第二章 质点运动学（习题）
2.1.1质点的运动学方程为
j ?)1t 4(i ?)t 32(r ).2(,j ?5i ?)t 23(r ).1(-+-=++= 求质点轨迹并用图表示。
解，①.,5y ,t 23x =+=轨迹方程为y=5
②??
?-=-=1t 4y t 32x 消去时间参量t 得：05x 4y 3=-+
2.1.2质点运动学方程为k ?2j ?e i ?e r t 2t 2++=- ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.
求自t=-1至t=1质点的位移。
解，①??
???===-2z e y e
x t 2t
2消去t 得轨迹：xy=1,z=2
②k ?2j ?e i ?e r 221++=-- ,k ?2j ?e i ?e r 221++=-+ ,
j ?)e e (i ?)e e (r r r 222211---+-+-=-=?
2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++= ，
（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。
解，①.
,3t 2y ,t 4x 2
+==消去t 得轨迹方程 2)3y (x -=
②j ?2i ?4r r r ,j ?5i ?4r ,j ?3r 0110
+=-=?+== 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为
0117.33,m 4100R =θ=，0.75s 后测得
21022R ,R ,3.29,m 4240R =θ=均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近
似值和飞行方向（α角）。
解，
)cos(R R 2R R R 212122
2
1θ-θ-+=? 代入数值得： )
m (385.3494.4cos 42404100242404100R 022≈??-+=?
)
s /m (8.46575.0385.349t R v ==??≈
利用正弦定理可解出0
89.34-=α
2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为
200/x y 2=（长度mm ）。第一次观察到圆柱体在
x=249mm 处，经过时间2ms 后圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解，
ms /mm 6.192225.3615t )y ()x (t r v 2
222=+=
??+?=??≈
05.112-≈α
2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m 。另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为
340m/s,电磁波传播的速度为s /m 100.38
?。
解，
1
28
321t t )s (0136.03402100.3102320t )s (05.0340
17
t ?
? 在广州的人先听到声音。
2.2.4如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音
747飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。
解，
v s t ?=
?
2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶，3min
后以70km/h 速率向北偏西030方向行驶。求列车的平均加速度。
解，
2220012002199.49,7659.0sin ,sin 70
30sin 05.091.913)
s /m (071.0)
h /km (91.91305.0378.2935t v
a j
?)9030cos 70(i ?60cos 70v v v ,j ?30cos 70i ?60cos 70v ,j ?90v =θ=θθ=?==+=??=-+-=-=?+-==
2.2.6（1）,k ?t 2j ?t sin R i ?t cos R r ++= R 为正常数。求t=0,π/2时的速
度和加速度。（2）
,k ?t 6j ?t 5.4i ?t 3r 32+-= 求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。
解：（1）
j
?t sin R i ?t cos R dt v d a ,k
?2j ?t cos R i ?t sin R dt r d v ,k ?t 2j ?t sin R i ?t cos R r --==++-==++=
当t=0时，
a a ,R a ,2v ,R v ,0v
,i ?R a ,k ?2j ?R v z y x z y x ==-====-=+=
当t=π/2时，
a ,R a ,0a ,2v ,0v ,R v ,j ?R a ,k ?2i ?R v z y x z y x =-====-=-=+-=
（2）
j
?9dt v d a ,k
?t 18j ?t 9i ?3dt r d v ,k
?t 6j ?t 5.4i ?t 3r 232-==+-==+-=
当t=0时，
,j ?9a ,i ?3v -==
当t=1时，
,k ?36j ?9a ,k ?18j ?9i ?3v +-=+-=
2.3.1图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻）。
解，a 直线的斜率为速度
)
s /m (732.1120tg dt dx v 0ax -===
m 20x ,0t 0==
)
s (547.113/20|t ,60tg |t 20,0x 0x 00
x ======
b 直线的斜率为速度
)s (331.17577.0/10|t ,30tg |t 10
)
m (10x ,0t )s /m (577.030tg v 0x 00
x 00bx -=-==-======
c 直线的斜率为速度
)
s (25|t )m (25x ,0t )s /m (145tg v 0x 00cx =-=====
