第八章 多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念（§8.1） Ⅰ、内容要求：
（ⅰ）理解二元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解n 维空间、多元函数概念（自学）。 （ⅱ）掌握简单的多元初等函数定义域的计算；了解二元函数极限。 （ⅲ）了解连续的概念以及有界闭域上连续函数的性质（自学）。 Ⅱ、基本题型：
（ⅰ）二元函数解析表达式的确定。
1．（4'）设xy y x f =),(，则=-+),(y x y x f 22y x - .
2．（4'）若2
2
),(y x y x y x f +=-+，则=
),(y x f 2
2
2y x +
（ 22),(y x y x y x f +=-+=[]2
2
)
()
(2
1y x y x -++）
（ⅱ）多元初等函数定义域的计算。 3．求下列多元函数的定义域： （1）（4'）].2)ln[(y x x y z --= （2）（4'）2
2
2
2
z
y x R u ---=
+
).0( 1
2
2
2
2
>>-++r R r
z y x
解：（1）{}x y x y x 2),(<<
（2）{}
22222),,(R z y x r z y x ≤++< （ⅲ）简单的二元初等函数极限计算。 4．求下列各极限： （1）（5'）
12
ln 12ln )
ln(1)ln(lim
)
1,1(),(=+=
+++→e y x e e y
x
y x ；
（2）（5'）
3
22
439lim )
0,0(),(=-+-+→xy xy y x ．（分子，父母同乘以共轭因子后化简即可）
5.是非题：一切二元初等函数在定义域内都连续 （ X ）
6.求下列函数的间断点
（1）（'
5）22ln 1z x y =+- {
}
22
((,)1)x y x y +=
（2）（'
5）
（{
}22
(,)x y x y
≤）
Ⅲ、提高题型
（ⅰ）用定义讨论极限、连续问题（自学）。
7．（7'）证明??
???
=≠+=).0,0(),(,0),
0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在)0,0(处不连续。
沿kx y =趋向于（0，0）时，2
2
2
20
00
01)1(lim
),(lim k
k x
k kx
y x f y x y x +=
+=→→→→
由于k 的任意性知，),(lim 0
0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在（0，0）处不连续。
8．（7'）证明???
?
??
?=≠+=).
0,0(),(,
0),
0,0(),(,),(2
2
y x y x y x xy y x f 在)0,0(处连续。
解：
2
222
22
2
2
2
12y
x y
x y
x y
x xy +=
++≤
+，取εδ2=即可
二、偏导数（§8.2,§8.4,§8.5）
Ⅰ、内容要求：
（ⅰ）理解二元函数偏导数的概念，记忆偏导与连续的关系。
（ⅱ）掌握具有明确解析式的多元初等函数偏导数及二阶偏导数的计算。 （ⅲ）掌握二元复合函数一阶偏导数的链式法则，学会计算二阶偏导数。 （ⅳ）学会计算一元、二元隐函数一阶偏导。 Ⅱ、基本题型：
（ⅰ）多元初等函数的偏导计算。
9．求下列函数的偏导数或偏导数值（每题7分） （1）)ln(xy z =
，求
.x z ??
（2）y
x z 2
tan
=，求
.,y
z x z ???? （3）设y
x y x y x f arcsin
)1(),(-+=，求).1,(x f x
（4）设z
y
x
u =，求).2,2,3( ),2,2,3( ),2,2,3(z y x u u u
（5）设y
xy z )1(+=，求. ,y x z z 解：（1）
xy
x y xy xy
x
z ln 211ln 21=
??=
??
（2）y
x y
x y
y
y
x y
x z x 2
2
sec
tan
21sec
tan
2=
?
=
（3） y
x y
x y
x y
x y
x y
x z y 2
2
2
2
sec
tan
2)(sec
tan
2-
=-
?=
（4）1
ln 1
-??==-z y
y y
z x y
z x x
u x y u z
z ，y y x x u z y z z
ln ln ?=
108)2,2,3(=x u ，2ln 324)2,2,3(=y u ，3ln 2ln 324)2,2,3(?=z u （5）121)1()1(--+=?+=y y x xy y y xy y z ，
??
????+?++=+xy x y xy e
z xy y y 1)1ln()
1ln( （)1ln(xy y e
z +=） ???
??
?
