，进入了依据科学的技术知识和数学方法量化问题，并作出最优决策的时代。 《空城计》诸葛亮误用马谡，致使街亭失守。司马懿引大军十五万蜂拥而来。当时孔明身边别无大将，只有一班文官，五千军士，已分一半先运粮草去了，只剩二千五百军士在城中。众官听得这个消息，尽皆失色。孔明登城望之，果然尘土冲天，魏兵分两路杀来。孔明传令众将旌旗尽皆藏匿，诸军各收城铺。打开城门，每一门用二十军士，扮作百姓，洒扫街道。而孔明乃披鹤氅，戴纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前凭栏而坐，焚香操琴。司马懿自飞马上远远望之，见诸葛亮焚香操琴，笑容可掬。司马懿顿然怀疑其中有诈，立即叫后军作前军，前军作后军，急速退去。司马懿之子司马昭问：“莫非诸葛亮无军，故作此态，父亲何故便退兵？”司马懿说：“亮平生谨慎，不曾弄险。今大开城门，必有埋伏。我兵若进，中其计也。”孔明见魏军退去，抚掌而笑，众官无不骇然。诸葛亮说，司马懿“料吾生平谨慎，必不弄险；见如此模样，疑有伏兵，所以退去。吾非行险，盖因不得已而用之”，我兵只有二千五百，若弃城而去，必为之所擒。 这里，司马懿不知道自己和对方在不同行动策略下的支付，而诸葛亮是知道的，他们对博弈结构的了解是不对称的，诸葛亮拥有比司马懿更多的信息，当然有。这种信息的不对称完全是诸葛亮“制造出来的”。因此这是一个信息不对称的博弈。在这里，孔明可以选择的策略是“弃城”或“守城”。无论是“弃”还是“守”，只要司马懿明确知道他自己的支付，那么孔明均要被其所擒。孔明惟一的办法就是不让司马懿知道他自己的策略结果。他的空城计是降低司马懿进攻的可能收益，使得司马懿认为，后退比进攻要好。司马懿孔明进攻后退守城(被擒，大胜)(逃脱，不胜不败)弃城(被擒，大胜)(逃脱，不胜不败)。 运筹学不是单纯的一门数学课程，而是各种生活生产实际问题的结合。它让我知道了数学不仅仅是理论的学术问题，更是具体的生活问题。而对于个人，我应该更好地学习如何将学过的知识与实际生活相运筹学又是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具，在现代化建设中发挥着重要作用。运筹学是一门综合的学科，并不仅仅是只与数学有关，但是也离不开数学知识为基础。在以后的学习当中我们更应该时刻温习，不时巩固，以达到知新的效果。将运筹学运用到实际问题上去，学以致用，这样才是真正地学到知识，掌握知识。
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= + ∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥ 0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上） 第2章 线性规划的图解法 1．解： （1）可行域为OABC 。 （2）等值线为图中虚线部分。 （3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x = 127，2157x =；最优目标函数值697 。 图2-1 2．解： （1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解12 0.2 0.6x x =??=?，函数值为3.6。 图2-2 （2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。 （5）无穷多解。
（6）有唯一解 12203 8 3x x ?=????=?? ，函数值为923。 3．解： （1）标准形式 12123max 32000f x x s s s =++++ 1211221231212392303213229,,,,0 x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥ （2）标准形式 1212min 4600f x x s s =+++ 12112212121236210764,,,0 x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥ （3）标准形式 1 2212min 2200f x x x s s ''''=-+++ 12 211 2212221 2212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥ 4．解： 标准形式 1212max 10500z x x s s =+++ 1211221212349528,,,0 x x s x x s x x s s ++=++=≥ 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2。 5．解：
《绪论》（2课时） 【教学流程图】 运筹学 运筹学与数学模型的基本概念管理学 布置作业 【教学方法】 本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。 【教学内容】 一、教学过程： （一）举例引入：（5分钟） （1）齐王赛马的故事 （2）两个囚犯的故事 导入提问：什么叫运筹学？ （二）新课：
绪论 一、运筹学的基本概念 （用实例引入） 例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？ 例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。求双方的最优策略。 乙囚犯 抵赖坦白 甲囚犯抵赖 -1，-1 -10，0 坦白 0，-10 -8，-8 定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。 二、学习运筹学的方法 1、读懂教材上的文字；