2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost, a 为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。 解，
)t cos(a t cos a a ),
2
t cos(a t sin a v x x π+=-=π+=-=
质点受力
mx t cos ma ma F -=-==，是线性恢复力，质点
做简谐振动，振幅为a ，运动范围在a x a ≤≤-，速度具有周期性。
2.3.3跳伞运动员的速度为
,e 1e 1v qt
qt
--+-β=v 铅直向下，β、q 为正常量。求其加速度。讨论当时间足
够长时（即t →∞），速度和加速度的变化趋势。 解，
2
qt qt
2qt qt qt qt qt )e 1(qe 2)e 1()e 1(qe )e 1(qe dt dv a -------+β=
+-++β
==0a ,v ,t →β→∞→
2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速度为h /km 180v 0
=，其速度变化规律如图所示。求列车行驶至
x=1.5km 时加速度的大小。
解，
x
52sin v 10x 5cos v x 5sin v 5v dx
dv
dt dx dx dv dt dv a ,x 5cos v v 2
0000ππ-=π?ππ-=?===π= )s /m (747.0)h /km (67.96755
3
sin 18010a 222-=-=ππ-
=
2.3.5在水平桌面上放置A 、B 两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来。C 点与桌面固定。已知物体A 的加速度g 5.0a A =，
求物体B 的加速度。
解，
以C 为坐标原点，建立一维坐标系o-x 。设绳的总长度为
，B 的坐标为
B x ，A 的坐标为A x ，则得
=-B A x 4x 3两端对t 求导
g
83g 5.043a 43a ,0a 43a ,0dt x d 4dt x d 3A B B A 2
B 22A 2=?===-=-
2.3.6质点沿直线的运动学方程为2
t
3t 10x
+=。
（1）将坐标原点沿ox 轴正方向移动2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？
（2）将计时起点前移1s ，运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？加速度变不变？ 解，（1）2
t 3t 10x +=
2x x ,2x x +'=-='，代入上式得：
,2t 103t x ,t 3t 102x 22-+='+=+'
x
x v v ,t 610dt x d dt dx '=+='= 初速度不变。
（2）2
t 3t 10x +=
1t t ,1t t -'=+='代入上式得：
7t 4t 3)1t (3)1t (10x 22-'+'=-'+-'=
初坐标)m (7x ,0t -=='由0变为-7m.
4t 6v x +'=,初速度由10m/s 变为4m/s.
加速度不变，都是2
s /m 6.
以下四题用积分
2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度
]s /cm [t 2a 2x =，求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后6s 时
质点的位置、在此期间所走过的位移及路程： （1）初速度0v 0
=；
（2）初速度0v
的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。
解，（1）
?+=t
x x 0x dt
a v v ，
,
t tdt 2v 2t
x ==?
?+=t
x 0dt
v x x ，
,t 31dt t x 3
t
2=
=?
当t=6s 时，
)cm (72x 6=,)cm (72072x =-=?,
质点运动的路程：)cm (72s =? (2)
9
t tdt 29v 2t
x -=+-=?,
t 9t 31dt )9t (x 3
t 0
2-=
-=?,
当t=6s 时，
)cm (18x 6=,)cm (18018x =-=?,
,3t ,0v ,9t v x 2x ==-=
质点运动的路程如图，
t 9t 31x 3
-=
，18x ,6t ,18x ,3t 63==-==，
质点运动的路程：)cm (5418218s =+?=? 2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为
.t sin 3v x
-=求3t 1
=至5t
2
=时间内的位移。
解，
?-=-=?t
t 1
1
tdt sin 3x x x ，
)m (82.3)3cos 5(cos 3|t cos 3tdt sin 3x x x 5
3
5
3
1
2
≈-==?-=-=?
2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为
.t cos A a 2
x
ωω-=在t=0时，,A x ,0v x
==其中ω、A 均为正常数，
求此质点的运动学方程。
解，
?+=t
x x 0x dt
a v v ，
?ωω-=ω?ωω-=??ωω-=t 0
t
2
x
t sin A )t (d t cos A dt
t cos A v
?+=t
x
dt v x x ，
t cos A |t cos A A dt
t sin A A x t 0
t
ω=ω+=??ωω-+=
2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时，t=0时速度为
v
且坐标为x=0.假设其加速度为2x
x
bv
a -=，b=常量，求此质点的运
动学方程。
解，??-=-=-=t 0v v 2x
x 2x x
2x x dt b v dv ,bdt v dv ,bv dt dv x 0
，
,
)1t bv (v v 00x +=
?+=t
0x 0dt v x x ，)
1t bv ln(b 1|)1t bv ln(b
1)
1t bv ()
1t bv (d b 1dt )1t bv (v x 0t
00t 0
00t
000+=+=++=+=??