++
++=xy xy
xy xy y
1)1ln()1( 10．求下列函数的二阶偏导数或偏导数值。 （1）（7'）设133
2
3
+--=xy xy y x z ，求
y
x z ???2
，
x
y z ???2
，).0,1(xx f
（2）（7'）设x
y z arctan
=，求
2
2
x
z ??，.xy z 解：（1）
y y y x x
z --=??3
2233，
xy z y y x y
x z =--=???1962
22
2
2
2
6xy x
z =??
故 0)0,1(=xx f
（2）2
2
2
2
)()
(11y
x y x
y x
y
z x +-
=-
+=
，2
2
2
2
2
2
)
(22)
(y x xy x y x y z xx +=
?+=
2
2
2
222
2
2
2
2
)
()
(2)(y x x
y y x y
y y x z xy +-=
+?-+-
=
11．（7'）验证函数2
2ln y
x z +=，满足方程
.02
2
2
2
=??+
??y
z x
z
解： )l n (2
1ln 2
22
2y x y
x z +=
+=， 2
2
y x x z x +=
，2
2
y
x y z y +=
，
2
2
2
22)
(y x x
y z xx +-=
，2
2
2
22)
(y x y
x z yy +-=
故有.02
2
22=??+
??y
z x
z
（ⅱ）复合函数的偏导计算。
12．（7'）设v e z u sin =，而xy u =，y x v +=，求
x
z ??，
.y
z ??
解： [])cos()sin(cos sin y x y x y e v e v e v z u z z xy u u x v x u x +++=+=+=
[])cos()sin(1cos sin y x y x x e
v e x v e z xy
u
u
y +++=?+?=
13．（7'）设t uv z 2sin +=，而t u ln =，t v =，求全导数.dt dz
解：t t t t uv z 2sin ln 2sin +=+=，故t t dt
dz 2cos 21ln ++=
14．（7'）设),(22y x xy f z =，求
x
z ??，
.y
z ??
解：'
2'122xyf f y z x +=，'
22
'
12f x xyf z y +=
15．（7'）设)cos ,(sin 2y x f x z =，求
x
z ??，
.y
z ??
解： []0c o s )c o s ,(s i n
2'
2'12?+?+=f x f x y x xf z x '
12cos )cos ,(sin 2f x x y x xf ?+=
'
22'22sin )sin (yf x y f x z y -=-=
16．（7'）设)(u xF xy z +=，而x
y u =
，)(u F 为可导函数，求证：.xy z y
z y
x
z x
+=??+??
证明：因为 ))(()(2
'
x
y u xF u F y z x -++=，)(1)
('
'
u F x x
u xF x z y +=+=
所以 []
z xy u F x y u F x y u F y x y z
y
x
z x
+=++??
????-+=??+??)()()('
' （ⅲ）一元、二元隐函数的偏导计算（*含方程组所确定的简单隐函数）。 17．（7'）设0sin 2
=-+xy
e y x
，求
.dx
dy
解： 02c o s '2'=?--+?y xy y e y y x
?xy
y e
y dx
dy x
2cos 2
--=
18．（7'）设04222=-++z z y x ，求
x z ??，
.y
z ??
解： 0422''=-?+x x z z z x ，
z
x
x
z -=
??2，
0422'
'=-?+y y z z z y ，
z
y y
z -=
??2
19．（7'）设
y
z z
x ln
=，求. ,y x z z
解：（1）x x z z
z y z z y z z x ??+-=?-=1)ln (ln 1)ln (ln
z
x z y ez z x +=
=
ln 1
（2）)11()ln (ln 0)ln (ln y
z z z y z z y z z x y y -?+-=?-=
)
(ln
12
z x y z
y
ez y z y +=
=
20．（7'）证明0)c o s ()s i n (=-+-bz cy az cx 所确定的隐函数),(y x f z =满足.c y
z b x
z a =??+??
证明： 0))(sin())(cos('
'=-----x x z b bz cy az c az cx
)
sin()cos()
cos('
bz cy b az cx a az cx c z x ----=
0))(sin())(cos('
'
=-----y y bz c bz cy az az cx
)
sin()cos()
sin('
bz cy b az cx a bz cy c z y -----=
由上易知 .c y
z b
x
z a
=??+??
*21．（7'）设??
?=+=-.
