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选修2-3教案2.1随机变量及其概率分布(1)

选修2-3教案2.1随机变量及其概率分布(1)
选修2-3教案2.1随机变量及其概率分布(1)

§2.1随机变量及其概率分布(1)

教学目标

(1)在对具体问题的分析中,了解随机变量、离散型随机变量的意义,理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念;

(2)会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布,认识概率分布对于刻画随机现象的重要性;

(3)感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律,培养辨证唯物主义世界观. 教学重点,难点

(1)理解取有限值的随机变量及其分布列的概念; (2)初步掌握求解简单随机变量的概率分布. 教学过程

一.问题情境

在一块地里种下10棵树苗,成活的树苗棵数X 是 0,1,…,10中的某个数;

抛掷一颗骰子,向上的点数Y 是1,2,3,4,5,6中的某一个数;

新生婴儿的性别,抽查的结果可能是男,也可能是女.如果将男婴用0表示,女婴用1表示,那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数; ……

上述现象有哪些共同特点?

二.学生活动

上述现象中的X ,Y ,Z ,实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的

实数,即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个映射.

例如,上面的植树问题中成活的树苗棵数X :0X =,表示成活0棵;1X =,表示成活1棵;…… 三.建构数学 1.随机变量:

一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.通常用大写拉丁字母X ,Y ,Z (或小写希腊字母ξ,η,ζ)等表示,而用小写拉丁字母x ,y ,z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.

如:上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量,0Z =,表示新生婴儿是男婴;1Z =,表示新生婴儿是女婴.

例1.(1)掷一枚质地均匀的硬币一次,用X 表示掷得正面的次数,则随机变量X 的可能取值有哪些?

(2)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的五只白鼠,从中任取一只,记取到的白鼠

的标号为Y ,则随机变量Y 的可能取值有哪些? 解 (1)抛掷硬币是随机试验,结果有两种可能,一种是正面向上,另一种是反面向上,所以变量X 的取值可能是1(正面向上),也可能是0(反面向上),故随机变量X 的取值构成集合{0,1}.

(2)根据条件可知,随机变量Y 的可能值有4种,它的取值集合是{1,2,3,4}. 说明:(1)引入了随机变量后,随机事件就可以用随机变量来表示.

(2) 在例1(1)中,随机事件“掷一枚硬币,正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =,随机事件“掷一枚硬币,反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =.

(3) 在例1(2)中,也可用{1}Y =,{2}Y =,{3}Y =,{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件.另一方面,在例1(2)中,可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情,也就是说,复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示.

这样,我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了.如例1(1)中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==() {P 抛一枚硬币,

1

}2

=正面向上,其中{1}P X =()

常简记为1P X =().同理,0P X =1

()=

.这一结果可用表2-1-1来描述.

上面的两个表格分别给出了随机变量,表示的随机事件的概率,描述了随机

变量的分布规律. 2.随机变量的概率分布:

一般地,假定随机变量X 有n 个不同的取值,它们分别是1x ,2x ,…,n x ,且

()i i P X x p ==,1,2,,i n =???,① 则称①为随机变量X 的概率分布列,简称为X 的

分布列.也可以将①用表2-1-3的形式来表示.

3.随机变量分布列的性质:

(1)0i p ≥; (2)121n p p p ++???+=. 四.数学运用

1.例题:

例2.从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X 表示“取到的白球个数”,

即1,0,

X ?=?

?当取到白球时,当取到红球时,

求随机变量X 的概率分布.

解 由题意知42(0)645P X ==

=+,63

(1)645P X ===+,故随机变量X 的概率分布列为2(0)5P X ==,3

(1)5

P X ==,概率分布表如下.

射击中,只考虑“命中”与“不命中”;对产品进行检验时,只关心“合格”与“不合格”等.我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布,并记为X ~0-1分布或X ~两点分布.此处“~”表示“服从”. 2.求随机变量X 的分布列的步骤:

(1)确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…;(2)求出相应的概率()i i P X x p ==;(3)列

成表格的形式。

例3 若随机变量X 的分布列为:试求出常数c .

解:

由随机变量分布列的性质可知:22

93810910381

c c c c c c ?-+-=?≤-≤??≤-≤?

,解得13c =。

变式:设随机变量ξ的分布列为1()(1,2,3,4)3k

P k a k ξ??