解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条件。
2.4.5在195m 长的坡道上，一人骑自行车以18km/h 的速度和-20cm/s 2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h 的初速度和0.2m/s 2的加速度下坡。问（1）经过多长时间两人相遇；（2）两人相遇时，各走过多少路程。 解，
建立坐标系o-x,原点为质点1的初始位置。 对上坡的质点1:t=0,v 10=5m/s, x 10=0, a 1=-0.2m/s 2, 对下坡的质点2:t=0,v 20=-1.5m/s,x 20=195m, a 2=-0.2m/s 2,
相遇时，x 1=x 2,所需时间设为t ，则
,
t a 21t v x t a 21t v x 2
22020211010++=++
)s (30t ,
t 2.021t 5.1195t 2.021t 522
=?--=?-
质点1的速度表达式为：t 2.05t a v v 1101
-=+=
s 25t ,0v 1==，所以质点1的路程为两段路程之和，如图所式。前
25s 的路程：
后5s 的路程：)m (655.25.62s )m (5.252.02
1),
m (5.62252.02
125512
2
=+=?=??=??-?
质点2的路程：195-62.5+2.5=135(m)
2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面。火车开动后经过△t=24s ，第一节车厢的末尾从此人的面前通过。问第七节车厢驶过他面前需要多长时间？火车作匀加速运动。
解，
,242a ,at 2122 == 设火车第六节末尾经过此人的时间为t 6， 火车第七节末尾经过此人的时间为t 7，
,
at 217,at 2162
726==
)s (71.4)67(24t t t ,72424/214t ,62424/212t 6772
726=-=-=?====
2.4.7在同一铅直线上相隔h 的两点以同样的速率v 0上抛二石子，但在高处的石子早t 0秒被抛出。求此二石子何时何处相遇。
解，2
00020)t t (g 21
)t t (v gt 21t v h ---=-+
解出t 得：
2t g v gt h t 0
00++=，
将t 代入
2
0gt
21t v h y -+=，得 )
4gt gt h g v h (21
y 2
0202
2
0--+=
2.4.8电梯以1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？ 解，
建立基本坐标系o-x,原点固结在地面上，建立运动坐标系x o '-'原点
固结在电梯的地板。 小孩相对运动参照系x o '-
'（电梯）跳起到落回地板所需时间设为t ，
则
,
)2t (g 21h 2
=解出td 得， ,
g h 22t =这段时间电梯下降的距离为s ?,
)m (638.08.950.0212g h 2v 2s 0
=???==?
2.5.1质点在o-xy 平面内运动，其加速度为
,j ?t sin i ?t cos a --=
位置和速度的初始条件为t=0时 i ?
r ,j ?v == ，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）。
解，由
,j ?t sin i ?t cos a --= 得 ,t cos a x -= t sin a y -=初始条件：
t=0时,v 0x =0,v 0y =1,x 0=1,y 0=0
?+=t
0x x 0x dt a v v ,t sin tdt cos v t
0x
-=-=?
?+=t
0y y 0y dt a v v ,t cos tdt sin 1v t
0y =-+=?
?+=t
x 0
dt v x x ,t cos tdt sin 1x t
0=-+=?
?+=t 0y 0dt v y y ,t sin tdt cos y t
0==?
??
?==t sin y t cos x ,j ?t sin i ?t cos a +=
轨道方程：
1y x 22=+
2.5.2在同竖直值面内的同一水平线上A 、B 两点分别以300、600为发射角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A 、B 两点的距离。已知小球在A 点的发射速率.s /m 8.9v A =
解，
,AB 2/R 2/R ,H H B A B A +== ,
30sin g 2v H 022
A
A =
,
60sin g 2v H 0
22B B =
=022A
30sin g 2v ,60sin g 2v 022
B
20
22A 2
B 60sin 30sin v v =，
=A R ),
302sin(g v 02A
?
=B R ),
602sin(g v 02
B
?
)60
sin 120sin 30sin 1(g 260sin v )
120sin v 60sin v (g 212R 2R AB 0
30
2
2
A 02
B 02A B A -=-=-=
)m (38.2)60sin 30sin 1(g 260sin v 0
20
202A ≈-=
2.5.3迫击炮弹的发射角为600,发射速率150m/s.炮弹击中倾角300的山坡上的目标，发射点正在山脚。求弹着点到发射点的距离
OA.