1,0xv yu yv xu ，求
x
u ??，
.y
v ??
解：
2
2
y
x yv xu x
y
y x x v y u
x
u ++-
=----=
??，
x
y
y x u y v x
y
v --=
??2
2
y
x yv xu ++-
=
*22．（7'）设??
?
=++=++.
1,
12
2
2
z
y x z y x ，求
dy
dz ，
.dx
dz
解：（1）可用两种方法解：??
?=?+?+=++0
2220
1x x x x z z y y x z y ，
或1)1(222=+--+z z x x ，
关于x 求导得02)1)(1(22'
'=+----+x x zz z z x x
（2）
y
z z x dy
dz --=
，
z
y y x dx
dz --=
Ⅲ、提高题型：
（ⅰ）涉及定义的分段函数偏导计算（自学）。
23．（7'）证明?
????=+≠++=0
,00 ,),(222
2222
y x y x y x x y x f 在点)0,0(连续，但)0,0('
x f 不存在。
证明：
2
22
2
2
y x y
x x
+≤+，令εδ=即可，
x
x x
x x x
f x f x x x ??=???=?-?→?→?→?0
2
2
lim
)()
(lim
)
0,0()0,(lim
不存在
即 )0,0('
x f 不存在
（ⅱ）抽象复合函数二阶偏导计算。 24．（7'）设),
(2
y
x x f z =，f 具有二阶连续的偏导数，求
.2
y
x z ???
解： y
f x f z x 12'
2'1?
+?=，
??????-+?+-??????+?=???)(0111222'
'22''21'22''12''112
y x f f y f y y f x f x y x z
'
'223
'
22
'
'12'
'112124f y
x f y
f y
x f x -
-
+
=
25．（7'）设])([y x f z +=?，其中?,f 具有二阶连续偏导数，求.xy z
解：
[])(.)('
'
x y x f x
z ??+=??，
[]y x f
x y
x z +=???)()('
''2
??
（ⅲ）混合函数偏导计算（自学）。
26．（7'）设32),,(yz x z y x f =，其中),(y x z z =由方程03222=--+xyz z y x 确定， 求)1,1,1('x f ．
解： x x z z x y z x y z y x f ???+??=2
23'32),,,(，
又 1)1,1,1(0)(322-=?=+-?-x x x z xz z y z z x
1)1,1,1('
-=x f
27．（7'）设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数
),(y x f z =满足.c y
z b x
z a =??+??
解：'
2
'
1'
1'2
'
10)()(?????b a c z z b az c x x x +=
?=-+-?
'2
'1'
2
'2
'10)()(?
????b a c z bz c z a y y y +=
?=-?+-?
28．（7'）设??
?-=+=)
,(),(2
y v x u g v y v ux f u ，其中g f ,具有一阶连续偏导数，求
.,
x
v x
u ????
解： ???????????+-?=?????++?=??x v v
y g u g x v x
v f xu u f x u x x 2)1()('2'1'2'1 ?
?
?????
????
??
??
-'''
-''
''--'=??-'''-'-''''-=??12111211
221211111212
1212
1y v g g f xf g g uf xf x v
yvg g f xf yvg g f uf x u
三、全微分（§8.3）
Ⅰ、内容要求：
（ⅰ）了解全微分的概念，记忆全微分存在的必要条件和充分条件。 （ⅱ）按掌握偏导数计算的要求，掌握全微分计算。 （ⅲ）学会用全微分形式不变性计算全微分。 Ⅱ、基本题型：
（ⅰ）涉及多元函数连续，偏导，全微分关系的选择题。 29．记忆下述推理框图：
且偏导连续
z 可偏导
z 可微
z 连续
由此框图可编出许多选择题，请同学们自编自考，并和一元函数连续、可导、可微的关系比较。
（ⅱ）全微分的基本计算。
30．求下列函数的全微分.dz （每小题5分） （1）2
2
y
x y z +=
（2）x
y z arcsin
=
（3）14322
2
2
=++z y x
（4）若y
z z
x ln =
解：（1）
2
32
2
)
(y x xy x
z +-
=??
2
32
2
2)
(y x x
y
z +=
??
=
??+
??=
dy y
z dx x
z dz 2
32
2
2
)
(y x d y x x y d x ++-
（2）
2
2
2
22
2
2
)
(1y
x x
y y
x x
y
x x
y x
y x
z --
=--=--=
??
x y
x y
z s g n 12
2
-=
??