=== ???

,求实数a 的值。(4140)

例4 某班有学生45人,其中O 型血的有10人,A 型血的有12人,B 型血的有8人,

AB 型血的有15人,现抽1人,其血型为随机变量X ,求X 的分布列。

解:设O 、A 、B 、AB 四种血型分别编号为1,2,3,4,则X 的可能取值为1,2,3,4。

则1101452(1)9C P X C ===,1121454

(2)15C P X C ===,

181458(3)45C P X C ===,1151451

(4)3

C P X C ===。

故其分布表为

2.练习:课本第

48页 练习第1,2题

五.回顾小结:

1.随机变量的概念及0-1分布,随机变量性质的应用; 2.求随机变量X 的分布列的步骤.

随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Y,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis cre te ran dom var ia ble ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,xi ,…,x n, X 取每一个值x i (i=1,2,…, n)的概率P (X =xi)=pi ,则称表: 为离散型随机变量X P(X =x i )=p i , i =1,2,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①pi ≥0,i=1,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X =1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,1,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,M,N ∈N * . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p ,则P (X=k )=C 错误!p k (1-p)n - k ,k=0,1,2,…,n 、此时称随机变量X服从二项分布,记作X ~B (n ,p),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;

几个重要的离散型随机变量的分布列

几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇(鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000) 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行,新课标教材越来越受到人们的关注,新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养,而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识,掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求,也是高考必考的内容,先结合新教材,具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()() ,k k P A p P A q ==,那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==,根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布

2021届高考数学二轮总复习层级二专题五概率与统计第三讲随机变量及其分布列学案理含解析

第三讲随机变量及其分布列 1.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________. 解析:依题意,X~B(100,0.02),所以D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96. 答案:1.96 2.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(00; 当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.所以f(p)的极大值点为0.1,且为f(p)唯一的极大值点,所以f(p)的最大值点为p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1.

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标:1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用,理解随机变量、离散型随机变量的概念.初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量. 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题,体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法,树立用随机观念观察、分析问题的意识. 3、发展数学应用意识,提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心,逐步认识 数学的科学价值和应用价值. 教学重点:随机变量、离散型随机变量的概念,以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量.教学难点:对引入随机变量目的的认识,了解什么样的随机变量便于研究. 教学方法:启发讲授式与问题探究式. 教学手段:多媒体 教学过程: 一、创设情境,引出随机变量 提出思考问题1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示? 启发学生:掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但可以将结果于数字建立对应关系. 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后,也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果.比如可以用1表示正面向上的结果,用0表示反面向上的结果.也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果. 再提出思考问题2:一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗? 让学生思考得出结论:投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示. 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1:任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗? 引导学生从前面的例子归纳出:如果将实验结果与实数建立了对应关系,那么随机试验的结果就可以用数字表示.由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值,因此是个变量. 问题1.2:如果我们将上述变量称之为随机变量,你能否归纳出随机变量的概念? 引导学生归纳随机变量的定义:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示. 问题1.3:随机变量与函数有类似的地方吗? 引导学生回顾函数的理解: 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念,提出对随机变量的理解:

随机变量及其分布列概念公式总结

随机变量及其分布总结 1、定义:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 .随机变量常用字母 X , Y ,ξ,η,… 表示. 2、定义:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1,x 2,…,x 3,…, ξ取每一个值x i (i =1,2,…)的概率为()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质: (1)P i ≥0,i =1,2,…; (2)P 1+P 2+…=1. 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值x i (2)求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i (3)画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列: 一般地,在含有M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有X 件次品 数,则事件 {X=k }发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== ,其中mi n {,} m M n =,且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈.称分布列 为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X

服从超几何分布 8.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ,(k =0,1,2,…,n ,p q -=1). 于是得到随机变量ξ的概率分布如下: ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B (n ,p ),其中n ,p 为参数。 9.离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 10.离散型随机变量的均值或数学期望的性质: (1)若ξ服从两点分布,则=ξE p . (2)若ξ~B (n ,p ),则=ξE np . (3)()c c E =,c 为常数 (4)ξ~N (μ,2σ),则=ξE μ (5)b aE b a E +=+ξξ)( 11.方差: 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,…, 且取这些值的概率分别是1p ,2p ,…,n p ,…,那么, ξD =121)(p E x ?-ξ+222)(p E x ?-ξ+…+n n p E x ?-2)(ξ+…