运筹学 主讲：李晓辉 南昌航空大学经管学院 １
第一章绪言 教学目的和要求： 目的：使学生对运筹学学科有一个初步的、基本的了解和认识。 要求：理解运筹学的研究对象，了解运筹学研究问题的工作步骤、运筹学的主要内容、运筹学与其他学科的关系以及运筹学的简史及应用。 重点：运筹学的研究对象、工作步骤及主要内容。 难点：运筹学的研究对象。 教学方法：讲授法 学时分配：2学时 一、运筹学的简史及应用 (一)运筹学的简史 运筹学作为一门学科诞生于20世纪30年代末期。它是一门以决策支持为目标的学科。运筹学的英文名称是Operations Research (美)或Operational Research(英)，缩写为OR，直译是作业研究，操作研究或运作研究。运筹学是OR的意译，来源于我国古代《汉书˙高帝纪》，书中记载，“上(刘邦)曰：夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外，吾不如子房(张良)。”因此运筹学具有运用筹划，出谋献策，以策略取胜等内涵。 20世纪30年代末期，第二次世界大战爆发了。当时英国为了研究“如何最好地运用空军及最新发明的雷达保卫国家”，成立了一个由各方面专家组成的交叉学科小组，这就是最早的运筹学小组。后来美国也从事这方面的研究，并取得了最快的进展。 第二次世界大战期间，英国和美国的军队中都有运筹学小组，它们研究了护航舰队保护商船队的编队问题；当船队遭受德国潜艇攻击时,如何使船队损失最小的问题；反潜深水炸弹的合理起爆深度问题；稀有资源在军队中的分配问题等等。通过研究提出了船只在受敌机攻击时,大船应急转向，小船应缓慢转向的躲避方法，该研究成果使船只的中弹率由47%降到29%；通过研究反潜深水炸弹的合理起爆深度后，德国潜艇的被摧毁数增加到原来的400%。 运筹学的早期工作历史可追溯到1914年，军事运筹学中的兰彻斯特（Lanchester）战斗方程是在1914年提出的。排队论的先驱者丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917年在哥本哈根电话公司研究电话通讯系统时，提出了排队论的一些著名公式。存贮论的最优批量公式是在20世纪20年代初提出的。在商业方面列温逊在20世纪30年代已用运筹思想分析商业广告、顾客心理。 第二次世界大战期间，英美军队中的运筹学小组研究和解决的问题都是短期的和战术性的。二次世界大战后，在英、美军队中相继成立了更为正式的运筹研究组织。并以兰德公司（RAND）为首的一些部门开始着重研究战略性问题，以及未来的武器系统的设计和其可能合理运用的方法。例如为美国空军评价各种轰炸机系统，讨论了未来的武器系统和未来战争的战略。还研究了前苏联的军事能力及未来的预报，分析了前苏联政治局计划的行动原则和将来的行动预测。二战结束后，运筹学除了在军事领域的应用研究以外，还相继在工业、农业、经济和社会问题等各领域都得到了极为广泛的应用。 在20世纪50年代中期，钱学森，许国志等教授将运筹学由西方引入我国。1957年，我国在建筑业和纺织业中首先应用运筹学。从1958年开始在交通运输、工业、农业、水利建设、邮电等方面陆续得到推广应用。比如，粮食部门为解决粮食的合理调运问题，提出了“图上作业法”，我国的运筹学工作者从理论上证明了它的科学性；在解决邮递员合理投递路线时，管梅谷提出了国外称之为“中国邮路问题”的解决方法。从60年代起，运筹学在钢铁和石油部门开始得到了比较全面、深入的应用。从1965年起统筹法在建筑业，大型设备维修计划等方面的应用取得可喜的进展。从1970起在全国大部分省、市和部门推广优选法。70年代中期，最优化方法在工程设计界受到广泛的重视，并在许多方面取得成果。排队论开始应用于矿山、港口、电讯及计算机设计等方面。图论用于线路布置，计算机设计，化学物品存放等。70年代后期，存贮论应用于汽车工业等方面并获得成功。近年来，运筹学已趋向研究和解决规模更大、更复杂的问题，并与系统工程紧密结合。 (二) 运筹学的应用 在我国古代，“田忌赛马”和“丁谓复宫”都体现了朴素的运筹学思想。 田忌赛马：战国时候齐国的国王要和大臣田忌赛马，他们各有上马，中马，下马，竞赛分三场进行，拿相同等级的马来比较，齐王的马都比田忌的好，因此每次比赛后田忌都失败。后来田忌有一个叫孙膑的门客经过分析发现田忌的上马虽劣于齐王的上马，但仍优于其中马，田忌的中马虽劣于齐王的中马，但仍优于其下马。因此孙膑提出对策，以田忌的下马对齐王的上马，以田忌的上马对齐王的中马，以田忌的中 ２
运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subjectto 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格 20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察B．应用C．实验D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量B变量C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性C 阶段性D再生性