（3） 0864=++z d z y d y x d x d y z
y d x z
x d z 432--
=
（4） z
x z x
z +=??，
yz
xy z
y z +=
??2
dy yz
xy z
dx z
x z dz ++
+=
2
Ⅲ、提高题型 － 涉及定义的分段函数全微分计算（自学）．
31．（7'）设),(y x ?连续，),(||),(y x y x y x ?ψ-=，试研究),(y x ψ在)0,0(处的可微性。 解： 易知，)0,0()0,0(y x ψψ=，
),()0,0(),(),(y x y x y x y x ???-?=-??=??ψψψ
ρ
?ρ)
,(lim
y x y x ???-?→， ρ2≤?-?y x ，故
2≤?-?ρ
y
x
而0)0,0(),(lim 0
==??→??ρy x
∴ ρ
?ρ)
,(lim
y x y x ???-?→0=
∴ ),(y x ψ在)0,0(处的可微。
32．（7'）设??
???=+≠++=0,00,222
22
2
2y x y x y x y x z ，（1）求dz ；（2）在)0,0(处，函数是否连续？是
否可偏导？是否可微？
解： （1） 当022≠+y x 时
2
2
2
2
2
2
)
(2)(2y x x
y x y x xy z x +?-+=
2
2
2
3)
(2y x xy
+=
2
2
2
2
22
2
)
(2)(y x y
y x y x x z y +?-+=
2
2
2
2
2
2
)
()(y x y x x +-=
=z d dy z dx z y x +22
2
3)
(2y x xy
+=
+
dx dy y x y x x 2
2
2
2
22)
()(+-
（2）
2
22
)
(1y x x
y y +≤+， 令εδ=即可得在)0,0(处，函数连续。
00
)(0
)(lim
)0,0(2
22
=?-+???=→?x
x x z x x
同理可得00
)
(00lim
)0,0(2
22
=?-?+??=→?y
y y
z y y
考虑点),(y x P ??沿着直线x y =趋于)0,0(时，则
2
2
2
22
)
()()
()()()
00(y x y x y
x y x z ?+??+???=
?+?-?ρ
x
x
??=
221不趋于零（当ρ趋于零时）
故在)0,0(处，函数不可微。
四、多元函数微分学的应用（A:§8.6,§8.7,§8.8; B:§8.6,§8.7）） （一）几何问题
Ⅰ、内容要求：
（ⅰ）记忆曲线在一点处的切向量公式以及曲面在一点处法向量的公式。 （ⅱ）学会确定曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程。
*（ⅲ）理解方向导数与梯度的概念，了解其几何意义，记忆偏导、方向导数、可微的关系。 *（ⅳ）掌握方向导数与梯度的计算。
Ⅱ、基本题型：
（ⅰ）参数式曲线方程所确定的曲线在一点处切向量、切线及法平面方程计算。
33．（7'）求曲线????
?
????=+=+=2
11t z t t y t t x 在点)1,2,21(处的切向量、切线及法平面方程。
解：（1）
=t ?
?????-+=Γt t t 2,1,)1(122， ??????-=Γ2,1,41)1,2,2
1
( 切线方程为
21124
121
-=--=-
z y x
法平面方程为 011682=-+-z y x
34．（7'）求曲线2
sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在2
π
=
t 所对应点处的切向量，切线
及法平面方程。
解： t x t c o s 1'
-=，t y t sin '=，2
cos
2'
t z t =，)2,1,1(=Γ
切线方程为
2
2
1
11
1
2-
=
-=
+-
z y x π
法平面方程为 042
2=--
++π
z y x
（ⅱ）由0),,(=z y x F 所示的曲面在一点处法向量、切平面及法线方程计算。
35．（7'）求球面142
2
2
=++z y x 在)3,2,1(处的法向量、切平面及法线方程。：
{}{}6,4,22,2,2)1,1,1()
3,2,1(==z y x
切平面方程 0)3(3)2(2)1(=-+-+-z y x 即：01432=-++z y x 法线方程 3
32
21-=
-=
-z y x
36．（7'）求曲面3=+-xy z e z
在点)0,1,2(处的法向量、切平面及法线方程。 解： 因为 1-===z
z y x e F x F y F
)0,2,1()
0,1,2=
切平面方程 042=-+y x
法线方程 ??