2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第9讲学案理解析版

第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲 A 组 基础关 1.(2018·广西南宁模拟)设随机变量X ~N (5,σ2 ),若P (X >10-a )=0.4,则P (X > a )=( ) A .0.6 B .0.4 C .0.3 D .0.2 答案 A 解析 因为随机变量X ~N (5,σ2 ),所以P (X >5)=P (X <5).因为P (X >10-a )=0.4,所以P (X >a )=1-P (X <a )=1-0.4=0.6.故选A. 2.已知随机变量X +Y =8,若X ~B (10,0.6),则E (Y ),D (Y )分别是( ) A .6和2.4 B .2和2.4 C .2和5.6 D .6和5.6 答案 B 解析 由已知随机变量X +Y =8,所以Y =8-X .因此,求得E (Y )=8-E (X )=8-10×0.6=2,D (Y )=(-1)2 D (X )=10×0.6×0.4=2.4.故选B. 3.(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X 的分布列如下表,且E (X )=2,则D (2X -3)=( ) A .2 B .3 C .4 D .5 答案 C 解析 p =1-16-13=12 , E (X )=0×1 6+2×12+a ×13 =2?a =3, ∴D (X )=(0-2)2×16+(2-2)2×12+(3-2)2 ×13=1. ∴D (2X -3)=22 D (X )=4. 4.(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会,届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现,某选手的速度ξ服从正态分布(100, σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.7,则他的速度超过120的概率为( ) A .0.05 B .0.1 C .0.15 D .0.2 答案 C 解析 由题意可得,μ=100,且P (80<ξ<120)=0.7,

2021新高考数学二轮总复习专题六统计与概率6.4.2随机变量及其分布学案含解析.docx

6.4.2 随机变量及其分布 必备知识精要梳理 1.超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则 P (X=k )=C M k C N -M n -k C N n ,k=0,1,2,…,m ,其中m=min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *. 2.二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数为X ,设每次试验中事件A 发生的概率为 p ,则P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中0

随机变量及分布列习题

随机变量及分布列 1.已知随机变量() 20,X N σ~,若(2)P X a <=,则(2)P X >的值为( ) A. 12a - B. 2 a C. 1a - D. 12a + 2.已知随机变量 ,若 ,则的值为( ) A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3.已知 ,,则的值为( ) A. 10 B. 7 C. 3 D. 6 4.集装箱有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球 号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是( ) A. B. C. D. 5.甲袋中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球为1个,标号为1的小球2个,标号为2 的小球2个.从袋中任取两个球,已知其中一个的标号是1,则另一个标号也是1的概率为__________. 6.设随机变量服从正态分布, ,则__________. 7.某人通过普通话二级测试的概率是,他连线测试3次,那么其中恰有1次通过的概率是( ) A. B. C. D. 8.从1,2,3,4,5,6,7中任取两个不同的数,事件为“取到的两个数的和为偶数”,事件为“取到的两个 数均为奇数”,则( ) A. B. C. D. 9.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班25位女同学,15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,求样本中男生、女生人数分别是多少; (Ⅱ)随机抽取8位同学,数学成绩由低到高依次为:6065707580859095,,,,,,,; 物理成绩由低到高依次为:7277808488909395,,,,,,,,若规定90分(含90分)以上为优秀,记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数,求ξ的分布列和数学期望.

2016-2017学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 第1课时 离散型随机变量的均值学案