运筹学（第2版）习题答案 第1章 线性规划 P36~40 第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页 习题一 1.1 讨论下列问题： （1）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化． （2）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路． （3）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化． （4）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化． (5)在单纯形法中，为什么说当00(1,2,,)k ik a i m λ>≤=并且时线性规划具有无界解。 1.2 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示． 310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为 1231231 23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400 150250260310120130,,0 Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤??++≤??≤≤?? ≤≤??≤≤?≥?? 1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
管理运筹学 ——管理科学方法谢家平 第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待 定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制， 保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式， 有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数
《运筹学》课程教学大纲一、课程基本信息
二、教学内容及基本要求 1．教学内容： （1）绪论：介绍运筹学发展史及运筹学研究问题的思路、过程、方法，另外着重阐述运筹学是通过建立数学模型来解决管理中的问题的基本思想。 （2）线性规划的数学模型：线性规划问题的提出及其数学模型的构造，和建立数学模型的步骤、方法。 （3）线性规划基本定理：以线性代数的数学理论为基础，研究了线性规划解的性质，存在定理及计算思路。 （4）单纯形法及应用：介绍丹立格提出的单纯形法、原理、计算过程、计算机应用程序设计，最后介绍线性规划在企业管理中的典型应用案例。 （5）对偶理论：首先从经济方面提出对偶问题，然后从数学上给出对偶问题定义，并导出任意线性规划问题的对偶问题写法。研究了一对对偶问题解之间的关系 ——对偶理论，提出对偶单纯形法。 （6）灵敏度分析及案例讨论：详细分析了线性规划问题各参数的变化对最优解的影响，并通过案例分析其在企业管理中的应用。 （7）运输问题：提出一种特殊的线性规划问题——运输问题，即从M个产地向N个销地调运货物，追求总运费最小的调运方案。指出该问题一定有最优解，并给 出求解运输问题的特殊方法：表上作业法，最后举出一些可以用运输问题数学 模型描述的实际问题的解法。 （8）目标规划：提出目标规划法—求解多目标线性规划的一种方法。把一个多目标线性规划问题，分别制成目标约束的约束条件两类限制，并构造以不同级别为 先后顺序的目标参数，以期达到距离总目标最小的决策方案——即满意解。 （9）整数规划：研究（线性）整数规划问题，提出分枝定界法，匈牙利法并研究了指派问题的特殊解法——匈牙利法。 （10）图论及其应用：研究图论中的几个极值问题。最短路问题，狄克斯拉算法和表格法，提出最大流问题的图解和标号法。最后研究了几个其它极值问题。 设备综合管理：设备管理概述；设备的选择和评价；设备维修管理；设备的更 新和技术改造。 （11）动态规划：提出动态规划的最优化原理，并在此基础上建立动态规划数学模型，动态规划基本方程找出求解动态规划问题的一般方法，最后举出一些应用实例。 （12）对策论：介绍对策论基础和基本定理，研究矩阵对策的基本理论和方法。并结合实际，研究了构造矩阵对策模型及解法。 （13）决策论：论述决策问题的类型，基本概念及决策方法与准则，研究不确定性决策模型、风险性决策模型及风险性序列决策的决策树方法。 2. 基本要求： （1）掌握运筹学各个分支的基本理论、方法，并具有一定的建立数学模型的能力； （2）能够把所学知识和方法初步应用于管理的实际问题中； （3）独立或以小组的形式分析管理应用案例。 （4）掌握计算机应用方法，并有一定的编程能力。 （5）熟练应用运筹学课程提供的软件解决实际问题。 （6）能够使用POWERPOINT 进行案例分析的演示和讲解。
运筹学 班级信息0901 姓名王伟伟学号200901010108 1、运筹学研究的特点？ 答；运筹学的研究方法有：1.从现实生活场合抽出本质的要素来构造数学模型，因而可寻求一个跟决策者的目标有关的解；2.探索求解的结构并导出系统的求解过程；3.从可行方案中寻求系统的最优解法。特点是：1.运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；2.运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；3.它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。2、运筹学解决问题的过程？ 答：应用运筹学处理问题的步骤可以概括如下： ①提出和形成问题。提出需要解决的问题，确定目标；分析问题所处的环境和约束条件。②建立模型。把问题中的决策变量、参数与目标函数和约束条件之间的关系用一定的模型表示出来。模型是研究者经过研究后用文字、图表、符号、关系式以及实体模样描述所认识到的客观对象，成功的模型对问题的解决有关键作用。