?
??=-=-0
2
112z y x 或 002112-=-=-z y z （ⅲ）偏导、可微、方向导数的关系。
记忆：
请同学们编出有关选择题。
*（ⅳ）二元函数沿平面直线方向的方向导数计算；三元函数沿空间直线方向的方向导数计算。
37．（7'）求函数)ln(2y x z +=在点)0,1(处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向导数。 解：
y
x x x
z +=??2
2，
y
x y
z +=
??2
1，
)21,
2
1(
=l e
2
1)2
1(12
1
2)
0,1(=
-
?+?
=??l
z ，)1,1(-=PQ
38．（7'）求函数z e y x u 22+=在点)0,1,1(P 处沿从该点到点)1,0,2(Q 的方向l 的方向导数。 解： )1,1,1(-=PQ ，)3
1,
3
1,3
1(
-
=l e ，
xy u x 2=，2
x u y =，z
z e
u 22=
故
3)
0,1,1(=??l
z
39．（7'）求函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(处沿方向角为3
,4
,3
π
γπ
βπ
α=
=
=
的方向
导数。
解： yz y u x -=2，xz xy u y -=2，xy z u z -=2
3
52
1112
202
1)1()
2,1,1(=?
+?
+?
-=??l
z
*（ⅴ）已知函数的梯度计算。
40．（7'）设2
2
2
),,(z y x z y x f ++=，求).3,2,1(f grad
解：)6,4,2()
2,2,2()3,2,1()
3,2,,1(==z y x gradf
41．（7'）设z y x z y x f ++=2),,(2，求).1,0,1(f grad 解： )1,2,2()1,2,2()1,0,1()
1,0,,1(==x gradf
Ⅲ、综合题型：
（ⅰ）涉及本节内容与空间解析几何内容的综合计算。
42．（7'）已知曲面)0()(32≠=++a a z y x xyz ，求其经过),,(a a a P ---，),,(a a a Q ---的两个切平面的交线方程。
解：322),,(a z x y x xyz z y x F -++=，xz xy yz z y x F x 22),,(++=
2
),,(x xz z y x F y +=，2),,(x xy z y x F z +=
故经过),,(a a a -的切平面方程为a x -=
),,(a a a --的切平面方程为032=+-a z x
故交线直线方程为 ?
??=-=a z a
x
43．（7'）求空间曲线???
?
?
????===234213141t z t y t x 的平行于平面023:=++∏z y x 的切线方程。
解： 3')(t t x =，2')(t t y =，t t z =)('
则切线的方向向量为),,(2
3t t t
由条件知 21)(002332123-=-==?=++t t t t t t 舍去
*44．（7'）求椭球面2
2
2
239x y z ++=与锥面2
2
2
3z x y =+的交线C 上点0(1,1,2)M -处
的切线与法平面方程。请你总结一下曲线(,,)0(,,)0
F x y z
G x y z =??
=?的切向量求法。
解： 令 932),,(2
2
2
-++=z y x z y x F ，2
2
2
3),,(z y x z y x G -+=
则
32
=z
y
z y
G G F F ，
40
=x
z
x z G G F F 28
=y
x
y x G G F F
故 Γ可取（8，10，7）
则交线C 上点)2,1,1(0-M 处的切线与法平面方程分别为
7
210
18
1-=+=-z y x ，0)2(7)1(10)1(8=-+++-z y x 。 =T (
y
x
y x x z
x z z y
z y G G F F G G F F G G F F ,,)
45．（7'）求函数)ln(2
2
z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向
导数。
解： )1,2,2(-=AB ，2
2
1z
y x u x ++
=，2
2
2
2
z
y x z y y u y ++
+=
，2
2
2
2z
y x z y z
u z ++
+=
)31,32,32
(-
=l e ，
21=??l z ，)2
1
,0,21()1,0,1(=gradu 46．（7'）求函数z y x xy z y x z y x f 62332),,(222--++++=，在点)1,1,1(M 处方向导数的最大值。
解：32'
++=y x f x ，24'
-+=x y f y ，66'-=z f z
在对应的点处6'
=x f ，3'
=y f ，0'=z f
)0,3,6()1,1,1(=g r a d f ， 故5
3)1,1,1(}{
max )
1,1,1(==??gradf l z
47．（7'）求在点)2,3,3(0--M 处沿n
的方向导数，其中n
为0),,(=z y x f 过0M 处的内法向量。
解： )4,4,2()2,3,3(-=--gradf ， 6max
=??n
f
Ⅳ、提高题型：
（ⅰ）用定义求方向导数的计算（自学）。 48．（7'）试证明2
2),(y
x y x f +=
在)0,0(处沿任何方向的方向导数存在，但不可微。
解：
=??)