2.3 第一课时 离散型随机变量的均值 一、课前准备 1.课时目标 (1) 理解离散型随机变量的均值的定义; (2) 能熟练应用离散型随机变量的均值公式求值; (3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的均值公式求值. 2.基础预探 1.若离散型随机变量X 的分布列为 则称_______________________为随机变量X 的均值或数学期望. 2.两点分布:若X 服从两点分布,则EX =__________. 3.二项分布:若随机变量X 服从二项分布,即~(,)X B n p ,则EX =___________. 4.超几何分布:若随机变量X 服从N ,M ,n 的超几何分布,故EX =___________. 二、学习引领 1.随机变量的均值与样本的平均值的关系 随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值. 2.求随机变量的均值的步骤 ①分析随机变量的特点,若为两点分布、二项分布、超几何分布模型,则直接套用公式;②否则,根据题意设出随机变量,分析随机变量的取值;③列出分布列;④利用离散型随机变量的均值公式求解. 3. 试验次数对随机变量的均值有没有影响 假设随机试验进行了n次,其中1x 出现了1p n 次, 2x 出现了2p n 次,…,n x 出现了 n p n 次;故X 出现的总值为1p n 1x +2p n 2x +…+n p n n x .因此n次试验中,X 出现的均值 1122n n p nx p nx p nx EX n ++ += ,即EX =1122n n p x p x p x +++.由此可以看出,试验 次数对随机变量的均值没有影响. 三、典例导析 题型一 离散型随机变量的数学期望 例1 某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.

人教A版高中数学选修21椭圆及其标准方程教案

课题:椭圆及其标准方程 教材:普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析: 《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。从知识上说,它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上说,它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础;所以说,无论从教材内容,还是从教学方法上都是起着承上启下的作用,它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学,具有非常重要的意义。 二、教学目标分析: (一)知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导. (二)过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力. (三)情感态度与价值观目标: (1)通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. (2)通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与他人合作交流的意识. 三、教学重点、难点: (一).重点:椭圆定义及其标准方程 (二).难点:椭圆标准方程的推导 四、教学方法与教学手段

采用启发和探究式教学相结合的教学模式,即在教师的引导下,创设情境,学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆,并讨论椭圆上的点满足的条件,以此来充分调动学生学习的主动性和积极性,发展学生数形结合,等价转换等思想,培养学生综合运用知识解决问题的能力。 教学手段:计算机课件辅助教学。 五、教学过程: (一)认识椭圆,探求规律: 1.对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图 片,让学生从感性上认识椭圆. 2.通过演示动画,展示椭圆的形成过程,使学生认识到椭圆是 点按一定“规律”运动的轨迹. (二)动手实验,亲身体会 用上面所总结的规律,指导学生互相合作(主要在于动手),体验画椭圆的过程(课前准备细绳),并以此了解椭圆上的点的特征. 请两名同学上黑板画 (三)归纳定义,完善定义 我们通过动画演示,实践操作,对椭圆有了一定的认识,下面由同学们归纳椭圆的定义. 椭圆定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于||21F F =2c )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

随机变量及其分布小结与复习

复习课: 随机变量及其分布列 教学目标 重点:理解随机变量及其分布的概念,期望与方差等的概念;超几何分布,二项分布,正态分布等的特点;会求条件概率,相互独立事件的概率,独立重复试验的概率等. 难点:理清事件之间的关系,并用其解决一些具体的实际问题. 能力点:分类整合的能力,运算求解能力,分析问题解决问题的能力. 教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点:例题及变式的解题思路的探寻. 易错点:容易出现事件之间的关系混乱,没能理解问题的实际意义. 学法与教具 1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.随机变量 ⑴随机变量定义:在随机试验中,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.简单说,随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母x、y、ξ、η等表示. ⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出(可以是无限个)这样的随机变量叫做离散型随机变量.

⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.概率分布定义(分布列) 设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x L L ,ξ取每一个值(1,2,)i x i =L 的概率 ()i i P x p ξ==,则称表 ξ 1x 2x L i x L P 1P 2P L i P L 称为随机变量ξ的概率分布列,简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,123≥,,,i p i =L ;123(2)1p p p +++=L 3.常见的分布列 ⑴二项分布:在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概 率为()(1)k k n k n p X k C p p -==-,显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下: x 1 L k L n P 00n n C p q 111 n n C p q - L k k n k n C p q - L n n n C p q 我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为: ξ 0 1 P 1P - P 这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B , ⑶超几何分布:一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有x 件次品数,则事件{} x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N k M N M n N C C P X k k m C --===L .其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈,则称分布列

