山东省各地市2013届高三文科数学试题分类汇编14：导数
一、选择题
1 ．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）曲线x x y +=
331在点??
?
??341，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.
92 B.91 C.31 D.3
2
【答案】B 【解析】
2''()+1y f x x ==,在点??
?
??341，的切线斜率为'(1)2k f ==.所以切线方程为
42(1)3y x -
=-,即223y x =-,与坐标轴的交点坐标为21
(0,),(,0)33
-,所以三角形的面积为1121
2339
??-=,选B. 2 ．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试文科数学 ）若曲线1f (x )x sin x =+在2
x π
=
处的
切线与直线a x +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为 A.-2 B.-l C.1 D.2
【答案】D 【解析】直线a x +2y +1=0的斜率为2
a
-
,函数的导数为'()sin cos f x x x x =+,所以'()sin cos 12222f ππππ=+=,由112
a
-?=-,解得2a =,选D.
3 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文）设曲线y=
1
1
x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a= A.2 B.-2
C.
1
2
D.-
12
【答案】函数的导数为2
2'(1)y x -=
-,所以函数在(3,2)
的切线斜率为1
2k =-,直线ax+y+3=0的斜率为a -,所以1
()12
a -?-=-,解得2a =-,选B.
4 ．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）曲线e x y
=在点A 处的切线与直线30
x y -+=平行,则点A 的坐标为
(A)()
11,e -- (B)()0,1
(C)()1,e (D)()0,2
【答案】B 直线30x y -+=的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为
'x y e =,所以由'1x y e ==,解得
0x =,此时01y e ==,即点A 的坐标为()0,1,选B.
5 ．（【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）设函数
()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是
A.11x >-
B.20x <
C.32x >
D.201x <<
【答案】D ∵函数
()()3402f x x x a a =-+<<,
∴f′(x)=3x 2
﹣4.令f′(x)=0,得 x=±
.
∵当x <时,'()0f x >;在(上,'()0f x <;在)+∞上,'()0f x >.故函数在
(,-∞)上是增函数,在(上是减函数,在)+∞上是增函数.故(f 是极大
值,f 是极小值.再由 f (x)的三个零点为x 1,x 2,x 3,且123,x x x <<得 x 1<﹣,﹣
,x 3> . 根据f(0)=a>0,且f()=a ﹣ <0,得 >x 2>0. ∴0 6 ．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）已知函数2 , 0(), 0x x f x x x x ≤?=?->? ,若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为 A.1[,1]2- B.1[,1)2- C.1(,0)4- D.1 (,0]4 - 【答案】 C 由()()=0g x f x m =-得 ()f x m =,作出函数()y f x =的图 象, ,当0x >时,221 1 ()()024 f x x x x =-=-- ≥,所以要使函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则 104m <<,即1 (,0)4 -,选C. 7 ．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试文科数学）定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x , 已知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是 A.12()()f x f x < B.12()()f x f x = C.12()()f x f x > D.不确定 【答案】C 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.因为 函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若 121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选C. 8 ．（【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学）已知 32 9()6,,()()()02 f x x x x abc a b c f a f b f c =- +-<<===且,现给出如下 结论:①(0)(1)0f f ＞;②(0)(1)0f f ＜;③(0)(2)0f f ＞;④(0)(2)0f f ＜.其中正确结论的序号为: (A)①③ (B)①④ (C)②④ (D)②③ 【答案】D 函数的导数为 22'()3963(32)3(1)(2)f x x x x x x x =-+=-+=--.则函数在1x =处取得 极大值,在2x =处取得极小值,因为()()()0f a f b f c ===,所以函数有3个零点,则(1)0,(2)0f f ><, 即329(1)1602 9(2)226202 f abc f abc ?=-+->????=-?+?-?,即522abc <<,所以(0)0f abc =-<,所以 (0)(1)0f f ＜,(0)(2)0f f ＞.所以选 D. 9 ．（【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学）已知 ()(2)(3),()22x f x a x a x a g x -=+--=-,同时满足以下两个条件: ①,()0()0x R f x g x ?∈<<或; ②(1,)()()0x f x g x ?∈+∞?<，成立, 则实数a 的取值范围是 (A)1(4,)2 - (B)1(,4)(,0)2-∞-- (C)1(4,2)(,0)2--- (D)11(4,2)(,)22--- 【答案】C 解:由()0g x 1x >-,要使对于任意x ∈R ,()0f x <或()0g x <成立,则1 x ≤-时,()(2)(3)0f x a x a x a =+--<恒成立,故0a <,且两根2a -与3a +均比1-大,得40a -<<①. 