0,0(l
f =+
→t
t t f t )
cos ,cos (lim 0
βα1)
cos ()cos (lim 2
2
=++
→t
t t t βα
因此2
2
),(y
x y x f +=在)0,0(处沿任何方向的方向导数存在
沿0=y 趋向于)0,0(时，x
x x
y x x x ??=?-?+?→?→?0
2
2
lim
)
()(lim
不存在
即 )0,0(x f 不存在 ，同理可证)0,0(y f 不存在
∴ 2
2),(y
x y x f +=
在)0,0(处不可微（ⅲ）知识跨度较大的综合题型（自学）。
49．（7'）过直线???=++=+-1
20:z y x z y x L 作与曲面1:222=-+∑z y x 相切的平面，求此平面方
程。
解：过直线?
??=++=+-120:z y x z y x L 的平面束方程为
0)12(=-++++-z y x z y x λ
即0)1()12()1(=-++-++λλλλz y x
设切点为),,(000z y x
则切平面的法向量为)2,2,2(000z y x - 由题意知
21x λ+=-=0
212y λ0
21z -+λ00z x -=?
将 00z x -=代入1222=-+z y x 得 10±=y
当10=y 时，将),,(000z y x 代入0)1()12()1(=-++-++λλλλz y x 得 1=λ
则切平面方程为
0122=-++z y x
同理可得：当10-=y 时，切平面方程为 0144=-+-z y x 50．（7'）设),(v u F 可微，试证曲面0),
(=----c
z b y c
z a x F 上任一点),,(z y x 处的切平面都通
过定点。 解：,1
c
z F F x -'=,2
c
z F F y -'
=
'
---
=12
)
(F c z a x F z ,)
(22
'---
F c z b y
曲面0),
(=----c
z b y c
z a x F 上任一点),,(z y x 处的切平面为
+
--'
)(1
x X c z F [
)(2
---'
y Y c
z F +
'--12
)
(F c z a x 0)]()
(22
=-'
--z Z F c z b y （*）
将),,(c b a 代入（*）得
+
--'
)(1
x a c z F [
)(2
---'
y b c
z F +
'--12
)
(F c z a x 0)]()
(22
=-'
--z c F c z b y
因此曲面0),
(
=----c
z b y c
z a x F 上任一点),,(z y x 处的切平面都通过点),,(c b a
51．（7'）在椭球面122222=++z y x 上求一点，使得函数222),,(z y x z y x f ++=沿着点)1,1,1(A 到)1,0,2(B 方向的方向导数具有最大值。 解：122),,(222-++=z y x z y x ?，)0,1,1(-=l e
y x y x l
z z y x G z y x 222.2
12.2
1),,()
,,(-=-
=
??=
，
),,(),(),,(z y x yz x G z y x F λ?+=
则 x F x λ42+=，y F y λ42+-=，z F z λ2=
令042=+=
x F x λ， 042=+-=y F y λ，02==z F z λ
解得 ?????
?
????
?
±
===±=2202
121λz y x ，故在点)0,2
1
,
2
1(-处
l
z ??有最大值为2
（二）极值问题
Ⅰ、内容要求：
（ⅰ）理解多元函数极值与条件极值的概念。
（ⅱ）记忆多元函数极值存在的必要条件，记忆二元函数极值存在的充分条件。 （ⅲ）掌握用拉格朗日乘数法计算条件极值及其相应的简单实际的问题。 Ⅱ、基本题型：
（ⅰ）涉及到多元函数极值存在的必要条件的问题。 52．（7'）若bx ay
x y x z y x f -++-=2
2
3
3
3),,(在)2,3(-处取得极值，求.,b a
解： 0632
=-+=b x x f x ，0232
=+-=ay y f y
于是有 ???==???