(完整word版)高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布教案

第二章 随机变量及其分布 2.1.1离散型随机变量 第一课时 思考1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1 , 2 ,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上(图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化. 定义1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable ).随机变量常用字母 X , Y ,ξ,η,… 表示. 思考2:随机变量和函数有类似的地方吗? 随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域. 例如,在含有10件次品的100 件产品中,任意抽取4件,可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件.例如{X=0}表示“抽出0件次品” , {X =4}表示“抽出4件次品”等.你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢? 定义2:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0,1,…,10;某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0, 1,2,…. 思考3:电灯的寿命X 是离散型随机变量吗? 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一一列出,所以 X 不是离散型随机变量. 在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量.例如,如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时,那么就可以定义如下的随机变量: ?? ≥?0,寿命<1000小时; Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量Y 的构造更简单,它只取两个不同的值0和1,是一个离散型随机变量,研究起来更加容易. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米,则林场树木的高度ξ是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验

人教版高中数学选修21椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程(2) 1.掌握点的轨迹的求法; 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程. 4142 ,文P34~ P36找出疑惑之处) 复习1:椭圆上 22 1 259 x y +=一点P到椭圆的左焦点 1 F的距离为3,则P到椭圆右焦点 2 F的距 离 是. 复习2:在椭圆的标准方程中,6 a=,b则椭 圆的标准方程是. 二、新课导学 ※学习探究 问题:圆22650 x y x +++=的圆心和半径分别是什么? 问题:圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ; 反之,到点(3,0) -的距离等于2的所有点都在 圆上. ※典型例题 例1在圆224 x y +=上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?

变式: 若点M 在DP 的延长线上,且32 DM DP =,则点M 的轨迹又是什么? 小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆. 例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-,.直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是49 -,求点M 的轨迹方程 . 变式:点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-,直线,AM BM 相交于点M ,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2,点M 的轨迹是什么? ※ 动手试试

练1.求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程. 练2.一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆226910x y x +--=内切,求动圆圆心的轨迹方程式,并说明它是什么曲线. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式; ②相关点法:寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系,然后消去00,x y ,得到点M 的轨迹方程. ※ 知识拓展 椭圆的第二定义: 到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹. 定点F 是椭圆的焦点; 定直线l 是椭圆的准线; 常数e 是椭圆的离心率. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:

离散型随机变量及其分布列导学案

§ 2.1.1离散型随机变量及其分布列导学案 、学习目标: 1. 会熟练说出离散型随机变量的概念、分布列的表示方法; 2. 能够熟练写出离散型随机变量的分布列。 二、预习课本自主掌握以下概念和原理: 1. 随机变量 (1) 定义:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示. 在 这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化. 像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2) 表示法:随机变量常用字母 X , Y , £ n ,表示. 2. 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 3. 随机变量和函数的关系 随机变量和函数都是一种 映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.在 这两种映射之间,试验结果的范围相当于 函数的定义域,随机变量的 取值范围 相当于函数的值域?我 们把随机变量的取值范围叫做 随机变量的值域 . 4. 分布列的定义 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X j , x 2, , , x i , , , x n , X 取每一个值X j (i = 1,2, , , n)的概 率P(X = x i ) = p i ,以表格的形式表示如下: 此表称为离散型随机变量 5. 分布列的性质 (1) Pi_A 0 , 1 2 = 1,3,3, n (2)、P i =」 i = 1 6. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即_ P( -X k ) =P( =X k ) P( =X ki ) 一 三、基础自测: 2 .下列变量中,不是随机变量的是 ( ) A .一射击手射击一次命中的环数 B .标准状态下,水沸腾时的温度 C .抛掷两颗骰子,所得点数之和 D .某电话总机在时间区间(0, T)内收到的呼叫次数 n ; 的分布列.

数学:人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案(2.1.2离散型随机变量的分布列)

2. 1.2离散型随机变量的分布列 教学目标: 知识与技能:会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 教学重点:离散型随机变量的分布列的概念 教学难点:求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型:新授课 课时安排:2课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量,b a b a ,,+=ξη是常数, 则η也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型) 请同学们阅读课本P 5-6的内容,说明什么是随机变量的分布列? 二、讲解新课: 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1,x 2,…,x 3,…, ξ取每一个值x i (i =1,2,…)的概率为()i i P x p ξ==,则称表 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 为随机变量的概率分布,简称的分布列 2. 分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: ⑴P i ≥0,i =1,2,...; ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.两点分布列: 例1.在掷一枚图钉的随机试验中,令

