第二章 波函数和薛定谔方程 2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为 ()**2J i ψψψψμ = ?-? 而定态波函数的一般形式为 ()(),i Et t e ψψ-=r r 将上式代入前式中得: ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ??= ?-?? ? 显然是这个J 与时间无关. 2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e r ikr 11= ψ (2) ikr e r -=1 2ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波. 解: 在球坐标中,梯度算符为 1ψ和2ψ只是r 的函数,与?θ,无关,所以 , ()* *1 1211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-???? ??==-+=-+ ? ????? ? ()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-???? ??==-+=-+=? ? ????? ? ()()**2 21111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ???? ??==-=-=? ? ????? ?e e e 将以上四式代入 ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ ??=?-??? (1) 对于ikr e r 11=ψ 12222 111122r r r i k p ik r r r r μμμμ??=-===????p J e e e (2) 对于ikr e r -=12ψ
212222 1111 22r r r i k p ik r r r r μμμμ??= =-=-=-=-???? p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面 波ikr e r -= 12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场 ()?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U 00 中运动,求粒子的能级和对应的波函数. 解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψ E dx d 即 02 =+''ψψk ()2 0k E = > 可知,其解为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ， 在a x ≤≤0处， 波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -= 因此有 () 2sin sin ikx ikx A e e iA kx C kx ψ-=-== 从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π 所以 sin 1,2,3n n C x n a π ψ== 2 2 222a n E n μπ = 归一化条件 1*=?dx ψψ可得 a C 2 = ()()2222 11sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα ??=-=+???? 所以 1,2,30n n x n x a a πψ= =≤≤ 综合得: 000n n x x a a x x a πψ≤≤=<>? 或 2.4. 证明()sin 20n n A x a x a a x a π ψ?'+
量子力学课后习题详解 第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为 00 ??()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即 2004ze U r r πε=-（） 在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为 ??()H T U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区 域， 2 00()()4Ze U r U r r πε=-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82203 020022 203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0???H H H '=+
得 ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以 认为(0)??H H '<<，视为一种微扰。 对于基态r a Z e a Z 02/1303) 0(1)(-=πψ，2422(0)12 22e s s m Z e Z e E a =-=-由?H '引起的一级修正为 ?∞ '=τψψd H E )0(1 * )0(1)1(1? ? -+--=0 00 2 2022203 023 3 4]4)3(8[r r a Z dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故10 2≈-r a Z e 。 ∴ ? ? +--=0 3 02 40 4 2 20 3 3002 4)1(1 )3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E πεπε 20 30024505 030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2 3002410r a e Z πε= 2 03 2452r a e Z s = 422222(1)(0)201 1 032 000 22//1525s s Z e Z e Z r E E r a a a == # 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε 中，如果电场较 小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取ε 的方向为Z 轴建立坐标系，则转子的能量包括转动动能和电偶极矩在电场中的势能，哈密顿算符为 θεεcos ?212??22D L I D I L H -=?-= 取θεcos ? ,?21?2)0(D H L I H -='=，则 H H H '+=???)0(
量子力学第二版第六章散射习题答案周世勋
第六章散射 1.粒子受到势能为％）=个的场的散射，求S分波的微分散射截面。 ［解］为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第z个分波的相角位移可是表示在犊力场中的矢径波函数&和在没有散射势时的矢径波函数J在 i时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。 矢径的波动方程是： ￡做2等〕用=0 其中人是波函数的径向部分，而 心御⑴汽E 令⑴宁，不难把矢径波动方程化为 (+1) 2 pa 再作变换得
这是一个贝塞尔方程，它的解是 /(r) = AJ p (kr) + BN p (kr) ，(.if 2g 其中"一屮+￡+矿 注意到 N”(")在一0时发散，因而当，_0时波函 数 D _Np 不符合波函数的标准条件。所以 必须有B = 0 故 R,=A-Lj r (kr) 现在考虑波函数《在,TS 处的渐近行为，以便和力 在一s 时的渐近行为比较，而求得相角位移叽 由于： 当可很小时，即& 较小时，把上式展开，略去高 r （r ） + -/V ） + r
次项得到 故 5% 微分散射截面为 又因 严-1 = 2询 f ⑹= ^7-E （2/ + 1）（"吞一 l ）￡（cos&） 2ik /.（） 2 pa -沅 兀 2/ + 1 ￡（cos&） 注意到 、 f 1 x 丄工 斤口八"丿 1 x 斥（COS&）当叶? \/ ZL P t （COS0）当r x
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