?=+-=--9
3041201827b a a b
（ⅱ）涉及到多元初等函数极值充分条件的问题。 53．（7'）求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值。
解： （1）??
?-==????=--==-=22044024y x y f x f y
x （2） 2-=xx f ，2-=yy f ，0=xy f ，极大值为8)2,2(=-f 54．（7'）求函数)2(),(22y x e y x f y x -=-的极值。 解： x e y x e y x f y x y x x 2.)2(),(22--+-=
)4.()2)(1(),(22y e
y x e
y x f y
x y
x y -+--=--
（ⅲ）涉及到一个条件的条件极值的问题。 55．（7'）若
)0,,(111>=+a y x a
y x ，求xy z =的极小值。
解：xy y x f =),(，a
y
x
y x 111),(-
+
=
?
令)111(
),(a
y
x
xy y x F -
+
+=λ
???????
===????
?
?
????
==-
==-=3
2
2
)21(210
),(00
a a
y x y x y x F x
y F y x λ?λλ 56．（7'）若
14
2
2
2
2
=++
z
y
x
，求xyz u =的极值. 解：令),,(z y x F =+xyz (
λ)14
2
2
2
2
-++
z y
x
，则
?????????=-++=+==+==+=0
14
2
020
2
2
2
2z y
x z xy F y
xz F x yz F z y x
λλλ??
?
?
?
?
?
??±=±=±=?3333236z y x Ⅲ、综合应用题型：
（ⅰ）非条件极值的应用题（仅出现唯一驻点）。
57．（7'）有一宽为cm 24的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽。
问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：）例6(55P cm x 83
==
，π
α
58．（7'）设21,Q Q 依次为商品甲、乙的需求量，2122115210,28p p Q p p Q -+=+-=，又设总成本函数2123Q Q C +=，其中21,p p 依次为商品甲、乙的价格，问21,p p 取何值时，可使总利润最大？
解： （1）21221123.Q Q Q p Q p L --+=
)5210)(2()28)(3(12211-+-++--=p p p p p
441475*********-++--=p p p p p p
（2） ??
?==??????=+-==+-=145.310
14104072421211221p p p p L p p L p p
（ⅱ）涉及到拉格朗日乘数法的综合题型。
59．（7'）求原点到曲面1)(22=--z y x 的最短距离。
解： []1)(),,(22222---+++=z y x z y x z y x F λ，2222z y x d u ++== ?
??
?
?
?
???
==±=????????=---=-+==--==--=0212
101)(020(0)(220)(22222
z y x z y x z z F y x y F y x x F z y x λλλ 22m i n =d 60．（7'）要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使这的表面积最小。 解：（1）设长方体无盖水池的长为y ，宽为z ，高为x ；
则 yz xy xz S ++=22，k xyz y x -=),(? 令 )(22),,(k xyz yz xy xz z y x F -+++=λ （2）?????===????
??
??=-=++=++=++2
40
02020
223
z y k x k xyz xy y x xz z x yz y z λλλ
由于驻点唯一，且由实际问题知最值存在，故z y x ,,的值即为所求。
61．（7'）将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体。问矩形的边长各为多少时，
才可使圆柱体的体积为最大？
解： （1） a b V 2π=，p b a 2)(2=+，
（2）当矩形绕它的一短边旋转时，体积最大，
则)22(2
1)(2
2b p b b p b V -=-=ππ
当p a p b 3
1,32=
=
时，a b 2=解得
62．（7'）某厂生产两种产品，产量分别为21,Q Q ，总成本函数为
8032.52
2212
1+++=Q Q Q Q C
若两种产品共生产39件，问21,Q Q 取何值时，可使总成本最大？ 解：令)39(80325),,(2122212
121-+++++=Q Q Q Q Q Q Q Q F λλ
?
??
??=-+=++==++=0
390620
210212121Q Q Q Q F Q Q F Q Q λλ ??
?
??-===182261321λQ Q 故当131=Q ，262=Q 时，可使总成本最大。 63．（7'）某公司可以通过电台与报纸两种方式作销售广告。根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费1x （万元）及报纸广告费用2x 间的关系有如下经验公式：
2
22
121211028321415x x x x x x R ---++=
（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
（2）若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略。
解： （1）??