解，
)
1,......(x v g 2x 3y ,x cos v 2g tg x y 2
A 20
A A 2
A 2
20A A -=α-α=
由几何关系：
)
3......(OA 2130sin OA y )
2......(OA 23
30cos OA x 0
A 0
A ====
将(2)、(3)式代入(1)式
)
m (103.15g 3v 2OA 0OA 0
)1OA v 2g
3(OA 2
2020?≈===-，舍去
2.5.4轰炸机沿与铅直方向成0
53俯冲时，在763m 高度投放炸弹，炸弹
离开飞机5.0s 时击中目标。不计空气阻力。（1）轰炸机的速率是多少？（2）炸弹在飞行中经过的水平距离是多少？（3）炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？
解，以投放炸弹处为坐标原点
（1）
,gt 21t 53cos v y 2
+?=,
t 53cos 2gt y 2v 0
2
?-= )
s /m (9.212553cos 25
8.97632v 0
2
=??-?=
（2）),m (1.85057986.09.212t 53sin v x 0
≈??=?=
（3）
)s /m (1.177gt 53cos v v ),
s /m (17053sin v v 0
y
x
≈+=≈=
2.5.5雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，靠他得到这样的信息：（1）抛射体达到最大高度且以速率v 沿水平方向运动；（2）观察者到抛射体的直线距离为 ；（3）观测员观察抛体的视线与水平方向成θ角。
问：（1）抛射体命中点到观察者的距离D 等于多少？（2）何种情况下抛体飞越观察者的头顶以后才击中目标？何种情况下抛体在未达到观测员以前就命中目标？
解，（1）
2
gt
21
sin H =θ= ，
g sin 2t θ
= ，命中点，
g sin 2v
t v x
θ== 命中点
观测者
θ=cos x
观察者
抛射体命中点到观察者的距离
θ-θ
=-=cos g sin 2v
x
x
D 0
观察者
命中点
（2） 当
观察者
命中点
x
x
>，飞越观察者的头顶击中目标，即
第二章 质点运动学（习题） 2.1.1质点的运动学方程为 j ?)1t 4(i ?)t 32(r ).2(,j ?5i ?)t 23(r ).1(-+-=++= 求质点轨迹并用图表示。 解，①.,5y ,t 23x =+=轨迹方程为y=5 ②???-=-=1t 4y t 32x 消去时间参量t 得：05x 4y 3=-+ 2.1.2质点运动学方程为 k ?2j ?e i ?e r t 2t 2++=- ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。 解，①?????===-2z e y e x t 2t 2消去t 得轨迹：xy=1,z=2 ②k ?2j ?e i ?e r 221++=-- ,k ?2j ?e i ?e r 221 ++=-+ , j ?)e e (i ?)e e (r r r 222211---+-+-=-=? 2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++= ，（1）. 求质点的轨迹；（2）. 求自t=0至t=1质点的位移。
解，①. ,3t 2y ,t 4x 2+==消去t 得轨迹方程 2)3y (x -= ②j ?2i ?4r r r ,j ?5i ?4r ,j ?3r 011 0+=-=?+== 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为 0117.33,m 4100R =θ=，0.75s 后测得 21022R ,R ,3.29,m 4240R =θ=均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。 解， )cos(R R 2R R R 21212221θ-θ-+=? 代入数值得： )m (385.3494.4cos 42404100242404100R 0 22≈??-+=? )s /m (8.46575 .0385.349t R v ==??≈ 利用正弦定理可解出089.34-=α 2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为
力学（第二版）漆安慎习题解答 第七章刚体力学
第七章 刚体力学 一、基本知识小结 ⒈刚体的质心 定义：∑??==dm dm r r m r m r c i i c //ρ ρρ ρ 求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量 定义：∑?==dm r I r m I i i 22 平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y. 常见刚体的转动惯量： （略） ⒊刚体的动量和质心运动定理 ∑==c c a m F v m p ρ ρρρ ⒋刚体对轴的角动量和转动定理 ∑==βτω I I L ⒌刚体的转动动能和重力势能 c p k mgy E I E ==221ω ⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动 动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτρ ρ（不必考虑惯性力矩） 动能：2 21 2 21c c c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程 ∑=0F ρ ， 对任意轴 ∑=0τ
二、思考题解答 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？ 答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？ 答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩不一定为零。由刚体的转动定律可知，刚体将发生转动。比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。 如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大？（2）作用在它上面的力矩是否一定很大？ 答：由刚体的定轴转动定律可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。因此，刚体转动的角速度很大，并不意味这转动角速度的时间变化率也很大，所以， （1）刚体定轴转动的角速度很大，与其受力没有直接关系。对于刚体的一般运动，所受合外力使刚体的质心产生加速度，即改变刚体的平动状态。 （2）刚体定轴转动的角速度很大，与其受到对定轴的力矩的大小也没有直接关系。合外力矩使刚体产生角加速度，改变刚体的转动状态。 为什么在研究刚体转动时，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有关？ 答：一个静止的刚体能够获得平动的加速度而运动起来的原因是，相对它的质心而言，所受的合外力不为零。一个静止的刚体相对某一转动，能够获得角加速度而转动起来的原因是，刚体所受到的外力对转轴的合外力矩不为零。因此，刚体的转动是与其受到的相对转轴的合外力矩密切相关的。取轴为刚体转动的固定轴时，对转动有贡献的合外力矩是，其中，是作用在刚体上的第个外力在转动平面内的分量，而是由转轴（轴）到的作用点的距离，是和间由右手定则决定的夹角。所以，对轴的力矩不但与各外力在转动平面内分量的大小有关，还与的作用线与轴的垂直距离（力臂）的值有关。 试证：匀质细棒在光滑平面上受到一对大小相等、方向相反的作用力作用时，不管力作用在哪里，它的质心加速度总是零。 答：匀质刚性细棒可以看作在运动中保持相对位置不变的质点系，其质心遵守运动定律 .当该棒受大小相等方向相反的作用力时，质心所受合力与各个力的作用点无关，加速度总为零。