北师大版数学选修2-2全套教案

第一章 推理与证明 课题:合情推理(一)——归纳推理 课时安排:一课时课型:新授课 教学目标: 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理。 教学难点:用归纳进行推理,做出猜想。 教学过程: 一、课堂引入: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例,回答几个推理各有什么特点?都是由“前提”和“结论”两部分组成,但是推理的结构形式上表现出不同的特点,据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解: 1、 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、 三角形的内角和是180?,凸四边形的内角和是360?,凸五边形的内角和是540? 由此我们猜想:凸边形的内角和是(2)180n -?? 3、221222221,,,331332333+++<<<+++,由此我们猜想:a a m b b m +<+(,,a b m 均为正实数) 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称:归纳) 归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。 例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1) n a n N n +=∈+,12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-,试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值,推测出()f n 的值。 【学生讨论:】(学生讨论结果预测如下) (1)113(1)1144 f a =-=-= 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936 f a a f =--=?-=?== 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168 f a a a f =---=?-=?=

2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布复习提升课学案新人教A版

第二章 随机变量及其分布 章末复习提升课 , 超几何分布 [问题展示] (选修2-3 P50习题2.1B 组T1)老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率. 【解】 (1)他能背诵的课文的数量X 的可能取值为0,1,2,3, 则P (X =0)=C 06C 3 4C 310=1 30, P (X =1)=C 16C 2 4C 10=3 10 ,

C 102P (X =3)=C 36C 0 4C 310=1 6, 所以X 的分布列为 (2)他能及格的概率为P (X =2)+P (X =3)=2+6=3 . 某位同学记住了10个数学公式中的m 个(m ≤10),从这10个公式中随机抽取3个,若他记住2个的概率为1 2. (1)求m 的值; (2)分别求他记住的数学公式的个数X 与没记住的数学公式的个数Y 的数学期望E (X )与 E (Y ),比较E (X )与E (Y )的关系,并加以说明. 【解】 (1)P (X =2)=C 2m C 1 10-m C 310=1 2, 即m (m -1)(10-m )=120,且m ≥2. 因为120=2×5×12=4×5×6=3×5×8=2×4×15=2×2×30. 而m 与m -1一定是相邻正整数. 所以?????m -1=4,m =5,10-m =6或???? ?m -1=5,m =6,10-m =4 解得m =6. (2)由原问题知,E (X )=0× 130+1×310+2×12+3×16=9 5 , 没记住的数学公式有10-6=4个,故Y 的可能取值为0,1,2,3. P (Y =0)=C 04C 3 6C 310=1 6, P (Y =1)=C 14C 26C 310=1 2, P (Y =2)=C 24C 16C 310=3 10 ,

离散型随机变量的均值教案资料

关于《离散型随机变量的均值》的说课稿 银川二中(西校区)黄海霞 说课内容:普通高中人教A版(数学选修2-3)第二章第3节第一课时─《离散型随机变量的均值》. 下面,我将分别从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计等六个方面对本节课的设计进行说明. 一、背景分析: 1、学习任务分析 《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容,本节课是第一课时. 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念,引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念,然后推导出离散型随机变量均值的线性性质()()b E+ aX +. = X aE b 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上,进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化,又是后续内容离散型随机变量方差的基础,所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础.离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征,是从一个侧面刻画随机变量取值的特点. 在实际问题中,离散型随机变量的均值具有广泛的应用性.因此我以为本节课的重点是:取有限值的离散型随机变量均值的概念. 2、学生情况分析 本节课之前,学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列,二项分布及其应用等基础知识,具备了学习本节知识的知识储备.本节课是一节概念新授课,教材从学生熟悉的平均值出发,从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念,这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强,因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难. 基于以上认识,我以为本节课的教学难点是:离散型随机变量均值概念的形成和理解。

北师大版选修21高中数学2.2.1椭圆及其标准方程word教案

2.2 椭 圆 ◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究P 41页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约10cm 长,两端各结一个套),教师准备无弹性细绳子一条(约60cm ,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1椭圆及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i )由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆(ellipse ).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={} 12|2M MF MF a +=. (ii )椭圆标准方程的推导过程 提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义. 类比:写出焦点在y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程()22 2210y x a b a b +=>>. (iii )例题讲解与引申 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22??- ??? ,求它的标准方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出,,a b c .引导学生用其他方法来解. 另解:设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>,因点53,22??- ??? 在椭圆上,

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