?==??????=--==--=15.10208320
48142121122
1x x x x R x x R x x
（2） 令)5.1(),,(2121-++=x x R x x F λλ， 则
?
??
??=-+=+--==+--=05.10208320
481421
211221x x x x R x x R x x λλ???==?5.1021x x
64．（7'）设在x 轴的上、下两侧有两种不同的介质Ⅰ和Ⅱ。光在两种介质中的传播速度分
别是1v 和2v ，又设点A 在Ⅰ内，点B 在Ⅱ内，要使光线从A 到达B 所用的时间最短，问光线应取怎样的路径？ 解：2
2
21
2
2
)(v c
x a v x b t +-+
+=
令2
2
1x
b v x t x +=
'2
2
2
)(c
x a v x a +---=02
12
1sin sin v v =?θθ
Ⅳ、提高题型：
（ⅰ）涉及到多元隐函数极值充分条件的问题（自学）。
65．（7'）求由方程10422222=-+-++z y x z y x 确定的函数的极值。 解：（1）04222=--?+x x z z z x ?z
x z x --=
21
同理 z
y z y -+=
21
（2） 在 )2,1,1(-- 处取得极小值，在 )6,1,1(- 处取得极大值 （ⅱ）多元函数的最值问题（自学）。 66．（7'）求函数22y x z +=在圆域9)2()2(2
2
≤-
+-
y x 上的最值。
解：（1） ),(2
2y x f y
x z =+=，???==???
?====00
0202y x y z x z y
x 在=9 易知0)0,0(min =f （2） 22y x z +=在9)2()2(2
2
≤-
+-
y x 上只有一个驻点（0，0）
令[
]
9)2()2(),(2
2
22--+-
++=y x y x y x F λ
2259)2()2(0)2(220
)2(222
2==????
?
???=-+-=-+==-+=y x y x y y F x x F y x πλ
25)2
2
5,225(
=f 故 0min =z ，25max =z 67．（7'）求函数)4(),(y x xy y x f --=在由直线0,1==y x 及6=+y x 所围成的闭区域上的最值。
解： （1）???
???
?
==????=-+--==-+--=34
3
40)1()4(0)1()4(y x xy y x x f xy y x y f y x 在 D 内只有一个驻点)3
4,34(，（不包含边界），3
)3
4()3
4,34(=f
（2）当),(y x 位于AC 上时，可得在点)2
3,1(处取得最大值为4
9max =
z ，最小值为
10min -=z ；
（3）当),(y x 位于AB 上时，其值为0=z ；
（4）当),(y x 位于BC 上时，可得)4(),(y x xy y x f --=的0max =z , 18min -=z
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、区域 1.邻域 设P o（x°,y。）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P o（X o，y°）距离小于：的 点p（x,y）的全体，称为点p的「?邻域，记为U（P0,、），即 U（P°,、）= ｛P PPo < ｝， 也就是 U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。）2（y - y o）2、｝。 在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。）为中心、：-0为半径的圆内部 的点P（x,y）的全体。 2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U（P） E， 则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。 如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2￡4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。 如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o
设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
多元函数微分学 1．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 2．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连 续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 3．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答：A 4．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要 答C 5．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是 （ ）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在 答B 6．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（ ）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微 答C
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???
=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++
由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。我下面的资料是从P7开始 的。 2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x - →； 二是x 从右边趋近于0x ，即0x x + →。在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点 00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可 以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x + →，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x - →；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y + →，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y - →；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点 (0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,sin )x f x x →。我们应该意识到，点(,)x y 还可以 沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里 0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。 3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函 数的极限，如本节例5、7、8这些题型。考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。但是要会判断 (,)(0,0) lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特 殊路径求出它的极限不等于A 。如P8页给出的那个例题： 22 22 22,00,0 (,){ xy x y x y x y f x y +≠++== 4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看 就行了。 5、 习题8——1第 6、7题，结合答案看看就行了。
第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，
的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000
. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）
. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：
第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要 多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同. 1. 基本概念与定理 设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面. ② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系. 极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当 X->X0 .v->yo ()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \0 Ay 二阶偏导数. 类似,可定义三阶以上的偏导数. _ 可微 若全增量A< = f(x 0 + 心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记 作 dA. . =AAx + B^y 定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) ? 偏导 高阶偏导 —阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a? = /.u-UoO=￡ dydx 空、 dx )
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。