第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标）（直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F = 微分形式：p d dt F = 积分形式：p dt F I ?==? )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 ∑==恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑=== i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用）
3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o μ =，谷物能获得的最大加速度为 2 /92.38.94.0/s m g m f a o =?===μ ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。 μ1 μ2 3.4.3 题图 3.4.4题图 3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2 和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示， 其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2 分别应用牛顿二定律，有 02122 22211111 111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程 组，得 ()2221211211/m g m g m g m F a g a μμμμ---== 要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即 g m g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 212 1++>∴μ μ m 2 m 1 F m 1g f 1 N 1 a 1 a 2 N 2 N 1' m 2g F f 1' f 2 x y
力学（第二版）漆安慎习题解答第八章弹性体的应力和应变
第八章 一、基本知识小结 1?弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。 2?应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用c表示; 如果内力方向在面元内，就叫切应力，用T表示。 3?应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果10表示原长，A l表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变c =A l/l o;在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角书表示。 4.力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。 在拉压形变中表示为c = Y c Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为T = N书，N 是由材料性质决定的切变模量。 5.发生形变的弹性体具有形变势能： 拉压形变的形变势能密度E p0弓Y 2， 剪切形变的形变势能密度E p01N 2 6?梁弯曲的曲率与力偶矩的关系12 Ybh3 7?杆的扭转角与力偶矩的关系NR4 21
、思考题解答 8.1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作用力，其单位为N.这句话 对不对？ 答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为或。其面元法向分量称正应力，切向分量称切应力。 8.2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？ 答：适用，（8.1.1）式中的是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。 8.3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？ 答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。 8. 4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？ 答：不对。首先形变应在弹性限度内，其次杨氏模量只与材料的形状有关，而比例系数不但与材料性质有关，还与材料的形状（横截面）有关，即与材料的横截面有关，对一定性质的材料，随截面的不同而变，两者是不同的。 8. 5如果长方体体元的各表面上不仅受到剪切应力而且受到正应力，剪切应力互等定律是否还成立？ 答：正应力不改变未施加前各面的力矩，剪切应力互等定律仍然成立。 8. 6是否一空心圆管比同样直径的实心圆棒的抗弯能力要好？ 答：不是，一个实心管可视为由许多半径不同的空心管组成的，对于相同材料、同样直径的空心管和实心管的抗弯能力显然实心圆管比同样直径的空心圆棒的抗弯能力要好。 8. 7为什么自行车辐条要互相交叉？为什么有些汽车车轮很粗的辐条不必交叉？ 答：自行车辐条很细且很长，它不能依靠垂直辐条提供很大的抗扭曲力矩和瓦圈的抗形变能力，交叉后的辐条利用了拉伸、压缩车轮的抗扭能力和瓦圈的抗变形能力，而车轮的辐条很粗，则完全可以提供足够的抗弯力矩 8.8为什么自行车轮钢圈横截面常取（a）（b）形状而不采取（c）的形状？ (a) 15文档来源为:从网络收集整理.word 第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22 dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标） （直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F = 微分形式：p d dt F = 积分形式：p dt F I ?==?)( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑=== i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用） 3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o μ =，谷物能获得的最大加速度为 2/92.38.94.0/s m g m f a o =?===μ ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。 2.1.1质点运动学方程为：j i t r ?5?)23(++=?⑴ j t i t r ?)14(?)32(-+-=ρ⑵,求质点轨迹并用图表示. 解：⑴,5,23=+=y t x 轨迹方程为5=y 的直线. ⑵14,32-=-=t y t x ，消去参数t 得轨迹方程0534=-+y x 2.1.2 质点运动学方程为k j e i e r t t ?2??22++=-?.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。 解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运 动。 ⑵j e e i e e r r r ?)(?)()1()1(2222---+-=--=?? ?? j i ?2537.7?2537.7+-=。所以，位移大小： ? ==??=? ==??=? =-=??==+-=?+?