③最优化。确定与模型有关的各种参数，选择求解方法，求出最优解。④解的评价。通过灵敏度分析等方法，对所求解进行分析和评价，并据此提出修正方案。⑤决策。向决策者提出决策所需的数据、信息和方案，帮助决策者决定处理问题的方案。 运筹学正朝着3个领域发展：运筹学应用、运筹科学和运筹数学。现代运筹学面临的新对象是经济、技术、社会、生态和政治等因素交叉在一起的复杂系统，因此必须注意大系统、注意与系统分析相结合，与未来学相结合，引入一些非数学的方法和理论，采用软系统的思考方法。 3、运筹学就你自己所知的分支并举例说明分支在哪些方面的应用？ 答：运筹学是一门多分支的应用学科，随着新的系统问题的不断出现，运筹学的有关分支也在不断的发展，内容在不断充实和扩大。其主要分支有：规划理论（线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、目标规划），图与网络理论，排队论，存储论，决策论，对策论，冲突分析，搜索论，可靠性理论，计划协调技术，图解协调啊技术等。 货物运输排班优化： 举例： 某港口拖车公司，自己购买了约100部大型集装箱拖车，每天公司大约有500个不同的运输订单需要完成，而其运输订单又会包括：A、进口货物运输，B、出口货物运输 其拖车作业分为很多段：拖头去拉相应的车架，之后去码头拉空箱（或重箱）；将箱运至客户处，拆箱（或装箱）；将空箱或（重箱）运输至目的地； 资源是有限的（拖头，车架），这些成为约束条件，次要的约束条件包括：码头的作业时间，船期，司机的工作时间，司机的营业额的平衡系数，等等； 在未采用运筹学进行优化调度作业之前，其拖头的利用效率（每天实际作业时间与可利用作业时间的对比为35％，单车的营业额约为3.5万元/月；） 而采用了优化调度系统之后，其车头的利用效率提升了100％，单车的营业额可以上升至5.2万元/月； 100台拖车规模的公司，采用优化调度系统之后，大概只需要3－6个月就可以收回IT方面
运筹学基础课后习题答案 [2002年版新教材] 第一章导论 P5 1.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。 定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法 定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。 举例：免了吧。。。 2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？ .观察待决策问题所处的环境； .分析和定义待决策的问题； .拟定模型； .选择输入资料； .提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）； .实施最优解； 3、．运筹学定义： 利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据 第二章作业预测P25 1、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？ 答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤） 年度 1 2 3 4 5 大米销售量实际值 （千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。 答： F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1 F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9
《基础运筹学》课程教学大纲 课程编码：12120602207 课程性质：专业必修课 学分：3 课时：54 开课学期：4 适用专业：物流工程 一、课程简介 本课程着重介绍运筹学的基本原理和方法，是物流工程专业必修课程，运筹学注重结合经济管理专业实际和其它实际问题，具有一定的深度和广度。运筹学主要内容包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析、排队论、存贮论、对策论、决策论。 二、教学目标 《运筹学》是应用数学的重要分支和管理类本科重要的学科基础课之一。运筹学教学目标归纳如下： 通过讲授、作业、上机等教学环节，学习理解与经济管理领域密切相关的运筹学基本模型与方法， 掌握运筹学整体优化的思想和若干定量分析的优化技术，能正确应用各类模型分析、解决不十分复杂的实际问题。 三、教学内容 （一）第一章线性规划 主要内容：绪论、线性规划的数学模型、图解法、线性规划的基本概念和基本定理 教学要求：理解线性规划的基本理论；掌握线性规划的数学模型与基本算法；熟练解决线性规划涉及的实际问题。 重点、难点：数学模型的标准型，图解法，线性规划的基与解，线性规划问题解的几种情况。 教学方法：理论讲授、PPT演示、例题演算 （二）第二章单纯形法 主要内容：单纯形法原理、单纯形法的表格形式、大M法和两阶段法 教学要求：理解单纯形法的基本原理；掌握单纯形法的表格形式、大M法和两阶段法；了解退化问题。 重点、难点：单纯性表中的构造初始可行基，并计算出初始检验数，从表中找出基本可行解和相应目标函数值，量忧性检验和基变换。 教学方法：理论讲授、PPT演示、例题演算 （三）第三章线性规划的对偶原理及运输问题 主要内容：线性规划的对偶问题、对偶问题的基本性质和基本定理、对偶单纯形法、灵敏度分析
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z