因为(1,)x ∈+∞)时,()0g x <,故应存在0(1,)x ∈+∞,使f (x 0)>0, 只要12a >-或13a >+即可,所以12a >-或2a <-②,由①、②求交,得1 4202 a a -<<--<<或,即实数a 的取值范围是1 (4,2)(,0)2 --- ,选C. 10．（【解析】山东省济宁市2013届高三1月份期末测试（数学文）解析）已知函数 ()f x 的导函数 ()2f x ax bx c '=++的图象如右图所示,则函数()f x 的图象可能是 【答案】D 解:由导函数图象可知当0x <时,'()0f x <,函数()f x 递减,排除A,B.又当0x =时,()f x 取得 极小值,所以选D. 11．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都 有()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则 A.2(2)(3)(log )a f f f a << B.2(3)(log )(2)a f f a f << C.2(log )(3)(2)a f a f f << D.2(log )(2)(3)a f a f f << 【答案】C 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所以当 2x >时,()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即 4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以 2(4log )(3)(2)a f a f f -<<,即2(log )(3)(2)a f a f f <<,选C. 12．（【解析】山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫 做函数)(x f 的“新驻点”,若函数 3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“新驻点”分别为γβα，，,则γβα，，的大小关系为 A.βαγ>> B.γαβ>> C.γβα>> D.αγβ>> 【答案】A 【解析】'()1g x =,所以由()'()g g αα=得1α =. 1 '()1h x x = +,所以由()'()h h ββ=得 1 ln(1)1 ββ+= +,由图象可知01β<<..2 '()3x x φ=,由()'()φγφγ=得 3213γγ-=,当0γ=时,不成立.所以32130γγ-=>,即1γ>,所以γαβ>>,选A. 13．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试 数学（文）试题）已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值 都有导数,且),2()2(,1)1('-=+=x f x f f 则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】D 解:由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以 (2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在5 -=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-,选D. 14．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文）函数f(x)=1nx- 2 12 x 的图像大致是 【答案】函数的定义域为{0}x x >,函数的导数微微211'()x f x x x x -=-=,由2 1'()0x f x x -=>得, 01x <<,即增区间为(0,1).由2 1'()0x f x x -=<得,1x >,即减区间为(1,)+∞,所以当1x =时,函数取 得极大值,且1 (1)02 f =- <,所以选B. 15．（【解析】山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）已知f ′()x 是函数()f x 的 导函数,如果f ′()x 是二次函数,f ′()x 的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线()y f x =上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是 (A)0, 3π?? ?? ? (B) ,32ππ?? ???? (C)2,23ππ?? ??? (D) ,3π??π???? 【答案】B 由题意知2 '()(1)0)f x a x a =-+>,所以2 '()(1)f x a x =-+≥ ,即tan α≥,所 以 ,32ππ?? ???? ,选B. 16．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）若)2ln(2 1)(2 ++- =x b x x f 在），（∞+-1上是减函数,则b 的取值范围是 A.[]∞+-，1 B.），（∞+-1 C.]1-∞-，（ D. ），（1-∞- 【答案】C 【解析】函数的导数'()2 b f x x x =-+ +,要是函数在 ），（∞+-1上是减函数,则'()02b f x x x =-+≤+,在），（∞+-1恒成立,即2 b x x ≤+,因为1x >-,所以210x +>>,即 (2)b x x ≤+成立.设(2)y x x =+,则222(1)1y x x x =+=+-,因为1x >-,所以1y >-,所以要使(2)b x x ≤+成立,则有1b ≤-,选C. 17．（【解析】山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且 当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立 a=(20.2 )·0.2(2),(13)f b og π=·3(13),(19)f og c og π=·3(19)f og ,则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >> 【答案】A 因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+, 所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数 ()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以 b a c >>,选A. 二、填空题 18．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）函数2ln y x x =-的极值点为____________. 