=?900arccos | |arccos z 45)22 arccos(||arccos y 135)22 arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r z r y r x y x r ???? γβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与 2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++=? . ⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位移. 解：⑴32,42 +==t y t x ，消去参数t 得：2 )3(-=y x ⑵j i j j i r r r ?2?4?3?5?4)0()1(+=-+=-=?ρ ρρ 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为?==7.33,410011θm R x x 5/ 第八章 一、基本知识小结 ⒈弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。 ⒉应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用σ表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表示。 ⒊应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果l 0表示原长，Δl 表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变ε= Δl /l 0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角ψ表示。 ⒋力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。 在拉压形变中表示为 σ= Y ε，Y 是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 τ= N ψ，N 是由材料性质决定的切变模量。 ⒌发生形变的弹性体具有形变势能： 拉压形变的形变势能密度 2 210 εY E p =， 剪切形变的形变势能密度 2 210 ψ N E p =。 ⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 3 12Ybh k τ = ⒎杆的扭转角与力偶矩的关系 l NR C C 2, 4 π?τ= = 二、思考题解答 8．1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作 用力，其单位为N.这句话对不对？ 答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为 或 。其面元法向分量称正应力，切向分量 称切应力。 8．2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？ 答：适用，（8.1.1）式中的 是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。 8．3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？ 答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。 8．4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？ 答：不对。首先形变应在弹性限度内，其次杨氏模量只与材料的形状有关，而比例系数不但与材料性质有关，还与材料的形状（横截面）有关，即与材料的横截面有关，对一定性质的材料，随截面的不同而变，两者是不同的。 8．5如果长方体体元的各表面上不仅受到剪切应力而且受到正应力，剪切应力互等定律是否还成立？ 答：正应力不改变未施加前各面的力矩，剪切应力互等定律仍然成立。 8．6是否一空心圆管比同样直径的实心圆棒的抗弯能力要好？ 答：不是，一个实心管可视为由许多半径不同的空心管组成的，对于相同材料、同样直径的空心管和实心管的抗弯能力显然实心圆管比同样直径的空心圆棒的抗弯能力要好。 8．7为什么自行车辐条要互相交叉？为什么有些汽车车轮很粗 第十一章流体力学基本知识小结 ⒈理想流体就是不可压缩、无粘性的流体；稳定流动（或称定常流动）就是空间各点流速不变的流动。 ⒉静止流体内的压强分布 相对地球静止：gh p p gdy dp ρρ=--=21,（h 两点间高度） 相对非惯性系静止：先找出等压面，再采用与惯性系相同的方法分析。 ⒊连续性方程：当不可压缩流体做稳定流动时，沿一流管，流量守恒，即 =?=?=2211s v s v Q 恒量 ⒋伯努力方程：当理想流体稳定流动时，沿一流线， =++2 21v gh p ρρ恒量 ⒌粘性定律：流体内面元两侧相互作用的粘性力与面元的面积、速度梯度成正比，即ηη.s f dy dv ?=为粘性系数，与物质、温度、 压强有关。 ⒍雷诺数及其应用 l vl R e ,η ρ= 为物体某一特征长度 ⑴层流、湍流的判据：，湍流，层流；临临e e e e R R R R >< ⑵流体相似律：若两种流体边界条件相似，雷诺数相同，则两种流体具有相同的动力学特征。 ⒎泊肃叶公式：粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴r 处的流速 )(4)(22 21r R l p p r v --= η 若被测容器A 内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银 压强计。⑴此压强计的优点是什么⑵如何读出压强设 h 1=50cm,h 2=45cm,h 3=60cm,h 4=30cm ，求容器内的压强是多少大气压 解：⑴优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大 ⑵设界面处压强由右向左分别为p 0, p 1,p 2,p 3，水和水银的密度分别用ρ,ρ' 表示，据压强公式，有： 4 3323221101,', ,'gh p p gh p p gh p p gh p p A ρρρρ=-=-=-=- 3124012341 23423434)(')(''''p h h g h h g p gh gh gh gh p gh gh gh p gh gh p gh p A +++-=++-+=+-+=++=+=∴ρρρρρρρρρρρρ 用大气压表示： atm h h h h p A 43.276 6050766.134530176766.1313124≈++?-+=++?-+ = A,B 两容器内的压强都很大，现欲测它们之间的压强差，可用图中装置，Δh=50cm ，求A,B 内的压强差是多少厘米水银柱高这个压强计的优点是什么 解：由压强公式： 11gh p p A ρ=- ) (, '2221h h g p p h g p p B +?=-?=-ρρ h g h g h h h g p p h g gh p gh p p p B A ?-?=?--+-?