【答案】函数的定义域为(0,)+∞,函数的导数为2112'2x y x x x -=-=,由212'0x y x -==, 解得x = ,当x >时,'0y <,当0x <<时,'0y >,所以当x =时,函数取得极大值,所以 . 19．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）若函数a x x x f +-=3)(3 有三个 不同的零点,则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,2)-【解析】由 3()30f x x x a =-+=,得2'()33f x x =-,当2'()330f x x =-=,得1x =±, 由图象可知(1)=2(1)=2f a f a -+-极大值极小值，,要使函数a x x x f +-=3)(3有三个不同的零点,则有 (1)=20,(1)=20f a f a -+>-<极大值极小值,即22a -<<,所以实数a 的取值范围是(2,2)-. 20．（【解析】山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学文）已知函数 ()f x 的定义域为[]1,5-,部分对 应值如下表,()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示 若函数()y f x a =-有4个零点,则a 的取值范围为__________. 【答案】[1,2)【解析】由导数图象可知,当10x -< <或24x <<时,'()0f x >,函数递增.当02x <<或 45x <<时,'()0f x <,函数递减.所以在2x =处,函数取得极小值.由()0y f x a =-=得 ()f x a =.由图象可知,要使函数()y f x a =-有4个零点,由图象可知 12a ≤<,所以a 的取值范围为12a ≤<,即[1,2). 21．（【解析】山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）已知)1('2)(2 xf x x f +=,则 =)0('f __________. 【答案】-4【解析】函数的导数为'()22'(1)f x x f =+,所以'(1)22'(1)f f =+,解得'(1)2f =-,所以 2()4f x x x =-,所以'()24f x x =-,所以'(0)4f =-. 三、解答题 22．（【解析】山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）已知函数 2()(1)x f x ax x e =+-,其中e 是 自然对数的底数,a R ∈. (1)若1=a ,求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程; (2)若0 (3)若1-=a ,函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=2 32 131)(的图象有3个不同的交点,求实数m 的取值范围. 【答案】解:(1)因为 x e x x x f )1()(2-+=, 所以++='x e x x f )12()(x x e x x e x x )3()1(22+=-+, 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为e f k 4)1(='= 又因为e f =)1(, 所以所求切线方程为)1(4-=-x e e y ,即034=--e y ex (2)++='x e ax x f )12()(x x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+, ①若021<<- a ,当0 a x 1 2+- >时,0)(<'x f ; 当< a 1 2+-时,0)(>'x f . 所以)(x f 的单调递减区间为]0,(-∞,),1 2[+∞+-a a ; 单调递增区间为]1 2,0[a a +- ②若21-=a ,=')(x f 02 1 2≤-x e x ,所以)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞. ③若21 - a x 12+-<或0>x 时,0)(<'x f ; 当01 2<<+- x a a 时,0)(>'x f . 所以)(x f 的单调递减区间为]1 2,(a a +--∞,),0[+∞; 单调递增区间为]0,1 2[a a +- (3)由(2)知,2 ()(1)x f x x x e =-+-在]1,(--∞上单调递减,在]0,1[-单调递增,在),0[+∞上单调递减, 所以()f x 在1-=x 处取得极小值e f 3 )1(-=-,在0=x 处取得极大值1)0(-=f . 由m x x x g ++= 2 32 131)(,得x x x g +='2)(. 当1- 所以)(x g 在]1,(--∞上单调递增,在]0,1[-单调递减,在),0[+∞上单调递增. 故)(x g 在1-=x 处取得极大值m g +=-6 1 )1(,在0=x 处取得极小值m g =)0(. 因为函数)(x f 与函数)(x g 的图象有3个不同的交点, 所以???>-<-)0()0()1()1(g f g f ,即?????>-+<-m m e 161 3. 所以1613-<<--m e 23．（【解析】山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）已知函数 x a a x a x x f )()12(2 1 31)(223+++-= . (Ⅰ)若)(x f 在1=x 处取得极大值,求实数a 的值; (Ⅱ)若R m ∈?,直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线,求k 的取值范围; (Ⅲ)若1->a ,求)(x f 在区间[0,1]上的最大值. 【答案】解:(Ⅰ)因为)]1()[()()12()('2 2+--=+++-=a x a x a a x a x x f 令a x a x x f =+==21),1(,0)('得,所以)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表: 所以1=a (由0)1('=f 得出0=a ,或1=a ,在有单调性验证也可以(标准略)) (Ⅱ)因为4 1 )212()('2-+- =a x x f 因为R m ∈?,直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线, 所以k a x x f =-+- =4 1 )212()('2无实数解 只要)('x f 的最小值大于k 所以4 1- 当1≥a 时,0)('≥x f 对]1,0[∈x 成立 所以当1=x 时,)(x f 取得最大值6 1)1(2- =a f 当10<x f ,)(x f 单调递增 在)(,0)(',)1,(x f x f a x <∈时单调递减 所以当a x =时,)(x f 取得最大值2 32 131)(a a a f +=