++-+=-ρρρρρρ')()() ()(21212211 B h h 力学基础知识总结 （漆安慎力学第二版） 第二章 ⒈基本概念 2 2)(dt r d dt v d a dt r d v t r r )()()(t a t v t r （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件： 000,,v v r r t t ） ⒉直角坐标系 ,,???222z y x r k z j y i x r r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/, /. v v v v v k v j v i v v z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/. a a a a a k a j a i a a z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x 2 2 2222,,,,dt z d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x x z y x ),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⒊自然坐标系 ||,,?);( v v dt ds v v v s r r 2222 2,,,??v a dt s d dt dv a a a a n a a a n n n )()()(t a t v t s ⒋极坐标系 22,??,? v v v v r v v r r r r r dt d r v dt dr v r , ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系 ',0't t r r r （时空变换） 0'v v v （速度变换） 0'a a a （加速度变换） 若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： z z y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t t z z y y Vt x x ',','',','',',',' 第三章 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F 分量式： （弧坐标） （直角坐标） 2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F 微分形式：p d dt F 积分形式：p dt F I )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 第5章角动量.关于对称性 第5章角动量.关于对称性 二、思考题解答 5.1下面的叙述是否正确，试作分析，并把错误的叙述改正过来： (1) 、一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点 所受的合力就可以确定了，同时作用于质点的力矩也就确定了。 (2) 、质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定 不受力矩的作用。 (3) 、力E 与z 轴平行，所以力矩为零；力耳与z 轴垂直，所以力 矩不为零。 (4) 、小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固 定在铅直轴上。 垂直于杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由 静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。所以，力矩是产生角动量的 原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。 (5) 、作匀速圆周运动的质点，其质量 m ,速率v 及圆周半径r 都 是常量。虽然其速度方向时时在改变，但却总与半径垂直，所以， 其角动量守恒。 答：(1)不正确.因为计算力矩，必须明确对哪个参考点.否则没有 意义.作用于质点的合力可以由加速度确定 .但没有明确参考点时， 谈力矩是没有意义的. (2) 不正确.质点作圆周运动时，有两种情况：一种是匀速圆周运动 它所受合力通过圆心；另一种是变速圆周运动，它所受的合力一般 不通过圆心.若对圆心求力矩，则前者为零，后者不为零.质点作直 线运动，作用于质点的合力必沿直线 .若对直线上一点求力矩，必为 零；对线外一点求力矩则不为零。 (3) 不正确.该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩 .力与 轴平行，力对轴上某点的力矩一般不为零 ，对轴的力矩则必为零.力 与轴垂直，一般力对轴的力矩不 为零，但力的作用线与轴相交，对 轴力矩应为零 (4) 不正确.因为一个物体在不 受力的情况下 ，保持静止或匀速直 第五章 一、基本知识小结 1?力矩 力对点的力矩 。 r F 力对轴的力矩 z k? r F 2.角动量 质点对点的角动量 L ° r p 质点对轴的角动量 L z k? r p 3?角动量定理适用于惯性系、质点、质点系 ⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该点的力矩之和 dL o 外 dt ⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该轴的力矩之和 dt 4.角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系 ⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零, 则质点或质点系对该点的角动量保持不变 ⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零, 则质点或质点系对该轴的角动量保持不变 5.对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必 考虑惯性力矩。 力学（第二版）漆安慎习题解答第三章动量定理及其守恒定律 第三章 动量定理及其守恒定律 一、基本知识小结 1、牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标） （直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= 2、动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F =；微分形式：p d dt F =； 积分形式：p dt F I ?==?)(（注意分量式的运用） 3、动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 ∑==恒矢量。则，若外p F 0（注意分量式的运用） 4、在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c 5、质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用） 二、思考题解答 3.1试表述质量的操作型定义。 解答， kg v v m m 0 0 ??= 式中kg 1m 0=（标准物体质量）;0v ?：为m 与m 0碰撞m 0的速度改变;v ?：为m 与m 0 碰撞m 的速度改变,这样定义的质量，其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型定义。 3.2如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律不成立？ 解答，由动量守恒 )p p (p p ,p p p p 22 112121 -'-=-'+='+' ,p p 21 ?-=?t p t p 21??-=?? ，取极限dt p d dt p d 21 -= 动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。 , a m )v m (dt d dt p d F 111111 === ,a m )v m (dt d dt p d F 222222 ===21F F -= 对于运动电荷之间的电磁作用力，一般来说第三定律不成立。（参见P 68第二、三自然段） 3.3在磅秤上称物体重量，磅秤读数给出物体的“视重”或“表现重量”。现在电梯中测视重，何时视重小于重量（称作失重）？何时视重大于重量（称作超重）？在电梯中，视重可能等于零吗？能否指出另一种情况使视重等于零？ 解答，①电梯加速下降视重小于重量； ②电梯加速上升视重大于重量； ③当电梯下降的加速度为重力加速度g 时，视重为零； ④飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行，飞机飞到最高点时， gR v ,0mg R v m N ,N mg R v m 2 2==-=+=飞行员的视重为零 3.4一物体静止于固定斜面上。 （1）可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。 （2）因物体静止，故下滑力mg sinα与静摩擦力N 0μ相等。α表示斜面倾角，N 为作用于斜面的正压力，0μ为静摩擦系数。以上两段话确切否？ 解答，不确切。 （1）重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力。但不能说分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。 （2）应该说，因物体静止，物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为零。 第五章基本知识小结 ⒈力矩 力对点的力矩 F r o ?=τ 力对轴的力矩 ⊥⊥?=F r k z ?τ ⒉角动量 质点对点的角动量 p r L o ?= 质点对轴的角动量 ⊥ ⊥?=p r k L z ? ⒊角动量定理适用于惯性系、质点、质点系 ⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该点的力矩之和 ∑=dt L d 0 外τ ⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该轴的力矩之和 ∑=dt dL z z τ ⒋角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系 ⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该点的角动量保持不变 ⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零， 则质点或质点系对该轴的角动量保持不变 ⒌对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必考虑惯性力矩。 5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。 解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒 m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地） v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地） =（2384+6370）/（439+6370）≈1.29 5.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= 的空 间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。求此质点所受的对原点的力 矩。 解： )?sin ?cos (?sin ?cos /?cos ?sin /222222=?-=?=-==-=+-=--==+-==r r m F r r m a m F r j t b i t a j t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω 力学精华公式归纳 引言 所谓力学力学，在于一个力字，最关键最首要的核心就在于看物体的受力怎么样。受力确定了，根据相关定律，物体的运动状态也确定了.最后回归本质，力就是描述物体与物体之间的相互作用的. 定义、定理、定律、公理的区分 定义(definition)：定义是通过列出一个事物或者一个物体的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义.其定义的事物或者物体叫做被定义项，其定义叫做定义项. 定理(theorem)：定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述.一般来说，在数学中，只有重要或者有趣的陈述才叫定理.证明定理是数学的中心活动.定理一般都有条件和结论. 定律(law)：定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确. 公理(axiom)：是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题. 定理，定律，公理的区别是：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确.而公理是经过长期实践后公认为正确的命题. 过程量与状态量的区分 一般说来，若系统从某一状态变化为另一个状态，如果经历不同的物理过程，虽然初始状态可能保持相同，但过程不一定相同. 过程量：描述某些物理过程.是物体经过一段时间所能完成的物理量. 状态量：描述某些特定的物理状态.是物体在某一时刻的表现量. 二者的关系：过程是动态量，状态是静态量.状态量通过过程量不断更新状态，获得新的状态量. eg:22011 22 A mv mv = - 功是过程量，动能是状态量 典型的过程量：路程、功、热量等 典型的状态量：位置、能量、体积、密度、速度、加速度、温度、熵等 三个重要物理量的理解 加速度的本质：速度对时间的变化率 力的本质：动量对时间的变化率 力矩的本质：角动量对时间的变化 第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F 分量式： （弧坐标）（直角坐标） 2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F 微分形式：p d dt F 积分形式：p dt F I )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f 在转动参考系中： '2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴ i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵ c a m F （注意分量式的运用） 3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22 （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22 , j i a m F ?12?24 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242 +122)1/2 =125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/ arctg F arctgF x y 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ r m a m F 2 , ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o ，谷物能获得的最大加速度为 2/92.38.94.0/s m g m f a o ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2 ，才能使谷物与筛面发生相对运动。 3.4.3 题图 3.4.4题图 3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2 和桌面间的摩擦系数为μ2 ，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示， 其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2 分别应用牛顿二定律，有 02122 22211111 111 g m N N a m N N F g m N a m N 解方程 组，得 2221211211/m g m g m g m F a g a 要把木板从下面抽出来，必须满足12a a ，即 g m g m g m g m F 12221211 m 1g f 1 N 1 a 1 a 2 x y漆安慎力学习题解答完整版03
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